MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU

Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh.

MỤC LỤC

Trang

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 2

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương I KIẾN THỨC CƠ BẢN 5

§1 Môđun nội xạ và môđun con cốt yếu 5

§2 Chiều Goldie và CS – môđun 12

Chương II MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU 17

§1 Môđun giả nội xạ 17

§2 Môđun giả nội xạ cốt yếu 24

§3 Môđun nội xạ cốt yếu 28

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Hom : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M

: tổng trực tiếp của các môđun

M N :

LỜI NÓI ĐẦU

Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quantâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh Trên cơ sở tương

tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun Các lớpmôđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứubởi S.K.Jain and S.Singh (1967), M.L.Teply (1975), A.A.Tuganbaev (1978),Đinh Quang Hải … ; các lớp CS – môđun, môđun liên tục cũng được ĐinhVăn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, P.F.Smith, R Wisbauer, N Er, M.Okado,S.H Mohamed and B.J.Muller…phát triển, xây dựng mối liên hệ giữa các lớpmôđun mở rộng với nhau và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việcphát triển lý thuyết môđun Ngoài ra, lớp môđun nội xạ cốt yếu cũng đượcnghiên cứu và phát triển bởi He Qun Lần đầu tiên, mối liên hệ giữa môđunnội xạ cốt yếu và hệ phương trình tuyến tính được thiết lập, tạo nền móng choviệc nghiên cứu, xây dựng đặc trưng của các lớp môđun mở rộng khác theophương trình Trên cơ sở vấn đề đặc trưng phương trình bởi môđun tựa nội xạ

của A.Laradji: “mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên môđun

tựa nội xạ đều giải được”, He Qun đã đưa ra đặc trưng của môđun nội xạ cốt

yếu theo phương trình: “một môđun là nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi mọi hệ

phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên nó là giải được”.

Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu, luận văn đã trình bàymột cách hệ thống một số vấn đề có liên quan về môđun giả nội xạ, giả nội xạcốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu và chứng minh được: môđun giả nội xạ là nội

xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun đều.Luận văn cũng chứng minh các kết quả như: hệ quả 2.2.8, định lí 2.3.6, mệnh

đề 2.3.7, mệnh đề 2.3.10 Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương:

– Chương I Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị Các kháiniệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun nội xạ, môđun con cốtyếu, CS – môđun, môđun có chiều đều hữu hạn.

– Chương II Trên cơ sở xem xét trình bày các tính chất của môđungiả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu.Chứng minh một số tính chất và đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theophương trình

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp,dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng Tácgiả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, đồng thời tác giả cũng xinchân thành cảm ơn Thầy PGS.TS.Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn ThànhQuang, TS.Chu Trọng Thanh cùng quý thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sauđại học của Đại học Vinh, phòng QLKH&SĐH của ĐHSP Đồng Tháp, cácbạn học viên cao học Toán khoá 13 tại ĐHSP Đồng Tháp đã hỗ trợ giúp đỡ vàtạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Đồng Tháp, tháng 4 năm 2008

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN

§1 MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON CỐT YẾU

Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kíhiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita

1.1.1 Định nghĩa

– Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi là môđun con

cốt yếu, kí hiệu Ae M , nếu với mọi môđun con X của M thoả mãn AX  0

thì X = 0 Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọi môđun khác 0 của M đều cốt yếu trong M Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B

trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao

với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M Môđun K được gọi là bao đóng của môđun B nếu

K là mở rộng cốt yếu tối đại của B

– Môđun con K của M được gọi là môđun con đóng nếu K không có mở

rộng cốt yếu thực sự nào trong M

Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy

môđun con X bất kỳ của N mà AX  0 Do X  N nên X  M và Ae Mnên

X = 0 Vậy Ae N Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà NY 0

Do A  N nên AY  0 và Ae M Suy ra Y = 0 Vậy, N e M

Ngược lại, nếu Ae Nvà N e Mthì với môđun con X bất kì của M mà

(3) Lấy X là môđun con bất kì của K sao cho AK X  0 hay AX  0

, do Ae M  X  0 Vậy A  Kcốt yếu trong K

(4) Lấy X  M sao cho N X  0 Khi đó, N AXA, từ đây ta suy

ra N AAX A 0 Do N Ae M A nên A X A 0 hay AX A Vậy

() Cho  L e M, thì Y  Nsao cho LY  0 Do  đẳng cấu

1.1.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con T

của M sao cho AT e M

Thật vậy, Y  M thỏa mãn ATY  0 Ta có AY  0 và T Y  0 Nếu

có a  A và tT,yYsao cho at ythì ya tAT, ta suy ra y 0và

Chứng minh Giả sử X K M K sao cho KB KX K 0, ta có

(2) K  B là môđun con cốt yếu của M.

