BÀI BÁO CÁO-CHƯƠNG IV-VÀNH VÀ MÔĐUN NƠTE

Định nghĩa 4.2: Một môđun M trên một vành A được gọi là thoả điều kiện tối đại nếu mọi họ khác rổng những môđun con của M, xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, đều có phần tử tối đại.. Đị

Chương IV: VÀNH VÀ MÔĐUN NƠTE

MÔĐUN NƠTE

Định nghĩa 4.1:

Một môđun M trên một vành A được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền

tăng nếu mọi dãy tăng các môđun con M1M2   của M đều dừng, nghĩa là tồn tại n sao cho

M n M n1 

Định nghĩa 4.2:

Một môđun M trên một vành A được gọi là thoả điều kiện tối đại nếu mọi

họ khác rổng những môđun con của M, xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, đều có

phần tử tối đại

Định lý 4.3:

Cho vành A và A-môđun M Các mệnh đề sau tương đương:

i M thỏa điều kiện dây chuyền tăng

ii M thỏa điều kiện tối đại

iii Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

Chứng minh:

i ii : Gọi  là một họ khác rổng những môđun concủa M và giả sử 

không có phần tử tối đại Lấy M1  , khi đó tồn tại M2 sao cho M1M2

Vì  không có phần tử tối đại nên, lập luận tương tự, ta xây dựng được dãy vô hạn tăng nghiêm ngặt M1M2M3, trái giả thiết i)

ii iii Giả sử N là môđun con của M Gọi  là tập tất cả các môđun con hữu hạn sinh của N Theo i),  có phần tử tối đại là N o, nếu N o N thì với

\ o

x N N ta có N oAx N o , vô lý! Vậy N N o hữu hạn sinh

iii i Xét dãy môđun con của M:

M M M  (*)

1

i i



 là 1 môđun con của M nên hữu hạn sinh:

1 2, , , m

N  x x  x , với 1 2

1

i



Do đó n x x1 2, , ,x mM n và vì vậy M n M n1 

Suy ra dãy (*) dừng ĐPCM.

Định nghĩa 4.5:

 Một môđun M trên một vành A được gọi là môđun nơte nếu M thoả

một trong các điều kiện của định lý 4.4

 Một vành A được gọi là nơte nếu nó là một A-môđun nơte

Vì môđun con của A-môđun A là iđêan của A và ngược lại nên có hệ quả

sau:

Hệ quả 4.6:

Vành A là vành nơte khi và chỉ khi A thoả một trong các điều kiện sau: a) Mọi dãy tăng những iđêan của A đều dừng

b) Mọi họ khác rổng những iđêan của A đều có phần tử tối đại

c) Mọi iđêan của A đều hữu hạn sinh

Thí dụ:

 Vành chính là vành nơte Nói riêng vành  và vành đa thức [ ]

K x , với K là trường, là nơte

 Vành đa thức đếm được biến A x x[ ,1 2, ]không phải là vành nơte, vì dãy tăng các iđêan  x1 x x1 2,  không dừng

VÀI TÍNH CHẤT

Định lý 4.7:

Cho dãy khớp các A-môđun 0Mu M v M0

Khi đó, M là môđun nơte khi và chỉ khi M  và M  là môđun nơte

Chứng minh:

( ) Giả sử M là môđun nơte

 Môđun con của M  cũng là môđun con của M nên hữu hạn sinh Vậy

M  nơte

 Xét môđun con bất kỳ N của M  Khi đó v1( )N là môđun con của M nên hữu hạn sinh, và vì v toàn ánh nên N v v( 1( ))N cũng hữu hạn sinh

( ) Giả sử N là một môđun con của M

Khi đó ( ) là môđun con của M  nên hữu hạn sinh:

1 2

v N  x x x  M  Vì đồng cấu v toàn ánh nên trong N ta có thể

chọn b1v1( ), ,x1 b mv1(x m)

Mặt khác, vì u1( )N là môđun con của M  nên hữu hạn sinh:

u1( )N  a1, , a n, với a1, , a nu1( )N M

u a( ), , ( )1  u a n N

Ta chứng minh N  u a( ), , ( ), , ,1  u a n b1  b m

Thật vậy, ta có

1

i

x N v x v N x x x v x t x t x t x v t b



x t b Kerv u x M x t b u x

và vì

1

m

i i i

x t b N



  nên xu1( )N

( )



Vậy N  u a( ), , ( ), , ,1 u a n b1 b m.Đpcm.

