De thi hoc sinh gioi toan 9

Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A và tiếp xúc với BC tại F tiếp xúc với AB tại N.[r]

TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

TRỰC THUẬN NĂM HỌC: 2010 - 2011

MÔN: TOÁN - LỚP 9

Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:(4đ) Cho biểu thức:

2 x -9 x +3 2 x +1

-x -5 -x + 6 x -2 3- x 1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm giá trị của x để A < 1

3) Tính giá trị của biểu thức A với x = 29 +12 5 - 29 -12 5

4) Tìm giá trị nguyên của x để cho A cũng là số nguyên

Câu 2:(3đ) Giải các phương trình sau:

1) x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x + 3 1- x2

2) 2 x -4x +5 +2 1x - x +5 = -4x +16x -122 2

4

Câu 3:(3,5đ) Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) Cho a > c, b > c, c > 0 Chứng minh c(a -c) + c(b -c) ab

2) Cho a > 0, b > 0 Chứng minh 2 ab ab

a + b 

Câu 4:(7,5đ) Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC

tại D với AB tại M Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A và tiếp xúc với BC tại F tiếp xúc với AB tại N Vẽ đường tròn đường kính DE

1) Chứng minh rằng: AO OE=

AI IF

2) Chứng minh rằng: A, E, F thẳng hàng

3) Gọi h ,h ,ha b c lần lượt là các đường cao vẽ từ A, B, C và r là bán kính đường tròn nội tiếp

S là diện tích, p là nửa chu vi của tam giác ABC Chứng minh:

a) S = p.r

c) h1 +h1 +h1 =1r

Câu 5: (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

P = 2x + 1- 4x - x

- Hết

-Họ tên thí sinh: ……… Chữ ký giám thị 1:………

Số báo danh: ……… Chữ ký giám thị 2:………

ÁP ÁN : Câu 1: Cho biểu thức:

2 x -9 x +3 2 x +1

-x -5 -x + 6 x -2 3- x

1)(1đ) Rút gọn biểu thức A

ĐK: x  0, x  4, x  9

2 x -9 x +3 2 x +1

-x -5 -x + 6 x -2 3- x

2 x -9 x +3 2 x +1

( x - 2)( x -3) x - 2 x -3 0,5đ

2 x -9-( x +3)( x -3) + (2 x +1)( x - 2)

=

( x - 2)( x -3)

2 x -9 - x +9 + 2x - 4 x + x - 2

=

( x - 2)( x -3)

x - x - 2 ( x - 2)( x +1) x +1

( x - 2)( x -3) ( x - 2)( x -3) x -3 0,5đ

2)(1đ) Tìm giá trị của x để A < 1

Với x  0, x  4, x  9 để A < 1 khi và chỉ khi:

x +1 <1

x -3 0,5đ

x +1-1< 0 4 < 0 x -3 < 0 x < 9

Vậy 0 x < 9 và x  4, x  9 thì A < 1

3)(1đ) Tính giá trị của biểu thức A với x = 29 +12 5 - 29 -12 5

+

x = 29 +12 5 - 29 -12 5 = (3+ 2 5) - (3- 2 5)

= 3+ 2 5 - 3- 2 5 = 3+ 2 5 - 2 5 3 = 6 0,5đ

Vậy A = 6 +1 ( 6 +1)( 6 +3) 6 +3 6 + 6 +3 -9- 4 6= = 6-9 = 3

4)(1đ) Tìm giá trị nguyên của x để cho A cũng là số nguyên

Với x  0, x  4, x  9 để A là số nguyên khi và chỉ khi:

x +1

A

x -3

 là số nguyên

4

1+

x -3

4

x -3

 là số nguyên 0,5đ

 4 chia hết cho x -3

hay x -3 là Ư(4) mà Ư(4) = ±1;±2;±4 0,5đ

Vậy x = 1;16;25;49 thì A là số nguyên

Câu 2: Giải các phương trình sau:

1) (1,5đ) x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x + 3 1- x2 ĐK:   1 x 1

