BÀI 5 dấu của TAM THỨC bậc HAI

-Hiểu được khái niệm về bất phương trình bậc hai một ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn.. Kỹ năng: -Có kĩ năng thành thạo trong việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiêm của

Trang 1

BÀI 5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

MỤC TIÊU:

Kiến thức:

-Nắm vững các định lí về dấu của tam thức bậc hai và ý nghĩa hình học của nó

-Hiểu được khái niệm về bất phương trình bậc hai một ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Kỹ năng:

-Có kĩ năng thành thạo trong việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiêm của bất phương trình có chứa tam

thức bậc hai

-Biết cách giải và biện luận bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu có tam thức bậc hai -Biết cách giải và biện luận bất phương trình bậc hai một ẩn

I.LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Dấu của tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f x ax bx c  ,trong đó a b c, , là những hệ số, 0

a

- Cho f x( )ax2 bx c a( 0),  b2 4 ac

• Nếu  0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số a với    x

Minh họa hình học dấu của tam thức bậc hai:

- Trường hợp a > 0

• Nếu  0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số   a trừ điểm

2

b x a

 

• Nếu  0 thì f x cùng dấu với hệ số a khi xx1 hoặcxx2, trái dấu với hệ số a khi x1 x x2, trong đó x x x1, 2 1x2 là hai nghiệm của f x  

Trang 2

Chú ý: Có thể thay biệt thức  b24ac bằng biệt thức thu gọn  2

2

b

Bất phương trình bậc hai một ẩn

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng 2

0

ax bx c (hoặc

ax   bx c ax   bx c ax   bx c ), trong đó a b c, , là những số thực đã cho,a0.

- Giải bất phương trình bậc hai ax bx c  0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó

2

( )

f x ax  bx c cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a0) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a0)

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Xét dấu của tam thức bậc hai

→Phương pháp giải

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai 2

( )

f x ax  bx c

0

a

0

a

0

a

0.

a

Ví dụ: Xét dấu các tam thức bậc hai sau

a) 3x26x9

b) 2

3x 6x3

c) 2

3x 6x9.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 3 2 6 9 0 3

1

x

x

 



     

Bảng xét dấu

Trang 3

b)3x26x3

Ta có  ' 0,a0

Suy ra 3x26x    3 0, x 1

c)3x26x9

Ta có    72 0,a 3 0

Suy ra 3x26x   9 0, x

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét dấu các tam thức sau

a) 2

  

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2

2

3

x

x







  



Bảng xét dấu

3

x  x     x   

3 2 8 0 ; 2

3

x  x    x  

b) Ta có 2 4 5 0 1

5

x

x

 



Bảng xét dấu

Ví dụ 2 Xét dấu các tam thức sau

a) 2

4x 12x 9

Hướng dẫn giải

a) Ta có  ' 0,a0 suy ra 25 2 10 1 0 \ 1

5

x  x   x  

 

b) Ta có  ' 0,a0 suy ra 4 2 12 9 0 \ 3

2

 

Ví dụ 3 Xét dấu các tam thức sau

a) 3x22x1 b) 2x26x5

Hướng dẫn giải

a) Ta có    ' 2 0,a 3 0 suy ra 3x22x   1 0, x

b) Ta có    ' 1 0,a0 suy ra 2x26x   5 0 x

Ví dụ 4 Giải các bất phương trình sau

Trang 4

a) 3x25x 8 0 b)2x23x 1 0 c)3x24x0

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f x( ) 3 x2 5x 8 có hai nghiệm 1, 8

3

x x  Bảng xét dấu

Nghiệm của bất phương trình là 8 1

   hay 8;1

3

b) Tam thức f x( ) 2x2 3x 1 có hai nghiệm 1, 1

2

x  x  Bảng xét dấu

Nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc 1

2

x  hay   1

2

S      



c) Tam thức f x( ) 3 x24x có hai nghiệm 0; 4

3

x x Bảng xét dấu

Nghiệm của bất phương trình là x0 hoặc 4

3

x

Ví dụ 5 Giải các bất phương trình sau

a)4x22x 7 0 b) x24x 6 0

c) 2

x  x 

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai 2

4x 2x7 có   1080 và a 4 0

Suy ra 2

4x 2x 7 0 với mọi x

Tập nghiệm của bất phương trình là S

b) Tam thức bậc hai x24x6 có    ' 2 0,a 1 0

Suy ra x24x   6 0, x với mọi x

Tập nghiệm của bất phương trình 2

x  x  là S  

Ghi nhớ:

* 2

a

    

* 2

ax b   x

Trang 5

*  2

a

* 2

ax b   x

c) 2

5

Tập nghiệm của bất phương trình là \ 2

5

 

 

x  x  x  x

Do đó 2

x  x    x

Nghiệm của bất phương trình 2

x  x  là x 3

Ví dụ 6 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để các biểu thức sau luôn âm

a) f x( )  x2 2x m b) g x( )4mx24(m1)x m 3 với  x

Hướng dẫn giải

' 1 0

a

m

  



Vậy với m1 thì biểu thức f x luôn âm  

b) Với m0 thì g x 4x 3 0 khi 3

4

x không thỏa mãn  x Do đó m0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m0 thì   2  

g x  mx  m x m  là tam thức bậc hai nên

 

4 0 0,



    

1

m

Vậy với m 1 thì biểu thức g x luôn âm  

Ví dụ 7 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để

3x 2 m1 x2m 3m   2 0 x

b) Hàm số   2  

y m x  m x m có nghĩa với mọi x

Hướng dẫn giải

a) 3x22m1x2m23m   2 0 x

' m 1 3 2m 3m 2 0

2

2

    (vô nghiệm do    3 0)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Hàm số có nghĩa với mọi x khi   2  

m x  m x m   x

-Với m 1 thì biểu thức trở thành 4 6 0 3

2

x   x (không thỏa mãn  x )

-Với m 1 thì ta có   2   1 0  

m

 



Trang 6

1

m

Vậy m1 thì hàm số   2  

y m x  m x m có nghĩa với mọi x

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Tập nghiệm của bất phương trình    2 

x x  x  là

A. ,1 4;. B.1 ; 4 

C  ,1 4; D.1 ; 4 

Câu 2 Tập xác định của hàm số y 5 4 xx2 là

A 5;1  B. 1;1

5

 

 

C.   ; 5 t;  D (-:-]4[++o)

Câu 3 Các giá trị m làm cho biểu thức f(x)= x + 4x + m – 5 luôn dương là

A m9 B m9 C.m9 D.m. Câu 4 Cho hàm số f x  x 2mx3m2. Tìm m để f x( )  0, x

A.m 1;2 B m 1, 2 C.m  ;1  D m 2; 

Bài tập nâng cao

Câu 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm

A m 22 hoặcm2 B   22 m 2

C.  22 m 2 D   22 m 2 hoặc m3

Câu 6 Định m để bất phương trình   2  

m x  m x  m có miền nghiệm là

A.1 m 2. B m1 hoặc m2

C 3

2

m hoặc m2 D 3 2

2 m

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-A 2-A 3-C 4-A 5-B 6-D

Câu 5 Chọn B

Với 3 ( ) 5 4 0 4

5

m  f x  x   x (loại)

Với m3, ( )f x là tam thức bậc hai ẩn x Khi đó

2

2

3 0

20 44 0

m

 



Câu 6 Chọn D

Với m1, bất phương trình đã cho trở thành 2 1 0 1

2

x    x (loại)

Với m1, bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc hai một ẩn Khi đó

' ( 2)(2 3) 0 2

m

 



Trang 7

Dạng 2 Ứng dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích

 Phương pháp giải

Bước 1 Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng f x 0;f x 0;f x 0;f x 0 trong

đó f x là tích hay thương của các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai  

Bước 2 Lập bảng xét dấu f x  

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu để suy ra tập nghiệm của bất phương trình

Ví dụ: Xét dấu biểu thức    2 

2x3 2x 3x2

Hướng dẫn giải

Ta có 2 3 0 3;

2

x    x

2

1

2

x

x

  









Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có

2x3 2x 3x2 0

; ; 2 ;

       

2

2 3 2 3 2 0

3 1

2 2

x

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét dấu các biểu thức sau

x  x  x x

c) 3

x  x

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2

x x

x  x   x x Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có

Trang 8

3 2

3 2

b) Ta có 2 5 4 0 1; 4; 2 5 2 2 0 2; 1

2

x  x   x x  x x   x x

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có

2

5 4 2 5 2 0 ;1 2; 4

2

x  x  x x   x  

x  x  x x  x

Ta có x   2 0 x 2;x22x     1 0 x 1 2

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có

   