Hệ quả 4.8:

Môđun con và môđun thương của môđun nơte là nơte

Chứng minh:

Do dãy 0 N M M N0 là khớp.

Hệ quả 4.9:

Nếu M1, ,M n là các A-môđun nơte thì

1

n i

i M



 là A-môđun nơte

Chứng minh:

Qui nạp theo n

Khi n2: Ta có dãy 0M1M1M2 M20 là

khớp, nên theo định lý 4.7 M1M2 là nơte

Giả sử 1

1

n i

i M



 là A-môđun nơte, khi đó dãy

1

định lý 4.7 cho

1

n i

i M



 là A-môđun khớp.

Hệ quả 4.10:

Nếu A là một vành nơte thì mọi A-môđun hữu hạn sinh đều nơte

Chứng minh:

Giả sử A-môđun M sinh bởi X { , , }x1 x n Khiđó M  A( )X N với N

là môđun con nào đó của A( )X Nhưng vì ( )X

X

A  A và A là nơte nên A( )X là

A-môđun nơte Do đó M nơte.



Hệ quả 4.11:

Nếu A là một vành nơte và f A: B là một toàn cấu vành thì B cũng là vành nơte

Chứng minh:

Ta có B A Kerf nên B là một A-môđun nơte

Khi đó, mọi B-môđun con của B đều là A-môđun con của A-mođun B nên là A-hữu hạn sinh và do đó là B-hữu hạn sinh Vậy B là B-nơte hay là vành

nơte.

Hệ quả 4.12:

Nếu A là một vành con của một vành B, A nơte và B là A-môđun hữu hạn sinh thì B là vành nơte

Chứng minh:

Theo 4.10 thì B là A-môđun nơte Do đó mọi iđêan của B đều là A-hữu

hạn sinh, nhưng vì A B , nên cũng là B-hữu hạn sinh Vậy B là B-nơte hay là

vành nơte.

TÍNH NƠTE và ĐỊA PHƯƠNG HÓA

Định lý 4.13:

Vành các thương của một vành nơte là một vành nơte

Chứng minh:

Cho A là một vành nơte và S là một tập con nhân của A Xét vành các

thương S A1

Giả sử J là một iđêan của S A1

Đặt I  f1( )J là iđêan của A (f là đồng cấu chính tắc từ A đến S A1 )

Vì A nơte nên I hữu hạn sinh : I  Ax1Ax2  Ax n, với x1, , x nI

Ta có  a s J 1a 1s a s    J a I a t x1 1t x n n, (t i A)

1 1 1 1

n n n n

Vậy J là iđêan hữu hạn sinh của S A1 Đpcm.

Định lý 4.14 (Cohen):

Vành A là nơte khi và chỉ khi mỗi iđêan nguyên tố P Spec A ( )là hữu hạn sinh

Chứng minh:

Ta chỉ cần chứng minh “ nếu mọi iđêan nguyên tố của A đều hữu hạn sinh thì mọi iđêan của A cũng hữu hạn sinh” là đủ

Phản chứng, giả sử tập  gồm tất cả iđêan không hữu hạn sinh của A là

khác rổng Khi đó mọi dây chuyền ( )I i i X của  đều bị chận trên bởi

i

i X

I





 , nên trong  có phần tử tối đại I Ta sẽ chứng minh I là iđêan nguyên

tố để đi đến mâu thuẩn

Thật vậy, nếu I không nguyên tố thì tồn tại x I và y I nhưng xy I

 Khi đó iđêan I Ax I nên không thuộc , và vì vậy là hữu hạn sinh:

I Ax  a t x a t x a t x, với a iI t, iA

 Đặt J I Ax: , ta có J  I Ay I nên J không thuộc , và vì vậy là hữu hạn sinh: J  b b1 2, , ,b m, (b i J)

 Khi đó ta có I  a1, , a b x n, 1 , , b x m  Thật vậy, nếu u I thì

u I Ax

nên

r t J r t s b

Suy ra I là hữu hạn sinh, vô lý vì I ! Vậy I là iđêan nguyên tố Nhưng

điều này lại trái giả thiết “mọi iđêan nguyên tố không thuộc ”!

