Lớp môđun bất biến và đối bất biến lũy linh

Một môđun được gọi là môđunbất biến lũy linh nếu nó bất biến qua bất kì tự đồng cấu nào của baonội xạ của nó.. Chính điều này đã thúc đẩy chúng tôi tìm hiểu về môđun này.Môđun là tựa nội

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

LỚP MÔĐUN BẤT BIẾN VÀ ĐỐI

BẤT BIẾN LŨY LINH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng - Năm 2020

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo PGS TS Trương CôngQuỳnh, cảm ơn sự động viên, hướng dẫn nhiệt tình của thầy trong suốtquá trình tôi thực hiện luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô đã giảng dạy lớp cao học

“Đại Số Và Lý thuyết Số khóa 36”, tôi cũng xin được bày tỏ sự biết ơnchân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường ĐH Sư Phạm - ĐH ĐàNẵng đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐH Sư Phạm - ĐH ĐàNẵng đã tạo điều kiện, môi trường học tập tốt nhất trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù tôi đã cố gắng hết sức tuy nhiên luận văn cũng không thể tránhkhỏi những sai sót vì vậy tôi thật sự mong nhận được những ý kiến đónggóp của quý thầy cô để luận văn của tôi được hoàn thiện tốt hơn

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn ii

Mục lục iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết vành 6

1.2 Một số kiến thức liên quan đến lý thuyết môđun 8

1.2.1 Môđun xạ ảnh và mở rộng của môđun nội xạ 11

1.2.2 Một số kết quả liên quan 12

Chương 2 Môđun và vành bất biến lũy linh 15

2.1 Một số khái niệm và ví dụ 15

2.2 Một số tính chất của môđun bất biến lũy linh 18

2.3 Môđun bất biến lũy linh trên vành Goldie nguyên tố 30

Chương 3 Môđun đối bất biến lũy linh 35

3.1 Định nghĩa 35

3.2 Một số tính chất và ví dụ của môđun đối bất biến lũy linh 36

KẾT LUẬN 44TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm môđun bất biến lũy linh và đối bất biến lũy linh đã đượcnghiên cứu, khái quát hóa từ khái niệm của môđun tựa nội xạ Khái niệmnày ngày càng được biết đến nhiều hơn và được sử dụng để mô tả cấutrúc của các môđun, các vành khác nhau Một môđun được gọi là môđunbất biến lũy linh nếu nó bất biến qua bất kì tự đồng cấu nào của baonội xạ của nó Nghiên cứu các môđun bất biến lũy linh và đưa ra mốiquan hệ giữa môđun bất biến lũy linh và môđun tựa nội xạ cũng đã đượcnghiên cứu Chính điều này đã thúc đẩy chúng tôi tìm hiểu về môđun này.Môđun là tựa nội xạ nếu nó bất biến qua các tự đồng cấu của bao nội xạcủa nó Trên cơ sở này đã có rất nhiều công trình nghiên cứu khác nhau

và thu nhận được nhiều những tính chất quan trọng khác Cũng như vậykhi nghiên cứu đến môđun bất biến đẳng cấu người ta đã dễ dàng chỉ rađược rằng nếu x là một tự đồng cấu lũy linh của môđun M thì 1 + x làmột tự đẳng cấu của M Và người ta chỉ ra được rằng tất cả các môđunbất biến đẳng cấu là bất biến lũy linh nhưng điều ngược lại là không đúngtrong trường hợp tổng quát Cho M là mộtR-môđun phải Người ta cũngchỉ ra được rằng một môđun M có phủ xạ ảnhP → M là môđun đối bấtbiến đẳng cấu khi và chỉ khi Ker(P → M ) là bất biến qua mọi tự đẳngcấu của P Tiếp tục qua trình nghiên cứu đó trên các vành Goldie nguyên

tố người ta cũng thu được kết quả không kém phần quan trọng khác đólà: cho R là một vành Goldie nguyên tố, M là một R-môđun phải bấtbiến lũy linh không suy biến Khi đó, tất cả các môđun con đóng thực sựcủa M là nội xạ và nếu M là R-môđun phải đều thì M là môđun nội xạ

Từ kết quả này, chúng ta có được rằng nếu M là một môđun trên vànhGoldie phải nguyên tố có udim(M/Z(M )) > 1 thì M là môđun đối bất

biến lũy linh khi và chỉ khi M là một môđun nội xạ.