3

x  x     x    

   

3

x  x      x   

Ví dụ 2 Xét dấu các biểu thức sau

a)    2   

f x x x x  x

Hướng dẫn giải

a)    2   

f x  x  x Ta có 2x2    2 0 x 1;3x    6 0 x 2

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có

  0  2; 1  ; ;

f x       x t

  0  , 2  1;1 

f x       x

b)   2 2 2 

f x x x x  x

Trang 9

Ta có 2 0 0;9 2 0 3; 2 7 8 0 1

8

x

x





Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có

  0  8; 3  1;3 ;

  0  ; 8  3;0   0;1 3; 

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì    2 

1

f x x x  không âm?

A    ; 1 1; . B 1, 0  1;  C   ; 1 0;1  D  1;1

Câu 2 Tập nghiệm của bất phương trình 1 2 x2x5x 1 0 là

A. 1;1

2

5 1; 2

    D.S    1, . Câu 3 Hàm số có bảng xét dấu

là hàm số

A.      2 

f x  x x  x

C      2 

f x  x  x x D. f x   1 x2x3x.

Câu 4 Tập nghiệm của phương trình 2 2

x  x x  x là

A  2;3 B  2,3 C ; 2  3; D ;2  3; 

Bài tập nâng cao

Câu 5 Tập nghiệm của bất phương trình    2     2 

x x  x  x x  x có dạng  a b ; vớia b,  Giá trị của a b là

A.3

2 7

3 5



Câu 6 Có bao nhiêu giá trị m để mọi x0 đều thoả bất phương trình 2  2 2 2

? 3

x  x m  x  xm

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-B 2-C 3-A 4-D 5-D 6-B

Câu 5 Chọn D

Trang 10

5

x x  x  x x  x  x  x     x

Suy ra 13 2 3

a b     

Câu 6 Chọn B

Ta có  2  2 2 2  2 

x  x m  x  xm  x m x  x   xm x x 

Mặt khác x 0 (2x m x )(       1) 0, x 0 m 2

Dạng 3 Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

 Phương pháp giải

Bước 1 Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng f x 0;f x 0;f x 0;f x 0, , trong

đó f x là tích hay thương của các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai  

Bước 2 Lập bảng xét dấu f x Lưu ý các giá trị của x làm   f x không xác định  

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu để suy ra tập nghiệm của bất phương trình

Ví dụ: Xét dấu biểu thức

2

2 3 2

2 5

x

Hướng dẫn giải

Ta có 2 5 0 5;

2

x    x

2

1

2

x

x

  









Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

x  x  x     x     

2 2

x  x  x    x    

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét dấu các biểu thức sau

a)

2

1

x



2 2

2

3 4

 

Hướng dẫn giải

2

1

x

f x





Trang 11

2

3

x

x







  



Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

3

x

x

       

3

x

x

b) Đặt   22 2

3 4

g x

 



Ta có 2 2 0 1; 2 3 4 0 1

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

  2

2

2

0 2; 4 ;

3 4

x

2

2

2

0 ; 1 1, 2 4;

3 4

x

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau

2 2

2

2 1

8

x x

x



2 2

6 0

3 4

x

 

Hướng dẫn giải

a) Ta có

0

Bảng xét dấu

Trang 12

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

x

2

0 8

x

2

9x  0, x) Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 

S     

x

Ta có 2 6 0 2, 2 3 4 0 1

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

2 2

6 0 [ 2; 1) [1;3] (4; ).

3 4

 

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1 Tập xác định của hàm số 2 2

y



  là

Trang 13

A (   ; 6] [1; ). B (-6; 1).

C ( ; 6) (1;   ). D (  ; 1) (6;).

Câu 2 Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 0

4 3

x

Câu 3 Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì ( ) 2 1

4 3

x

f x





  không âm?

C S    ( ; 3) ( 1;1]. D S=(-3; 1).

