Phổ nối và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số banach không giao hoán

Đồng cấu phức trên đại số con của các đại số các toán tử...10 Chơng II - Phổ nối trái , phổ nối phải, phổ nối và các đồng cấu phức.. Chơng 1, giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan

Mục lục

Trang

Mở đầu 1

Chơng 1 - Các ví dụ về đại số Banach không giao hoán có các đồng cấu phức 1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.2 Đồng cấu phức trên đại số con của các đại số các toán tử 10

Chơng II - Phổ nối trái , phổ nối phải, phổ nối và các đồng cấu phức 2.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản 18

2.2 Định lý ánh xạ phổ 23

Kết luận 33

tài liệu tham thảo 34

Mở đầu

Lý thuyết phổ của các toán tử tuyến tính liên tục hay tổng quát hơn phổ của các phần tử trong một đại số Banach có nhiều ứng dụng trong giải tích phức và giải tích hàm Nó cho chúng ta hiểu rõ hơn cấu trúc của chính đại số

đó và mô tả tờng minh hơn cấu trúc của không gian các ideal cực đại cũng nh

sự tồn tại hay không các đồng cấu phức trên đại số Banach

Trong [2] , A.Soltysiak đã giới thiệu các khái niệm phổ nối trái, phổ nốiphải, phổ nối của hữu hạn các phần tử trong đại số Banach Một vấn đề đợc

đặt ra một cách tự nhiên là, có thể mở rộng các khái niệm, các kết quả ở trêncho một họ tuỳ ý các phần tử hay không Chúng tôi đã định nghĩa phổ nối trái,phổ nối phải và phổ nối cho một họ tuỳ ý các phần tử và chứng minh các kếtquả trong [2] vẫn còn đúng trong trờng hợp này.Với mục đích trên luận văn đ-

ợc viết thành 2 chơng

Chơng 1, giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến luận văn, sau

đó đa ra một số ví dụ về đại số Banach không giao hoán có các đồng cấuphức.Từ đó đa ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại đồng cấu phức trên một đại

số con của đại số các toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert hữuhạn chiều

Chơng 2, trình bày khái niệm phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối của một

họ tuỳ ý các phần tử trong đại số Banach và chứng minh một số kết quả tơng

tự nh trong [2] Kết quả chính của chơng là chứng minh một số tính chất cơbản của phổ nối và mối quan hệ giữa phổ nối và đồng cấu phức, đặc biệt là

điều kiện cần và đủ để một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng đại học Vinh dới sự ớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin đợc bày

h-tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy giáo hớng dẫn

Tác giả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn chân thành cuả mình tới tất cả cácthầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học – Trờng đạihọc Vinh và các bạn bè đồng nghiệp đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tácgiả trong suốt thời gian học tập và làm luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2005

Tác giả

Các đại số Banach luôn đợc giả thiết là đại số Banach trên trờng sốphức C Phần tử đơn vị của đại số Banach A đợc ký hiệu là 1A hoặc là 1.Chuẩn của A đợc ký hiệu bởi . ( nếu không nói gì thêm ).

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Giả sử A là một không gian véctơ trên trờng sốphức C, đợc trang bị một phép nhân trong AxA  A thoả mãn các điều kiện f,g fg

1) fgh  fgh,

2) fghfg fh; ghf gf hf ,

3)fg fg fg,

với mọi f,g,hA và mọi  C Ta gọi A là một đại số phức ( hay đại

số).

Một đại số phức A nếu thoả mãn thêm các điều kiện

4) A là một không gian Banach với chuẩn . ,

5) f.g  f . g với mọi f,gA

thì A đợc gọi là đại số Banach.

Đại số Banach A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao hoán

tức là

gf

fg  với mọi f,gA

Đại số Banach A đợc gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử, ta

kí hiệu là 1 sao cho

f f

f  1 

1 với mọi f  A.Giả sử A có đơn vị và f  A Khi đó f đợc gọi là khả nghịch nếu tồn

tại g  A sao cho fg gf  1

Các đại số Banach ta xét sau này luôn giả thiết là có đơn vị

1.1.2 Định lí Giả sử A là đại số Banach x  A với x  1 Khi đó

n n

x

x  và x  1nên chuỗi 1 2

nên từ tính liên tục của phép nhân ta có s1  x1  xs  1.

Vì vậy tồn tại nghịch đảo của 1  x và 1  x1 s

2) Giả sử x là phần tử bất kì thuộc A-1 Khi đó tồn tại x  1 A sao cho

1.1.4 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach giao hoán Tập con J

của A đợc gọi là ideal nếu thoả mãn các điều kiện

1) J là một không gian vectơ con của A,

2) x.yJ , với mọi x  A, với mọi y  J

Nếu J A,J  0 thì J đợc gọi là ideal thực sự của A

Một ideal thực sự mà không bị chứa trong một ideal thực sự nào của A

đợc gọi là ideal cực đại.