Và cuối cùng là nghiên cứu về môđun đối bất biến đẳng cấu và môđunđối bất biến lũy linh Một số đặc tính quan trọng của chúng cũng đã đượctìm ra Nếu các tự đồng cấu lũy linh của môđun M lên tự đồng cấu lũylinh của M và M có phủ xạ ảnh thì M là đối bất biến lũy linh Do đó vớimục đích đi tìm hiểu về môđun bất biến lũy linh, môđun tựa nội xạ vàmối liên hệ giữa chúng Theo sự hướng dẫn của PGS TS Trương CôngQuỳnh, tôi đã chọn đề tài “Lớp môđun bất biến và đối bất biến lũy linh”

để thực hiện luận văn

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu về các khái niệm, tính chất và chỉ ra các các ví dụ liênquan đến lớp môđun đối bất biến lũy linh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Phạm trù các môđun trên một vành cho trước

Lớp vành và môđun bất biến, đối bất biến lũy linh

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu trong phạm vi lớp các môđun trên vành

R và vành Goldie nguyên tố

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Nghiên cứu qua giáo trình, sách chuyên khảo, và các bài báo khoa học

có nội dung liên quan đến đề tài luận văn Tổng hợp, hệ thống, phân tíchcác tài liệu thu thập được để hệ thống được các kết quả liên quan

4.2 Phương pháp chứng minh khoa học.

Đây là một đề tài lý thuyết nên chúng tôi sử dụng phương pháp nghiêncứu tài liệu và lập luận logic để chứng minh

4.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.

5 Cấu trúc của luận văn.

Luận văn được trình bày theo các nội dung chính sau:

LỜI CAM ĐOAN

2 Mục tiêu nghiên cứu

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

4 Phương pháo nghiên cứu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi sẽ trình bày một số định nghĩa, tính chất liên

quan đến vành và môđun sẽ sử dụng trong chương sau như điều kiện dãytăng và gia điều kiện dãy giảm, các định nghĩa về vành Artin và Nơte,môđun và vành mà là nửa Artin, vành nguyên tố và nửa nguyên tố, địnhnghĩa vành địa phương, vành hoàn chỉnh, vành Goldie, vành di truyền,chuỗi vành tổng quát, vành chính quy von Neumann, vành hoàn chỉnh.Các định nghĩa về vành và môđun đơn, căn và đế của vành và môđun,định nghĩa về hạng tử trực tiếp và môđun không phân tích được, môđuncon cốt yếu (lớn), môđun đối cốt yếu (bé), môđun đều, môđun chínhphương, môđun liên tục, môđun tựa liên tục và các kết quả liên quankhác.

Chương 2: Môđun và vành bất biến lũy linh

Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm, ví dụ, một số tínhchất của môđun bất biến lũy linh trên vành R và vành Goldie nguyên tố.Chương 3: Môđun đối bất biến lũy linh

Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra một số khái niệm và ví dụ củamôđun đối bất biến lũy linh

Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f

Rad(M ), J (R) Căn của môđun M, căn của vành R

Q

Tích trực tiếpL

Tổng trực tiếp

HomR(M, N ) Môđun các đồng cấu từ môđun M vào

R-môđun N

1.1 Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết vành

Định nghĩa 1.1.1 (1) Tập = các môđun con nào đó của M được gọi làthỏa mãn điều kiện dãy tăng (thường viết tắt là ACC) trong trường hợpvới mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤

trong =, tồn tại một số tự nhiên n nào đó để cho Ln+i = Li(i = 1, 2, 3 )

(2) Tập = các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãygiảm (thường viết tắt là DCC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥

trong =, tồn tại một số tự nhiên n nào đó để cho Ln+i = Li(i = 1, 2, 3 )

(3) Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđun connào đó của M đều có phần tử cực đại Môđun MR được gọi là Artin nếumỗi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.VànhRđược gọi là Nơte phải (Artin phải) nếu môđunRR là Nơte (Artin).Định nghĩa 1.1.2 (1) Một iđêan P của vànhR được gọi là iđêan nguyên

tố nếu P 6= R, với I, J là hai iđêan bất kì của R thỏa mãn IJ ⊆ P thì

I ⊆ P hoặc J ⊆ P.

