BÀI 1 bất ĐẲNG THỨC

-Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.. Kĩ năng: -Biết cách chứng minh bất

Trang 1

Trang 1

BÀI 1 BẤT ĐẲNG THỨC

MỤC TIÊU

Kiến thức:

-Hiểu được khái niệm bất đẳng thức

-Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

-Biết cách giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất và định nghĩa

Kĩ năng:

-Biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng Cô-si -Vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong các bài toán về cực trị

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm bất đẳng thức

- Các mệnh đề dạng "abhoặc "a b  được gọi là bất đẳng thức

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

- Nếu mệnh đề "a  b c dđúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a b cd

- Nếu bất đẳng thức ab là hệ quả của bất đẳng thức cd và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a  b c d

Tính chất của bất đẳng thức

Điều kiện Nội dung

a    b a c b c Cộng hai vế của bất đẳng thức

với một số

0

với một số

0

a b

c d



 

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

ac bd

c d

 



 

Nhân hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

a b a  b  Nâng hai vế của bất đẳng thức

lên một lũy thừa

*

, a 0

a b a b

thức

a b a b

Bất đẳng thức Cô-sinh

- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

2

a b

ab

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

- Hệ quả:

Tống của một số dương và nghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2

1

a

   

• Nếu ,x y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x y

Trang 2

Trang 2

• Nếu ,x y cùng dương và có tích không đổi thì tổng xy đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x y

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau

Điều kiện Nội dung

| | 0,| |x  x x x,| | x

0

a

| |x     a a x a

| |x a x a





    

| | | | |a  b   a b| | |a | | b

- Nếu |a|<|b| (1) đúng

- Nếu a >b, bình phương hai vế, ta được

a  ab  b a  b ab

|ab| ab

   (bất đẳng thức này luôn đúng)

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab0.

Chứng minh tương tự với bất đẳng thức

|a b | | |a | | b

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1, chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất

►Phương pháp giải

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức AB A( B)

1.Chứng minh A B 0(A B 0) hoặc dùng các phép biến đổi tương đương với một bất đẳng thức đúng

2 Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng

3 Biến đổi một vế của bất đẳng thức

4 Sử dụng tính chất bắc cầu A C A B





 

 



Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức

a b a b ab với mọi a0,b0

Cách 1 Xét hiệu

a  b a b ab  a a b  ab b

(a b a) b (a b) (a b)

     

Mà (a b )20 với mọi , và a b a0, b0

Nên (a b ) (2 a b ) 0

Dấu “=” xảy ra khi ab

a b a b ab với mọi a0,b0

Cách 2 Biến đổi tương đương  3 3  2 2

a b  a b ab

Trang 3

Trang 3

0

a a b ab b

    

(a b a) b 0

   

2

(a b) (a b) 0

Lập luận tương tự như Cách 1, ta suy ra bất đẳng thức (*) là một bất đẳng thức đúng với a0,b0

Vì vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh

►Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho ,a b là hai số thực thỏa mãn ab1

Chứng minh rằng 1 2 1 2 2

1 a 1 b 1 ab

Hướng dẫn giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

1 a 1 b 1 ab 1 a 1 ab1 b 1 ab

0

2

Ví dụ 2 Cho ,a b thỏa mãn a b 0

Chứng minh rằng

a b a b a b 

Ta có

a b a b a b     a b a b 

2

0 4

a b a b 

  ( luôn đúng vì a b 0 và (a b )20 )

Dấu “=” xảy ra khi abhoặc a b

Vậy

a b a b  a b 

    với a b 0.

