Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, trong đó CH là đường cao của tam giác ABC, CE và CF là các đường phân giác của các tam giác CHA và CHB.. [r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NÔNG
ĐỀ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015
MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số: 2015 2014
44 488 8 9
là số chính phương b) Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2 2 chia hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5.
Câu 2: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
2
x x - 1 x + x + 1 x - 1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm trị của x để P là số nguyên.
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: x + x + 3x + 3 + 2x = x + 3 + 2x + 2x3 2 2 2
b) Cho a2014 + b2014 + c2014 = 1 và a2015 + b2015 + c2015 = 1.
Tính giá trị của tổng: a2013 + b2014 + c2015
Câu 4: (4,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC, DE là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B, D thuộc đường tròn tâm O; C, E thuộc đường tròn tâm O’).
a) Chứng minh rằng: BDEC là hình thang cân.
b) Tính diện tích hình thang BDEC theo bán kính R và r.
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, trong đó CH là đường cao của tam giác ABC, CE và CF là các đường phân giác của các tam giác CHA và CHB.
Câu 6: (2,0 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn:
2
1 + a 1 + b 1 + c Tìm giá trị lớn nhất của tích P = abc.
-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2*Lưu ý: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NÔNG
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số: 2015 2014
44 488 8 9
là số chính phương b) Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2 2 chia hết cho 5 thì
a b chia hết cho 5
1a
(1,5đ)
Đặt 2015
11 1 = a thì 102015 = 9a + 1
2015 2014
44 488 8 9
= 2015 2015
44 488 8
+ 1 = 4a 102015 + 8a + 1
0,5đ
KL và chỉ ra số chính phương:
2 2014
1b
(1,5đ)
Chỉ ra: 4a2 3ab 11b 5 2 5a2 5ab 10b 2 4a2 3ab 11b 25
(a + b) 52
0,75đ
Chỉ ra: (a + b) 5 ( Vì 5 là số nguyên tố) 0,25đ Chỉ ra và KL: a4 b4 a2 b2 ab a b 5 0,5đ
Câu 2: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
2
x x - 1 x + x + 1 x - 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm trị của x để P là số nguyên
2a
(2,0đ)
Chỉ ra:
x + 2 + x ( x - 1) - (x + x + 1) 2
( x - 1)(x + x + 1) x - 1
Chỉ ra:
2
2
( x - 1) 2 2
( x - 1) (x + x + 1) (x + x + 1) 1,0đ
2b
(2,0đ) Vì Mặt khác: P > 0 nên 0 < P x 0 nên x + x + 1 1 hay P 2. 2
Để P là số nguyên thì P {1; 2}
0,75đ
Chỉ ra với P = 1 x + x + 1 = 2 4x + 4 x + 1 = 5 2 x 1 2 5 0,5đ
Trang 3Chỉ ra:
3 5 x
2
KL với x {0;
3 5 2
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: x + x + 3x + 3 + 2x = x + 3 + 2x + 2x3 2 2 2 (1)
b) Cho a2014 + b2014 + c2014 = 1 (1.1) và a2015 + b2015 + c2015 = 1 (1.2)
Tính giá trị của tổng: a2013 + b2014 + c2015
3a
(2,0đ)
(1) (x + 3)(x + 1) + 2x = x + 3 + 2x(x + 1)2 2
x + 1 x + 3 - 2x - x + 3 - 2x = 0
x + 1 - 1 x + 3 - 2x = 0
0,5đ
Chỉ ra với: x + 3 - 2x = 0 2 x + 3 = 2x 2 (x - 1) + 2 = 02 (Vô
3b
(2,0đ)
Từ (1.1) có a 1, b 1, c 1, suy ra a 2015 a2014, b2015 b2014,c2015 c2014. 0,5đ Chỉ ra: a2015b2015c2015 a2014b2014 c2014 (3) 0,25đ Chỉ ra tõ (1.1), (1.2), (1.3) cã a2015 a2014, b2015 b2014,c2015 c2014 0,5đ Chỉ ra: a2015 a2014 a2014a 1 0 a 1, a 0 , do đó a2013 = a2014
Tương tự có b2014 = b2014, c2015 = c2015
Chỉ ra và kết luận: a2013b2014c2015 a2014b2014c2014 1
0,75đ
Câu 4: (4,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC, DE là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B, D thuộc đường tròn tâm O; C, E thuộc đường tròn tâm O’)
a) Chứng minh rằng: BDEC là hình thang cân
b) Tính diện tích hình thang BDEC theo bán kính R và r
Vẽ
hình
(0,5đ)
Vẽ đúng hình
H
C
E M
N
O' A
B
D
K
O
0,5đ
Trang 4(1,75đ)
Chỉ ra: BD OO’; CE OO’ (Theo tính đối xứng)
4b
(2,25đ)
Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt BC, DE ở M, N
Chỉ ra: ΔOMO’ vuông tại M nên MA2 = OA.O’A = R.r
Từ đó chỉ ra: MN = 2AM = BC = 2 Rr
0,75đ
Kẻ đường cao CH của hình thang BDEC, CH cắt OB tại K
Chỉ ra: KC = OO’
Chỉ ra trong ΔBKC vuông tại B có:
BC2 = KC.HC 4Rr = (R + r).HC
4Rr
HC =
R + r
1,0đ
Chỉ ra và KL: BDEC
(CE + BD).CH
S =
BDEC
8Rr Rr
S =
R + r (ĐVDT)
0,5đ
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, trong đó CH là đường cao của tam giác ABC,
CE và CF là các đường phân giác của các tam giác CHA và CHB
5
(2,5đ)
Hình vẽ
C
O H
0,25đ
Chỉ ra: ACF = 90 - BCF, AFC = 90 - HCF 0 0 ACF = AFC AF = AC
Tương tự: BE = BC
Chỉ ra: AC + BC = AF + BE = AB + EF
0,5đ
Đặt AC = x, BC = y có EF = x + y – 2R
Áp dụng BĐT Cosi: x2 + y2 2xy (x + y)2 2(x2 + y2) = 8R2 0,5đ Chỉ ra: x + y 2 2R nên x + y – 2R (2 2 - 2)R hay EF 2( 2 - 1)R
Chỉ ra: CH R nên SCEF =
1
2EF.CH ( 2 - 1)R2
0,5đ
Chỉ ra: Max SCEF = ( 2 - 1)R2 x = y CO AB
Câu 6: (2,0 điểm): Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn:
2
1 + a 1 + b 1 + c Tìm giá trị lớn nhất của tích P = abc
6
(2,0đ)
Chỉ ra:
0,75đ
Trang 5Tương tự:
1 2
ca
1 2
ab
Chỉ ra:
Chỉ ra và KL:
1
1 8
8
; Vậy Max P =
1
8 khi a = b = c =
1
Lưu ý: Học sinh có nhiều cách giải khác nhau, nếu đúng giám khảo cho điểm tương ứng
của phần đó
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn:
2
1a1b1c Tìm giá trị nhỏ nhất của tích P = abc.
HD:
Tương tự:
1
2
ca
1 2
ab
abc
1
1 8
8
abc abc
Max P =
1
8 khi a = b = c =
1 2
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:a + b + c = 3
a + 1 b + 1 c + 1
1 + b 1 + c 1 + a
Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2 2 chia hết cho 5 thì
a b chia hết cho 5.
2
a 2ab b 5
a b 5
a b 5 ( Vì 5 là số nguyên tố)
Trang 6Chứng minh rằng số: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + + 72 3 4 5 2015 + 72016 chia hết cho 400.