Chứng minh (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho K e N,thế thì, nếu N  K, do KB 0, K tối đại nên NB 0 Ta có

1.1.7 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun.

– Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi

môđun con X của N, mọi đồng cấu f : X  Mđều mở

rộng thành đồng cấu g:N M, tức là biểu đồ sau giao

hoán:

g o if , trong đó i là phép nhúng đồng cấu

– Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.

– Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N – Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và

N là M – nội xạ

– Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao

cho M cốt yếu trong E(M)

1.1.8 Mệnh đề [3, Proposition 18.12] Cho M là R – môđun trái Khi đó:

(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M).

(2) Nếu N e M thì E(N) = E(M).

(3) Nếu M  Q và Q là môđun nội xạ thì QEME'.

M i

(4) Nếu A EM là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì

đó các phát biểu sau là tương đương:

(1) M là tựa nội xạ.

(2) M i là tựa nội xạ và MI  i là M i – nội xạ với mọi i  I

Chứng minh xem [6, Proposition 1.18].

1.1.10 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R,

mọi đồng cấu f :I  M thì tồn tại m  M để   f x xm, xI

Chứng minh () Cho M là môđun nội xạ Lấy I là ideal trái của R,

2 1 2

2 1

T T ,

T ,

Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

Ta định nghĩa  x  k x Dễ dàng kiểm tra được  là đồng cấu Khi đó

T , là cận trên của dãy (a) Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu

B, S Ta chứng minh B  N và g* = 

Thật vậy, nếu BN  aN\B Đặt H BRa  B  H(do aB), ta xácđịnh đồng cấu h:H  M cho bởi hbra  b rm, trong đó m được xác địnhnhư sau: Gọi IrR/raB Ta hoàn toàn kiểm tra được I là ideal trái của R

Xác định đồng cấu g:I Mbởi  g r  ra , rI Theo giả thiết nên m  M

để  g x xm, xI Như vậy, do B  H, và theo cách xác định của h nên h là

mở rộng của  Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của B , Vậy, B  N vàlấy g* =  Vậy g* là mở rộng của g 

1.1.11 Mệnh đề Nếu M là N – nội xạ và A  N thì M là A – nội xạ và N A – nội xạ.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ Thật vậy, lấy

A

X  và f :X  M là đồng cấu Ta cũng có X  N, do M là N – nội xạ nên f

mở rộng thành đồng cấu g:N  M Khi đó g A là mở rộng của f trên A hay

 A A Suy ra ker   ker  Do đó,

tồn tại đồng cấu  : N A Msao cho    Với

mọi x  X , ta có

xA  x   x   x  xA

mở rộng của  hay M là N A – nội xạ 

1.1.12 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi  N  M với mọi

( Giả sử M là N – nội xạ, với  Hom ,N E M 

Đặt X nN:  n M Dễ thấy X là môđun con của N Vì M là N – nội xạ,

X

 mở rộng thành đồng cấu  :N  M , ta chứng minh M    N  0 Thậtvậy, giả sử có m  M và n  N sao cho m   n Khi đó,

 n  n  mM

Như vậy, m  n   n   n   n  0 Vậy, M    N  0 và vì M e E M

nên  N   N M

   Giả sử có  N  M với mọi  Hom ,N E M  Lấy X  N và f :X M làđồng cấu Vì E(M) là nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu  :N  E M Theo giả thuyết  N  M Vậy, f :X M mở rộng thành đồng cấu  :N  M

hay M là N – nội xạ 

1.1.13 Bổ đề Cho M 1 và M 2 là các môđun và M M1 M2 Thế thì, M 2 là M 1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà N M2 0 đều tồn tại môđun con K của M sao cho M KM2 và N  K

Chứng minh    Giả sử M2 là M1 – nội xạ và với mọi môđun con N

của M mà N M2 0 Gọi i:M  M i i 1 , 2 là các phép chiếu

Đặt    1N,    2 N Vì N M2 0 nên  là đơn cấu và do M2 là M1 – nội

xạ nên tồn tại đồng cấu  :M 1 M2 sao cho   

Lấy Km1 m1 :m1M1 Với mọi n  N thì nm1 m2 Ta có

f  là đồng cấu Đặt H  x f x :xX Khi đó H là môđun con của M

và hiển nhiên H M2 0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho

§2 CHIỀU GOLDIE VÀ CS – MÔĐUN

Cho môđun M, chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M (C2) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

– Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất (C1) và (C2)

– Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn nếu M

không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không Ngược lại, ta

nói M có chiều đều vô hạn.

