Tính chất chính quy và nửa chính quy trên các đồng cấu

Một vài năm gần đây, một số tác giả trong và ngoài nước đã quantâm nghiên cứu các cấu trúc của HomRM, N như căn, môđun con suybiến, môđun con đối suy biến, và nửa chính quy tương tự như

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HÀ THỊ THU SƯƠNG

TÍNH CHẤT CHÍNH QUY VÀ NỬA CHÍNH QUY TRÊN CÁC ĐỒNG CẤU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HÀ THỊ THU SƯƠNG

TÍNH CHẤT CHÍNH QUY VÀ NỬA CHÍNH QUY TRÊN CÁC ĐỒNG CẤU

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Hà Th Thu S ng

A ≤e M A là môđun con cốt yếu của môđun M.

A ≪ M A là môđun con đối cốt yếu của M

A ≤⊕ M A là hạng tử trực tiếp của M

EM = EndR(M ) Vành các tự đồng cấu của M

△[M, N ] Môđun con suy biến của [M, N]

▽[M, N ] Môđun con đối suy biến của [M, N]

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay, cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung,

lý thuyết vành và môđun nói riêng đã và đang được nhiều tác giả quantâm nghiên cứu Trong những năm vừa qua, lý thuyết này đã đạt đượcnhiều kết quả và có nhiều đóng góp quan trọng góp phần làm phongphú thêm cho cấu trúc cơ bản của đại số Chẳng hạn như kết quả củaOsofsky chứng tỏ một vành là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun xyclic

là nội xạ

Một vài năm gần đây, một số tác giả trong và ngoài nước đã quantâm nghiên cứu các cấu trúc của HomR(M, N ) như căn, môđun con suybiến, môđun con đối suy biến, và (nửa) chính quy tương tự như căn củavành và môđun Những kiến thức này đã được giới thiệu và nghiên cứubởi Beidar và Kasch [4], Kasch-Mader [7], Lee-Zhou [9], Nicholson-Zhou[13] và Quynh-Kosan-Thuyet [15] Để tiếp tục nghiên cứu và mở rộngvấn đề này, tôi chọn nghiên cứu đề tài: "Tính chất chính quy và nửachính quy trên các đồng cấu."

Trong nội dung đề tài trước hết chúng tôi làm rõ các đặc tính vềchính quy và nửa chính quy trên các đồng cấu đồng thời tiếp tục nghiêncứu các cấu trúc như căn, môđun con suy biến (môđun con đối suy biến),

và (nửa) chính quy của HomR(M, N ) Đề tài chia làm ba chương cùngvới mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu và tài liệu tham khảo.Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản sử dụng trong luận văn như:môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun nội xạ và xạ ảnh vàcác kết quả liên quan trong đề tài

Chương 2 trình bày định nghĩa cũng như các tính chất về chính quy,nửa chính quy và tổng quan một số đặc trưng về chính quy của[M, N ] Chẳng hạn, cho M và N là các môđun Với M là hữu hạnsinh khi đó [M, N] là nửa chính quy nếu và chỉ nếu mỗi đồng cấu từmột môđun M-sinh vào N là chẻ ra địa phương, nếu và chỉ nếu mỗiđồng cấu M −→ N là chẻ ra địa phương (Định lý 2.1.5) Trong Định

lý 2.1.9, cho M và N là các môđun Khi đó [M, N] là chính quy nếu

và chỉ nếu N là M-xạ ảnh trực tiếp và mỗi môđun con M-sinh hữuhạn của N là một hạng tử trực tiếp của N

