Toán 10 Bài 5 dấu của TAM THỨC bậc HAI

+ Hiểu được khái niệm về bất phương trình bậc hai một ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn..  Kĩ năng + Có kĩ năng thành thạo trong việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiệm củ

CHUYÊN ĐỀ 4 BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững các định lý về dấu của tam thức bậc hai và ý nghĩa hình học của nó

+ Hiểu được khái niệm về bất phương trình bậc hai một ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn

 Kĩ năng

+ Có kĩ năng thành thạo trong việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiệm của bất phương trình có chứa tam thức bậc hai

+ Biết cách giải và biện luận bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu có tam thức bậc hai

+ Biết cách giải và biện luận bất phương trình bậc hai một ẩn

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Dấu của tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng

f x ax bx c , trong đó , ,a b c là những hệ số, a 0

- Cho f x ax2bx c (a 0),  b2 4ac

 Nếu  0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số   avới   x .

 Nếu  0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số   a trừ điểm

2

b

x

a

 Nếu  0thì f x cùng dấu với hệ số   a khi x x 1 hoặc

2

x x , trái dấu với hệ số a khi x1 x x2, trong đó x x (1, 2

1 2

x x ) là hai nghiệm của f x  

Chú ý: Có thể thay biệt thức  b2 4ac bằng biệt thức thu

gọn  2

2

b

Minh họa hình học dấu của tam thức bậc hai:

- Trường hợp a 0.

Bất phương trình bậc hai một ẩn

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng

ax bx c  (hoặcax2bx c  ,0 ax2bx c  ,0

ax bx c  ), trong đó , ,a b c là những số thực đã cho,

0

a 

- Giải bất phương trình bậc hai ax2bx c  , thực chất là0

tìm các khoảng mà trong đó   2

f x ax bx c cùng dấu với

hệ số a( trường hợp a 0) hay trái dấu với hệ số a (trường

hợp a 0)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc hai

Phương pháp giải

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng

sau

f x ax bx c , (a 0)

0

  a f x   0,  x

0

2

b

a



0

  a f x   0,   x  ;x1  x2;

a f x   x x x

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f x  ax2bx c

0,

0

a

ax bx c   x   

 



0,

0

a

ax bx c   x   

 



0,

0

a

ax bx c   x   

 



0,

0

a

ax bx c   x   

 



Ví dụ: Xét dấu các tam thức bậc hai sau

a) 3x26x 9 b) 3x26x 3 c) 3x26x 9

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2

0

1

x x





   

Bảng xét dấu

2

3x 6x 9 + 0  0 +

b) 2

3x 6x 3

Ta có   0,a0 Suy ra 3x26x30, x 1 c) 2

3x 6x 9

Ta có  72 0, a 3 0 Suy ra 3x26x9 0, x  

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức sau

a) 2

3x  2x 8 b) 2

Hướng dẫn giải

a) Ta có 3x2 2x 8

2

3

x x







 

 



Bảng xét dấu

3

2

Suy ra 3x2  2x 8 0 ; 4 2; 

3

       

2

3

b) Ta có x24x5 1

0

5

x x





   

 Bảng xét dấu

2 4 5

Suy ra x24x5 0 x  1;5 và

2 4 5

    0 x    ; 1  5; 

Ví dụ 2: Xét dấu các tam thức sau

a) 2

25x 10x 1 b) 2

4x 12x 9

Hướng dẫn giải

a) Ta có   0,a0 suy ra 25x210x1 1

5

b) Ta có   0,a0 suy ra 4x212x 9 3

2

 

Ví dụ 3: Xét dấu các tam thức sau

a) 3x2 2x 1 b) 2x26x 5

Hướng dẫn giải

a) Ta có   2 0, a 3 0suy ra 3x2 2x10 x  

b) Ta có    1 0,a0suy ra 2x26x 50 x  

Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau

a) 3x25x 8 0 b) 2x2 3x  1 0

c) 2

3x  4x 0

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f x  3x25x 8có hai nghiệm 1; 8

3

x x Bảng xét dấu

3

 

Nghiệm của bất phương trình là 8 1

3 x

   hay 8;1

3

S   

b) Tam thức f x  2x2 3x có hai nghiệm 1 1

1;

2

x x Bảng xét dấu

x   1 1

2

 

Nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc 1

2

x  hay

2

S       

 c) Tam thức f x  3x2 4x có hai nghiệm 0; 4

3

x x Bảng xét dấu

 

