Phổ nối suy rộng và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số banach

Do đó vấn đề đợc đặt ra là với điều kiện nào thì tồn tạicác đồng cấu phức trên đại số Banach không giao hoán, Vấn dề này đ- ợc nhiều nhà toán học quan tâm nh R.E.Harte, V.M.Ller, A.Solty

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

=====  =====

Lê thị hơng lộc

phổ nối suy rộng và sự tồn tại

các đồng cấu phức trên đại số Banach

phổ nối suy rộng và sự tồn tại

các đồng cấu phức trên đại số Banach

Chơng 2 Phổ nối suy rộng và sự tồn tại đồng cấu phức

14

2.2 Phổ nối suy rộng và sự tồn tại các đồng cấu phức………

đại số Banach

Nh đ biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấuã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

phức Tuy nhiên trên đại số Banach không giao hoán điều đó khôngcòn đúng nữa Do đó vấn đề đợc đặt ra là với điều kiện nào thì tồn tạicác đồng cấu phức trên đại số Banach không giao hoán, Vấn dề này đ-

ợc nhiều nhà toán học quan tâm nh R.E.Harte, V.M.Ller, A.Soltysiak,

…

Trong [10], A.Soltysiak đ giới thiệu và nghiên cứu các tính chấtã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

của phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối điểm xấp xỉ, phổ nối suy rộng

của các phần tử trong đại số Banach không giao hoán Thông qua cáctính chất của các loại phổ nói trên để tìm ra điều kiện cần và đủ đểmột đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức.

Trong [1] và [2], đ nghiên cứu tính chất phổ nối, phổ nối trái,ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

phổ nối phải, phổ nối xấp xỉ trái, phổ nối xấp xỉ phải, phổ nối xấp xỉcủa một họ các phần tử trong đại số Banach và sự tồn tại các đồng cấuphức trên đại số Banach không giao hoán

Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo nghiêncứu phổ nối suy rộng và sự tồn tại đồng cấu phức trên đại số Banachkhông giao hoán Với mục đích đó luận văn đợc viết thành hai chơng

Chơng I Phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach.

Mục 1 của Chơng I dành cho việc trình bày một số khái niệm vàkết quả cơ bản về đại số Banach và đồng cấu phức cần dùng trongluận văn

Trong mục thứ 2, dựa vào tài liệu tham khảo [1] chúng tôi trìnhbày một số tính chất cơ bản của phổ nối và sự tồn tại các đồng cấuphức cần dùng cho chơng sau

Trong mục thứ 3, dựa vào tài liệu tham khảo [2] chúng tôi trìnhbày một số tính chất cơ bản của phổ nối xấp xỉ và sự tồn tại các đồngcấu phức cần dùng cho chơng sau

Chơng II Phổ nối suy rộng và sự tồn tại đồng cấu phức.

Chơng này là nội dung chính của luận văn Trong mục 1, đầutiên dựa vào tài liệu tham khảo chúng tôi trình bày khái niệm phổ nốisuy rộng và đa ra một số các ví dụ về phổ nối suy rộng ( Ví dụ 2.1.4).Sau đó chúng tôi trình bày các khái niệm phổ song giao hoán, phổ nốilồi hữu tỉ và một số tính chất của chúng Từ đó xét các mối quan hệgiữa phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ, phổ nối suy rộng, phổ nối lồi hữu tỉ,phổ song giao hoán Chứng minh họ các phổ nối suy rộng trên đại số

Trong mục 2, dựa vào tính chất của phổ nối suy rộng, chúng tôinghiên cứu sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach khônggiao hoán Chứng minh chi tiết các kết quả đ có trong [10].ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

Trong mục 3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa sự tồn tại

đồng cấu phức trên đại số Banach A với sự tồn tại các đồng cấu phứctrên các đại số con hữu hạn sinh của nó

Luận văn đơc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớngdẫn tận tình của Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chânthành đến tất cả các Thầy, Cô giáo trong tổ giải tích, Khoa Toán, KhoaSau đại học trờng Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè đ động viên,ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

giúp đỡ tác giả trong thời gian qua Tuy nhiên, do điều kiện thời giannăng lực còn hạn chế luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả rất mong đợc quý Thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến

Vinh, Tháng 12 Năm 2007

Tác giả

Chơng 1

Phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng

cấu phức trong đại số banach.