Chương 3 trình bày mối quan hệ giữa các cấu trúc của Hom(M, N)như căn, môđun con suy biến, môđun con đối suy biến với điều kiện(nửa) chính quy và tổng quan một số kết quả đã được các tác giảtrong và ngoài nước nghiên cứu Chẳng hạn, trong Định lý 3.1.4,nếu môđun M vừa là liên tục tổng quát vừa là N-nội xạ trực tiếpthì [M, N] là nửa chính quy và △[M, N] = J[M, N] Mặt khác, nếumôđun M vừa là (GC2) vừa là N-nội xạ trực tiếp thì [M, N] lànửa chính quy và △[M, N] = J[M, N] nếu và chỉ nếu Ker(α) nằmdưới một hạng tử trực tiếp của M với bất kỳ α ∈ [M, N] (Định lý3.1.2) Trong Định lý 3.1.6, chỉ ra được nếu môđun N vừa là rờirạc tổng quát vừa là M-xạ ảnh trực tiếp thì [M, N] là nửa chínhquy và ▽[M, N] = J[M, N] Hơn thế nữa, nếu môđun N vừa là(GD2) vừa là N-xạ ảnh trực tiếp thì [M, N] là nửa chính quy và

▽[M, N ] = J[M, N ] nếu và chỉ nếu Im(α) nằm trên một hạng tửtrực tiếp của M với bất kỳ α ∈ [M, N] (Định lý 3.1.3)

2 Mục đích nghiên cứu

- Tổng quan các tính chất về chính quy và nửa chính quy của cácđồng cấu

- Nghiên cứu các cấu trúc của HomR(M, N ).

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu về môđun, nửa chính quy vàchính quy, căn

- Phạm vi: Nghiên cứu các tính chất (nửa) chính quy, các cấu trúccủa HomR(M, N )

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, các bài báo,giáo trình Đồng thời tham gia trao đổi với giáo viên hướng dẫn và cácbạn học viên

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về tính chất củacác đồng cấu (nửa) chính quy cũng như các cấu trúc của HomR(M, N )

- Làm tài liệu cho các nghiên cứu khoa học về tính chính quy vànửa chính quy trên các đồng cấu

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn có 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.2 Một số kết quả đã biết

Chương 2 Tính chính quy và nửa chính quy của các đồng cấu2.1 Đồng cấu chính quy

2.2 Đồng cấu nửa chính quy

Chương 3 Cấu trúc của HomR(M, N ) với điều kiện chính quy3.1 Mối quan hệ giữa căn và môđun con suy biến (hay môđuncon đối suy biến) trong HomR(M, N )

3.2 Đồng cấu I-chính quy

Định nghĩa 1.1.1 Cho MR và N ≤ M Khi đó, N được gọi là hạng tửtrực tiếp của M (kí hiệu là N ≤⊕ M) nếu tồn tại môđun con P của Msao cho M = N ⊕ P Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của N trongM.

Từ định nghĩa ta suy ra: N là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi

∃P ≤ M [M = N + P và N ∩ P = 0]

Định nghĩa 1.1.2 Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M,

kí hiệu là K ≤e M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0

Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M,

kí hiệu là K ≪ M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K + L = M suy ra L = M

Định nghĩa 1.1.3 Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu nếuIm(f ) ≤e M.

Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(f) ≪ M

Định nghĩa 1.1.4 Cho UR là một môđun Nếu MR là một môđun, thì

U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M-xạ ảnh) trong trường hợpvới mọi toàn cấu g : MR −→ NR và mỗi đồng cấu v : UR −→ NR tồn tạimột đồng cấu ¯v : U −→ M sao cho v = g¯v

Định nghĩa 1.1.5 Cho UR là một môđun Nếu MR là một môđun, thì

U được gọi là nội xạ theo M (hay U là M-nội xạ) trong trường hợp vớimọi đơn cấu f : KR −→ MR và mỗi đồng cấu v : KR −→ UR tồn tạimột đồng cấu ¯v : M −→ U sao cho ¯vf = v

Định nghĩa 1.1.6 Cho PR là một môđun Lúc đó P được gọi là xạảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B −→ C và mỗi đồng cấu

ψ : P −→ C tồn tại một đồng cấu λ : P −→ B sao cho ψ = βλ

Mệnh đề 1.1.7 Cho P là R-môđun phải Khi đó các điều kiện sau làtương đương:

(1) P là xạ ảnh

(2) Với mỗi toàn cấu ϕ : B −→ P là chẻ ra, nghĩa là Ker(ϕ) là hạng tửtrực tiếp của B

(3) Mọi toàn cấu β : B −→ C thì ánh xạ

HomR(1P, β) : HomR(P, B) −→ HomR(P, C) là một toàn cấu

Định nghĩa 1.1.8 Cho QR là một môđun Lúc đó Q được gọi là nội

xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR −→ MR, với mọi KR, MR

và mỗi đồng cấu v : KR −→ UR tồn tại một R-đồng cấu ¯v : M −→ Usao cho ¯vf = v

Mệnh đề 1.1.9 Cho Q là R-môđun phải Khi đó các điều kiện sau làtương đương:

(1) Q là nội xạ

(2) Với mỗi đơn cấu ϕ : Q −→ B là chẻ ra, nghĩa là Im(ϕ) là hạng tửtrực tiếp của B

(3) Mọi đơn cấu α : A −→ B thì ánh xạ

HomR(α, 1Q) : HomR(B, Q) −→ HomR(A, Q) là một toàn cấu.Định nghĩa 1.1.10 Cho M là R-môđun phải Căn của M được kí hiệu

là rad(M) và được xác định như sau:

rad(M ) = P

A≪M

A = TB≤M

Định nghĩa 1.1.11 Phần tử a của vành R được gọi là chính quy nếu

nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:

(i) Tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a

(ii) aR là hạng tử trực tiếp của RR

(iii) Ra là hạng tử trực tiếp của RR

Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của R là chính quy.Định nghĩa 1.1.12 Phần tử a ∈ R được gọi là nửa chính quy nếu tồntại b ∈ R sao cho bab = b và a − aba ∈ J(R) Vành R được gọi là nửachính quy nếu mỗi a ∈ R là nửa chính quy

Cho MR là một R-môđun Phần tử m ∈ M được gọi là nửa chính quynếu tồn tại một phần tử n ∈ M chính quy sao cho n − m ∈ Rad(MR)

Định nghĩa 1.1.13 Tập L các môđun con của M được gọi là thỏa mãnđiều kiện dãy tăng (ascending chain condition, thường được viết tắt làACC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤

trong L, tồn tại n ∈ N sao cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

Tập L các môđun con của M được gọi là thỏa mãn điều kiện dãygiảm (descending chain condition, thường được viết tắt là DCC) trongtrường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥

trong L, tồn tại n ∈ N sao cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

Định nghĩa 1.1.14 Cho vành R và môđun MR, tập A ⊂ M, A 6= ∅,linh hóa tử phải của A trong R (tương ứng, trái) được kí hiệu rR(A) hayviết gọn là r(A) (tương ứng, l(A)) và được xác định như sau:

r(A) = 

r ∈ R|ar = 0, ∀a ∈ A},l(A) = 

r ∈ R|ra = 0, ∀a ∈ A}

Cho vành R và e ∈ R, e được gọi là phần tử lũy đẳng của R nếu vàchỉ nếu e2 = e

Định nghĩa 1.1.15 Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duynhất một iđêan phải (trái) cực đại

Giả sử G là một nhóm Gọi Aut(G) là tập hợp tất cả các đẳng cấunhóm từ G vào chính nó (Aut(G) được gọi là nhóm các tự đẳng cấu củaG)

Định nghĩa 1.1.16 Cho Q và N là các môđun Đồng cấu h : Q −→ Nđược gọi là chẻ ra địa phương nếu cho bất kỳ x0 ∈ h(Q) thì tồn tại mộtđồng cấu h′ : N −→ Q sao cho h(h′(x0)) = x0

Định nghĩa 1.1.17 Một R-môđun phải N được gọi là M-sinh nếu tồntại một toàn cấu M(I) −→ N cho một tập chỉ số I nào đó và N đượcgọi là M-sinh hữu hạn nếu I là tập hữu hạn.