1.2.2 Bổ đề Cho M là R – môđun Khi đó:

(1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M.

(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.

Chứng minh (1) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, tức là

B

A

M   , với B  M Lấy N  M sao cho Ae N, thế thì ta có NB 0.Gọi  :AB A là phép chiếu Do ker  B nên N ker   0, suy ra  N làđơn cấu Vì thế N được nhúng đơn cấu vào A, mà Ae N Do vậy A = N, hay

A là môđun con đóng trong M

(2) Trước hết ta chứng minh, nếu môđun con A đóng trong M và mọi

của K trong L, L’ là phần bù giao của L trong M Theo 1.1.6 thì LL 'e Mvàtheo kết quả chứng minh trên thì LL ' Le M L

Theo 1.1.2, thì LL ' Ke M K, ta cũng có K K ' K e L K và

K K 'L ' K  K K ' K  KL ' Ke M K Lấy V  M sao cho K e V Khi đó, do K K 'L ' 0 nên V K 'L ' 0, từ đây suy ra

V K K K 'L ' K 0 Do đó V  K hay K đóng trong M 

1.2.3 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun.

Chứng minh Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của

M, tức là M PQ, với Q  M Ta chứng minh P là CS – môđun

Lấy A là môđun con đóng trong P, do P đóng trong M, theo 1.2.2, nên A đóngtrong M Vì M là CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là

1.2.4 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một

môđun con đều.

Chứng minh Giả sử M không chứa môđun con đều nào, nghĩa là tồn

tại các môđun con khác không K1, L1 của M sao cho K1L1 0 Khi đó K1không là môđun con đều, nên tồn tại các môđun khác không K2, L2 của K1 saocho K2 L2  0 Tiếp tục lí luận tương tự đối với K2, dẫn đến M chứa một tổngtrực tiếp vô hạn các môđun con khác không L1 L2  Điều này mâu thuẫnvới tính chiều đều hữu hạn của M Vậy M có chứa môđun con đều 

1.2.5 Mệnh đề M là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn Khi đó M phân

tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.

Chứng minh Bởi M có chiều đều hữu hạn, theo 1.2.4, nên trong M

tồn tại môđun con đều U1 Gọi X1 là bao đóng của U1 trong M Giả sử X1không là môđun con đều, suy ra tồn tại A,BX mà A,B 0 sao cho AB 0

Do U1e X nên U1A 0 ,U1B 0 Từ đây, ta có

U1A  U1BU1AB 0 Điều này mâu thuẩn với tính đều của U1

Vậy X1 là môđun đều Bởi M là CS – môđun và X1 là bao đóng của U1 nên X1

là hạng tử trực tiếp của M, tức là M X1 M1 Vì M là CS – môđun và cóchiều đều hữu hạn, theo 1.2.3, nên M1 cũng là CS – môđun và có chiều đềuhữu hạn Lí luận tương tự như trên đối với M1, ta có M1 X2 M2, trong đó

X2 là môđun con đều và M2 là CS – môđun có chiều đều hữu hạn Tiếp tục líluận như trên, ta được M X1X2 X nM n, trong đó các X i,i 1 , 2 , ,n

là các môđun con đều và Mn là CS – môđun có chiều đều hữư hạn Do M cóchiều đều hữu hạn, nên quá trình trên dừng lại sau một số hữu hạn bước, tức

là tồn tại n để Mn = 0 Khi đó M X1X2 X n với X i,i 1 , 2 , ,n là cácmôđun con đều 

1.2.6 Định nghĩa và kí hiệu Cho R là vành có đơn vị, và hai tập khác rỗng J

và K Một J  K – ma trận trên R là hàm A:JK R Kí hiệu A là một J  K

– ma trận trên R Với mỗi j,kJK, đặt A j,ka jkR Ta gọi a jk là phần

tử trên A với chỉ số  j, k, ta viết A a jkJ K



 Nếu không có gì nhầm lẫn giữa

J và K, thì ta viết A a jk Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu At, là ma trậndạng b kjK J