TÍNH NƠTE CỦA VÀNH ĐA THỨC

Định lý 4.15 (Định lý cơ sở - Hilbert):

Nếu A là vành Nơte thì vành đa thức A x[ ] cũng là vành nơte

Chứng minh:

Phản chứng, giả sử I là một iđêan không hữu hạn sinh của A x[ ]

Ta định nghĩa bằng qui nạp một dãy đa thức f f1 2, , A x[ ] như sau:

 f1 là đa thức khác 0, bậc nhỏ nhất trong I (vì I 0)

 Giả sử đã chọn được f f1 2, , , f kI Vì I không hữu hạn sinh nên

1

I f f   , do đó ta chọn được đa thức f k1I \f1,f k là đa thức khác 0 với bậc nhỏ nhất trong I \f1,f k

Đặt n i deg( )f i và a i là hệ tử của x n i trong đa thức f i với mọi i

Theo cách xây dựng dãy { }f i thì dễ thấy rằng n i n i1 với mọi i

Để đi đến mâu thuẩn, ta sẽ chứng minh a1, , a ka1, , a a k, k1 với

mọi k

Thật vậy, nếu 1

1

k

i

a  t a



 , với t i  A i 1,k1, thì đa thức

1

1

k i

k

i

g t x   f



k

g a  x  h h A x Suy ra đa thức f k1 g I\f1,f k và deg(f k1g)n k1deg(f k1) Điều này mâu thuẩn với cách chọn f k1 ở trên

Vậy ta có dãy tăng nghiêm ngặt các iđean của A:

1

a

 a a1 2, ….a1, , a k…

Điều này trái với tính nơte của A Vậy mọi iđêan của A x[ ] đều hữu hạn sinh.

Hệ quả 4.16 :

Nếu vành A nơte thì vành A x[ , ,1 x n] nơte

Chứng minh: Vì A x[ , ,1 x n]A x[ , ,1 x n1] [ ] x n 

Hệ quả 4.17:

Vành đa thức K x[ , ,1 x n] trên một trường K là nơte

IĐÊAN NGUYÊN SƠ

Trong vành , lũy thừa của một số nguyên tố p cĩ tính chất

Điều ngược lại cũng đúng:

Nếu một số k thoả x y,  k xy| và k| x  n k y| n thì k là lũy thừa của một số nguyên tố nào đĩ (thật vậy, nếu k cĩ 2 ước nguyên tố khác nhau p và q thì k  p q m s t , trong đĩ( , ) ( , ) ( , ) 1p q  p m  q m  Coi

,

t

x q y p m s , thì k xy| nhưng k x| nên k y| n p m sn n , suy ra q p m| s ,

vơ lý!)

Tính chất này làm cho các iđêan p  s của  thoả điều kiện

và các iđêan như vậy được gọi là các iđêan nguyên sơ

Tổng quát, ta cĩ định nghĩa sau:

Định nghĩa 4.18:

Một iđêan thực sự Q của một vành A được gọi là iđêan nguyên sơ nếu

hay

x y A xy Q x Q y rad Q

Một cách tương đương, ta cĩ thể nĩi

Iđêan Q của một vành A là nguyên sơ khi và chỉ khi A Q 0 và mọi ước của 0 trong vành thương A Q đều là lũy linh

Mệnh đề 4.19:

Q và I là 2 iđêan của một vành A, I Q Khi đĩ;

Q nguyên sơ khi và chỉ khi Q I nguyên sơ trong vành thương A I

Chứng minh: Dùng đẳng cấu A Q A I Q

I

 Hiển nhiên mọi iđean nguyên tố đều là nguyên sơ

 Trong vành , mọi lũy thừa của iđêan nguyên tố đều là nguyên sơ, ngược lại mỗi iđêan nguyên sơ của  đều là lũy thừa của một iđêan nguyên tố nào đĩ

 Tuy nhiên kết quả trên không đúng cho một vành tuỳ ý:

Thí dụ 1:

Xét vành A K x y [ , ], với K là một trường, và đặt Q x y, 2

Ta có A Q K y[ ] 2

y



 , mà mọi phần tử ước của 0 trong 2

[ ]

K y y

  đều là bội của đa thức y f y y( ) 2 nên lũy linh, vậy Q là iđêan nguyên sơ

Khi đó với iđêan nguyên tố P x y,  ta có dãy nghiêm ngặt 2

P Q P Vậy Q không phải là lũy thừa của P

Nếu Q là lũy thừa của một iđêan nguyên tố P nào đó, tức là

n

Q P , thì P2 P n  P, suy ra P P , điều này là không thể!