Định nghĩa 1.1.18 Một môđun M được gọi là môđun nội xạ trực tiếpnếu mỗi môđun con K đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì K làhạng tử trực tiếp của M

Một môđun M được gọi là môđun xạ ảnh trực tiếp nếu môđun thươngM/K là đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì K là hạng tửtrực tiếp của M

Định nghĩa 1.1.20 Căn của HomR(M, N ) được kí hiệu J[M, N ] và

được xác định như sau

Định nghĩa 1.1.22 Một toàn cấu cốt yếu P −→ M được gọi là phủ

xạ ảnh của M nếu P là môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.23 Cho M là R-môđun phải Môđun M được gọi làtựa xạ ảnh nếu M là M-xạ ảnh

Mệnh đề 1.2.1 ([4, Mệnh đề 1]) Cho h : Q −→ M là đồng cấu chẻ rađịa phương Khi đó với mọi số hữu hạn x1, x2, , xn ∈ h(Q), tồn tại mộtđồng cấu q : M −→ Q sao cho h(q(xi)) = xi với i = 1, 2, , n

Bổ đề 1.2.2 ([14, Bổ đề 2]) Cho MR là môđun Khi đó những mệnh đềsau là tương đương:

(1) N là môđun M-xạ ảnh trực tiếp

(2) Nếu P ≤⊕ N và Q ≤⊕ M, thì mỗi toàn cấu α : Q −→ P chẻ ra.(3) Nếu P ≤⊕ N, thì mỗi toàn cấu α : M −→ P chẻ ra

(4) Nếu α : M −→ P là toàn cấu chính tắc, P ≤⊕ N và λ : N −→ P ,thì tồn tại β : N −→ M với αβ = λ.

(4) Nếu M = P ⊕ P′

và α ∈ J[P, N], mở rộng từ α đến ¯α ∈ [M, N ] bằngcách đặt ¯αP′ = 0 Khi đó ¯α ∈ J[M, N ]

Định lý 1.2.4 ([14, Định lý 29]) Với M = Ln

i=1Mi và N = Lmj=1Nj.Khi đó [M, N] là chính quy nếu và chỉ nếu [Mi, Nj] là chính quy với mọi

1 ≤ i ≤ n và 1 ≤ j ≤ m

Định lý 1.2.5 ([14, Định lý 33]) Nếu M vừa là M-nội xạ trực tiếp vừa

là N-nội xạ trực tiếp, thì những điều kiện sau là tương đương:

(2) α(M) nằm trên một hạng tử trực tiếp của M với bất kỳ α ∈ [M, N].

Bổ đề 1.2.7 ([8, Bổ đề 4.1]) Cho f ∈ Hom(A, M) và g ∈ Hom(M, A).Nếu f − fgf là chính quy thì f là chính quy

Bổ đề 1.2.8 ([13, Bổ đề B.15]) Cho môđun K ≤ P với P xạ ảnh Khi

đó những điều kiện sau là tương đương:

(1) P/K có phủ xạ ảnh

(2) P = Q ⊕ P0, với Q ≤ K và P0 ∩ K ≪ P0

Bổ đề 1.2.9 ([13, Định lý B.46]) Cho MR là môđun tựa xạ ảnh và

EM = EndR(M ) Những điều kiện sau là tương đương:

(1) EM là nửa chính quy

(2) Cho bất kỳ α ∈ EM, M = P ⊕K, với P ≤ α(M) và α(M)∩M ≪ K

Đặc biệt, nếu M là xạ ảnh, khi đó EM là nửa chính quy nếu vàchỉ nếu M/α(M) có phủ xạ ảnh với bất kỳ α ∈ EM