(2) Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu 0 là một iđêan nguyên tố củavành R

Định nghĩa 1.1.3 (1) Giao một họ bất kì các iđêan nguyên tố của vành

R là một iđêan của vành R và ta gọi đó là iđêan nửa nguyên tố

(2) VànhR được gọi là vành nguyên nửa tố nếu 0 là một iđêan nửa nguyên

Định nghĩa 1.1.6 Một vành R được gọi là di truyền phải nếu tất cảcác iđêan phải của R đều là xạ ảnh

Một vành R được gọi là vành bị chặn nếu mọi iđêan cốt yếu phải hoặctrái của R đều chứa một iđêan khác không

Định nghĩa 1.1.7 Một vành Artin phải và trái R được gọi là chuỗi tổngquát nếu với mọi lũy đẳng nguyên thủy e của R, khi đó eR (Re) đều cóchuỗi hợp thành duy nhất là R-môđun phải (trái) Điều đáng chú ý làmọi R-môđun trên một chuỗi vành tổng quát là một tổng trực tiếp củachuỗi các môđun

Định nghĩa 1.1.8 Một vành R được gọi là chính quy von Neumann(chính quy mạnh) nếu ∀a ∈ R, ∃b ∈ R sao cho a = aba (tương ứng

a = a2b)

1.2 Một số kiến thức liên quan đến lý thuyết môđun

Định nghĩa 1.2.1 Cho R là một vành có đơn vị và M là một nhóm cộngaben Ta gọi M là R–môđun phải nếu có ánh xạ:

M × R → M(x, a) 7→ xa

thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) (x + y) a = xa + ya

(2) x (a + b) = xa + xb

(3) x (ab) = (xa) b

(4) x.1 = x

với mọi a, b ∈ R, với mọi x, y ∈ M

Định nghĩa 1.2.2 Cho M làR-môđun phải Tập con A củaM được gọi

là môđun con của M (kí hiệu A ≤ M hayAR ≤ MR), nếu A là R-môđunphải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A

Chú ý rằng kí hiệu A ≤ M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp thuầntuý A ⊂ M Ngoài ra nếu ta viết A < M có nghĩa là A là môđun conthực sự của M A  M có nghĩa là A không là môđun con của M Sauđây là đặc trưng của môđun con

Định lý 1.2.3 Giả sử M là một R-môđun phải Nếu A là tập con khácrỗng của M, thì các điều kiện sau là tương đương

Định nghĩa 1.2.4 (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và

∀A ≤ M thì A = 0 hay A = M, nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai môđun

con là 0 và M.

(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và với mọi A ≤ RR khi đó

A = 0 hay A = R, nghĩa là R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và

R

(3) Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun

M nếu như A 6= 0 và với mọi B ≤ M, B < A suy ra B = 0

(4) Tương tự, môđun conA ≤ M được gọi là môđun con cực đại củamôđun M nếu như A 6= M và với mọi B ≤ M, B > A suy ra B = M

Bổ đề 1.2.5 MR đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và với mọi M = mR vớimọi phần tử m khác không của M

Định nghĩa 1.2.6 Căn Jacobson của môđunMR được định nghĩa là giaocủa tất cả các môđun con cực đại của M, và được kí kiệu là Rad(M ).Nếu M không có iđêan con cực đại thì ta quy ước Rad(M ) = M

Cho R là một vành Khi đó Rad(RR) = Rad(RR) là một iđêan haiphía của vành R và kí hiệu là J (R)

Định nghĩa 1.2.7 Môđun con K của môđun M được gọi là hạng tử trựctiếp trong M nếu có môđun con K0 của M sao cho M = K⊕ K0 Kí hiệu

là K ≤⊕ M Môđun M khác không được gọi là không phân tích được nếu

0 và M là hạng tử trực tiếp duy nhất trong M

Định nghĩa 1.2.8 Đế của môđun MR được định nghĩa là tổng tất cảcác môđun con đơn của M, và được kí kiệu là Soc(M )

Định nghĩa 1.2.9 Một môđun được gọi là nửa Artin nếu mọi môđunthương khác không có đế khác không Một vành R được gọi là vành nửaArtin phải nếu môđun phải RR là nửa Artin

Định nghĩa 1.2.10 Một vành Rđược gọi là vành hoàn chỉnh phải (trái)phải nếu R/J (R) là nửa đơn vàJ (R) là T-lũy linh phải (trái) tương ứng

Định nghĩa 1.2.11 Cho N là môđun con của R-môđun phải M đượcgọi là môđun con cốt yếu (lớn) của M, kí hiệu là N ≤e M, nếu với mọimôđun con khác không K của M ta đều có K ∩ N 6= 0 Khi đó ta cũngnói M là mở rộng cốt yếu của N.

