Bài tập tìm tham số để hàm số bậc 1 trên bậc 1 đơn điệu ôn thi THPT môn Toán

TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ BẬC 1 TRÊN BẬC 1 ĐƠN ĐIỆU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ BẬC 1 TRÊN BẬC 1 ĐƠN ĐIỆU.[r]

2 Một số bài toán và phương pháp giải

Bài toán 1 Tìm tham số m để hàm số y = f (x; m) đơn điệu trên khoảng (α; β).

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Ghi điều kiện để y = f (x; m) đơn điệu trên (α; β) Chẳng hạn:

• Đề yêu cầu y = f (x; m) đồng biến trên (α; β) ⇒ y0= f0(x; m) ≥ 0 ∀x ∈ (α; β).

• Đề yêu cầu y = f (x; m) nghịch biến trên (α; β) ⇒ y0 = f0(x; m) ≤ 0 ∀x ∈ (α; β).

Bước 2: Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g(x), có hai trường hợp thường gặp:

m ≥ g(x) ∀x ∈ (α; β) ⇒ m ≥ max

(α;β)g(x)

m ≤ g(x) ∀x ∈ (α; β) ⇒ m ≤ min

(α;β)g(x)

Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g(x) trên D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Từ đó suy ra m.

Bài toán 2 Tìm tham số m để hàm số y = ax + b

cx + d đơn điệu trên khoảng (α; β) PHƯƠNG PHÁP

Bài toán 3 Để hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2)

bằng d.

PHƯƠNG PHÁP

+ Sử dụng định lý Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m.

+ Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

3 Một số kiến thức liên quan khác:

• Định lí về dấu của tam thức bậc hai g(x) = ax2+ bx + c.

+ Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

+ Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a, trừ x = − b

2a + Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệmx1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

• So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x) = ax2+ bx + c với số 0.

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng tìm giá trị tham sốmđể hàm số đồng biến trên một khoảng cho trước.

• Bước 3: Tìm m thỏa mãn điều kiện ở bước 2, rồi chọn giá trị nguyên m thỏa mãn.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện xác định: x 6= m.

Ta có: y0= −m2+ 4

(x − m)2 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +∞) ⇔

−x + 4m (m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m

để hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 1)?

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng cho trước.

2 HƯỚNG GIẢI:

• Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

• Bước 2: Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) khi

®

y0> 04m ≥ 1

• Bước 3: Kết luận.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐKXĐ: x 6= 4m; y0 = −m2+ 4m

(−x + 4m)2 Hàm số đồng biến trên khoảng(−∞; 1) ⇔

®

y0 > 0 ∀x ∈ (−∞; 1)4m ≥ 1

⇔

®

− m2+ 4m > 04m ≥ 1

Do m là các số nguyên nên m ∈ {1; 2; 3}.

Chọn phương án C

Câu 1 Kết quả của m để hàm số sau y = x + m

x + 2 đồng biến trên từng khoảng xác định là

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị củamđể hàm sốy = x − m

m2− 3m + 2 > 03m − 2 > 1 ⇔ m > 2 Chọn phương án D

Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = mx + 4

Câu 4 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 10

2x + m nghịch biến trên khoảng (0; 2)?

Chọn phương án A

Câu 6 Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3x + m

x + m đồng biến trên khoảng

Câu 8 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm sốy = (m + 1)x + 2m + 12

x + m nghịch biến trên khoảng (1; +∞)?

Lời giải.

Ta có: TXĐ: D = R\ {−m}; y0= m

2− m − 12(x + m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) ⇔

Câu 11 Cho hàm số y = tan x − 2

tan x − m, m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên −π

4; 0

 Tính tổng các phần tử của S.

4; 0

 Do đó Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −π

4; 0

 khi và chỉ khi:

Câu 12 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = − cot x + 2

cot x + 2m nghịch biến trên khoảng 0;π

4



4

 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;π

4

 khi và chỉ khi

Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

2



∀x ∈ (ln 2; +∞).

2−x− 3m , m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên

của tham số m để hàm số đồng biến trên (− log23; −1) Tính tổng các phần tử của S.

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi

®

− 3m − 5 < 03m /∈ (2; 3) ⇔





m ≤ 23

x > 0 ∀x ∈ (e; +∞) và ln x ∈ (1; +∞) ∀x ∈ (e; +∞) Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi



Lời giải.

Điều kiện: log1

2(3x) 6= m.



và log12(3x) ∈ (−2; 0) ∀x ∈

0;

√22

ã

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 0;π

Câu 21 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + 1

x + 3m nghịch biến trên khoảng (6; +∞)?

Lời giải.

Tập xác định D =R\ {−3m}; y0= 3m − 1

(x + 3m)2 Hàm số y = x + 1

x + 3m nghịch biến trên khoảng (6; +∞) khi và chỉ khi

®

y0 < 0(6; +∞) ⊂ D ⇔

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f (x) = mx

3

3 + 7mx

2+ 14x −

i C h−2; −14

Lời giải.