CHƯƠNG 2

TÍNH CHÍNH QUY VÀ NỬA QUY CỦA CÁC ĐỒNG CẤU

Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, nội dung chương này baogồm định nghĩa và các kết quả nghiên cứu về tính chất chính quy và nửachính quy của các đồng cấu

Định nghĩa 2.1.1 Cho MR và NR là các môđun Đồng cấu α ∈ [M, N]được gọi là chính quy nếu tồn tại β ∈ [N, M] sao cho α = αβα Môđun[M, N ] gọi là chính quy nếu mỗi α ∈ [M, N ] là chính quy

EM là vành chính quy nếu và chỉ nếu [M, M] là chính quy Môđun

N được gọi là chính quy nếu cho bất kỳ x ∈ N, tồn tại β ∈ [N, R] saocho x = xβx

Bổ đề 2.1.2 ([14, Bổ đề 3]) Cho α ∈ [M, N] là chính quy, hay nói cáchkhác là α = αβα với β ∈ [N, M] Khi đó:

(1) M = Ker(α) ⊕ φ(M) và Ker(α) = Ker(φ), với φ2 = φ = βα ∈ EM.(2) N = α(M) ⊕ Ker(ε) và α(M) = ε(N), với ε2 = ε = αβ ∈ EN.Chứng minh Theo giả thiết ta có φ2 = φ và ε2 = ε Giả sử x ∈ M , khi

đó x − φx ∈ Ker(φ) Suy ra M = Ker(φ) ⊕ φ(M) Vì φ = βα và α = αφnên suy ra Ker(φ) = Ker(α) Vậy (1) được chứng minh

Tương tự, vì ε = αβ và α = εα nên N = ε(N) ⊕ Ker(ε) và ε(N) =α(M ) Vậy (2) được chứng minh

Định lý 2.1.3 ([14, Định lý 4]) Cho MR và NR là các môđun Khi đónhững mệnh đề sau là tương đương:

(1) [M, N] là chính quy

(2) α(M) ≤⊕ N với mỗi α ∈ [M, N] và N là M-xạ ảnh trực tiếp.

(3) Pki=1αi(M ) ≤⊕ N với bất kỳ tập hữu hạn {α1, , αk} ⊂ [M, N ] và

(6) α(M) ≤⊕ N và Ker(α) ≤⊕ M với mỗi α ∈ [M, N]

Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho α ∈ [M, N], theo Bổ đề 2.1.2 ta suy raα(M ) ≤⊕ N Để chứng minh N là M-xạ ảnh trực tiếp chúng ta cầnkiểm tra điều kiện (5) trong Bổ đề 1.2.2 Thật vậy, ta xét P ≤⊕ N với

π : N −→ P là phép chiếu chính tắc và α : M −→ P là toàn cấu chínhtắc Vì [M, N] là chính quy nên tồn tại γ ∈ [N, M] thỏa mãn α = αγα.Giả sử ε = αγ khi đó ε2 = ε ∈ EN và α(M) = ε(N) theo Bổ đề 2.1.2.Suy ra ε(N) = P = π(N) và επ = π Đặt β = (γ|P)π ∈ [N, M ] Khi đó

αβ = αγπ = επ = π

Theo điều kiện (5) và (1) của Bổ đề 1.2.2 ta được điều chứng minh.(2) ⇒ (3) Ta chứng minh (3) bằng phương pháp quy nạp trên k, trườnghợp k = 1 luôn đúng bởi (2) Giả sử k > 1 và Pk−1

i=1 αi(M ) = ε(N ) với

ε2 = ε ∈ EN Theo (2), tồn tại τ2 = τ ∈ EN sao cho (1N − ε)αk(M ) =

τ (N ) Khi đó ετ = 0 Giả sử γ = ε + τ − τ ε nên ta có γ2 = γ ∈ EN Dođó

kX

i=1

αi(M ) = ε(N ) + αk(M )

= ε(N ) + (1N − ε)αk(M )

= ε(N ) + τ (N ) = γ(N )

