c) CMR tiếp tuyến trên có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị.. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của. (C) và trục hoành Ox.[r]
Trang 1BÀI 6: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
1 Tìm tập xác định
2 Xét sự biến thiên của hàm số
a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực Tìm các đường tiệm cận (nếu có)
b) Tính y’: Tìm nghiệm y’ = 0
Lập bảng biến thiên của hàm số
Tìm khoảng biến thiên và cực trị của hàm số (nếu có)
3 Vẽ đồ thị của hàm số
Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
Xác định một số điểm đặc biệt
Nhận xét về đồ thị: Tâm đối xứng, trục đối xứng
2 Hàm số: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a0):
a > 0: xlim y = +
; xlim y =
-
a < 0: xlim y =
- ; xlim y = +
y’ = 3ax2 + 2bx + c
Các dạng đồ thị:
Đồ thị: Có tâm đối xứng I(x0;f(x0)) với x0 là nghiệm của y’’ = 0 (gọi là điểm uốn của đồ thị)
2 Hàm số: y = f(x) = ax 4 + bx 2 + c (a0):
a > 0: xlim y = +
; xlim y = +
a < 0: xlim y =
- ; xlim y =
-
a > 0 a < 0
y
y
y y
O
O
x
x
y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
y’ = 0 có nghiệm
kép
y’ = 0 có vô nghiệm
x x
x
x
Trang 2 Đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
B – BÀI TẬP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a) y = 2 + 3x – x3 b) y = x3 + 4x2 + 4x
c) y = x3 + x2 + 9x d) y = -2x3 + 3
e) y = 1
3x3 – x2 – 3x –
5
3 f) y = -x3 + 3x2 – 3x + 2 g) y = x(x – 2)2 h) y = (x + 1)(x – 1)2
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x4 – 3x2 + 1 b) y = -x4 + 2x2 – 1
c) y = x4 + 2x2 – 1 d) y =
4
x 4
- x2 + 3
4 e) y = 1
4x4 – 2x2 +
3
4 f) y = -x4 – 2x2 + 3
Bài 3: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn
c) CMR tiếp tuyến trên có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị
Bài 4: Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm với trục Oy
c) Tuỳ theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x3 – 3x2 + m = 0
Bài 5: Cho hàm số: y = x4 – (m + 2)x2 + m + 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b) Tuỳ theo k, biện luận số nghiệm của phương trình:
x4 – 3x2 + 2 + k = 0
c) CMR: Đồ thị hàm số (1) luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi giá trị của m Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A và B
Bài 6: Cho hàm số: y = -x4 + 2mx2 + 2m
a) Tìm các giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
y’ = 0 có 1 nghiệm
x
y
x
y
x x
Trang 3b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại hai điểm uốn.
BÀI 7: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hàm số: y = ax + b (c 0, ad - bc 0)
c
}
(cx + d)
c
, TCN: y = a
c
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng
2 Hàm số: y =
2
ax + bx + c a'x + b' =
r px+ q + (a 0, a' 0, r 0)
a'x + b'
B – BÀI TẬP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x + 2
1 - 2x 2x - 4 c) y = 2x + 1
2 2x - 1
y’ > 0 y’ < 0
d c
a
c
O
a c
d c
x
Có 2 cực trị
Luôn đồng biến
x x
O
O
O
O Luôn ngịch biến
Có 2 cực trị
Trang 4e) y = 1 + 3
x + 1
2 - x
Bài 2*: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y =
2
x - 3x + 6
2
2x - x + 1
1 - x c) y =
2
2x + 3x - 3
1
x + 2 +
x - 1
e) y =
2
x + 3
2
x - 4x + 4
1 - x
Bài 3: Cho hàm số: y = x + 1
x - 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của
(C) và trục hoành Ox
c) Vẽ đồ thị (C’): y = |x + 1|
x - 2
Bài 4: Cho hàm số: y = mx + 1
2x + m a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
b) Tìm m để tiệm cận đứng đi qua A(2; 5)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
Bài 5*: Cho hàm số: y =
2
x - 2x + 1
x - 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung c) Vẽ (C’): y =
2
x - 2x + 1
|x - 2|
d) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
2
x - 2x + 1 m
x - 2
Bài 6*: Cho hàm số: y =
2
x + 4x + 3
x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = 2x + 3 c) Chứng minh giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C)