Chúng ta đ biết rằng, trên một đại số Banach giao hoán luôn tồnã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

tại một đồng cấu phức Tuy nhiên trên đại số Banach không giao hoán

liệu tham khảo, chúng tôi đa ra Định nghĩa và một số tính chất củaphổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại

số Banach không giao hoán

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơbản về đại số Banach và các đồng cấu phức dùng trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa Giả sử A là không gian vectơ trên trờng số

1) f ( gh) = ( fg ) h,

2) f ( g + h) = fg + fh,

( g + h)f = gf + hf,

3) (f )g = f (g) = (fg), với mọi g, f, h  A và mọi   

Ta gọi A là một đại số phức (hay đại số).

Một đại số phức A nếu thỏa m n thêm các điều kiệnã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

4) A là một không gian Banach với chuẩn ||.||,

5) || || || || || ||f g  f g với mọi f, g  A,

thì đợc gọi là đại số Banach.

Đại số Banach A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao hoán, tức là fg = gf với mọi f, g  A.

Đại số Banach A đợc gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử,

ta ký hiệu là e sao cho

ef = fe = f với mọi f  A.

Giả sử A có đơn vị và f  A f đợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại g

 A sao cho fg = gf = e Khi đó ta ký hiệu g = f–1

Các đại số Banach ta xét sau này luôn giả thiết là có đơn vị

1.1.2 Định nghĩa Một hàm tuyến tính

 : A  

đợc gọi là đồng cấu phức nếu nó là nhân tính, nghĩa là

 (ab) =  (a)  (b) với mọi a, b  A,

và  (e) = 1, với e là phần tử của đơn vị A.

1.1.3 Đa thức Giả sử P( z1, , z n ) là một đa thức n biến phức

z1, , z n với các hệ số lấy trong  Trong đa thức P( z1, , z n ) thay z1, ,

z n bởi 1, , n thuộc đại số Banach A tơng ứng ta đợc P(1, , n )  A.

Ta gọi P(1, , n) là một đa thức của các biến 1, , n  A với các hệ

số phức Sau nay nếu không sợ hiểu nhầm thì ta nói gọn P(1, , n) là

một đa thức n biến hay gọn hơn nữa là một đa thức.

Giả sử E  A ta ký hiệu P n (E) là tập tất cả các đa thức n biến

1, , n thuộc E Mỗi phần tử P  P n (E) đợc viết duy nhất một cách

mà a  x thì a  x Phần tử a  X đợc gọi là phần tử lớn nhất của X nếu x  a với mọi x  X.

1.1.5 Bổ đề Zorn Giả sử X   và  là một thứ tự trên X Nếu

mọi tập con đợc sắp tuyến tính của X đều có biên trên thì trong X có phần tử cực đại.

1.2 Phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối và sự tồn tại các

nối phải, phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ trái, phải, phổ nối điểm xấp xỉcủa một số hữu hạn các phần tử trong một đại số Banach và nghiên cứucác tính chất của chúng Từ đó, A Soltysiak đ đã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu a ra điều kiện cần và

đủ để cho một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức

Trong mục này, dựa vào [1] chúng tôi trình bày phổ nối trái, phổnối phải, phổ nối của một họ tùy ý các phần tử trong một đại sốBanach và trình bày lại một số kết quả cần dùng cho chơng sau(chúng ta có thể xem chứng minh của các kết quả này trong [1])

Từ nay về sau, nếu không giải thích gì thêm thì luôn hiểu A là đại

số Banach không giao hoán, có đơn vị, đợc ký hiệu là e.