Cho K là môđun con của R-môđun phải M được gọi là môđun conđối cốt yếu (bé) của M, kí hiệu là K  M, nếu với mọi môđun con L

của M, K + L = M suy ra L = M

Nếu mọi môđun con khác không của môđun M là cốt yếu thì M

được gọi là môđun đều

Ví dụ 1.2.12 (1) Với mọi môđun M ta đều có M ≤e M

(2) Vành số nguyên Z được xem như một môđun trên chính nó Khi

đó, mọi iđêan khác 0 của Z (hay các môđun con khác 0 của Z) đều làmôđun cốt yếu trong Z

Định nghĩa 1.2.13 Cho A là một môđun phải trên vành R, tập con

0 6= X ⊆ A Ta định nghĩa linh hóa tử của X (trong R) là iđêan phải

annR(X) = {r ∈ R|xr = 0, ∀x ∈ X}

Linh hóa tử của tập X = {x} trong R được kí hiệu gọn là annR(x).Khi không sợ nhầm lẫn về vành R ta có thể viết là ann(X) thay cho

annR(X)

Định nghĩa 1.2.14 Môđun con suy biến Z(M ) của R-môđun phải M

được xác định Z(M ) = {m ∈ M : annR(m) là iđêan phải cốt yếu của

R} Nếu Z(M ) = 0, M được gọi là môđun không suy biến

Định nghĩa 1.2.15 Môđun M được gọi là địa phương nếu M có mộtmôđun con thực sự lớn nhất Một cách tương đương, một môđun là địaphương nếu và chỉ nếu nó là cyclic, khác không và có duy nhất một môđuncon thực sự cực đại

MôđunM được gọi là không phân tích được nếu M 6= 0và M không

có hạng tử trực tiếp khác 0, khác M

Từ đinh nghĩa trên ta thấy ngay môđun địa phương là môđun khôngphân tích được.

Định lý 1.2.16 Đối với vành R, các mệnh đề sau là tương đương:(1) R/J (R) là một thể

(2) J (R) là iđêan phải (trái) cực đại

(3) Với mỗi r ∈ R thì r hoặc 1 − r khả nghịch bên phải (hoặc trái).(4)Với mỗi r ∈ R thì r hoặc 1 − r khả nghịch

(5) Tập các phần tử không khả nghịch của R đóng kín đối với phépcộng

(6) RR là một môđun địa phương

Định nghĩa 1.2.17 Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J (R) lànửa đơn và J (R) là lũy linh

1.2.1 Môđun xạ ảnh và mở rộng của môđun nội xạ

Định nghĩa 1.2.18 Cho UR là một môđun Nếu MR là một môđun, thì

U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M-xạ ảnh) trong trường hợp vớimọi toàn cấu g : MR −→ NR và mỗi đồng cấu v : UR −→ NR tồn tạimột R-đồng cấu v : U −→ M sao cho v = g ◦ v

Một môđun M được gọi là xạ ảnh nếu M là N-xạ ảnh với mọi môđunphải N

Định nghĩa 1.2.19 Cho UR là một môđun Nếu MR là một môđun, thì

U được gọi là nội theo M (hay U là M-nội xạ) trong trường hợp với mọiđơn cấu f : KR −→ MR và mỗi đồng cấu v : KR −→ UR tồn tại một

R-đồng cấu v : M −→ U sao cho v = v ◦ f Nếu M là M-nội xạ thì M

được gọi là môđun tựa nội xạ

Một môđun M được gọi là nội xạ nếu M làN-nội xạ với mọi môđun phải

N

Định nghĩa 1.2.20 Ta gọi cặp (PR, ρ) là một phủ xạ ảnh của môđun

MR nếu PR là một môđun xạ ảnh, ρ : PR −→ MR là một toàn cấu R

-môđun từ -môđun xạ ảnh P vào M và thỏa điều kiện Kerρ là một môđuncon đối cốt yếu của P Khi đó P gọi là phủ xạ ảnh của M.