Nghiệm của bất phương trình là x 0 hoặc 4

3

x 

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 2x  7 0 b) x24x  6 0

c) 25x2 20x  4 0 d) x26x  9 0

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai 4x2 2x có 7  108 0 và a  4 0

Suy ra 4x2 2x  với mọi 7 0 x  

Tập nghiệm của bất phương trình là S 

b) Tam thức bậc hai x2 4x có 6   2 0,  a 1 0

Suy ra x24x 6 0,  x

Tập nghiệm của bất phương trìnhx24x  là 6 0 S 

c) 25x2 20x  có 4 0   0,a25 0  25x2 20x 4 0 2

, 5

x

 

Tập nghiệm của bất phương trình là \ 2

5

S   

 

d) x26x 9 x32    0, x

Do đó x26x 9 0  x3

Nghiệm của bất phương trình x26x  là 9 0 x 3

Ghi nhớ:

a

 ax b 2  0 x 

a

 ax b 2  0 x 

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để các biểu thức sau

luôn âm

a)   2

2

f x x  x m

b) g x  4mx2 4m1x m  3 với   x

Hướng dẫn giải

a

m

 





   



Vậy với m 1 thì biểu thức f x luôn âm. 

b) Với m 0 thì g x  4x 3 0 khi 3

4

x  không thỏa mãn   x

Do đó m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 0thì g x 4mx2 4m1x m  3 là tam thức bậc hai nên

 

0,









1

m

Vậy với m  1 thì biểu thức g x luôn âm. 

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

a) 3x2 2m1x 2m23m 2 0,   x

b) Hàm số y m1x2 2m1x3m 3 có nghĩa với mọi x.

Hướng dẫn giải

a) 3x2 2m1x 2m23m 2 0,   x

m 12 3 2 m2 3m 2 0



        (do a  3 0)

2

7m 7m 7 0

    (vô nghiệm do   3 0)

Vậy không có giá trị nào của mthỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Hàm số có nghĩa với mọi xkhi

m x  m x m    x

 Với m 1 thì biểu thức trở thành 4 6 0 3

2

x   x (không thỏa mãn   x )

 Với m 1 thì ta có

m1x2 2m1x3m 3 0,   x

1 0

m

 



 





1

m

Vậy m 1thì hàm số   2  

y m x  m x m có nghĩa với mọi x

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình x x 52x22 là

A  ;1  4; B 1;4  C  ;1  4; D 1; 4 

Câu 2: Tập xác định của hàm số 2

5 4

y  x x là

A 5;1 B 1;1

5



  C   ; 5  1; D ; 1 1; 

5

    

Câu 3: Các giá trị m làm cho biểu thức f x  x24x m  5 luôn dương là

Câu 4: Cho hàm số f x x22mx3m 2 Tìm mđể f x    0, x

A m 1;2 B m 1; 2 C m    ;1 D m 2;

Bài tập nâng cao

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể bất phương trình sau vô nghiệm

f x  m x  m x 

A m 22 hoặc m 2 B 22m2

C 22m2 D 22m2 hoặc m 3

Câu 6: Định mđể bất phương trình m1x2 2m 2x 2 m0có miền nghiệm là 

A 1m2 B m 1 hoặc m 2 C 3

2

m  hoặc m 2 D 3 2

2m .

Dạng 2: Ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích

Phương pháp giải

Bước 1 Biến đổi bất

phương trình về một

trong các dạng f x   0

; f x  ;   0 f x  ;  0

f x  , trong đó

Ví dụ: Xét dấu biểu thức 2x3 2x23x2

Hướng dẫn giải

2

x   x

2

1

2

x

x













 

f x là tích hay thương

của các nhị thức bậc nhất

hoặc tam thức bậc hai

Bước 2 Lập bảng xét

dấu f x  

Ta có bảng xét dấu

2

2

2

2x 3x 2

Bước 3 Dựa vào bảng

xét dấu để suy ra tập

nghiệm của bất phương

trình

Từ bảng xét dấu, ta có

2x3 2x23x2 0 3 1

       

2x3 2x23x2 0 3; 1 2; 

     

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét dấu biểu thức sau

x  x  x x c) x3 5x 2

Hướng dẫn giải

a) Ta có x2 x 1 0 vô nghiệm; 2 1 1

x  x   x x Bảng xét dấu

3

1

2

Từ bảng xét dấu ta có

x2 x 1 6  x2 5x1 1 1

3 2

x2 x 1 6  x2 5x1 1 1

      

b) Ta có 2

2

Bảng xét dấu

x   1

2 5 4

2

 