1.2.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử A là đại số Banach,  là tập chỉ số

trong đó H() là họ tất cả các tập con hữu hạn của 

Ký hiệu phổ nối trái của E là  l (E).

Phổ nối phải r (E) đợc định nghĩa một cách tơng tự.

Ta gọi phổ nối của E là tập  H (E) =  l (E)   r (E) Sau này, nếu không sợ hiểu nhầm thì ta viết đơn giản (E) thay cho  H (E).

1.2.2 Nhận xét Nếu A là đại số Banach giao hoán, thì

l (E) =  r (E) =  H (E).

1.2.3 Mệnh đề ([1]) 1) Nếu   A, thì  H ( ) =  ( ), trong đó

 ( ) = {    :  –  không khả nghịch } ( phổ của  ).

2) Nếu F = { i : i   1 }, E = { i : i  }  A, 1  , thì

p (H (E))   H (F), trong đó p là phép chiếu từ   1

{ 0 i : i  }   l ({i –  i : i  }).

Chú ý Kết quả của Mệnh đề 1.2.4 cũng đúng cho phổ nối phải,

phổ nối

Ta đ biết rằng phổ ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu  () của phần tử  trong đại số Banach là

một tập compact Vấn đề đợc đặt ra là kết quả tơng tự còn đúng cho

phổ nối của một họ tùy ý các phần tử trong A hay không Định lý sau

đây giải quyết vấn đề này

1.2.5 Định lý ([1]) Phổ nối, phổ nối trái, phổ nối phải của một

họ tùy ý các phần tử { i : i  }  A là các tập compact.

1.2.6 Định lý ([1]) Giả sử S = { i : i  } là họ các phần tử sinh của đại số Banach A Khi đó

l (S) =  r (S) =  H (S) = {( ( i))iA :   M(A)}, trong đó M(A) kí hiệu là không gian các đồng cấu phức trên đại số Banach A.

1.2.7 Định lý ([1]) Đại số Banach A có đồng cấu phức khi và chỉ

khi với mọi tập chỉ số , với mọi họ E = { i : i  }  A đều có  H (E)

(l (E) hoặc  r (E)) khác rỗng.

1.3 Phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức

Trong mục 2 Chơng 1, từ sự nghiên cứu tính chất của phổ nối taxét điều kiện cần và đủ để tồn tại các đồng cấu phức trên đại sốBanach không giao hoán Trong mục này, vấn đề tơng tự nh thế đợcxét cho phổ nối điểm xấp xỉ

1.3.1 Định nghĩa ([2]) Giả sử A là một đại số Banach, 1, ,  n

là phổ nối điểm xấp xỉ trái của (1, , n )

Đôi khi ta viết T(1 , , n ) hay TA (1 , , n )

Phổ nối điểm xấp xỉ phải của (1, ,  n) đợc định nghĩa tơng tự và

1.3.4 Mệnh đề ([2]) Phổ nối điểm xấp xỉ trái, Phổ nối điểm xấp

xỉ phải và phổ nối điểm xấp xỉ của (1, ,  n ) là các tập compact.

1.3.5 Mệnh đề ([2]) Giả sử A = L( ) là đại số các ánh xạ tuyến

tính liên tục từ  vào  Khi đó

1) Với mọi f  A ta có

 ( f ) =  H ( f ) =  ( f ) =  r ( f) = T( ) =f Tr( ) = f T ( )f = { f(1)} 2) Với f1, , f n  A ta có

1.3.7 Định nghĩa ([2]) Giả sử S là tập con của A S đợc gọi là

bao gồm các ớc tôpô liên kết trái (tơng ứng phải) của O nếu với mọi tập

con hữu hạn { 1, ,  n } của S đều tồn tại d y { ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu x k }  A sao cho

||x k|| 1 với mọi k và lim || j k|| 0

n = 1, 2, , thì A có đồng cấu phức F với kerF bao gồm các ớc tôpô liên kết trái (tơng ứng, liên kết phải) của O.