Định nghĩa 1.2.21 (Các điều kiện Ci của môđun M)

(C1) Mọi môđun con của môđun M là cốt yếu trong một hạng tửtrực tiếp của M

(C2) Mọi1 môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì nócũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu M1, M2 là các hạng tử trực tiếp của M mà M1 ∩ M2 = 0

Định nghĩa 1.2.24 Một môđun M được gọi là vô hạn hoàn toàn nếu

M ∼= M ⊕ M, và môđun M được gọi là hữu hạn trực tiếp nếu M khôngđẳng cấu với một hạng tử trực tiếp thực sự của nó

1.2.2 Một số kết quả liên quan

Bổ đề 1.2.25 ([3], Bổ đề 1) Cho đại số A trên trường F Các mệnh đềsau là tương đương

(1) Mỗi môđun không phân tích được là tự nội xạ

(2) Mỗi môđun không phân tích được là bất biến đẳng cấu

Bổ đề 1.2.26 ([15], Bổ đề 8.2) Các điều kiện sau là tương đương vớimôđun M đã cho

(1) ⊕Mα là A-nội xạ

(2) ⊕i∈I{Mi} là A-nội xạ với mỗi tập con đếm được I ⊆ Λ

(3) {Mα} là A-nội xạ với α ∈ Λ và lấy phần tử bất kì mi ∈ Mαi, i ∈

(2) Mỗi R-môđun xạ ảnh PR, tồn tại các tập hợp A1, A2, , Am saocho PR ∼= e

1R(A1 ) ⊕ ⊕ emR(Am )

2.1 Một số khái niệm và ví dụ

Trước hết chúng ta định nghĩa khái niệm môđun bất biến lũy linh.Định nghĩa 2.1.1 Cho M là một R-môđun phải M được gọi là bấtbiến lũy linh nếu f (M ) ≤ M với mọi tự đồng cấu lũy linh f của E(M ).Chúng ta gọi một vành R là bất biến lũy linh phải nếu RR là môđunbất biến lũy linh

Chúng ta chú ý rằng nếu f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M), thì

1 + f là một tự đẳng cấu của E(M )

Ví dụ 2.1.2 Đặt Q := Q∞

i=1Fi trong đó Fi := K là một trường với tất

cả i ∈ N, T là vành con của Q được sinh bởi Q∞

i=1Fi và 1Q Khi đó T làvành giao hoán, không là vành tự nội xạ Hơn nữa, Q là một bao nội xạcủa T như một T-môđun

Thật vậy, chúng ta sẽ chứng minh dựa vào số phần tử của K.(i) Nếu |K| > 2, thì T là bất biến lũy linh mà nó không là bất biếnđẳng cấu Thật vậy, |K| > 2 nên ta có thể chọn một phần tử a0 = (ai)i∈N

và ai 6= 0, ∀i ∈ N, a0 6= 1Q

Xét ánh xạ γ : Q →Q

x 7→ a0x

Khi đó γ là một T-tự đẳng cấu của QT, vì ai 6= 0, ∀i ∈ N nên tồn

tại b0 ∈ Q sao cho a0b0 = b0a0 = 1Q

T và cũng có

φ(φ(1Q)e1) = φ(u1, 0, )φ(1)φ(1Q)e1 = (φ(1Q))2e1 = φ(u1, 0, )

Bây giờ, với bất kì x ∈ T, ta có

φ(x) = φ(1Q)x = 0 Vì vậy φ(T ) = 0 ≤ T

(ii) Nếu |K| = 2, thì T là bất biến đẳng cấu theo [5, ví dụ 9].Định nghĩa 2.1.3 Một phần tử của một vành được gọi là nil clean nếu

nó là một tổng của một lũy đẳng và một lũy linh và một vành được gọi

là nil clean nếu mọi phần tử của nó là nil clean

Hệ quả 2.1.4 Cho một môđun M và giả sử rằng End(E(M)) là vành nilclean mạnh Khi đó M là một môđun bất biến lũy linh khi và chỉ khi M làmột môđun bất biến đẳng cấu.