Từ bảng xét dấu, ta có

x2 5x4 2 5   x2x2 0 ;1 1; 2 4; 

2

;

x  x  x x 0 1;1 2;4

2

c) Ta có x3 5x2 x 2 x22x1

Ta có x 2 0  x2; x22x1 0  x 1 2

Bảng xét dấu

2

2 2 1

3 5 2

Từ bảng xét dấu, ta có

3 5 2

x  x  0 x   1 2; 1  22; ;

3 5 2

x  x  0 x     ; 1 2   1 2; 2

Ví dụ 2 Xét dấu biểu thức sau

a) f x  2x2 2 3  x6

b)   2 2  2 

f x x  x x  x

Hướng dẫn giải

a) f x  2x2 2 3  x6

Ta có 2x2 2 0  x ; 1 3x  6 0 x2

Bảng xét dấu

2

 

Từ bảng xét dấu, ta có

 

f x  0 x  2; 1   1; ;

 

f x  0 x    ; 2  1;1

b) f x x29 x2 x27x 8

Ta có x2  0 x ; 0 9 x2  0 x ; 3 2 1

8

x

x





Bảng xét dấu

2

2

2 7 8

 

Từ bảng xét dấu, ta có

 

f x  0 x  8; 3   1;3;

 

f x  0 x    ; 8  3;0  0;1  3; 

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x x 21 không âm?

A   ; 11; B 1;0  1; C   ; 1  0;1 D 1;1

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 1 2 x 2x 5 x1 0 là

A 1;1

2

S   

2

S   

S    

    D S     1; 

Câu 3: Hàm số có bảng xét dấu

 

là hàm số

A f x   x 3 x2 3x2 B f x   1 x x  2  5x6

f x  x x  x D f x   1 x 2 x 3 x

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình x2 5x6 x2 5x6 là

A 2;3  B 2;3  C  ; 2  3; D  ; 2  3;

Bài tập nâng cao

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình    2     2 

x x  x  x x  x có dạng a b với; 

,

a b   Giá trị của a b là

A 3

2 7

3 5



Câu 6: Có bao nhiêu giá trị m để mọi x 0 đều thỏa bất phương trình  2 2  2 2

3

x  x m  x  x m ?

Dạng 3: Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải

Bước 1 Biến đổi bất phương trình về

một trong các dạng f x  ;  0

f x  ; f x  ;  0 f x  , trong  0

đó f x là tích hay thương của các 

nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc

hai

Ví dụ: Xét dấu biểu thức

2

x

Hướng dẫn giải

2

x   x ;

2

1

2

x

x













Bước 2 Lập bảng xét dấu f x Lưu  

ý các giá trị của x làm f x không  

xác định

Bảng xét dấu

2

2

2

2x 3x 2

 

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu để suy

ra tập nghiệm của bất phương trình

Dựa vào bảng xét dấu ta có

2x5 2x 3x2 0 5 1

       

và

2x5 2x23x2 0 5; 1 2; 

     

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét dấu các biểu thức sau

a)

2

1

x



2 2

2

 

Hướng dẫn giải

a) Đặt f x  

2

1

x



Ta có x21 0  x ; 1 x2 3 0  x 3; 2

2

3

x

x







 



Bảng xét dấu

3

2 1

2 3

2

3x 2x 8

 

Dựa vào bảng xét dấu ta có

2

1

x



3

2

1

x



3

b) Đặt g x   22 2

 

2

x

x





4

x

x





Bảng xét dấu

2 3 4

 

Dựa vào bảng xét dấu ta có

2

2

2

 

    0 x2; 4;

2

2

2

 

    0 x    ; 1  1; 2  4;

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau

a) 2 1 1

2 2

2

10

8

x x

x



 c)

2

2

6 0

x

 

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

0

1 x x 3x 4

Bảng xét dấu

2 2 5

2 3 4

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

2

2

x

b) Ta có

2 2

2

10

8

x x

x



2

2 2

10 0 8

x

x x





2

0 8

x



Bảng xét dấu

2

2 8

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S  3; 2 2   2 2;3

x

Ta có 2 6 0 2

3

x

x





4

x

x





Bảng xét dấu

1

2 3 4

2

2

6

x

 



Dựa vào bảng xét dấu, ta có

2 2

6 0

x

 

   x    2; 11;34;

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1: Tập xác định của hàm số 2 2

y



  là

A   ; 6  1; B 6;1 C   ; 6  1; D   ; 1  6;

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 0

x





A  ;1 B 3; 1 1; C   ; 3  1;1 D 3;1

Câu 3: Với xthuộc tập hợp nào dưới đây thì   2 1

x

f x





  không âm?