Vậy ta suy ra được (3)

(3) ⇒ (4) Cho α ∈ [M, N ] Theo (3) ta có M/Ker(α) ∼= α(M ) ≤⊕ N.Nên suy ra N là M-xạ ảnh trực tiếp hay Ker(α) ≤⊕ M Để chỉ ra M

là N-nội xạ trực tiếp ta phải chỉ ra K ∼= P ≤⊕ M với K ≤ N Nếu

M π ✲ P σ ✲ K với π là phép chiếu chính tắc và σ là một đẳngcấu, thì K = σπ(M) Vậy theo (3) ta suy ra K ≤⊕ N

(4) ⇒ (5) Ta chứng minh (5) bằng phương pháp quy nạp trên k, trườnghợp k = 1 luôn đúng bởi (4) Giả sử k > 1 và X = Tk−1i=1 Ker(αi) ≤⊕ M,hay M = X ⊕ X′

với X′

≤ M Xét π : M −→ X là phép chiếuchính tắc, khi đó αkπ ∈ [M, N ] và Ker(αkπ) = [X ∩ Ker(αk)] ⊕ X′

Vì Ker(αkπ) ≤⊕ M nên X ∩ Ker(αk) ≤⊕ M Do đó X ∩ Ker(αk) =

Tk

i=1Ker(αi) Vậy (5) được chứng minh

(5) ⇒ (6) Cho α ∈ [M, N ], theo (5) ta có Ker(α) ≤⊕ M Giả sử

M = Ker(α) ⊕ P , khi đó α(M ) ∼= P ≤⊕ M Vì M là N-nội xạ trực tiếpnên suy ra α(M) ≤⊕ N

(6) ⇒ (1) Xét α : M −→ N , theo (6) ta được N = Y ⊕ α(M ) và

M = Ker(α) ⊕ X Do đó α(M ) = α(X) Ta xét β : N −→ M được xácđịnh bởi β(y + αx) = x với x ∈ X và y ∈ Y Suy ra β là một đồng cấu.Nếu k ∈ Ker(α) và x ∈ X, thì αβα(k + x) = α[(βα)x] = αx = α(k + x)

Do đó M = Ker(α) ⊕ X nên suy ra αβα = α Vậy α ∈ [M, N] là chínhquy

Bổ đề sau là trường hợp đặc biệt của Định lý 1.2.4

Bổ đề 2.1.4 Cho [M, N] là chính quy Nếu k là một số nguyên dương,thì [Mk, N ] là chính quy

Định lý sau đây đưa ra đặc trưng chính quy của [M, N] thôngqua tính chẻ ra địa phương của các đồng cấu

Định lý 2.1.5 Cho M và N là các môđun Nếu M là hữu hạn sinh,khi đó các điều kiện sau đây tương đương:

(1) [M, N] là chính quy

(2) Mỗi đồng cấu từ môđun M-sinh vào N là chẻ ra địa phương

(3) Mỗi đồng cấu M −→ N là chẻ ra địa phương

Chứng minh (1) ⇒ (2) Chúng ta giả sử Q là môđun M-sinh và h :

Q −→ N là một đồng cấu Đặt x0 = h(z0) ∈ h(Q) với z0 ∈ Q Do Qđược sinh bởi M, nên tồn tại một số nguyên dương k, phần tử m ∈ Mk

và đồng cấu f : Mk −→ Q sao cho f(m) = z0 Suy ra được hf(m) = x0

Vì [M, N] là chính quy nên môđun [Mk, N ] là chính quy theo Bổ đề 2.1.4.Khi đó tồn tại β ∈ [N, Mk] sao cho hf = hf βhf Đặt α = f β ∈ [N, Q].Suy ra ta có hα(x0) = hf β(x0) = hf βhf (m) = hf (m) = x0 Vậy h làchẻ ra địa phương