Ví dụ 3 Cho , ,a b c0 thỏa mãn 2 2 2 35

33

a b c  Chứng minh 1 1 1 1

a  b c abc

Trang 4

Trang 4

Ta có 0 (  a b c)2a2  b2 c2 2(ab ac bc  )

2 2 2

2(ac bc ab) a b c

1 2

35

66

Vì a b c>0 nên chia cả hai vế cho abc ta được ac bc ab 1

    ( điều phải chứng minh)

Ví dụ 4 Chứng minh rằng với mọi , ,a b c0 ta có 1 a b c 2

Tương tự ta có b b

b c a b c

c a a b c

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được

1

a bb cc a

Ta có a a b c(   ) a2ab ac a2ab ac bc   (a b a c)(  )



Tương tự ta có









2

a bb cc a 

Từ (*) và (**) ta được 1 a b c 2

   ( điều phải chứng minh)

Ví dụ 5 Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện

3

bc ca ab 

Ta có

Trang 5

Trang 5

3

4

Suy ra , ,x y z0 và thỏa mãn x+y+z=3

Cộng vế với vế các bất đẳng thức, ta được

3

 

Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi trong 3 số , ,a b c có một số bằng 3 và hai số còn lại cùng bằng 0

Ví dụ 6 Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z.

Chứng minh rằng y 1 1 1(x z) 1 1 (x z)

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

2

(x z) y x( z) x z

1

0



    ( vì x z 0 )

2

0

(x y y)( z) 0

Bất đẳng thức này luôn đúng vì 0  x y z

Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi x y hoặc yz

Ví dụ 7 Cho abc1và a3 36 Chứng minh rằng

2

2 2

3

a

Xét hiệu

a

2 3

36

b c

a



    

Trang 6

Trang 6

Ta có a336 a 3360 và a3360 nên

3

36 0;

12

a a

Lại có

2

0

2

a

b c

Do đó

2 3

36 0

b c

a



Vậy

(điều phải chứng minh)

Ví dụ 8 Cho hai số thực dương ,a b Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A

2

4

1

1 2

a

1

1 2

ab

C

2

a





2 2

1

a



2

a b

Do đó B sai

a

Do đó C đúng

Chọn C

Ví dụ 9 Nếu 0<a<1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A 1 a

a

Do đó A đúng

2

a a a a   a a  a Do đó C sai

a a a a   a a  a Do đó D sai

Chọn A

Ví dụ 10 Cho a b c và 1 2; 1 2

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A xy. B xy.

Trang 7

Trang 7

C xy C Không so sánh được

(a b a b ab)( ) 0

     luôn đúng với mọi a b 0

Do đó xy

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Hai số a, b thỏa mãn bất đẳng thức

2

2 2

a b a b 

   thì

A ab B ab C ab D ab

Câu 2 Với ,m n0, bất đẳng thức mn m n(  ) m3n3 tương đương với bất đẳng thức

A  2 2

(m n m ) n mn 0.

(m n m ) 2n 0

Câu 3 Cho x, y>0 Bất đẳng thức nào sau đây sai?

A (xy)24 xy B 1 1 4

x y x



C 1 4 2

xy  x y

(xy) 2 x y

Câu 4 Với mỗi x2, trong các biểu thức 2, 2 , 2 , 1,



  2 giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?

A 2

2 1

x D .2

x

Câu 5 Cho các mệnh đề sau:

(I): a2 b2 2ab,a b,

(II): ab a b(   ) a3 b3,a b,

(III): ab 4 4 ab,a b,

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (I) và (III) D Chỉ (I),(II) và (III) Câu 6 Cho các mệnh đề

2

4

1

1 2

a

1

1 2

ab

2 2

(III) :

a a

2 (IV) : ab 1

a b 

Số mệnh đề đúng là

Câu 7 Giá trị lớn nhất của hàm số y  x2 5x6 trên đoạn [2 ; 3] là

A 5

1

3

4

Trang 8

Trang 8

Câu 8 Cho hàm số

2

1

f x

x



 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A f x có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1  

B f x không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1  

C. f x có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2  

D f x không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất  

Câu 9 Cho , , ,a b c d là các số dương Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Nếu a c

b d thì a b c d

b d thì a b c d

C a b c   ab bc ca D 2 ab( a b)2ab a b 

Câu 10 Cho , , ,a b c d là các số thực trong đó , a c0 Nghiệm của phương trình ax b 0 nhỏ hơn nghiệm của phương trình cx d 0 khi và chỉ khi