2

x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x +3 1- x

x +1- 1- x + 2 x +1 x +1- 1- x 1- x x +1- 1- x = 0

 x +1- 1- x 1+ 2 x +1  1- x = 0

x +1- 1- x = 0

 hoặc 1+ 2 x +1 1- x = 0

x +1 = 1- x

  x = 24

25

 hoặc x = 0

x +1=1- x



x = 0



Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x =  2425 0,75đ

2)(1,5đ) 2 x -4x +5 +2 1x - x +5 = -4x +16x -122 2

4

Ta có: VT = 2 x - 4x +5 +2 1x - x +52

2

= 2 x - 2 +1 + x -1 + 4 4

2

   (0,5)đ Dấu “ =” xẩy ra x = 2

VP = -4x +16x -12 = 4- 4 x - 4x + 4 = 4- 4 x - 22  2   24 (0,5)đ

Dấu “ =” xẩy ra x = 2

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (0,5)đ

Câu 3:(3,5đ) Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1)(2đ) Cho a > c, b > c, c > 0 Chứng minh c(a -c) + c(b -c) ab

Ta có:

c(a -c) + c(b -c) ab

2 c(a -c) + c(b -c) ab

c(a -c) + c(b -c) + 2c (a -c)(b -c) ab

2

c - 2c (a -c)(b -c) + (a -c)(b -c) 0











c - (a -c)(b -c)20

 (luôn đúng với a > c, b > c, c > 0 ).

2)(1,5đ) Cho a > 0, b > 0 Chứng minh 2 ab ab

a + b  Với a > 0, b > 0 theo BĐT Cosi ta có: a + b 2 ab

a + b 2 ab

a + b 2 ab

a + b

Vậy 2 ab ab

a + b  với a > 0, b > 0.

Câu 4: (7,5đ)

1) (2đ)Ta có đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với AB tại M

và N nên AB là tiếp tuyến của (O) và (I)

Suy ra: OMAB và IN  AB ( tính chất tiếp tuyến)

 OM // IN ( theo quan hệ từ vuông góc đến song song)

 AO OM=

AI NI ( theo định lí Talet)

mà OM = OE, NI = IF ( bán kính đường tròn)

Vậy AO OE=

AI IF

2) (2đ)Lại có đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với BC tại D

và F nên BC là tiếp tuyến của (O) và (I)

Suy ra: OD BC và FI BC( tính chất tiếp tuyến)

 OE // FI ( theo quan hệ từ vuông góc đến song song)

 AOE = AIF  (dh)

Xét AOE và AIF:

AO OE=

AI IF (cmt)

AOE = AIF(cmt)

Suy ra: AOE đồng dạngAIF(c-g-c)

 OAE = IAF ( hai góc tương ứng)

Vậy A, E, F thẳng hàng

3)

a)(1đ)

Ta có SABC= SAOB + SAOC + SBOC = 12r.AB + 12r.AC + 12r.BC= 12r(AB + BC +AC) = p.r b)(2,5đ)

Ta có: SOBC = r

SABC ha ;

OAC =

SABC hb ;

OAB =

SABC hc Suy ra SOBC

SABC + SOACSABC + SOABSABC

r

=

hb + har +

r

hc = SABC 1

SABC 

 1 + 1 + 1 =1

ha hb hc r

Câu 5: (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

P = 2x + 1- 4x - x

ĐK:

0

2

1- 4x - x

2

x + 2 5

-2- 5 x 2 + 5





 





0,5đ

Ta có:

hc

N

E

M

F

B A

I

O

b h

P = 2x + 1- 4x - x

2

P + 4 = 2(x + 2) + 1- 4x - x



Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a – cốp –xki ta có (1,5đ)

2 2

P + 4 2 +1 x + 2 + 1- 4x - x = 25

P 1



Vậy giá trị lớn nhất của P = 1

Dấu “=” xẩy khi và chỉ khi: x + 2 = 1- 4x - x2

 x = 0