Nếu End(E(M)) là nil clean mạnh, thì mỗi tự đẳng cấu của End(E(M))đều có dạng 1 + ϕ với ϕ là tự đồng cấu lũy linh của E(M) Ta có (1 +ϕ)(M ) ≤ (M ) + ϕ(M ) ≤ M + M = M Vậy M là bất biến đẳng cấu.Định nghĩa 2.1.5 Chúng tôi kí hiệu N(R) là tập các phần tử lũy linhcủa R và U(R) là tập các phần tử khả nghịch của R Một phần tử x ∈ R

được gọi là unipotent nếu 1 − x là lũy linh

Định nghĩa 2.1.6 ([2]) Một vành R được gọi là UU-vành nếu tất cả cácphần tử là unipotent Nghĩa là U (R) ⊆ 1 + N (R), và do đó 1 + N (R) =

U (R)

Ví dụ 2.1.7 Cho môđun M, giả sử rằng End(E(M)) là một UU-vành.Khi đó M là môđun bất biến lũy linh nếu và chỉ nếu M là bất biến đẳngcấu Chúng ta chú ý rằng nếu End(E(M)) không có ảnh đồng cấu đẳngcấu với F2 thì M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là bất biến đẳng cấu

Ví dụ 2.1.8 Mỗi miền nguyên giao hoán là một môđun bất biến lũy linhtrên chính nó Hơn nữa, nếu R không phải là trường, thì R không phải

là bất biến đẳng cấu

Thật vậy, cho R là một miền nguyên giao hoán và Q là một trườngcác thương trong vành R Khi đó, Q là một bao nội xạ của R như mộtR-môđun Điều này chứng tỏ rằng, tự đồng cấu không là tự đồng cấu lũylinh duy nhất của QR Do đó, R là bất biến lũy linh

Giả sử rằng R không phải là trường Khi đó tồn tạia0 ∈ Qvàa0 ∈ R/ Xét ánh xạ γ : Q → Q

x 7→ a0x.Khi đó γ là một R-tự đẳng cấu của QR và γ(1) = a0 ∈ R/ Do đó Rkhông phải là bất biến đẳng cấu

Ta cũng có vành Z các số nguyên và vành K[x1, x2, , xn] của tất cảcác đa thức trên một trường K là các vành bất biến lũy linh mà khôngphải bất biến đẳng cấu.

2.2 Một số tính chất của môđun bất biến lũy linh

Định lý 2.2.1 Mỗi môđun bất biến lũy linh là một C3-môđun

Chứng minh Cho M là một môđun bất biến lũy linh và A, B là hai hạng

tử trực tiếp của M với A ∩ B = 0

Vì A, B là hai hạng tử trực tiếp của M nên ta có thể viếtM = A⊕A0

và M = B ⊕ B0, trong đó A0, B0 là các môđun con nào đó của M

Xét phép chiếu chính tắc π1 : M → A và π2 : M −→ A0 Khi đó tồntại một đẳng cấu φ : B −→ π2(B)

Đặt ϕ = (π1)|B ◦ (φ)−1 : π2(B) −→ A Vì vậy, tồn tại một đồngcấu ϕ : E(A0) −→ E(A) sao cho ϕ là một mở rộng của ϕ Chú ý rằng

E(M ) = E(A0) ⊕ E(A)

Xét ánh xạ ψ : E(M ) −→ E(M ) xác định bởi ψ(x + y) = ϕ(x), vớimọi x ∈ E(A0) và y ∈ E(A) ψ|E(A) = ϕ và ψ2 = 0 Vì M là môđun bấtbiến lũy linh nên ψ(M ) ≤ M Hơn nữa, với mỗi phần tử a ∈ A0, ta có

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh, E(M ) =

E1 ⊕ E2 và π1 : E(M ) −→ E1 là phép chiếu chính tắc Khi đó π1(M ) làmột môđun bất biến lũy linh Hơn nữa, lớp các môđun bất biến lũy linh làđóng dưới hạng tử trực tiếp

