[r]
Trang 1ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2004 – 2005
Phân môn : Đại số
-o0o -Bài 1 : Cho phương trình : 2 1 2 6 10 0
a) Chứng minh rằng : Phương trình ( * ) luôn có nghiệm , với mọi số thực m b) Tìm m để phương trình ( * ) có nghiệm x = a thoả mãn :
Biểu thức :
1
1
2 2
a
a a
P đạt giá trị lớn nhất
Bài 2 : Cho hai số thực dương thoả mãn : x + y = 1 Chứng minh rằng :
4 4 41 89
xy y
x
-o0o -ĐÁP ÁN Bài 1 : a ) Đặt t x 1 0 , phương trình (*) đã cho trở thành phương trình :
t2 + 2t – m2 + 6m – 9 = 0 ( * * ) Phương trình ( * ) có nghiệm Phương trình ( * * ) có nghiệm không âm ( 1 )
Ta xét phương trình ( * * ) là phương trình bậc hai theo ẩn số t , có :
a c = 1 (– m2 + 6m – 9 ) = – (m2 – 6m + 9 ) = – ( m – 3 )2 0 , với mọi m R suy ra : Phương trình ( * * ) luôn có nghiệm không âm , với mọi m R ( 2 )
từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra phương trình đã cho ( * ) luôn có nghiệm , với mọi số thực m
b) Ta có P = 2 11
2
a
a a
( P – 1 ) a2 – a + P – 1 = 0
- Nếu P = 1 thì a = 0 và ngược lại
- Nếu P 1 thì muốn có a thoả mãn điều kiện bài toán thì ta phải có :
Phương trình ( P – 1 ) a2 – a + P – 1 = 0 có nghiệm ( 3 ) và P đạt giá trị lớn nhất ( 4 ) Từ ( 3 ) suy ra Δ = 1 – 4 ( P – 1 )2 0 4 P2 – 8P + 3 0
( 2P – 1 ) ( 2P – 3 ) 0
12P23
Kết hợp với ( 4 ) suy ra P = 23 , khi và chỉ khi a = 1
Từ đó suy ra m2 – 6m + 9 = 0 m = 3
Bài 2 : Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2
y
x hai lần ta sẽ có : x4 + y4 81 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x , y suy ra được : xy 41
1
4
1
xy
Từ dó suy ra điều phải chứng minh
Trang 2
-o0o -MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1 : a) Cho a , b , c là các số thực dương và abc = 1 Chứng minh rằng :
(1 )(31 ) (1 )(31 ) (1 )(31 ) 43
c a
c
b c
b a
b) Cho a ,b là hai số thực dương Chứng minh rằng :
b a
b a a
b b
a
3 ( ) > 6
Bài 2 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 1 6 9 2 9 2 24 16
b) Cho x2 và x + y 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 5x2 + 2y2 + 8y
Bài 3 : a) Giải phương trình : 417 x8 3 2x8 1 1
b b) Giải phương trình : 3 x2 x 2003 3 x2 5x 2004 3 4x 2005 3 2004
c) Giải phương trình nghiệm nguyên : [ 4 ( x – 2 )] 3 = ( x + 5 ) 2
Bài 4 : Tính giá trị của biểu thức : P(x) = x3 + 15x , Với x = 3 5 ( 6 1 ) 3 5 ( 6 1 )
Bài 5 : Giải các hệ phương trình sau :
a)
2
2
3 2
3 2
y x y
x y x
b)
1 2
1 1
3
x y
y
y x x
Bài 6 : Tìm đa thức f(x) , biết f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ
hơn 8 và thoả mãn f(8) = 2004
Bài 7 : Cho n là số nguyên dương chẵn và số thực tùy ý a >3 Chứng minh phương trình :
( n + 1 ) x n+2 - 3( n + 2 ) x n + 1 + a n + 2 = 0 vô nghiệm
Bài 8 : Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x ; y ; z ; t ) thoả mãn : 12 12 12 12 1
t z y x
Bài 9 : Cho hệ phương trình
0 9 2 2
0 3
3
2
x
y
x
Gọi ( x1 ; y1 ) và ( x2 ; y2 ) là hai nghiệm của hệ phương trình đã cho Hãy tính giá trị của biểu thức : P = ( x1 – x2 )2 + ( y1 – y2 )2