Câu 4 Khi xét dấu biểu thức

2 2

4 21 ( )

1

f x

x



 , ta có

A f x 0 khi 7  x 1 hoặc1 x 3

B f x 0khi x 7 hoặc   1 x 1 hoặc x3

C f x 0khi    1 x 0 hoặc   1.x

D f x 0 khi  x 1

Bài tập nâng cao

Câu 5 Số nghiệm nguyên thuộc khoảng 0;2017 của bất phương trình

2

4 3 2 0

2 3

x



A.2014 B.2015 C.2016 D 2017

Câu 6 Số giá trị nguyên của m để hàm số

2 2

3 4 (3 2) 4

y



   xác định với mọi giá trị của x là

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-C 2-C 3-B 4-B 5-C 6-C

Câu 5 Chọn C

Ta có

2

1

3

2

x

x

x

 



  



Khi đó số nghiệm nguyên thuộc 0; 2017 là 2016 nghiệm 

Câu 6 Chọn C

Hàm số

2 2

y



   xác định với mọi giá trị của

2

(3 2) 4 0,

x x m x   x

1 0

a

m

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Trang 14

Dạng 4 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vơ nghiệm, cĩ nghiệm, cĩ hai nghiệm - Phương pháp giải

Phương trình bậc hai ax2bx c 0(a0) cĩ biệt thức  b24ac hoặc   b 2ac

.• Cĩ hai nghiệm phân biệt khi  0

• Cĩ nghiệm kép khi  0

• Vơ nghiệm khi  0

• Cĩ nghiệm khi  0

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau cĩ hai nghiệm phân biệt

2 ( 2) 4 0

Hướng dẫn giải

Ta cĩ  (m2) 162 m24m12

Để phương trình đã cho cả hai nghiệm phân biệt thì 0 2 4 12 0 6.

2

m

m

  

Vậy với m   ( ; 6) (2;) thì phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của tham số m

a) Phương trình x22(m2)x m(  3) 0 cĩ nghiệm

b) Phương trình m21x2( 3m2)x 2 0 vơ nghiệm

Hướng dẫn giải

a) Ta cĩ   (m2)2  m 3 m25m7

Vì tam thức m25m7có  m 3 nên  m2 5m 7 0 với mọi m

Do đĩ phương trình đã cho cĩ nghiệm với mọi m

b) Ta cĩ  ( 3m2)2  4 m2   1 2 5m24 3m4

Vì tam thức 5m24 3m4 có a m     5 0, m 0 nên   5m24 3m 4 0 với mọi m

Do đĩ phương trình đã cho vơ nghiệm với mọi m

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm

a)x2mx m  3 0 b) (1m x) 22mx2m0

Hướng dẫn giải

a) Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi  0

2

m

m

 



Vậy với m   ( ; 2] [6;) thì phương trình x2 mx m  3 0 cĩ nghiệm

b) Với m 1 phương trình trở thành 2x   2 0 x 1 Suy ra m 1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn Với m 1 phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi  ' 0

2 2 (1 ) 0 2 2 0 2 0

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thấy   2 m 0 thì phương trình cĩ nghiệm

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm

a)x22mx m  3 0 b) (m1)x2(2m2)x2m0

Hướng dẫn giải

Trang 15

a) Phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi  ' 0

2 3 0 1 13 1 13.

Vậy với 1 13 1; 13

thì phương trình vơ nghiệm

b) Với m1 phương trình đã cho trở thành 2 0 (phương trình này vơ nghiệm) do đĩ m1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn

Với m1phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi  ' 0

( 1) 2 ( 1) 0 ( 1)( 1) 0

1

m

m

Vậy với m1 hoặc m<-1 thì phương trình vơ nghiệm

Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Câu 1 Phương trình x24mx m  3 0 vơ nghiệm khi và chỉ khi

4 m

  

C 3 hoặc 1

4

4 m

Câu 2 Phương trình x2  x m 0 vơ nghiệm khi và chỉ khi

A 3

4

4

4

4

m 

Câu 3 Tập các giá trị của m để (m4)x22(m1)x 1 2m0 vơ nghiệm là

A B . C ( 4;  ). D ( ; 4). 

Câu 4 Phương trình x2mx m 0 vơ nghiệm khi và chỉ khi

A.-1<m<0 B.  4 m 0.

Bài tập nâng cao

Câu 5 Với giá trị nào của m thì phương trình (m1)x22(m2)x m  3 0 cĩ hai nghiệm x x và 1, 2

1 2 1 2

x +x +x x <1?

A 1 m 2. B 1 m 3. C m2. D m3

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-B 2-C 3-B 4-C 5-B

Câu 5 Chọn B

Phương trình cĩ hai nghiệm khi 1 0 1 2 1

m



Khi đĩ 1 2 1 2 1 2( 2) 3 1 2 6 0 1 3