Chứng minh Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh và E(M ) =

E1⊕E2 Gọiπ1 : E(M ) −→ E1 là phép chiếu chính tắc Khi đóπ1(M ) ≤e

E1 và E1 là bao nội xạ của π1(M ) Cho f : E1 −→ E1 là một đồng cấulũy linh Suy ra đồng cấu π : E(M ) −→ E(M ) xác định bởi π(x + y) =

f (x), ∀x ∈ E1, y ∈ E2 là một đồng cấu lũy linh

Mặt khác với mọi x ∈ π1(M ), ∃x ∈ M và x2 ∈ E2 mà x = x1 +

x2 Điều đó chứng tỏ rằng π(x) = f (x1) ∈ M ∩ E1 ≤ π1(M ) Vì vậy

f (π(M )) ≤ π1(M )

Hệ quả 2.2.3 Giả sử M là một môđun bất biến lũy linh và E(M ) =

E1 ⊕ E2 Khi đó M ∩ Ei là môđun bất biến lũy linh, với i = 1, 2

Định lý 2.2.4 Cho M là môđun bất biến lũy linh Khi đó, chúng ta có(1) Nếu M = M1 ⊕ M2, và f : E(M1) −→ E(M2) là đồng cấu thì

f (M1) ≤ M2, tức là M1 và M2 nội xạ tương hỗ

(2) Nếu M = M1 ⊕ M2 và g : M1 −→ M2 là một đồng cấu thì

g(M ∩ M1) ≤ M ∩ M2

Chứng minh (1) Chú ý rằng E(M ) = E(M1) ⊕ E(M2)

Gọi f : E(M1) −→ E(M2) là một đồng cấu Xét s := if π, trong đó

i : E(M2) −→ E(M ) là phép nhúng chính tắc và π : E(M ) −→ E(M1)

là phép chiếu chính tắc Khi đó, ta có

s(EM )) = (if π(E(M ))

= (if )(E(M1)) ≤ i(E(M2)) = E(M2)

và s2(E(M )) ≤ s(E(M2)) = (if π)(E(M2)) = 0

Điều này có nghĩa là s2 = 0 Vì M là bất biến lũy linh, nên ta thuđược s(M ) ≤ M

Như một hệ quả của định lý trên, chúng ta có kết quả sau:

Hệ quả 2.2.5 Một môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M ⊕ M là bấtbiến lũy linh.

Định lý 2.2.6 Cho M là R-môđun

(1) Nếu M là môđun bất biến lũy linh và A ⊕ B ≤e M thì bất kỳđồng cấu nào từ một môđun con của A đến B đều có thể mở rộng đếnmột tự đồng cấu lũy linh của M

(2) Các điều kiện sau là tương đương:

(a) M là bất biến lũy linh

(b) Mọi đồng cấu từ một môđun con cốt yếu của M vào M có một

tự đồng cấu lũy linh mở rộng của E(M ), khi đó nó là mở rộng một tựđồng cấu lũy linh của M

(c) Đối với bất kỳ tự đồng cấu lũy linh nào của E(M ), (1 + f )(M ) =M

Chứng minh (1) Giả sử rằng A ⊕ B ≤e M và f : H −→ B với H ≤ A.Khi đó E(M ) = E(A) ⊕ E(B) và tồn tại đồng cấu g : E(A) −→ E(B)

(2) (a) =⇒ (b) Gọi f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M ) và đặt

N := f−1(M ) ∩ M Rõ ràng, f (N ) ≤ M và N là một môđun con cốt yếucủa M Xét g : N −→ M là ánh xạ xác định bởi g(n) = f (n), ∀n ∈ N.Theo (2), g mở rộng đến một tự đồng cấu lũy linh, gọi h, của M Lấy

m ∈ (h − f )(M ) ∩ M và viết m = (h − f )(m1) với m1 ∈ M Khi đó ta

có f (m1) = h(m1) − m ∈ M, do đóm1 ∈ f−1(M )T

M = N Bây giờ

h(m1) = g(n) = f (m1) = 0 Điều này cho thấy(h − f )(M ) ∩ M = 0 Và

từ đó ta suy ra được M là bất biến lũy linh

(c) =⇒ (a) điều này là hiển nhiên

(a) =⇒ (c) Giả sử f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M ), tức

là có một số tự nhiên k mà fk = 0 Theo nhận xét trước đây, ta có

Chứng minh Đặt f : H −→ B là một đồng cấu với H ≤ A Theo Định

lý 2.2.6, tồn tại một tự đồng cấu lũy linh φ của M mà φ|H = f Nhưng

A là một môđun con bất biến lũy linh của M, chúng ta có φ(A) ≤ A Do

đó f (H) ≤ B ∩ A và cũng có f = 0

Bổ đề 2.2.8 Giả sử rằng bao nội xạ của một môđun bất biến lũy linh M

có phân tích E(M ) = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 Nếu tồn tại U ≤ E1, V ≤ E2 mà