Thí dụ 2:

Xét vành A K x y z[ , , ] 2

xy z



  , K là trường, và đặt x y z, , là lớp của x y z, , trong vành thương Idêan P x z,  là nguyên tố ( vì

[ ]

A K y

P  ) nhưng lũy thừa P2 của nó không phải là iđêan nguyên sơ Thật vậy, ta có x y z2P2 và x P 2 nhưng không có lũy thừa nào của

y thuộc P2 , vì nếu y sP2 P thì y P , nhưng điều này trái với đẳng cấu A P  K y[ ]!

Tóm lại, mặc dù iđêan nguyên sơ mang đậm tính chất đặc biệt (*) của lũy thừa của một số nguyên tố, nhưng iđêan nguyên sơ và lũy thừa của một iđêan nguyên tố lại là hai khái niệm khác nhau Tuy nhiên, căn của một iđêan nguyên sơ lại là một iđêan nguyên tố

Mệnh đề 4.20:

Nếu Q là một iđêan nguyên sơ của một vành A thì rad Q( ) là một iđêan nguyên tố; đó là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả iđêan nguyên tố của A

mà chứa Q

Chứng minh:

Nếu xy rad Q ( ) thì x y n n ( )xy nQ với n nào đó Vì Q nguyên sơ nên

hoặc x nQ hoặc y nsQ, do đó x rad Q ( ) hay y rad Q ( ) Vậy rad Q( ) là

iđêan nguyên tố

Nếu P là một iđêan nguyên tố của A và QP thì rad Q( )rad P( )P.n

Định nghĩa 4.21:

Nếu Q là idêan nguyên sơ và P rad Q ( ) thì ta gọi iđêan Q là P-nguyên

sơ

Mệnh đề 4.22:

Cho A là vành nơte, M và Q là 2 iđêan nào đó của A, trong đó M tối đại Các điều kiện sau tương đương:

i) Q là M-nguyên sơ

ii) rad Q( )M

iii)  n 0 M n  Q M

Chứng minh:

i)  ii) Hiển nhiên

ii)  iii) Ta có Qrad Q( )M

Vì A nơte nên M hữu hạn sinh Giả sử M  x1, ,x k và vì

( )

rad Q M nên ( )n i

1

k i i



 thì

iii)  i)

Xét xy Q và x Q Ta chỉ cần chứng minh y M là đủ

Phản chứng; giả sử y M

Khi đó   y M  A  a b A m M,    1ay bm  1 ay bm

1

k



1

n

k k k

Q







x Q

  , vô lý!

Vậy y M và y nM n Q.

Mệnh đề 4.23:

Nếu Q1, ,Q n là các iđêan P-nguyên sơ thì iđêan Q1  Q n cũng là P-nguyên sơ

Chứng minh:

Đặt Q Q 1  Q n, ta có (Mđ 1.21, iii/)

rad Q rad Q   Q rad Q   rad Q    P  P P

Nếu xy Q và x Q thì  i {1, , }n x Q i Vì Q i là P-nguyên sơ nên điều

này đưa đến y rad Q ( )i  P rad Q( ) Vậy Q là P-nguyên sơ.

Mệnh đề 4.24:

Giả sử Q là iđêan P-nguyên sơ của vành A, x A Khi đó:

i) Nếu x Q thì ( :Q x ) cũng là iđêan P-nguyên sơ

ii) Nếu x Q thì ( :Q x  ) A

Chứng minh:

(i) Nếu a( :Q x ) thì ax Q và vì x Q nên a rad Q ( )P Vậy

Q Q x   P

Lấy căn ta có rad Q( )rad Q x( :  ) rad P( )

 P rad Q x( :   ) P rad Q x( :  ) P

Nếu ab( :Q x ) và a( :Q x ), suy ra

abx Q và ax Q

 b rad Q( )P rad Q x( : )

Vậy ( :Q x ) là P-nguyên sơ

(ii) Hiển nhiên cho mọi iđêan Q (không cần nguyên sơ) 

SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ

Định nghĩa 4.25:

Một iđêan I của một vành A được gọi là có sự phân tích nguyên sơ nếu có

hữu hạn iđêan Q1, ,Q n của A sao cho:

i) Q1, ,Q n là các iđêan nguyên sơ

ii) I Q 1  Q n

Thí dụ:

Trong vành , iđêan d có sự phân tích nguyên sơ là

1

d p   p , nếu 1

1 n

n

d  p p với p i là các số nguyên tố

Định lý 4.26 (Lasker-Noether):

Trong một vành nơte mọi iđêan đều có sự phân tích nguyên sơ

Để chứng minh định lý này, chúng ta cần hai bổ đề

Định nghĩa 4.27:

