chuyen de bat dang thuc va cuc tri

• Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức có dạng đa thức với một biến hoặc nhiều biến.. Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân của n số không ân là Bất đẳn

• Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức có dạng đa thức với một biến hoặc nhiều biến

Vài nét lịch sử

CÔ – SI VÀ BU-NHI-A-CỐP-XKI

Cô – si (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857) là nhà toán học Pháp, Viện sĩ Viện Hàn

lâm Khoa học Pa-ri

Ông có trên 800 công trình về nhiều lĩnh vực như Số học, Đại số, Giải tích, Cơ học, Quang học, Thiên Văn học Ông đã xây dựng nhiều vấn đề lí thuyết một cách chặt chẽ, khoa học, giúp cho Toán học có những bước tiến đnags kể

Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân của n số không ân là

Bất đẳng thức trên cũng được gọi là bất đẳng thức Cô – si đã đưa ra một cách chứng minh

độc đáo, mặc dù ông không phải là người đầu tiên đề xuất bất đẳng thức này

Bu – nhi – a – cốp – xki (Viktor Bunyakovsky, 1804 – 1889) là nhà toán học Nga, Phó Chủ tịch

Viện Hàn lâm khoa học Pê – tec – bua Ông học Toán tại Pari và là học trò của Cô – si Ông

có 128 công trình về Lí thuyết số, Lí thuyết xác suất, Giải tích, Hình học và Đại số Ông có nhiều đóng góp nâng cao trình độ khoa học trong giảng dạy toán học ở các trường đại học

và trung học Để ghi nhớ công lao của ông với nền giáo dục Nga, năm 1875 một giải thưởng mang tên ông đã được lập ra để trao cho những sáng chế về Toán học

Bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki với hai bộ số và là

Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Cô – si – Bu – nhi – a – cốp – xki – Svac,

vì Cô – si đã đề xuất bất đẳng thức đó, Bu – nhi – a – cốp – xki đã mở rộng kết quả cho tích

phân, còn Svac (Schwarz, nhà toán học Đức, 1843 – 1921) mở rộng kết quả trên cho không

Bác Tâm có một cuốn lưới sắt dài bác muốn dùng lưới căng thành ba đoạn thẳng

cùng với bức tường có sẵn làm thành một hình chữ nhật để nhốt gia súc

Hãy tính độ dài để khu đất hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

2 Để chứng minh bất đẳng thức, ta thường dùng các cách sau:

- Dùng định nghĩa: Để chứng minh ta chứng minh

- Dùng phép biến đổi tương đương: Chứng tỏ bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng

- Dùng phương pháp phản chứng: Để chứng minh ta chứng tỏ là sai

3 Cần nhớ một số bất đẳng thức thông dụng sau:

a) Liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( bất đẳng thức Cô – si)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

b) Liên hệ giữa tổng các bình phương và bình phương của tổng

Bất đẳng thức là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức với

Bất đẳng thức là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức với

Khi không âm thì các bất đẳng thức và còn được viết dưới dạng

Ví dụ 84 Chứng minh đẳng thức

Giải

Bất đẳng thức đúng Vậy bất đẳng thức đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 85 Chứng minh bất đẳng thức sau với không âm

Giải

Cách 1 Xét hiệu hai vế

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc hoặc

Cách 2 Với theo bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và

Ví dụ 88 Cho các số và không âm thỏa mãn Chứng minh các bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và

b

x

a

= −

Khi biến nhận giá trị hạn chế không chứa thì tam thức bậc hai đạt cực trị tại giá trị biên của biến

4

A=x +y

26

khi trong ba số có hai số bằng , một số bằng

Cách giải ở câu không vận dụng được cho câu vì ở câu cực trị xảy ra khi có một số bằng , không phải là giá trị ở biên của biến Như vậy cách giải ở câu tổng quát hơn

Ví dụ 97 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của , biết rằng các số thỏa mãn

Giải:

Ví dụ 98 Cho các số không âm có tổng bằng Tìm giá trị lớn nhất của

C huyên đề 2

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG PHÂN THỨC

TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ

Chuyên đề này bao gồm hai nội dung:

− Bất đẳng thức dạng phân thức, trong đó có bất đẳng thức về cộng mẫu số

− Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức có dạng phân thức, trong đó

có bài toán tìm cực trị mà biến nằm trong một khoảng nhất định, khi đó cần dự

đoán giá trị của biến để xảy ra cục trị

Tính nhẩm vào đời sống

CHIA NHANH

Bạn Vinh cần làm phép chia và làm tròn đến hàng phần trăm Vinh đang loay hoay tính toán vì

không có máy tính bỏ túi trong tay Hà nói với Vinh:

Bạn chỉ cần lấy trừ đi là được! ( là phần

hơn của số chia so với )

Vinh rất ngạc nhiên sau đó kiể tra lại bằng máy tính:

Vinh thử một vài trường hợp khác cũng thấy đúng

a) Bạn hãy giải thích điều đó

b) Có phải kết quả tính theo cách trên luôn nhỏ hơn kết quả đúng hay không?

Ngoài các bất đẳng thức về liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất

đẳng thức Cô-si), liên hệ giữa tổng các bình phương và bình phương của tổng (bất

đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) được nêu ở Chuyên đề 7, cần nhớ các bất đẳng thức về liên hệ giữa tổng các số và tổng các nghịch đảo của chúng:

Bất đẳng thức (1) là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức (3) khi

Bất đẳng thức là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức khi

Ta gọi các bất đẳng thức trên là các bất đẳng thức về cộng mẫu số

Ví dụ 99 Chứng minh các bất đẳng thức và nói trên

Giải:

Chứng minh bất đẳng thức như sau:

luôn đúng

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

Chứng minh đẳng thức như sau:

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

a = xyz=1( 2 2) ( 2 )

c a

+

=

−1

a b+b c+c a ≥+ + + a≥ ≥ >b c 0

A

32

Vậy bất đẳng thứcc đã được chứng minh

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

Ví dụ 107 Cho các số dương thỏa mãn và Chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

3

a b c ≤+ +

39

Bất đẳng thức cuối đúng vì

Bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi hoặc

Cách 2 Vế trái đã cho tương đương với

+

=1

4

x =( )

x x

Ví dụ 113 Cho các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Với ta có , nhưng dấu đẳng thức xảy ra khi trái với giả thiết

Ta tìm hướng giải khác bẳng cách khai thác giả thiết

2 2

A≥ − =

2 2

5

12

2

x A

Với thì Với thì lớn nhất khi nhỏ nhất

Ví dụ 117 Cho các số dương thỏa Tìm giá trị nhỏ nhất của:

= + +

10

Ví dụ 121 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của với và

y y

+

Do đó:

Ví dụ 124 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

14

44

xy

≤+

với ( xem ví dụ 99 )

Lưu ý Giải thích việc xét ở cách 1 như sau:

Với dự đoán cực trị xả ra tại , ta cần chọn số k như sao cho

a= = =b c 1

tức là

Ví dụ 126 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

Ta lại có (2)

Ví dụ 128 Cho biểu thức

với a) Chứng minh rằng

Xuân đố Mai chứng minh bất đẳng thức sau bằng hình học

Mai chưa tìm ra cách làm Bạn hãy giúp Mai

Kẻ đường vuông góc và các đường xiên

( H nằm giữa A và B, h.4) Khi đó

Cách 3 ( dung bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

Cách 4 ( dung hình học)

Xem cách giải ở phần Tổng quan về chuyên đề

Ví dụ 130 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh bất đẳng thứ

, đúng

Từ và suy ra điều phải chứng minh

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi hoặc

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

II CỰC TRI DẠNG CĂN THỨC

Để tìm giá trị lớn nhất của dang trên, ta dung bất đẳng thức

Xảy ra đẳng thức khi và chì khi hoặc

Ví dụ 134 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Để tìm giá trị lớn nhất của dạng trên, ta dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Trong một số trường hợp, có thể xét rồi dung bất đẳng thức Cô-si Trong một số trường hợp, có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của dạng tr6n bằng cách xét bình phương của biểu thức

nhất bằng cách xét bình phương của biểu thức hoặc dung bất đẳng thức

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

Lưu ý: Cũng có thể viết dưới dạng rồi dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-

Lưu ý: ở câu a) ta viết , biểu thức trong dấu căn nhân với =1

Ở câu b) ta viết , biểu tượng trong đấu căn nhân với =4

Có sự khác nhau nói trên vì ở bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra tại , nên

ta phải trọn và sao cho = và =

Ở hai câu a và b do vai trò bình đẳng của a, b, c ta dự đoán cực trị xảy ra a = b = c = 1, do

Cách 2 Gọi a là giá trị của biểu thức Ta có

Ví dụ 141 Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của:

14

22

Lưu ý Mặc dù nhưng không thể kết luận rằng vì ta luôn có

2

5

.9

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Ái Mộ - Quận Long Biên 2019-2020)

Cho hai số x>0, y>0 và x+ =y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Bồ Đề - Quận Long Biên 2019-2020)

Cho bốn số dương , , , a b c d Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Từ (1) và (2) => A≥2020

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c d

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2020 khi a = = = >b c d 0

Bài 3 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Cầu Giấy- Quận Cầu Giấy 2019-2020)

Cho các số thực dương a, b thay đổi luôn thỏa mãn a+ +3 b+ =3 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= a+ b

Bài 4 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Cự Khôi- Quận Long Biên 2019-2020)

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 5 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Đa Trí Tuệ - Hà Nội 2019-2020)

Cho ba số a , b , c dương Chứng minh 21 2 1 2 1

Bài 6 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Dịch Vọng – Hà Nội 2019-2020)

Cho x , y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ + =y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 7 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Đức Giang – Long Biên 2019-2020)

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

Bài 8 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Thái Thụy – Long Biên 2019-2020)

Cho các sốthực dương a b c, , .Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi a b c= =

Bài 9 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Giang Biên – Long Biên 2019-2020)

Cho , ,a b c là các số dương và a b c+ + ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương:

1

a b a c a

1

a b b c b

1

a c b c c

Bài 11 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Long Biên – Quận Long Biên 2019-2020)

Cho x y z, , là các số dương thoả mãn xy+yz+xz=4xyz

Bài 12 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Lương Thế Vinh – Quận Cầu Giấy 2019-2020)

Cho hai số dương x và y Chứng minh rằng x 2 y 2 8

4 4 2 2 1 0

⇔ − + + − + ≥ ( )2 ( )2

y x

x y

x x y y

2

x y

Bài 14 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Ngọc Thụy – Quận Long Biên 2019-2020)

Với x y, là các số dương thỏa mãn điều kiện x≥2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 y2

Bài 15 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Phúc Đồng – Quận Long Biên 2019-2020)

Cho hai số dương a và b thỏa mãn 1 1 2

a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 15 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Phúc Lợi – Quận Long Biên 2019-2020)

Cho a b, là các số không âm thỏa mãn 2 2

Cộng hai bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:

4+2ab≤ +4 a +b =6 Từ đó ta có ngayM ≤6 Dấu bằng xảy ra ⇔ = =a b 1

Bài 16 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Thạch Bàn– Hà Nội 2019-2020)

Với a , b , c là các số dương thoả mãn có ab bc+ =2ac Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a b c= =

Bài 17 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Thanh Am – Quận Long Biên 2019-2020)

Theo giả thiết ta có x+ =y 1 nên 2 2 1

Bài 18 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Việt Hưng – Long Biên 2019-2020)

Cho x>0;y>0 thỏa mãn x+ ≤y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi 1

2

x= =y

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 25

2

Bài 19 ( Đề thi thử vào 10 Trường THCS Amsterdam 2019-2020)

Cho , ,a b c là các số dương thay đổi thỏa mãn 1 1 1 2020

.416

P

Dấu ‘’= “ xảy ra khi 3

4040

a= = =b c

Bài 20 ( Đề thi thử vào 10 2019-2020)

Cho , x y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+ =y 5 Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= =y 2, 5 ( thỏa mãn)

Bài 21 ( Đề thi thử vào 10 THCS Minh Khai – Hà Nội 2018-2019)

Tương tự:

Dấu bằng xảy ra

Bài 22 ( Đề thi thử vào 10 THCS Giảng Võ– Hà Nội 2017-2018)