Tập xác định D =R, yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình.

mx2+ 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ 1 tương đương với g(x) = −14

x2+ 14x ≥ m (1).

Dễ dàng có được g(x) là hàm tăng ∀x ∈ [1; +∞), suy ra min

x≥1g(x) = g(1) = −14

15 Kết luận: (1) ⇔ min

x≥1g(x) ≥ m ⇔ −14

15 ≥ m Chọn phương án B

Câu 25 Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = 1

Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì (1) phải có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn |x1− x2| = 3 Điều này tương đương với

Câu 26 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = −x4+ (2m − 3)x2+ m

nghịch biến trên khoảng (1; 2) là

Å

−∞;pq

ò , trong đó phân số p

q tối giản và q > 0 Hỏi tổng p + q là bằng

Ta có g0(x) = 2x = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên

x

g0(x)g(x)

52

52

112

112

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: Y CBT ⇔ m ≤ 5

2 Vậy p + q = 5 + 2 = 7.

x đồng biến trên R Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

Ta có f0(x) = 0có một nghiệm đơn làx = −1, do đó nếu(∗)không nhận x = −1 là nghiệm thì f0(x)

đổi dấu qua x = −1 Do đó để f (x) đồng biến trên R thì f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ R hay (∗) nhận x = −1

có duy nhất nghiệm kép x = −1 nên f (x) đồng biến trên R.

Vậy nhận cả hai trường hợp m = −2 và m = 5

2.

Do đó, tổng các giá trị của m thỏa YCBT là 1

2 Chọn phương án C

Câu 28 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x + 1

x2+ x + m nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

Lời giải.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y0 ≥ 0, ∀x 6= −1 ⇔ m2+ 3m ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 0.

5 2

Lời giải.

Ta có y0 = 3x2+ m + 1

x6, ∀x ∈ (0; +∞) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) ⇔ y0≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ −m ≤ 3x2+ 1

x6, ∀x ∈ (0; +∞) Xét hàm số g(x) = 3x2+ 1

x6, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ −m ≤ min

(0;+∞)g(x) ⇔ −m ≤ 4 ⇔ m ≥ −4 Vậy có 4 giá trị nguyên âm của m là −1; −2; −3; −4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Hàm số đồng biến trên (0; π) khi và chỉ khi y0≥ 0, ∀x ∈ (0; π)

sin3x, trên (0; π).Ta có:

g0(x) = 2 sin x · cos x − 12 cos x

Khi đó g0(x) = 0 ⇔ x = π

2 ∈ (0; π) Bảng biến thiên:

x

g0(x) g(x)

Chọn phương án A

Câu 33 Tìm m để hàm số y = sin3x + 3 sin2x − m sin x − 4 đồng biến trên khoảng 0;π

2



t − m đồng biến trên khoảng

Câu 35 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = cot x − 1

m cot x − 1 đồng biến trên khoảng π

4;

π2



4;

π2

 khi và chỉ khi



y0 = 1 + cot

2x
(1 − m)(m cot x − 1)2 > 0, ∀x ∈

π

4;

π2

Câu 36 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = tan x − 2

tan x − m đồng biến trên khoảng 0;π

4





⇒ t ∈ (0; 1) Xét hàm số f (t) = t − 2

t − m, ∀t ∈ (0; 1) Tập xác định: D =R\ {m}.

tan x − m đồng biến trên khoảng 0;π

4

 khi và chỉ khi

Suy ra y0= 3t2+ m − 3.

Để hàm số (1) đồng biến trên hπ

4; π

 thì hàm số (2) phải nghịch biến trên (0; 2] hay

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy −9 ≤ f (t) < 3, ∀t ∈ (0; 2].

Vậy hàm số (1) đồng biến trên hπ

4; π

 khi m ≤ −9 Chọn phương án C

Câu 38 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a trên đoạn [−2019; 2019] để hàm số f (x) =(a + 1) ln x − 6

ln x − 3a nghịch biến trên khoảng (1; e)?

Lời giải.

Đặt t = ln x, hàm số trở thành g(t) = (a + 1)t − 6

t − 3a Hàm số y = ln x là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) Từ đó suy ra khi biến x tăng trên khoảng (0; +∞) thì biến t tăng trên R.

6 − x + m Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng

(−10; 10) sao cho hàm số đồng biến trên (−8; 5)?

−t + m .

Tập xác định D =R\ {m} ⇒ y0= m

2− 4m + 3(−t + m)2 .

Để hàm số đồng biến trên khoảng −√14; −1
⇔

Hàm số đồng biến trên (0; 1) khi và chỉ khi y0≤ 0, ∀x ∈ (0; 1).

Ta có y0 ≤ 0, ∀x ∈ (0; 1) ⇔ 3x3≤ m + 2, ∀x ∈ (0; 1) ⇔ x ≤ 3

…

m + 2

3 , ∀x ∈ (0; 1) ⇔ m ≤ −2 Chọn phương án B

Câu 41 Số các giá trị nguyên không dương của tham số m để hàm số y = m ln x − 2

ln x + m − 3 đồng biến trên e2; +∞
là