Một iđêan thực sự của một vành A được gọi là bất khả qui nếu nó không

phải là giao của 2 iđêan chứa nó thực sự

Nói cách khác iđêan I của A là bất khả qui khi và chỉ khi I  A và với mọi iđêan M N, nếu I M N thì I M hay I N

Bổ đề 4.28:

Mỗi iđêan của một vành nơte A là giao của một số hữu hạn iđêan bất khả qui

Chứng minh:

Phản chứng Khi đó tập  tất cả iđêan của A mà không phải là giao của hữu hạn iđêan bất khả qui là khác rổng Vì A nơte nên trong  có phần tử tối

đại mà ta gọi là I Dĩ nhiên I không thể là iđêan bất khả qui vì I, do đó có 2 iđêan J J , chứa I thật sự và I  J J  Do tính tối đại của I nên J J , , nghĩa là J J , là giao của hữu hạn iđêan bất khả qui, vậy I  J J  cũng là giao của hữu hạn iđêan bất khả qui , vô lý!

Vậy  , đpcm.

Bổ đề 4.29:

(i) Nếu iđêan 0 trong vành nơte là bất khả qui thì nó là iđêan nguyên sơ (ii) Mỗi iđêan bất khả qui trong vành nơte là nguyên sơ

Chứng minh:

(i) Giả sử iđêan 0 của vành nơte A là bất khả qui

Nếu xy0 và x0 ta cần chứng minh y lũy linh

Ta xét dãy các iđêan trong A

2 (0 : )y (0 :y )(0 :y k)

Vì A là vành nơte nên dãy trên dừng, nghĩa là tồn tại n sao cho

1 (0 :y n) (0 : y n ) 

Đến đây ta sẽ chứng tỏ rằng      x y n 0 Thật vậy,

nếu z    x y n thì z ax by  n ( ,a b A )

Do đó      x y n 0, nhưng vì iđêan 0 là bất khả qui mà   x 0 nên y n 0

Vậy 0 là nguyên sơ

(ii) Xét một iđêan bất khả qui I bất kỳ của vành nơte A Khi đó A I là vành nơte và iđêan 0 I I là bất khả qui trong A I , do đó theo (i), 0 I I là

nguyên sơ và theo Mđ 4.19 thì I là nguyên sơ.

Chứng minh Định lý 4.26: Hệ quả của hai bổ đề 4.28 và 4.29.



BÀI TẬP Chương IV.

1 Cho vành A và hai iđêan I I1 2, của A thỏa I1I2 0 Chứng minh A là vành

nơte khi và chỉ khi các vành

1

A

I và

2

A

I là nơte

2 Cho A-môđun nơte M Chứng minh vành A AnnM là vành nơte

3 Chứng minh rằng nếu vành A thoả điều kiện dây chuyền tăng đối với các iđêan hữu hạn sinh thì A là vành nơte

4 Chứng minh rằng vành đa thức đếm được biến K x x [ ,1 2, ] trên một trường

K thoả điều kiện dây chuyền tăng đối với các iđêan chính

5 Nếu vành đa thức A x[ ] là vành nơte thì vành A có nơte không?

6 Cho vành A và vành đa thức A x[ ] Với mỗi iđêan I của A ta ký hiệu I x[ ] là tập các đa thức của A x[ ] mà hệ tử thuộc I Chứng minh:

a Nếu P là iđêan nguyên tố của A thì P x[ ] là iđêan nguyên tố

b Nếu Q là P-nguyên sơ trong A thì Q x[ ] là P x[ ]-nguyên sơ trong [ ]

A x

7 Chứng minh rằng nếu K là trường thì trong vành đa thức K x[ , ,1 x n] mỗi iđêan P i  x1, ,x i, i1,n là nguyên tố, mỗi lũy thừa của chúng là P i

-nguyên sơ

8 Giả sử S là tập con nhân của vành A và Q là một iđêan P-nguyên sơ Chứng

minh rằng:

a Nếu S  P thì S Q S A1  1

b Nếu S  P thì S Q1 là S P1 -nguyên sơ

9 Cho A-môđun nơte M và toàn cấu f M: M Chứng minh f là một đẳng

cấu

10 Cho A-môđun nơte M và đồng cấu f M: M Chứng minh

n ker f nIm f n 0

11 Cho môđun nơte M và môđun hữu hạn sinh N Chứng minh

A-môđun

A

MN là nơte

12 Cho vành nơte A và

0

[[ ]]

i i i

f  a x A x



   Chứng minh f lũy linh khi và

chỉ khi tất cả hệ tử a i là lũy linh