1.1.5 Mệnh đề Giả sử A là đại số Banach Khi đó

1) Nếu J là ideal của đại số A thì J cũng là ideal của đại số A

2) Nếu J là ideal thực sự thì J cũng là ideal thực sự của đại số Banach

A

3) Nếu  :A  C là đồng cấu phức thì Ker là ideal cực đại của đại số Banach A

Chứng minh 1) Rõ ràng J là một không gian véctơ con của A

Với mọi xA,yJ ta cần chứng minh xy  J Thật vậy, vì y  J nêntồn tại  y n J sao cho y n y n





lim .Do  y n J , J là ideal nên xy nJ.Vìphép nhân trái liên tục nên ta có xy n xy n





lim .Từ đó suy ra xy  J.

Vậy J là ideal của đại số Banach A

2) Giả sử J là ideal thực sự của đại số Banach A Ta chứng minh J

 là ideal cực đại của A

1.1.6 Đại số thơng Giả sử A là một đại số Banach có đơn vị và J làmột ideal đóng, thực sự của A Khi đó

a J a A

là một không gian tuyến tính với các phép toán đợc xác định bởi

aJ  bJabJ

aJ aJ

 với mọi a,bA, với mọi  C Mặt khác, vì A là không gian Banach và J đóng nên A J là không gian

Banach với chuẩn

aJ  inf a x :xJ với mọi a  J

Ta gọi A J là không gian thơng của A theo J .

Ta định nghĩa thêm phép nhân trong trên A bởi

aJbJabJ với mọi a,bA.Với phép nhân này và với chuẩn đã xác định ở trên A J trở thành đại số

Banach có đơn vị là 1A J Ta gọi A J là đại số thơng của A theo ideal đóng

x 

là một đồng cấu

Ta gọi  là đồng cấu chính tắc hay ánh xạ thơng.

1.1.7 Định nghĩa Giả sử A là không gian Banach Kí hiệu L A làkhông gian Banach các toán tử liên tục trong A L A không chỉ là khônggian Banach mà còn là đại số với phép nhân là phép hợp thành thoả mãn

g.f  g . f với mọi g, f L A

Đại số nh vậy gọi là đại số Banach các toán tử.

Đại số này có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất 1A

1.1.8 Định nghĩa Giả sử X là một không gian Banach, L X làkhông gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vàoX vàM là không gian con

đóng của X M đợc gọi là không gian con bất biến đối với toán tử TL X

1.2 Đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử

Nếu A là đại số Banach giao hoán thì tồn tại ít nhất một đồng cấu phứctrên nó Nhng trong đại số Banach không giao hoán thì điều này không còn

1 0

0 0

1 0 0 0

1 0

1 1 2

a

0

0 0

0 0

0 0 0 1

0 0

2 2 2

a

0

0 0

0 0

1 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 0

1 0

1 2 2

0 0 0 0

0 1

1 1 0

0 1

 a2  0.V× vËy

1.2.2 Chú ý Ví dụ 1.2.1 có thể tổng quát cho đại số M n gồm tất cảcác ma trận vuông phức cấp n (n>1).

Lấy A  M n, đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức cấp n (n>1)

0

0 0 0

0

1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 0

0

0 0 1

0

0 0 0

1

0 0 0

0

0 0 0

.

a

a

a

a

a a a

0 0

0

1 12

a

a

a

a

a a

a

0 0 0

1 12

b

b

b

b

b b b

0 0 0

1 12

a

a

a

a

a a

0 0 0

1 12

b

b

b

b

b b

0 0 0

1 12

*

b a

*

* b

a

0 0

0

11 11

Do đó

ab  a jj b jj, j a  a jj;j b  b jj

Nh vậy

jab j a j b ,với j  1 , 2 , ,n

0

0 0 1

0

0 0 0

1 1

1.2.4 Định lý Giả sử H là một không gian Hilbert phức hữu hạn chiều và A là một đại số con chứa đơn vị của L H Nếu A có một không gian con nửa bất biến một chiều thì A có một đồng cấu phức.

Chứng minh Giả sử H là không gian Hilbert phức n – chiều và

  1, 2, , ,

là cơ sở của H Khi đó có thể xem H nh C n

Giả sử A có một không gian con nửa bất biến một chiều N Khi đótồn tại các không gian con N1 và N2, cả hai bất biến đối với tất cả các toán

tử trong A sao cho

N 1 N2 và N2 NN1

Không mất tính tổng quát, ta giả sử

N  k1 ;N1   1 ,  2 , , k ,N2   1 ,  2 , , k1 Với mọi T  A, với

n

n n

a

a a

a

a a

a

a a T

2 1

2 22

21

1 12

1 x k x k x n x x  x x k

Do N1, N2 là các không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử trong A

nên TN1N1 và TN2N2 Với mọi x x1, ,x nH , ta có

1 1

1 1

1 1

n

,n k ,k

k ,

k

kn kk

k

n k

x

x

.

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

x T

k ,k k ,

k

k kk k

k k

x a

x a

x a

.x a

x a

x a

x a

x a

1 1

1 1

1

1 1

1 1

0

1 1

1 1

1

k nk n

k ,k k ,

k

x a

x a

x a

x a

0 0

1

1 1

nk n

,k k ,

k

a , , a

a , , a

1 1

1

2 1

2 1

1 1

1 1

1 1

1 11

n

,n k ,k

k ,

k

,n k ,k

k ,

k

n ,k

x

x

.

a

a

x a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

x T

1 1 2 1

1

1 1 1 1

1

1 1 1 1

11

k n,k n

k ,k k ,

k

k ,k k ,

k

k ,k

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

1

1 1 2 1

1

k n,k n

k ,k k ,

k

x a

x a

x a

x a

0 0

1 1

1 2 1

n,k n

,k k ,

k

a , , a

a , , a

,n k ,k

k

,n k ,k

k ,k k

kn k,k

k,k kk

k

n ,k

,k k

a

a

a

a

a

a a

a

a a

a

a

a

a a

a

a

T

2

2 2

2

1 2

1 1 1

2 1

1

1 2

1 1 1 1 11

0 0

0

0 0

0

0 0

Chơng II

Phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối và các đồng cấu phức

Trong chơng 1, ta đã thấy rằng nếu A là một đại số Banach không giaohoán thì có thể không tồn tại đồng cấu phức trên A Định lý 1.2.4 chơng 1 đã

đa ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại đồng cấu phức trên một đại số con của

đại số các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert hữu hạn chiều

Do đó, một vấn đề đợc đặt ra một cách tự nhiên là, tìm điều kiện cần và đủ đểcho một đại số Banach không giao hoán có một đồng cấu phức xác định trên

nó Trong [2], A.Soltysiak đã giới thiệu các khái niệm phổ nối trái, phổ nốiphải, phổ nối của một số hữu hạn các phần tử trong một đại số Banach vànghiên cứu các tính chất của chúng Từ đó, A.Soltysiak đã đa ra điều kiện cần

và đủ để cho một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức

Trong chơng này, dựa vào [2] chúng tôi định nghĩa phổ nối trái, phổ nốiphải, phổ nối của một họ tuỳ ý các phần tử trong một đại số Banach và chứngminh một số kết quả tơng tự nh trong [2] vẫn còn đúng trong trờng hợp này.

trong đó H   là họ tất cả các tập con hữu hạn của 

Ký hiệu phổ nối trái của E là l E

Phổ nối phải r E đợc định nghĩa một cách tơng tự

Ta gọi phổ nối của E là tập H E  l E  r E

Nhận xét Nếu A là đại số Banach giao hoán thì l E  r E  H E

3) Ta viết  i thay cho i:i  Giả sử  i  H E Khi đó, với

Vì phổ của một phần tử là tập compact nên H i



 là tập compact Đểchứng minh H a i :i   compact, từ bao hàm thức trên ta chỉ cần chứngminh H a i:i   đóng

i i

i a

Vì tập A 1 gồm các phần tử khả nghịch trong A là tập mở và 1 là phần tửkhả

nghịch nên tồn tại   0sao cho hình cầu mở 1 ,   1

i i i J

i

i i i J

i

i i

J i i J

i

i i

i i

i i

i a b

 

        

U i : j j  , 1 , \ H i: Mặt khác, vì U là lân cận của   j trong C nên C \ H a i :i   là tập mở và do đó H a i:i   là tập đóng

Đối với phổ nối phải, phổ nối cũng đợc chứng minh tơng tự

2.2 Định lý ánh xạ phổ

2.2.1 Đa thức Giả sử pz1, ,z n là một đa thức n biến phức

n

z

p 1, , là một đa thức của các biến a1, ,a nA với các hệ số phức Saunày, nếu không sợ hiểu lầm thì ta nói gọn pa1, ,a n là một đa thức n biếnhay gọn hơn nữa là một đa thức

Giả sử E  A Ta ký hiệu P n E là tập tất cả các đa thức n biến

i i

Giả sử A là một đại số Banach Một tập con S của A đợc gọi là một

hệ các phần tử sinh của A nếu đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa tập S

và đơn vị 1A trùng với A, ký hiệu  S  A Khi đó ta có AP, trong đó

 S P

Nếu Sa i:iJ thì ta viết A a i:iJ  Ta ký hiệu I l là ideal tráisinh bởi tập con a i :i  của A gồm tất cả các phần tử có thể viết đợc dới

I là ideal hai phía sinh bởi các hoán tử a j a k  a k a j với j, k  sẽ códạng

j k k j

m n

a a

j n

a a p

qla1, ,a n  lqa1, ,a n ,

qra1, ,a n rqa1, ,a n ,

và do đó

qa1, ,a n qa1, ,a n  Chứng minh Giả sử   n

n C



1, , sao cho q1, ,nlqa1, ,a n .Khi đó, theo định nghĩa của phổ nối trái ắt tồn tại J  H   và b iA,iJ

n

a a

i k n

a a q

1 1

n

k

k k J

i

i k i n

k

k k

i k

b

1 1

2.2.4 Mệnh đề Giả sử S a i:i  là họ các phần tử sinh của đại số Banach A Kí hiệu I , l I r lần lợt là các ideal trái, phải đóng sinh bởi S và I

là ideal hai phía đóng sinh bởi các hoán tử a j a k  a k a j với j, k  Khi đó

P0 ( ) ( ) :





 không chứa hạng tử hằng  Vì A sinh bởi S nên AclP(S). Do đó, từ định nghĩa của I l vàI r suy ra



) ( ),

( :

) ( ),

( :

0 0

r j

j J

j j

i i J

i i l

I A J

S P q q a cl

A J

s P p a p cl I

Vì bao đóng của một ideal là một ideal thực sự nên ( 0 )i  l(S)nếu và chỉnếu với mọi JH ( )đều có

) ( )

0 (

) 0 (

S

A A a A

I A I A a

A Aa

r i

i J i i r

l J

i

i J

i i

, , ( 1 1 )

, , ( ) 0 , , 0 ( )

ra S' a i  i:i 

 cũng là hệ sinh của A Theo 1) của mệnh đề 2.2.4

( 0 )i  r(S' )  ( 0 )i   l(S' ).Kết hợp với mệnh đề 2.1.3 suy ra ( i)i  l(S)  ( i)i  r(S)

      Theo định nghĩa của phổ nối

và 1) ắt tồn tại JH (  ),b i:iJA, sao cho

A i i

b C

a C

2.2.6 Định nghĩa Giả sử Ea i:i  là họ các phần tử của đại số

Banach A Ta gọi tập S E là phổ nối hai phía của S với

i i i

i

2.2.7 Định lý Đại số Banach A có đồng cấu phức nếu và chỉ nếu

  

S E  với mọi tập chỉ số , với mọi họ Ea i:i A đều có S E  .

Chứng minh Giả sử tồn tại  M A Khi đó với mọi J H  đều có

  

S E  Ngợc lại, giả sử với mọi tập chỉ số  và với mọi họ Ea i:i trong

A đều có S E   Ta kí hiệu I là ideal hai phía sinh bởi các hoán tử của

A Khi đó, I gồm những phần tử là tổng của một số hữu hạn các hạng tửdạng cab bad với a,b,c,d là các phần tử của A Nếu I là ideal thực sựcủa A thì I cũng là ideal thực sự của A Khi đó, từ xy yxI x,yA,suy ra A I là đại số Banach giao hoán không tầm thờng Do đó  

i a b b a d c

i i

trong đó r i c i,t i b i  id i,n i c i, i  a i  i;i 1 , 2 , ,n Đẳng thức nàychứng tỏ

i i i

i i i i i i i

i i i i i

a a

Ngợc lại, giả sử với mọi họ a i:i  A đều có l a i:i   Để

chứng tỏ A là đồng cấu phức, từ sự chứng minh điều kiện đủ của Định lí

2.2.7 suy ra chỉ cần chứng minh rằng với mọi bộ hữu hạn các phần tử

đó đóng) trong a , , i a n có tính giao hữu hạn Vì a , , i a n compact nên

Gọi B là đại số Banach sinh bởi a1, ,a n,u1, ,u n,v1, ,v n.

Ta có

B n

n n



Điều mâu thuẫn này chứng tỏ 1, , n Sa , ,1 a n

Việc chứng minh Định lý đối với r và  đợc tiến hành tơng tự

Kết luận

Qua những vấn đề đã trình bày ta thấy các kết quả chính của luận văn

đã thu đợc là :

1 Đa ra đợc một số ví dụ về đại số Banach không giao hoán có các

đồng cấu phức; xây dựng đợc điều kiện đủ để một đại số Banach không giaohoán có đồng cấu phức

2 Định nghĩa phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối của một họ tuỳ ý cácphần tử trong đại số Banach, chứng minh các kết quả của A.Soitysilk [2] vẫncòn đúng trong trờng hợp này, nêu lên đợc mối quan hệ giữa phổ nối và các

đồng cấu phức, đặc biệt là điều kiện cần và đủ để đại số Banach không giaohoán có đồng cấu phức