Cho M = R, theo định nghĩa trên ta có hệ quả sau đây

Hệ quả 2.1.6 ([4, Định lý 4]) Cho N là một môđun Khi đó các điềukiện sau là tương đương:

(1) N là môđun chính quy theo nghĩa Zelmanowitz

(2) Mỗi đồng cấu từ môđun nào đó vào N là chẻ ra địa phương

(3) Mỗi đồng cấu R −→ N là chẻ ra địa phương

Ví dụ sau chỉ ra điều giả sử "M là hữu hạn sinh" không thể bỏđược trong Định lý 2.1.5

Ví dụ 2.1.7 Cho A = 

a/pn ∈ Q|a ∈ Z, n ∈ N} là một nhóm con của Q

với nhóm con Z Ta có nhóm thương A/Z và được kí hiệu là Zp∞ Khi

đó Zp∞ không là hữu hạn sinh như Z-môđun Đặt M = N = Zp∞ Khi

là một phần tử chính quy của [Mk, N ] Vậy K là hạng tử trực tiếp của

N

Từ bổ đề trên ta có kết quả sau

Định lý 2.1.9 Các điều kiện sau là tương đương đối với các môđun M

H được gọi là M-xạ ảnh hạn chế đến N nếu mỗi toàn cấu p : M −→

A, A ≤ N và mỗi đồng cấu f : H −→ A, thì tồn tại một đồng cấu

g : H −→ M sao cho pg = f

Định lý 2.1.10 Cho M, N là các môđun Khi đó [M, N] là chính quynếu và chỉ nếu H vừa là N-nội xạ hạn chế đến M vừa là M-xạ ảnh hạnchế đến N với mỗi môđun H

Chứng minh (:⇒) Giả sử [M, N] là chính quy Cho mỗi α ∈ [M, N] và

K = Im(α) Ta xét đồng cấu f : K −→ H Theo Bổ đề 2.1.8 ta có K

là hạng tử trực tiếp của N Gọi p : N −→ K là phép chiếu chính tắc,khi đó ta có fp ∈ [N, H] và fp|K = f Cho A là một môđun con của

N và ta xét toàn cấu π : M −→ A Khi đó tồn tại s ∈ [M, N] sao choKer(π) = Ker(s) Theo giả thiết Ker(π) là một hạng tử trực tiếp của

M Gọi f : H −→ A là đồng cấu, thì tồn tại một đồng cấu g : H −→ Msao cho πg = f

(⇐:) Cho f ∈ [M, N ], ta xét đồng cấu ι : Im(f ) −→ N và

giả thiết tồn tại một đồng cấu h : N −→ Im(f) sao cho hι = idIm(f ).Điều này có nghĩa là ι là đơn cấu chẻ ra hay Im(f) là hạng tử trựctiếp của N Mặt khác, Im(f) ∼= M/Ker(f ) Khi đó ta có các đồng cấuφ

φ−1 : M/Ker(f ) −→ Im(f ) và φ−1π : M −→ Im(f ), với π : M −→M/Ker(f ) là toàn cấu chính tắc và id = idM/Ker(f ) Do M/Ker(f) là M-

xạ ảnh hạn chế đến N, nên tồn tại một đồng cấu g : M/Ker(f) −→ Msao cho φ−1πg = φ−1id, nên πg = id Từ đây ta suy ra được Ker(f) làmột hạng tử trực tiếp của M

Vành R được gọi là P -nội xạ phải nếu với mọi iđêan phải xyclic

IR ≤ RR, mọi đồng cấu f : IR −→ RR đều có thể mở rộng được đếnđồng cấu g : RR −→ RR Điều này tương đương với rl(a) = aR với mọi

a ∈ R Vành R được gọi là P P phải nếu với mọi a ∈ R, r(a) = eR với

e2 = e ∈ R nào đó (xem [8])

Hệ quả 2.1.11 ([6, Định lý 2.9]) Vành R là chính quy nếu và chỉ nếu

R là P P phải, P -nội xạ phải