A S    ;1. B S    3; 11; C S     ; 3  1;1 D S   3;1.

Câu 4: Khi xét dấu biểu thức  

2 2

4 21 1

f x

x



 , ta có

A f x  khi   0 7x 1 hoặc 1x3

B f x  khi   0 x  7 hoặc  1 x1 hoặc x 3

C f x  khi   0  1 x0 hoặcx 1

D f x  khi   0 x  1

Bài tập nâng cao

Câu 5: Số nghiệm nguyên thuộc khoảng 0; 2017 của bất phương trình  4 2 3 2 0

x

x x



Câu 6: Số giá trị nguyên của mđể hàm số

2 2

y



   xác định với mọi giá trị của x là

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm

Phương pháp giải

Phương trình bậc hai ax2 bx c 0a0

có biệt thức  b2 4ac (hoặc   b2 ac)

 Có hai nghiệm phân biệt khi  0

 Có nghiệm kép khi  0

 Vô nghiệm khi  0

 Có nghiệm khi  0

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

2

Hướng dẫn giải

Ta có  m2216m24m12

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

2

m

m

 



Vậy với m     ; 6  2; thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của tham số m

a) phương trình x2 2m2x m3 0có nghiệm

b) phương trình m21x2 3m 2x 2 0 vô nghiệm

Hướng dẫn giải

a) Ta có   m22m 3 m25m7

Vì tam thức m25m có 7  m 3 nên   m25m7 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

3m 2 4 m 1 2 5m 4 3m 4

Vì tam thức 2

5m 4 3m 4

   có a   và m 5 0  m 0 nên

2

5m 4 3m 4 0

     với mọi m.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m

Ví dụ 2 Tìm mđể phương trình sau có nghiệm

a) x2 mx m   3 0 b) 1m x 2 2mx2m0

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  0

2

m

m





Vậy với m     ; 2  6; thì phương trình 2

3 0

x  mx m   có nghiệm

b) Với m 1 phương trình trở thành 2x 2 0  x1 Suy ra m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m 1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi   0

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thấy 2m0 thì phương trình có nghiệm

Ví dụ 3 Tìm mđể phương trình sau vô nghiệm

a) 2

x  mx m   b) m1x2 2m 2x2m0

Hướng dẫn giải

a) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi   0

3 0

Vậy với 1 13 1; 13

m    

thì phương trình vô nghiệm

b) Với m 1 phương trình đã cho trở thành 2 0 (phương trình này vô nghiệm)

do đó m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 1 phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi   0

1

m

m





Vậy với m 1 hoặc m  1 thì phương trình vô nghiệm

Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Câu 1: Phương trình x2 4mx m   vô nghiệm khi và chỉ khi3 0

4

m  hoặc m 1 D 3 1

  

Câu 2: Phương trình x2 x m vô nghiệm khi và chỉ khi0

4

4

4

4

m  

Câu 3: Tập các giá trị của mđể m4x2 2m1x 1 2m0 vô nghiệm là

Câu 4: Phương trình 2

0

x  mx m  vô nghiệm khi và chỉ khi

A  1 m0 B 4m0 C 4m0 D m  4 hoặc m 0

Bài tập nâng cao

Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình m1x2 2m 2x m  3 0 có hai nghiệm x x và1, 2

1 2 1 2 1

x x x x  ?

A 1m2 B 1m3 C m 2 D m 3.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc hai

Câu 5 Chọn B.

5

m  f x  x   x (loại)

Với m 3, f x là tam thức bậc hai ẩn   x Khi đó

f x  m x  m x    x 3 02

m

m

 





Câu 6 Chọn D.

Với m 1 bất phương trình đã cho trở thành 2 1 0 1

2

x   x  (loại)

Với m 1 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc hai một ẩn Khi đó

m1x2 2m 2x 2 m0,  x

2

m

m

 







Dạng 2: Ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích

Câu 5 Chọn D.

5

x x  x  x x  x  x  x    x

a b   

Câu 6 Chọn B.

Ta có x2 x m2 x2 3x m 2  4x2m 2x2 2x  0 2x m x x   10

Mặt khác x 0 2x m x   1    0, x 0 m2

Dạng 3: Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Câu 5 Chọn C.