doi bien trong chung minh bat dang thuc

Đặt ẩn phụ dựa vào giá trị của biến khi dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra.. Chứng minh bất đẳng thức sau: Hướng dẫn giải Dự đoán bất đẳng thức xảy ra khi.. Cho Chứng minh bất đẳng thức

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1 Đặt ẩn phụ dựa vào giá trị của biến khi dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra

Thí dụ 1 Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện a+ + =b c 3

⇔ + + + ≥ (luôn đúng) Do đó suy ra điều phải chứng minh

Thí dụ 2 Cho Chứng minh bất đẳng thức sau:

Hướng dẫn giải

Dự đoán bất đẳng thức xảy ra khi

Đặt Từ giả thiết suy ra Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc tức là khi hoặc

Thí dụ 4 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn giải

Đặt và Từ giả thiết suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tức là

Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bẳng khi

a b

;

x= − y=

Thí dụ 5 Cho Chứng minh bất đẳng thức:

Hướng dẫn giải

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi

Đặt với Từ giả thiết suy ra Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi x=4

Đặt x= −4 t, từ giả thiết suy ra t≥0

2

x

a b

a b c d x

Từ đó suy ra BĐT đã được chứng minh

Dạng 2 Đặt mẫu là các biến mới

Thí dụ 1 Cho ∆ABC,AB=c,BC =a,CA=b Chứng minh rằng:

3

≥

−+

+

−+

+

−

c b

a c

b a

c b

>

=

−+

>

=

−+

222

000

y x c

x z b

z y a

z c b a

y b a c

x a c b

+

−+

+

−

c b

a c

b a

c b

Từ đó suy ra y 25x z 2x 25z 2y 17

Thí dụ 5 Cho ∆ABC,AB=c,BC =a,CA=b Chứng minh rằng:

c b a c b a

c b a c

b a c b

a

+ +

≥

− +

+

− +

+

− +

2 2

2

(1) Hướng dẫn giải

Đặt:

         + = + = + = ⇔      > = − + > = − + > = − + 2 2 2 0 0 0 y x c x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: ( ) ( ) ( )

z y x z y x y x z x z y + + ≥ + + + + + 4 4 4 2 2 2 Ta có:

( ) ( ) ( ) y x z x yz z xy z xy y zx y zx x yz x yz z xy z xy y zx y zx x yz z xy y zx x yz z y x y x z x z y + + = + + ≥       + +       + +       + = + + ≥ + + + + +

2

1 2

1 2

1 4

4 4

2 2

2

c b a

c b a c

b a c

b

a

+ +

≥

− +

+

− +

+

− +

2 2

2

(đpcm)

Thí dụ 6 Cho a, b,c > 0 Tìm GTNN của biểu thức:

A 4a b 3c 8c

a b 2c 2a b c a b 3c

+

(Đề thi HSG Toán lớp 9 Tỉnh Phú Thọ-2011)

Hướng dẫn giải

Đặt: x = + + a b 2c, y = 2a + + b c, z = + + a b 3c x, y, z ( > 0 )

Từ đó tính được: a = + − z y 2x, b = 5x − − y 3z,c = − z x

Biểu thức đã cho trở thành 4 z ( y 2x ) ( 5x y 3z ) ( 3 z x ) ( 8 z x )

A

Vậy min A = 12 2 17 − khi a = − ( 3 2 2 k, b ) = ( 5 2 − 7 k,c ) = ( 2 − 2 k, k ) ( > 0 )

Thí dụ 8 Cho x, y 1 > Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( )

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = = ⇔ = = b 1 x y 2

Vậy min P = 8khi x = = y 2

Dạng 3 Đổi biến khi tích các biến bằng 3

k

Đây là một kỹ thuật đổi biến rất hiệu quả, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán hay và khó Tuy vậy ở đây cũng có nhiều cách đổi biến khác nhau, tùy theo tình huống cụ thể ta chọn cách làm thích hợp Dưới đây xin trình bày một số trường hợp cụ thể:

Lại áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có: x + + ≥ y z 3 xyz3 = 3 5 ( )

Từ ( ) ( ) 4 , 5 ⇒đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi x = = = ⇔ = = = y z 1 a b c 1

Ví dụ 6 Cho x, y, z > 0thỏa mãn xyz 1 = Tìm GTNN của biểu thức:

≥ = ⇒đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi a = = = b c 1

Ví dụ 8 Cho các số dương a, b,cthỏa mãn abc 1 = Chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = = = b c 1

•Như vậy với kỹ thuật trên kết hợp với việc sử dụng thêm một số BĐT khác chúng ta tìm được lời giải của một lớp các bài toán tương đối khó.Với phương pháp như trên chúng ta có thể giải được một số bài toán sau:

1 Cho a, b,c > 0thỏa mãn abc 1 = Chứng minh rằng:

Lí giải cho phép đổi biến trên như sau:

Vì a, b,c > ⇒ 0 Tồn tại x, y, z > 0sao cho a kx , b ky

( ) ( ) ( ) ( )

Từ các trường hợp trên suy ra bài toán được chứng minh

•Đây là một trong những bất đẳng thức rất quan trọng, từ bất đẳng thức này chúng ta có thể giải quyết được một số bài toán hay và khó Chúng ta sẽ tìm hiểu ứng dụng của nó trong phần khác Tiếp theo xét một số vị dụ khác để thấy rõ tác dụng của phương pháp nêu trên:

Ví dụ 10 Cho a, b,c > 0thỏa mãn abc 1 = Chứng minh rằng:

Khi đó BĐT đã cho trở thành: zx xy yz 3

xy yz + zx yz + zx xy ≥ 2

Đây là BĐT Nesbit’s quen thuộc Từ đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 11 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Theo BĐT Cô-si ta có: xy + yz + zx ≥ 3 xy.yz.zx3 = 3(do xyz 1 = ) ⇒đpcm

Ví dụ 12 Cho các số thực dương x, y, z > 0thỏa mãn xyz 1 = Chứng minh rằng:

•Qua bài toán này chúng ta thấy được vẻ đẹp của phép đổi biến trên, nó không chỉ áp dụng cho việc chứng minh các BĐT mà còn giải quyết được một số bài toán về chứng minh đẳng thức Chẳng hạn xét thêm ví dụ sau:

Ví dụ 13 Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Từ ( ) ( ) 1 , 2 suy ra đẳng thức đã cho được chứng minh

•Trong một số tình huống việc đổi biến tương tự như trên nhưng khéo léo hơn chẳng hạn: Với

Từ đó dẫn đến BĐT đã cho được chứng minh

•Trong một số tình huống việc đổi biến: a kx , b ky ,c kz

•Với phương pháp như trên chúng ta một số bài toán tương tự:

1 Cho a, b,c > 0thỏa mãn abc 1 = Chứng minh rằng:

Do đó ( ) 1 được chứng minh Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = = ⇒ = = = b c x y z 1

Ví dụ 18 Cho 3 số dương a, b,cthỏa mãn abc 1 = Chứng minh rằng ta có:

⇒đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi a = = = b c 1

Ví dụ 19 Cho các số thực x, y, zkhác 1 và thỏa mãn xyz 1 = Chứng minh rằng

Từ đó suy ra BĐT đã cho được chứng minh

Ví dụ 20 Cho các số thực x, y, zthỏa mãn xyz = 8 Chứng minh rằng

•Những ví dụ trên cho thấy hiệu quả của phép đổi biến nêu trên là rất lớn Với cách làm tương tự

chúng ta có một số bài toán sau:

1 Cho các số thực dương a, b,cthỏa mãnabc 1 = Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:

Trong bất đẳng thức thường thì các bài toán cùng một dạng thì càng nhiều biến

càng khó, điều này có nghĩa với nhiều bài toán sẽ đơn giản hơn khi ta đưa bất đẳng thức

về dạng ít biến hơn

Các bước làm:

- Đưa bất đẳng thức về một ẩn

- Xác định điều kiện ẩn (nếu có) , dự đoán dấu bằng của bất đẳng thức hay biểu thức cực trị

- Biến đổi tương đương về nhân tử theo dấu bằng dự đó của biến mới

Thí dụ 1 Cho các số thực x, y thỏa mãn

2

x + = y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Thí dụ 3 Cho x, y là các số thực khác 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(Đề toán vào 10 chuyên Trần Phú Hải Phòng 2003-2004)

Vậy bài toán được chứng minh

Thí dụ 5 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: 4x 4y 17xy 5x 5y 12+ 2+ + + ≥

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 17x 17y 16xy= 2+ 2+

(Đề toán vào 10 chuyên KHTN 2019-2020)

Hướng dẫn giải

4x 4y 17xy 5x 5y 1+ + + + ≥ ⇔4 x y+ +9xy 5 x y 1+ + ≥

Đặt t x y, t 0= + > , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 4 2−

Thí dụ 6 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: + + =a b c 3

2t với ≥t 3

(Dự đoán Min của f(t) là 4 khi t = 3, Biến đổi tương đương theo nhân tử (t 3 ) − )

Ta chứng minh: f t( ) ( )≥f 3 ⇔ +t 9 t− ≥4 *( )

2tThật vậy: ( )⇔ 2t2 −9t 9+ ≥ ⇔ (t 3 2t 3− )( − )≥

Vậy Min(A) = 4 khi =t 3 hay = = =a b c 1

(Đề toán Đại học khối B năm 2009)

  BĐT này hiển nhiên

đúng Từ đó suy ra BĐT đã cho được chứng minh

Thí dụ 10 Cho các số thực dương a, b,c Chứng minh rằng: 9 1 2

Từ đó suy ra BĐT đã cho được chứng minh

Thí dụ 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết :

Ta có: 1 1 1 1 1

11

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng vì đây là bất đẳng thức Bunyakovski do đó bài toán được chứng minh

a a b a c b b a b c c c a c b

(Đây chính là bất đẳng thức Shur có nhiều cách chứng minh.)

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có thể giả sử a≥ ≥b c

Trường hợp 1: nếu 2 trong 3 số bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Trường hợp 2: nếu a b c> > ta chia hai vế bất đẳng thức cho (a−b b)( −c c)( −a)> nên bất 0

Đẳng thức xảy ra khi ⇔m= = ⇔ = = = ⇔ = = =n p a b c 1 x y z 3

Cách khác: Sử dụng ghép đối xứng: