Môđun bất biến đẳng cầu

Vì vậy, một môđun làtựa nội xạ nếu và chỉ nếu nó bất biến qua tự đẳng cấu và tự đồngcấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó.. Theo Jeremy một môđun là tựaliên tục nếu và chỉ nếu nó bất biến q

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ MINH HÀ

MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng – Năm 2017

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

(ghi ngành của học vị được công nhận) họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

… … tháng … … năm … …

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

 Thư viện trường Đại học , Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài và lịch sử vấn đề

Như chúng ta đã biết một môđun là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu nóbất biến qua tự đồng cấu của bao nội xạ của nó Theo kết quả củaCamillo, Khurana, Lam, Nicholson và Zhou vành tự đồng cấu của mộtmôđun nội xạ là vành clean tức là một vành mà mọi phần tử là tổngcủa phần tử lũy đẳng và phần tử khả nghịch Vì vậy, một môđun làtựa nội xạ nếu và chỉ nếu nó bất biến qua tự đẳng cấu và tự đồngcấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó Theo Jeremy một môđun là tựaliên tục nếu và chỉ nếu nó bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng của baonội xạ của nó Vì vậy, các tác giả Lee và Zhou đã đưa ra và nghiêncứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa là một môđun bất biếnđẳng cấu nếu nó bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ của nó

Ở đây, họ phát triển các tính chất cơ bản của các lớp môđun và xemxét khi nào một môđun bất biến đẳng cấu là tựa nội xạ hay nội xạ.Trước hết họ đặc trưng các lớp môđun, chẳng hạn một môđun M làbất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu mọi đẳng cấu giữa hai môđun concốt yếu của M mở rộng đến tự đẳng cấu (hay tự đồng cấu) của M Tiếp theo họ chứng minh rằng tổng trực tiếp môđun M ⊕ N là bấtbiến đẳng cấu dẫn đến M, N nội xạ lẫn nhau Do đó, một môđun M

là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M ⊕ M là bất biến đẳng cấu và mộtmôđun M là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun 2-sinh trong σ[M ]

là bất biến đẳng cấu

Tác giả Đinh Quang Hải đã chứng minh rằng mọi môđun giả nội

môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3) Vì vậy, một môđun là tựanội xạ nếu và chỉ nếu nó là CS bất biến đẳng cấu Một môđun là tựanội xạ nếu và chỉ nếu nó là CS giả nội xạ, đây là mở rộng kết quả củaGanesan và Vanaja.

Boyle và Goodearl đã chứng tỏ rằng mọi môđun tựa nội xạ khôngsuy biến trên vành Goldie phải nửa nguyên tố là nội xạ Trên vànhGoldie phải nửa nguyên tố tất cả môđun bất biến đẳng cấu không suybiến là nội xạ Mọi môđun giả nội xạ không suy biến trên vành Goldiephải nguyên tố là nội xạ , đây là mở rộng kết quả của Jain và Singh.Tiếp tục nghiên cứu các lớp môđun này các tác giả Kosan, Quỳnh vàSrivastava đã nghiên cứu các vành mà mỗi iđêan phải là bất biến đẳngcấu

Với mong muốn tìm hiểu về những kết quả của môđun bất biếnđẳng cấu, các vành mà iđêan bất biến đẳng cấu, chúng tôi đã chọn

đề tài: “MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU” cho luận văn thạc sĩ củamình để nghiên cứu với hy vọng có thể tìm hiểu sâu hơn các tính chấtcủa chúng

2 Mục đích nghiên cứu

Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm và các tính chất của môđunbất biến đẳng cấu và một số lớp vành liên quan, chẳng hạn như a-vành, q-vành, vành bất biến đẳng cấu, vành Goldie phải nửa nguyên

tố Đồng thời tìm các đặc trưng của vành thông qua lớp môđun bấtbiến đẳng cấu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Môđun bất biến đẳng cấu trong phạm trù M od − R

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các tính chất của môđun trong phạm trù M od − R đểnghiên cứu các môđun bất biến đẳng cấu.

5 Đóng góp của luận văn

Làm tài liệu tham khảo cho một số học viên cao học, cho các sinhviên toán liên quan đến học phần vành và môđun

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các kiến thức cơ bản về môđun

Định nghĩa 1.1.1 Môđun con A của M được gọi là môđuncon thực sự nếu A không phải là môđun con tầm thường của M ,nghĩa là, A 6= 0, A 6= M

Định nghĩa 1.1.2 Môđun con A của M được gọi là môđuncon cực đại của M nếu A 6= M và A không thực sự chứa trong bất

kỳ môđun con thực sự nào của M

trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N + P

và N ∩ P = 0

tồn tại tập sinh ra M hữu hạn

Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề Zorn) Giả sử A là tập sắp thứ tự Nếumỗi tập con sắp thứ tự toàn phần của A đều có cận trên trong Athì A có phần tử cực đại

1.2 Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóngĐịnh nghĩa 1.2.1 Môđun con N của R-môđun M được gọi

M thỏa mãn N ∩ K = 0 thì K = 0 Khi đó, ta cũng nói M là mởrộng cốt yếu của N

Môđun con N của R-môđun M được gọi là đối cốt yếu trong

M , ký hiệu N  M , nếu với mọi môđun con K của M thỏa mãn

được gọi là đế của M

Định nghĩa 1.2.3 Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọimôđun con khác không của môđun M là cốt yếu trong M

Định nghĩa 1.2.4 Môđun M được gọi là có chiều đều (chiềuGoldie) bằng n, ký hiệu G.dim(M ) = n hoặc u.dim(M ) = n nếu tồn

n

L

i=1

quy ước có chiều bằng 0 Các môđun có chiều bằng 0, 1, 2, được gọi

là môđun có chiều Goldie hữu hạn

Goldie phải của vành R, ta nói R có chiều Goldie phải hữu hạn

Định nghĩa 1.2.5 Môđun con A của M được gọi là phần bùcủa môđun B trong M nếu A là môđun con cực đại trong số cácmôđun con C của M thỏa mãn tính chất C ∩ B = 0 và A được gọi làphần bù trong M nếu A là phần bù của môđun con nào đó của M

Định nghĩa 1.2.6 Môđun A được gọi là bao đóng của môđun

B nếu A là mở rộng cốt yếu cực đại của B

Định nghĩa 1.2.7 Môđun con A của M được gọi là môđun

con đóng nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự nào trong M ,

Mệnh đề 1.2.8 Với mọi môđun con A của môđun M luôn

Mệnh đề 1.2.9 Cho A là môđun con của M , B là phần bùcủa A trong M , thế thì:

(3) Nếu A là môđun con đóng trong X và X đóng trong M thì

A là môđun con đóng trong M

1.3 Môđun nội xạ

Định nghĩa 1.3.1

(1) Môđun M là R-môđun phải, M được gọi là N -nội xạ nếu vớimỗi môđun con X của N thì mọi đồng cấu f : X −→ M đều mởrộng đến đồng cấu g : N −→ M

(2) Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi Nthuộc M od − R

(3) M, N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu N là M -nội xạ và M

là N -nội xạ

(4) M được gọi là tựa nội xạ hay tự nội xạ nếu M là M -nội xạ

Định nghĩa 1.3.2 M được gọi là giả nội xạ nếu mọi đơn cấu

từ môđun con của M đến M mở rộng đến tự đồng cấu của M

M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu mọi đồng cấu từ môđuncon cốt yếu của M đến M mở rộng đến tự đồng cấu của M

Định nghĩa 1.3.3 Cho M là R-môđun phải Môđun E đượcgọi là bao nội xạ của môđun M nếu E là mở rộng cốt yếu của M và

E là nội xạ Ký hiệu E(M ) Nói cách khác, bao nội xạ của môđun M

là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt yếu trong E(M )

(2) Bao nội xạ của một môđun nội xạ là chính nó

(3) Bao nội xạ của miền nguyên là trường các thương

Mệnh đề 1.3.4 Mọi môđun đều có một bao nội xạ Nó duynhất sai khác một phép đẳng cấu

Mệnh đề 1.3.5 Cho M là R-môđun phải Khi đó,

(3) Nếu L đóng trong M thì L/K đóng trong M/K.

(4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong

M

(5) Giả sử N là phần bù của K Khi đó, K đóng trong M khi

và chỉ khi K là phần bù của N trong M

1.4 Môđun nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1 Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ

có đúng hai môđun con là 0 và M

là thể

Định nghĩa 1.4.3 Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu

M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun con đơn Một

Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều

chuyền tăng hoặc mọi tập khác rỗng các môđun con nào đó của Mđều có phần tử cực đại

giảm hoặc mọi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có

phần tử cực tiểu.

Định nghĩa 1.4.5 Vành R được gọi là Noether phải (Artin

Định nghĩa 1.4.6 Cho M và N là các R-môđun Môđun N

số Λ nào đó Ta nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi Mhoặc M là một vật sinh con của N nếu N đẳng cấu với một môđuncon của một môđun M -sinh Ta ký hiệu σ[M ] là phạm trù con củaphạm trù M od − R mà các vật là các R-môđun phải được sinh conbởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun Rõ ràng, σ[M ] là phạmtrù con đầy đủ của phạm trù M od − R

1.5 Môđun CS

Cho môđun M , chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của

của M

tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.5.1 Môđun M được gọi là môđun CS nếu M

mọi môđun con đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M

và (C2)

Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn tính chất(C1) và (C3)

Định nghĩa 1.5.2 Môđun M được gọi là môđun CS yếu nếumọi môđun con nửa đơn của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của

M

1.6 Môđun suy biến

Định nghĩa 1.6.1 Cho M là R-môđun phải

m trong R Z(M ) được gọi là môđun con suy biến của M

Z(M ) = M thì M được gọi là môđun suy biến

Z(M ) = 0 thì M được gọi là môđun không suy biến

Định nghĩa 1.6.3 Vành R được gọi là không suy biến phải

Mệnh đề 1.6.4 Nếu N là môđun con cốt yếu của M thìM/N suy biến

Định nghĩa 1.6.5 Môđun N được gọi là không suy biến trong

là môđun con (duy nhất) của M thỏa mãn điều kiện:

sau:

Một môđun M được gọi là môđun chính phương (square module)

Môđun con N của môđun M được gọi là nghiệm vuông (square

Định nghĩa 1.7.2 Một môđun M được gọi là không chínhphương nếu M không chứa nghiệm vuông khác không Hay mộtmôđun M được gọi là không chính phương nếu M không chứa tổngtrực tiếp của hai môđun con khác không đẳng cấu

Môđun M được gọi là chính phương đầy đủ nếu mọi môđun concủa M chứa nghiệm vuông khác không trong M

Định nghĩa 1.8.3 Vành R được gọi là chính quy mạnh nếu

Định nghĩa 1.8.4 (1) Phần tử e 6= 0 được gọi là phần tử lũy

(2) Hai lũy đẳng α, β được gọi là trực giao nếu αβ = βα = 0.(3) Phần tử lũy đẳng e trong R được gọi là lũy đẳng tâm nếu

ex = xe với mọi x ∈ X

Mệnh đề 1.8.5 Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực

I = eR Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậyvà

trực giao khác không trong R

Nếu lũy đẳng e 6= 0 thỏa mãn một trong các điều kiện trên, tanói e là lũy đẳng nguyên thủy của R

Định nghĩa 1.8.7 Vành R được gọi là chuỗi tổng quát nếu R

là tổng trực tiếp của các môđun chuỗi

Định nghĩa 1.8.8 Vành Artin phải (trái) R được gọi là chuỗitổng quát nếu với mọi lũy đẳng nguyên thủy e của R, eR(Re) có duynhất dãy hợp thành như R-môđun phải (trái)

Định nghĩa 1.8.9 Vành R được gọi là vành clean nếu mọiphần tử là tổng của phần tử lũy đẳng và phần tử khả nghịch.

Định nghĩa 1.8.10 Một phần tử a của vành R là lũy linh nếu

Định nghĩa 1.8.13 Căn nguyên tố của R là giao tất cả cáciđêan nguyên tố của R Ký hiệu là N (R) Căn nguyên tố của R chứatất cả các iđêan lũy linh của R

Định nghĩa 1.8.14 Vành R được gọi là nửa nguyên tố nếu Rkhông có iđêan phải lũy linh khác không hay vành R được gọi là nửanguyên tố khi và chỉ khi N (R) = 0

Định nghĩa 1.8.15 Vành R là đơn nếu R có đúng hai iđêan

là 0 và R

Định nghĩa 1.8.16 Vành R là đơn và là tích hữu hạn trực tiếpcác vành (Artin) đơn thì R được gọi là vành (Artin) nửa đơn

Định nghĩa 1.8.17 Nếu R là Artin phải thì N (R) là lũy linh

và là iđêan lũy linh lớn nhất của R

Định nghĩa 1.8.18 Căn N (R) của vành Artin phải R là giaocủa các iđêan cực đại của nó

Mệnh đề 1.8.19 Nếu R là vành nguyên tố và e 6= 0 là lũyđẳng trong R thì eRe là vành nguyên tố.

Định nghĩa 1.8.20 Vành Goldie phải là vành thỏa mãn điềukiện dây chuyền tăng (ACC) trên các linh hóa tử phải và có chiều đềuhữu hạn

Định nghĩa 1.8.21 Cho vành R Vành R được gọi là vành SCphải nếu mọi R-môđun phải suy biến là liên tục

Định nghĩa 1.8.22 Vành R được gọi là vành SI phải nếu mọiR-môđun phải suy biến là nội xạ

Vành SI có các tính chất sau:

(1) Mọi R-môđun xoắn Goldie là nội xạ

(3) Mọi R-môđun xoắn Goldie hữu hạn sinh là tựa liên tục

(4) Mọi R-môđun suy biến xyclic là nội xạ

(5) Mọi môđun suy biến liên tục là nội xạ

Định nghĩa 1.8.23 Vành R được gọi là vành QI phải nếu mọiR-môđun tựa nội xạ là nội xạ

Định nghĩa 1.8.24 Vành ma trận là tập bất kỳ các ma trậntrên vành R nào đó theo phép cộng và phép nhân ma trận

CHƯƠNG 2 MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chương này chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh các tính chấtquan trọng của môđun bất biến đẳng cấu Chẳng hạn các kết quả sau:Môđun M là bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu mọi đẳng cấu giữa haimôđun con cốt yếu của M mở rộng đến tự đẳng cấu (tự đồng cấu)

Môđun M là giả nội xạ nếu và chỉ nếu M bất biến đẳng cấu

2.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Môđun con N của môđun M được gọi làbất biến đẳng cấu nếu σ(N ) ≤ N với mọi tự đẳng cấu σ của M Một môđun được gọi là môđun bất biến đẳng cấu nếu nó là môđuncon bất biến đẳng cấu của bao nội xạ của nó

Định nghĩa 2.1.2 Môđun con N của môđun M được gọi làbất biến đầy đủ nếu f (N ) ≤ N với mọi tự đồng cấu f của M

Bổ đề 2.2.3 Hạng tử trực tiếp của môđun bất biến đẳng cấu

M là bất biến đẳng cấu

Hệ quả 2.2.5 Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu

M ⊕ M là bất biến đẳng cấu

Hệ quả 2.2.12 Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu

M là CS bất biến đẳng cấu

Định lý 2.2.17 Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tốthì mọi R-môđun bất biến đẳng cấu không suy biến là nội xạ.2.3 Định lý về sự phân tích môđun bất biến đẳng cấuTrước khi chứng minh kết quả chính chúng tôi sử dụng một số bổ

Lee và Zhou đã chứng tỏ bất cứ một môđun M bất biến đẳng cấu

có thể phân tích thành M = A ⊕ B, A, B nội xạ lẫn nhau

Điều này có thể được mở rộng bằng bổ đề sau

Bổ đề 2.3.2 Nếu M là môđun bất biến đẳng cấu và A, B là

đóng trong M

Định lý 2.3.3 Cho M là môđun bất biến đẳng cấu Khi đó,

(1) M = X ⊕ Y với X là tựa nội xạ, Y là môđun không chínhphương, trực giao với X Trong trường hợp này X và Y nội xạ lẫnnhau.

môđun con của D

(3) Nếu M không suy biến thì Hom(X, Y ) = 0 = Hom(Y, X)

Hệ quả 2.3.4 Mọi môđun bất biến đẳng cấu chính phươngđầy đủ là tựa nội xạ

Định lý 2.3.5 Cho M là môđun không chính phương khôngsuy biến Khi đó,

(1) Mọi môđun con đóng của M là môđun con bất biến đầy đủcủa M

môđun con đóng của M (không nhất thiết độc lập), môđun con

P

i∈I

2.4 Vành bất biến đẳng cấu không suy biến

Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh định lý mô tả vành bấtbiến đẳng cấu không suy biến phải

Định lý 2.4.1 Nếu R là vành bất biến đẳng cấu phải không

(4) Iđêan nguyên tố bất kỳ P của T mà không cốt yếu trong

giao hoán bất biến đẳng cấu và không tự nội xạ

2.5 Vành mà môđun xyclic là bất biến đẳng cấu

Các đặc trưng của vành thông qua tính chất đồng đều của môđunxyclic là vấn đề đã được nghiên cứu mở rộng trong 50 năm qua Nộidung sau sẽ mô tả các cấu trúc của các vành mà môđun phải xyclic

là bất biến đẳng cấu

Định lý 2.5.1 Cho R là một vành mà mọi R-môđun phải

nửa đơn và T là vành không chính phương phải sao cho hai iđêan

Đặc biệt, tất cả lũy đẳng của T là tâm

2.6 Môđun bất biến đẳng cấu là giả nội xạ

Ta đã biết môđun giả nội xạ thì bất biến đẳng cấu Lee và Zhou

đã đặt ra câu hỏi: "Môđun bất biến đẳng cấu có là môđun giả nội xạhay không?"

Bổ đề 2.6.1 [Cho M = A ⊕ B Khi đó, A là B-nội xạ nếu

môđun con D của M sao cho C ≤ D và A ⊕ D = M

CHƯƠNG 3 VÀNH MÀ CÁC IĐÊAN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chương này chúng tôi sẽ trình bày các vành mà mọi iđêan phải

là bất biến đẳng cấu Các vành như vậy gọi là a-vành phải Một sốkết quả chính của chương này là: Một a-vành phải là tổng trực tiếpcủa vành Artin nửa đơn chính phương đầy đủ và vành không chính

a-vành phải với n > 1 nào đó Mọi a-vành phải là ổn định hữu hạn.a-vành phải là vành chính quy Von Neumann nếu và chỉ nếu nó là nửanguyên tố a-vành phải nguyên tố là vành Artin đơn

3.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 3.1.1 (1) Vành R được gọi là a-vành phải nếumọi iđêan phải của nó là bất biến đẳng cấu

(2) Vành R được gọi là q-vành phải nếu mọi iđêan phải cốt yếu

là iđêan hai phía

(3) Vành R được gọi là hữu hạn trực tiếp nếu với mọi x, y ∈