A b c

a  c

Bài tập nâng cao

Câu 11 Với giá trị nào của a thì hệ phương trình 1

x y

 



   

 có nghiệm  x y với ; x y lớn nhất? ,

A 1

4

2

a  D a=1

Câu 12 Cho a2b2c2 1 Hãy chọn mệnh đề đúng

2

ab bc ca   

Câu 13 Bất đẳng thức a2  b2 c2 d2 e2 a b c d e(    ), a b c d e, , , , tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

A

0

            

B

0

            

C

0

            

D (a b )2 (a c)2 (a d)2 (a e)20

Câu 14 Cho 3 số , ,a b c bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A a b 2 ab. B 2  2 2 2

(a2b3 )c 14 a  b c

C ab bc ca  a2 b2 c2 D 1 1 4

a b a b



Câu 15 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x23| | vói x x là

A 9

4

2

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Trang 9

Trang 9

Dạng 1 Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất

1-C 2-C 3-B 4-B 5-A 6-D 7-B 8-B 9-A 10-D 11-A 12-B 13-B 14-C 15-C

Câu 11 Chọn B

Hệ phương trình có nghiệm là

1





  

Ta có

2

xya a  a a  a  a    a     a

Đẳng thức xảy ra khi 1

2

a

Vậy xy lớn nhất khi 1

2

a

Ta có a2 b2 2 ;ab b2 c2 2 ;bc c2a22 ac

Cộng vế theo vế ta có  2 2 2

2 a b c 2(ab bc ca  )ab bc ca  1

2

a b c   a b  c ab bc ca   ab bc ca   

0

            

Câu 14 Chọn C

ab bc ca  a    b c a b  b c  c a 

Câu 15 Chọn C

Ta có x20;| | 0x   x2 3| | 0,x   x

Vậy giá trị nhỏ nhất là 0 đạt được khi x0

Dạng 2 Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si

► Phương pháp giải

1 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số không âm:

Với ,a b0,ta luôn có

2

a b

ab



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên

2 Bất đẳng thức Cô-si ( AM-GM) cho ba số không âm:

Với , ,a b c0, ta luôn có 3

3

a b c

abc

Trang 10

Trang 10

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Dạng tương đương của bất đẳng thức trên ( )3

27

a b c

3 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho n số không âm

Với a a1, 2,,a n0, ta luôn có

1 2

n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1a2a n

Ví dụ 1: Cho , ,a b c0

Chứng minh (a b b c c a )(  )(  ) 8abc

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

 

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

2 2 2

(a b b c c a )(  )(  ) 8 a b c 8abc 2 2 2

(a b b c c a )(  )(  ) 8 a b c 8abc Đẳng thức xảy ra khi a b c

Ví dụ 2: Cho a, b, c>0 Chứng minh a b c 3

b  c a

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

3

b  c a b c a  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

►Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương ,a b ta có 1 1 4

a b a b



Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta có a b 2 ab,1 1 2

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được(a b) 1 1 4 1 1 4



Đẳng thức xảy ra khi ab

Ví dụ 2 Cho , ,a b c là các số dương thỏa mãn 3

4

a b c   Chứng minh rằng 3a3b3b3c3c3a3

Cách 1

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

a b    a b   a b

Trang 11

Trang 11

3

Chứng minh tương tự ta cũng có

3

b c b c (2)

3

c a  c a (3)

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được

1

3

Đẳng thức xảy ra khi

3

1 4

4

a b c

   



      



Cách 2

x a b y b c z c a ta có x3  y3 z3 4(a b c  ) 3

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x  y z 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có x3  1 1 33 x31.13 x

Chứng minh tương tự, ta được 3 3

1 1 3 , 1 1 3

y    y z    z Cộng từng vế các bất đẳng thức tương tự, ta được 9 3( x     y z) x y z 3