1.3.9 Hệ quả ([2]) Phổ nối điểm xấp xỉ T ( , ,1 n)   với mỗi tập hữu hạn {1, ,  n } của A khi và chỉ khi tồn tại một đồng cấu

phức F trên A sao cho kerF bao gồm hoặc là các ớc tôpô liên kết trái hoặc là liên kết phải của O.

Chơng 2

phổ nối suy rộng và sự tồn tại các đồng

cấu phức trong đại số banach.

Trong chơng này, đầu tiên ta nghiên cứu khái niệm phổ nối suyrộng và các tính chất cơ bản của nó Sau đó, dựa vào phổ nối suy rộng

ta nghiên cứu sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach

2.1 phổ nối suy rộng và các tính chất cơ bản của nó

Trong chơng này, chúng ta đa vào và làm quen với một lớp lớncủa phổ nối

2.1.1 Định nghĩa Giả sử A là một đại số Banach, và  là hàm

đặt tơng ứng mỗi tập hữu hạn 1, ,n các phần tử của A với một

tập con compact của n

 Hàm  đợc gọi là phổ nối suy rộng trên A,

nếu nó thỏa m n ba điều kiện sau :ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

với mọi bộ các đa thức n biến p = (p1, , p m)

(3)   ( , ,1 n) khi các phần tử 1, ,n là đôi một giao hoán.Chúng ta ký hiệu ( )A là tập tất cả các phổ nối suy rộng trong

3) Tiên đề (3) là để loại trừ trờng hợp  là hàm rỗng tức là hàmlấy duy nhất một giá trị là tập hợp rỗng Nó cũng kéo theo  ( ) 

Chứng minh. Ta chứng minh phổ nối trái  thỏa m n các ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

điều kiện (1),(2),(3) , trong Định nghĩa 2.1.1

 

Thật vậy, giả sử {1, , n}   (E), ta có 

  

+) Từ Định lý ánh xạ phổ đối với phổ nối trái (1.2.8) suy ra thỏa

m n điều kiện (2) của Định nghĩa.ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

+) Giả sử các phần tử 1, , n là đôi một giao hoán Khi đó, theo[5]  ( 1, , n) khác rỗng

Vậy  là một phổ nối suy rộng.

Việc chứng minh đối với r và  đợc tiến hành tơng tự

2) Phổ nối điểm xấp xỉ trái T, phổ nối điểm xấp xỉ phải Tr vàphổ nối điểm xấp xỉ T là phổ nối suy rộng

Chứng minh. Ta chứng minh phổ nối điểm xấp xỉ trái Tl thỏa

m n (1),(2),(3) ở trên.ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

+) Giả sử (1, , n)  T(1, , n) Khi đó theo Mệnh đề 2.1.2 [2]

+) Từ Định lý ánh xạ phổ 1.3.6, suy ra T thỏa m n điều kiện (2)ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

của Định nghĩa

+) Để chứng minh T thỏa m n điều kiện (3) đầu tiên ta thấyã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu

rằng nếu B là đại số con của A và (1, , n )  B n thì

T là kí hiệu phổ nối điểm xấp xỉ trái của (1, ,

n ) xét trong B Điều này đợc suy trực tiếp từ Định nghĩa phổ nối điểm

xấp xỉ

Bây giờ giả sử (1, , n ) là các phần tử trong A, đôi một giao hoán Gọi B là đại số con của A sinh bởi 1, , n Khi đó B là đại số Banach giao hoán Do đó B có đồng cấu phức Theo Hệ quả 1.3.9

(1, , n)  {1, , n}”

Trong [9] đ chứng minh ã biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu ”(1, , n) là phổ nối suy rộng