U ∼= V và U ⊕ V ≤e E1⊕ E2 thì M = (E1∩ M ) ⊕ (E2∩ M ) ⊕ (E3∩ M )

Chứng minh Giả sử tồn tại U ≤ E1,V ≤ E2 sao cho U ∼= V vàU ⊕V ≤e

E1⊕ E2 Đặt E10 = E(U ), E20 = E(V ) Khi đó E10 ⊕ E20 = E1⊕ E2 và tồntại một đẳng cấu f : E10 −→ E20 Điều này suy ra E(M ) = E10 ⊕ E20 ⊕ E30

Rõ ràng φ1, φ2 là các tự đồng cấu lũy linh của E(M ) Vì M là bất biếnlũy linh nên φ1(M ) ≤ M và φ2(M ) ≤ M Điều này suy ra

Từ bổ đề trên ta có kết quả sau

Định lý 2.2.9 Cho M là một môđun bất biến lũy linh và E(M ) =

Định lý 2.2.12 Cho M là một môđun bất biến lũy linh Khi đó

(1) M là môđun vô hạn hoàn toàn khi và chỉ khi E(M )là một môđun

vô hạn hoàn toàn.

(2) M là môđun hữu hạn trực tiếp khi và chỉ khi E(M ) là một môđunhữu hạn trực tiếp

Chứng minh (1) Giả sử rằng E(M ) = E1⊕ E2 với E1 ∼= E

2 Theo Định

lý 2.2.9, M = M ∩ E1 ⊕ M ∩ E2 Hơn nữa, M ∩ E1 và M ∩ E2 là nội xạtương hỗ và E(M ∩ E1) = E1, E(M ∩ E2) = E2 Điều này chỉ ra rằng

M ∩ E1 ∼= M ∩ E

2 Do đó M là vô hạn hoàn toàn

(2) Giả sử rằng E(M ) không phải là môđun hữu hạn trực tiếp Khi

đóE(M ) = A⊕B, trong đóAlà môđun vô hạn hoàn toàn và B là môđunhữu hạn trực tiếp Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng A = A1⊕ A2

với A1 ∼= A

2 Theo Định lý 2.2.9, ta có M = (M ∩ A1) ⊕ (M ∩ A2) ⊕ (M ∩B) Mặt khác, M ∩ A là một môđun bất biến lũy linh theo Hệ quả 2.2.7

Do đó M ∩ A = (M ∩ A1) ⊕ (M ∩ A2), và vì vậyM = (M ∩ A) ⊕ (M ∩ B).Mặt khác, vì A là vô hạn hoàn toàn nên M ∩ A cũng vô hạn hoàn toàntheo (1) Từ đó suy ra M không phải là môđun hữu hạn trực tiếp Vậy

M là vô hạn hoàn toàn

Hệ quả 2.2.13 Bất kỳ môđun bất biến lũy linh M nào cũng có sự phântích M = M1⊕ M2, trong đó M1 là hữu hạn trực tiếp, M2 là vô hạn hoàntoàn, M1 và M2 nội xạ tương hỗ và trực giao

Chú ý 2.2.14 Nếu M là môđun bất biến lũy linh, thì M = X ⊕ Y, trong

đó X là tựa nội xạ, Y không chính phương và X, Y nội xạ tương hỗ vàtrực giao

Chú ý 2.2.15 Giả sử M là một môđun bất biến lũy linh không chínhquy, với sự phân tích M = X ⊕ Y như trong Chú ý 2.2.14 Khi đó:(1) Bất kì môđun con U, V củaY với U ∩V = 0 thìHom(U, V ) = 0

(2)Hom(X, Y ) = Hom(Y, X) = 0

Chú ý 2.2.16 Mỗi môđun con đóng của môđun M không suy biến làmột môđun con bất biến hoàn toàn của M