Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.[r]
Trang 1UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
_
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi : Tóan Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 10/01/2010
Câu 1 (3 điểm)
a) So sánh các số thực sau (không dùng máy tính gần đúng)
và
Câu 2 (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau :
M =
Câu 3 (5 điểm)
Giải hệ phương trình :
Câu 4 (5 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O, chứng minh rằng : AB2 + CD2 = AD2 + BC2
Câu 5 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Lấy điểm M tuỳ ý trên đường chéo
AC, kẻ ME AB, MF BC Xác định vị trí của M trên đường chéo AC để diện tích DEF nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Trang 2
Hết UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
_
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2009-2010
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TÓAN
chú
Câu 1
(3 điểm)
0.5
0 >
0.5
20102.2009 > 20092.2010 (đúng) 0.5 b) n3 – n + 2 không chia
hết cho 6 với mọi số tự
nhiên n
Để chứng minh n3 – n + 2 không chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n ta chứng minh :
(n3 – n) , n N
0.5
Thật vậy
n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1)
Là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và cho 3 (trong ba số nguyên liên tiếp luôn
có một số chẵn và một số chia hết cho 3)
0.5
Do (2,3) = 1 nên (n3 – n) (2.3) hay (n3 – n) 6
0.5
Câu 2
(4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau :
M =
1
=
1
Câu 3
(5 điểm) Giải hệ phương trình : Điều kiện x, y ≠ 0 1
1
Trang 31
Hệ này vô nghiệm vì nếu có nghiệm (x, y)
1
thì (x – y)2 = (x+y)2 – 4xy = –3 < 0 ; vô lý
1
Câu 4
(5 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD,
hai đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau
tại O, chứng minh rằng :
AB2 + CD2 = AD2 +
BC2
Vận dụng định lý Pithagore vào các tam giác vuông OAB và OCD, ta có :
AB2 = OA2 + OB2
1
AB2 + CD2 = (OA2 + OB2)+(OC2 + OD2) = (OA2+ OD2) +(OB2+ OC2)
1
Nhưng ta lại có :
OA2+ OD2=AD2 (OAD vuông tại O)
OB2+ OC2= BC2 (OBC vuông tại O)
1
Do đó ta có: AB2 + CD2 = AD2 + BC2 1 Vậy AB2 + CD2 = AD2 + BC2
Câu 5
(3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a
Lấy điểm M tuỳ ý trên
đường chéo AC, kẻ ME
AB, MF BC Xác
định vị trí của M trên
đường chéo AC để diện
tích DEF nhỏ nhất, tìm
giá trị đó Dễ thấy S(DEM) = S(AME), S(DMF) = S(CMF) 0.5
S(DEF) = S(DEM) + S(DMF) + S(EMF) 0.5
= S(ABC) – S(BEF) = (a2 – BE.BF) 0.5
S(DEF) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi BE.BF
Do BE + BF = a nên BE.BF lớn nhất khi và chỉ khi BE = BF =
0.5
M là trung điểm AC và
S(DEF) = (a2 - ) = a2
0.5
Nếu học sinh có lời giải khác mà chính xác vẫn được tính điểm tối đa
Hết