2.1.5 Định nghĩa Giả sử 1, , n là các phần tử của A Đặt

R(1, , n) = {(1, , n)  n

 : p(1, , n )   ( p(1, , n)) với mọi

p  P n }, trong đó P n là tập tất cả các đa thức n biến

Ta gọi R(1, , n ) là phổ nối lồi hữu tỉ của bộ n- phần tử (1, , n).Một câu hỏi đặt ra là phổ nối lồi hữu tỉ có phải là phổ nối suyrộng hay không ? sau đây sẽ chứng tỏ câu hỏi này có câu trả lời khẳng

định

2.1.6 Định nghĩa Với hai phổ nối suy rộng  và 1  khác nhau2

trên đại số Banach A Chúng ta viết   1  nếu2

 1

 (1, , n)   (2 1, , n)với mỗi một tập con hữu hạn (1, , n ) của A.

Quan hệ “ ” này là một thứ tự bộ phận trên tập hợp ( )A

2.1.7 Mệnh đề Phổ nối lồi hữu tỉ  R là lớn nhất (theo quan hệ 

Định nghĩa ở trên), trong tất cả các phổ nối suy rộng trên đại số Banach A.

Ngoài ra, chúng ta có  (1, , n)  R(1, ,  n ) với mọi phổ nối

suy rộng  trong A Thật vậy, nếu (1, , n)   (1, , n) từ (1) và(2) ta có

p(1, , n )   ( p(1, , n )   ( p(1, , n)),

với mọi p  P n Lúc đó (1, , n)  R(1, , n) và chúng ta kết luận

R là phổ nối suy rộng lớn nhất

2.1.8 Định nghĩa Cho K là tập compact của n

 Ta gọi bao lồi

(1, , n)  h r (K) khi và chỉ khi p()  P(K) với mọi p  P n

Chứng minh. Điều kiện cần Giả sử tồn tại pP n sao cho p() 

P(K) Khi đó p – p() là một đa thức mà p(z) – p()  0 với mọi z  K.

2.1.11 Hệ quả Nếu 1, , n là các phần tử đôi một giao hoán của đại số Banach A, thì  R(1, , n ) là bao lồi hữu tỉ của phổ Harte

 (1, , n)

Chứng minh. Giả sử (1, , n)  R(1 , ,  n ) Khi đó theo Định

nghĩa ta có

p( 1, , n )   ( p(1, , n )) với mọi p  P n Theo Bổ đề 2.1.10

 (p(1, , n )) = p( (1, , n))

Do đó

p(1, , n )  p( (1, , n )) với mọi p  P n Theo Bổ đề 2.1.9 ta có

(1, , n )  h r ( (1, , n))

Ngợc lại, giả sử (1, , n )  h r ( (1, , n)) Theo Bổ đề 2.1.9,

p(1, , n )  p( (1, , n )) với mọi p  P n Theo Bổ đề 2.1.10,

p(1, , n )   (p(1, , n )) với mọi p  P n

Do đó

(1, , n)  R(1, , n)

2.1.12 Nhận xét Trong Hệ quả 2.1.11, nếu bỏ điều kiện các

phần tử 1, , n đôi một giao hoán thì kết quả không còn đúng nữa.

Ví dụ sau đây chứng minh điều đó

Giả sử A là đại số các ma trận vuông cấp 5 với các số hạng phức Lấy a1, a2  A với

Ta có a1 = a2 = 0 Do đó  (a1) = (a2) = {0} Thật vậy, nếu 0   (a1),

thì tồn tại a  A sao cho aa1 = e Từ đó 0 = aa1 = ea1 = a1 và 0 = aa1 =

ea1 = a1 Đây là điều mâu thuẫn vì a1  0 Mặt khác, với mọi   0 đều

tồn tại (a1 – )–1, tức là    (a1) Từ đó suy ra  (a1) = {0} Chứng

minh tơng tự cho  (a ) = {0}