Tìm GTNN của biểu thức sau:

Lời giải

Bình phương hai vế ta được

Vì nên phương trình có nghiệm khi

( vì ) Dấu bằng xảy ra khi (các em thay vào (1) để tìm )

Bài 23 ( Đề thi thử vào 10 THCS Cát Linh– Hà Nội 2017-2018)

dương với mọi

Vì với mọi

Vậy P luôn dương với mọi

Bài 24 ( Đề thi thử vào 10 Học Mãi – Hà Nội 2018-2019)

Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện TÌm giá trị nhỏ nhất của

Bài 25 ( Đề thi thử vào 10 THCS ARCHIMEDES– Hà Nội 2017-2018)

Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Ta cần chứng minh

Đây là bất đẳng thức Nesbit quen thuộc Nhận xét:

BĐT

Ta có bất đẳng thức (*) luôn đúng Vì

Nhân vế với vế của 2 bất đẳng thức trên ta thu được (*)

Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 26 ( Đề thi thử vào 10 THCS Quận Long Biên– Hà Nội 2017-2018)

Cho ba số x, y, z không âm và

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Áp dụng BĐT Côsi ta có :

Với a, b là các số dương ta chứng minh được

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b

Áp dung BĐT trên ta có:

Bài 27 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2018-2019)

Cho là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

201

12

012

Dấu “=” xảy ra Dấu “=” ở (3), (4), (5) đồng thời xảy ra và thỏa mãn điều kiện bài cho

Vậy Pmin =

Bài 28 ( Đề thi thử vào 10 THCS Đặng Ái, Thanh Trì - Hà Nội 2018-2019)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn Tính giá trị nhỏ nhất của bieur thức

Lời giải

Dấu “=” xảy ra Dấu “=” ở (1) và (2) đồng thời xảy ra và thỏa mãn giả thiết

Bài 29 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2018-2019)

Cho các số thực dương Chứng minh rằng:

12

( a b ) c 2 ( a b c ) ( a b c ) ( a b c )2

4

+ + + + ≥ + ⇔ + ≤

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

(luôn đúng) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Áp dụng ta được:

Tương tự ta có:

Bài 30 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2018-2019)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

(Dấu “=” xảy ra CHÚ Ý: Dấu “=” xảy ra không phụ thuộc vào việc dấu “=” của BĐT cosi có xảy ra hay không mà chỉ phụ thuộc vào hiệu và thỏa mãn giả thiết)

Áp dụng cho bài toán ta có:

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:

Dấu “=” xảy ra dấu “=” ở (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra và

a = b = c = 1

Bài 30 ( Đề thi thử vào 10 THCS Phan Huy Chú Hà Nội 2018-2019)

Cho các số thực không âm thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Cách 1:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi là hoán vị của

Bài 31 ( Đề thi thử vào 10 THCS Phương Liệt Hà Nội 2018-2019)

Cho là ba số dương thỏa mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Dấu “ = ” xảy ra khi đó

Bài 32 ( Đề thi thử vào 10 THCS Lương Thế Vinh Hà Nội 2019-2020)

Cho là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Do đó:

Dấu “ = ” xảy ra Dấu “=” ở các bất đẳng thức Cosi (1) và (2) đồng thời xảy ra

Bài 33 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2019-2020)

18

Do đó:

Dấu “=” xảy ra dấu “=” ở (1), (2), (3) đồng thời xảy ra và thỏa mãn

Bài 34 ( Đề thi thử vào 10 THCS Phụng Thượng Hà Nội 2019-2020)

Cho là hai số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do đó:

Dấu “=” xảy ra Dấu “=” ở các B Đ T cosi xảy ra

Bài 35 ( Đề thi thử vào 10 THCS Trần Nhân Tông Hà Nội 2019-2020)

Với là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 36 ( Đề thi thử vào 10 THCS Nam Từ Liêm Hà Nội 2017-2018)

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn

Bài 37 ( Đề thi thử vào 10 THCS Nghĩa Tân – Cầu Giấy 2018-2019)

Cho ,x y là hai số thực dương thỏa mãn x+ ≥y 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 28 1