4

x      y z a b c

Ví dụ 3 (Đề thi đại học khối D - 2005)

Cho các số dương , ,x y z thỏa mãn xyz1 Chứng minh rằng

3 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có

1x y 3 1 x y 3xy

3 3

 

Chứng minh tương tự ta được

3 3

;

3 3

(3) Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta được

Trang 12

Trang 12

3 3 3 3

Đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Ví dụ 4 Cho , ,a b c0 Chứng minh

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được

Tương tự, ta chứng minh được

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được

 

Đẳng thức xảy ra khi a b c

Ví dụ 5 Cho , ,x y z là các số dượng và xyz1

Chứng minh rằng

3

Ta có

Tương tự

2

1

y

2

1

z

3

 

3(3 1) 3

Đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Mẹo ta cần quan tâm dấu “=” xảy ra khi nào để thêm bớt cho phù hợp

Ví dụ 6 (Đề thi đại học khối A – 2005)

Cho x y z là các số dương thỏa mãn , , 1 1 1 4

x  y z

2x y z x 2y z x y 2z 

Trước hết với ,a b0 ta có 4 ( )2 1 1 1 1 1

a b

Đẳng thức xảy ra khi ab sử dụng kết quả trên, ta có

Trang 13

Trang 13

1 1

2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z

Tương tự

2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z

Đẳng thức xảy ra khi 3

4

x  y z

Ví dụ 7 Giá trị lớn nhất M của hàm số ( ) (6 3)(5 2 ), vói 1 5;

2 2

  là

A M 0. B M 24. C M 27 D M30.

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si:

2

, 4

a b

ab 

ta được

2

(2 1 5 2 )

4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1

x

  



   



Vậy M27

Chọn C

Ví dụ 8 Giá trị lớn nhất M của hàm số f x( ) x 1

x



 với x1là

2

M 

C M 1 D M 2

Ta có

2

f x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 2 2

( x1)  1 2 ( x1) 1 2 x1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2

2

x

f x

x



Vậy 1

2

M 

Chọn B

Ví dụ 9 Giá trị lớn nhất M của hàm số ( ) 2,

( 1)

x

f x

x



 với x0 là

Trang 14

Trang 14

A M 0. B 1

4

2

Ta có

2 2

f x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 2 2

x   x   x

x

Dấu “=” xảy ra khi x1

Vậy 1

4

M 

Chọn B

Ví dụ 10 Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số ( ) f x  x 3 6x lần lượt là

A m 2;M 3. B m3;M 3 2 C m 2;M 3 2 D m 3;M 3.

Hàm số xác định khi   3 x 6 Tập xác định D=[-3 ; 6]

Ta có f2( )x  9 2 (x3)(6x)

Vì (3x)(6x)   0, x [ 3;6] nên f2( ) 9x   f x( ) 3.

Dấu “=” xảy ra khi 3 6 3

2

x    x x Vậy M 3 2

Chọn B

► Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho x y là hai số thực bất kỳ thỏa mãn , xy2 Giá trị nhỏ nhất của 2 2

A x y là

Câu 2 Cho các bất đẳng thức a b 2

b a (I); a b c 3

b  c a (II); 1 1 1 9

a  b c a b c

  (III) ( với

, , 0)

a b c

Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?

A Chỉ (I) đúng B Chỉ (I) đúng C Chỉ (III) đúng D.(1), (II), (II) đều đúng Câu 3 Cho x2y21 Gọi S = x + y, khi đó ta có

A S  2 B S 2 C  2 S 2 D   1 S 1

Câu 4 Cho x y là hai số thực thay đổi sao cho , x y 2 Gọi 2 2

,

mx y khi đó ta có

A giá trị nhỏ nhất của m là 2 B giá trị nhỏ nhất của m là 4

C giá trị lớn nhất của m là 2 D giá trị lớn nhất của m là 4

Câu 5 Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2

x

f x

x

 

 với x1là

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	0,94 MB