 , trong đó b  kj a jk Nếu J' J,K' K là các tập con khác rỗng,thì thu hẹp của A trên J ' K' là một ma trận con của A và kí hiệu: a jkJ ' K'



Lấy jJ,kKthì a jk j K

 và a jkJ  k

 theo thứ tự là dòng thứ j và cột thứ kcủa ma trận A Tập hợp tất cả các J  K– ma trận trên vành R, ta kí hiệu

 R

M J  K Ma trận A được gọi là dòng hữu hạn (cột hữu hạn) nếu mỗi dòng

của A ( mỗi cột của A) có hầu hết các phần tử bằng 0 trừ một số hữu hạn Nếu

J = K thì ta gọi A là J  J – ma trận vuông hay J – vuông Đường chéo của

ma trận J– vuông A là tập các phần tử có dạng a jjj J

 Giả sử J, K, F là các tập khác rỗng Aa jk M JK R ,

b  M  R

B kf  KF Với mỗi jJ, fF, xét chuỗi kK a jk b kf Nếu A có dònghữu hạn hoặc B có cột hữu hạn thì chuỗi trên là tổng hữu hạn và

R c

k

kf

jk b a AB

hai ma trận A và B Nếu A và B có cột hữu hạn (dòng hữu hạn) thì AB có cột

j M b

B  Nếutồn tại   K

k M c

C  thỏa mãn AC = B thì ta gọi C  c k là một nghiệm của hệ phương trình AX = B Hệ phương trình AX = B gọi là giải được nếu nó có

nghiệm trên M Với mỗi C  M J, tập  R C pR(J) /p t C 0 gọi là linh hoá tử

của C Dễ dàng kiểm tra được   R C R ( J)

– Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là tương thích mạnh trên

M nếu tồn tại phần tử a  M K sao cho RAaR B

– Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là tương thích cốt yếu trên

M nếu tồn tại phần tử a  M K sao cho RAaR B và

CHƯƠNG II MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU

§1 MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

2.1.1 Định nghĩa Cho M, N là các R – môđun trái.

M được gọi là N – giả nội xạ nếu với mọi môđun con

A của N, với mọi đơn cấu f:A M đều mở rộng

thành đồng cấu g:N M M được gọi là giả nội xạ

nếu M là M – giả nội xạ

2.1.2 Mệnh đề Cho A  N Nếu M là N – giả nội xạ thì M là A – giả nội xạ.

Chứng minh Lấy X  A và f : X M là đơn cấu Khi đó,X cũng làmôđun con của N và do M là N – giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu

Với mỗi aA,N a M a Do AN  0, nên  là đơn cấu Theo giảthiết, mở rộng thành đồng cấu g:N  M Đặt T ng n :nN Từ đây, tathấy M T X và a  A, amnn  n ng n , với nN,mM , do đó

T

A  , thỏa mãn (2)

 2   1 Giả sử có (2) Gọi B là môđun con của N và f :B M là đơn cấu Đặt Ab f b :bB, thế thì AM AN  0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho M T X Lấy  :M T  M là phép

M i

chiếu Khi đó, bB,bf b b f b , ta có:  N b   Nf b b f b f b Vậy,  N là mở rộng của f cần tìm 

f

A n n được gọi là khớp tại A n nếu Imf n  kerf n1 Ta nói

dãy này là khớp nếu nó khớp tại An với mọi n

– Một dãy khớp dạng 0  M f N g K  0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu f là

đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg

– Một toàn cấu của các R – môđun M f N  0 được gọi là chẻ ra nếu tồn

tại một đồng cấu g:N  M sao cho fg 1 N

– Một đơn cấu của các R – môđun M f N









0 được gọi là chẻ ra nếu tồn tại

một đồng cấu g:N M sao cho gf  1M

– Dãy khớp ngắn 0  M f N g K  0 được gọi là chẻ ra nếu Imf (hoặc kerg)

là hạng tử trực tiếp của N

2.1.5 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ thì mọi đơn cấu f :M  N là chẻ ra,

và khi đó NIm f X , với X là môđun con nào đó của N.

Chứng minh Vì f:M N là đơn cấu nên có thể xem M như là mộtmôđun con của N Do M là N – giả nội xạ nên 1M có thể mở rộng thành đồngcấu g:N M sao cho gf  1M Ta chứng minh N Imf  kerg

Với mọi n  N, thì  g n M Ta có nfg n n fg n  Hiển nhiên,

N Im  ker 

2.1.6 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M thì A

là N – giả nội xạ.