CHUYÊN ĐỀ1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ. 1 Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có: a) Điều kiện đủ: f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b). f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b). b) Điều kiện cần. f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f’(x) trên khoảng (a ; b). f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) trên khoảng (a ; b). 2 Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm TXĐ của hàm số. Tính y’, giải phương trình y’ = 0. Lập bảng xét dấu y’. Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận. • Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng • Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a. . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a . Nếu thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 . Ta có bảng xét dấu sau: x x1 x2 + f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a • Đặc biệt: + (a 0) + (a 0) + có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < < x2 . BÀI TẬP 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số. a) y = 4 + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + 2 c) y = d) y = x3 + 3x + 1 e) y = f) y = x4 – 2x2 + 3 g) y = x4 + 2x2 – 1 h) y = x4 + x2 k) y = l) y = m) y = n) y = x + p) y = q) y = r) y = x + s) y = x + 2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R. a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS : b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – 1 ĐS:m = 3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ a) y = ĐS: b) y = ĐS: 4. Tìm m để các hàm số :a) y = đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : m < 1 hoặc m > 1 b) y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : 5. Chứng minh rằng : a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến trên và nghịch biến trên . b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nữa khoảng 6. Định m để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. • D=R • Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. và 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Quy tắc tìm cực trị của y = f(x). Quy tắc 1: 1. Tìm TXĐ 2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. 3. Lập bảng biến thiên 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2. 1.Tìm TXĐ 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó. 3. Tính f”(x) và f”(xi). 4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi . BÀI TẬP 1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số. a) y = x2 – 3x – 4 b) y = 2x3 – 3x2 + 1 c) y = d) y = x3 – 3x2 +3x e) y = f) y = g) y = x3(1 – x)2 h) y = k) y = l) y = x +
Trang 1CHUYÊN ĐỀ1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) Ta có:
a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f’(x) ≥ 0 trên khoảng (a ; b)
- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f' (x) ≤ 0trên khoảng (a ; b)
2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính y’, giải phương trình y’ = 0
- Lập bảng xét dấu y’
- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận
• Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì
kết luận vẫn đúng
• Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c
Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu a
Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu a
a
b x
2
−
≠
∀
Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:
x -∞ x1 x2 +∞
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
• Đặc biệt: +
≤
∆
>
⇔
∈
∀
≥
0
0 0
) (x x R a
f (a≠0)
+
≤
∆
<
⇔
∈
∀
≤
0
0 0
) (x x R a
f (a≠0) + af( α ) < 0 ⇔ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < α < x2
BÀI TẬP
1 Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số
a) y = 4 + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + 2 c) y = - 3 7 1
3
1x3 − x2 + x+ d) y = x3
+ 3x + 1
e) y = 2 3
3
4x3 − x2 +x− f) y = x4 – 2x2 + 3 g) y = -x4 + 2x2 – 1 h) y
= x4 + x2
Trang 2k) y =
x
x
−
+
1
1 3
l) y =
1
1
−
+
x
x
m) y =
1
1
2
−
+
−
x
x x
n) y =
x +
x
4
p) y = 4 x− 2 q) y = x2 −x− 20 r) y = x + 1 x− 2 s) y =
x + x2 − 1
2 Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R
a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS : 1
3
2 ≤ ≤
− m b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – 1 ĐS:m =
2
1
3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
a) y = ( 2 ) ( 8 ) 1
3
2
3
+
− +
− +
−x m x m x ĐS:− 1 ≤m≤ 4 b) y = ( 3 2 ) 3
3
) 1
+
− + +
−
x m mx
x m
ĐS:
2
1
≤
m
4 Tìm m để các hàm số :a) y =
m x
mx
+
+ 1 đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số
ĐS : m < -1 hoặc m > 1
b) y = 2mx x−+m m+10 nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số ĐS :
2
2
5
<
<
5 Chứng minh rằng :
a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến trên 0; 3
π
và nghịch biến trên π3 ;π b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nữa khoảng
2
;
0 π
6 Định m để hàm số y =x3 + 3x2 +mx+m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1
• y' = 3x2 + 6x+mHàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.⇔ y' ≤ 0và
1
2
1 −x =
4 4 / 3 1 4
4 1
m m
− > <
⇔ − = ⇒ − = ⇒ =
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
* Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
Quy tắc 1:
1 Tìm TXĐ
2 Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định
3 Lập bảng biến thiên
4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
*Quy tắc 2.
1.Tìm TXĐ
2 Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm
Trang 3của nó.
3 Tính f”(x) và f”(xi)
4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi
BÀI TẬP
1 Tìm các điểm cực trị của các hàm số
a) y = x2 – 3x – 4 b) y = 2x3 – 3x2 + 1 c) y = x 4x
3
1 3 +
− d) y =
x3 – 3x2 +3x
e) y = 4 1
2
1x4 − x2 − f) y = 4 2
4
1
x
x +
− g) y = x3(1 – x)2 h) y = 1
2
+
−
x
x
k) y =
2
2
−
x
x
l) y = x +
x
1 m) y =
1
2 2
2
−
+
−
x
x x
n ) y = 1
3
2
+
−
x
x
x
p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; π ]
2 Tìm m để hàm số :
a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu ĐS : m ≠ 0
b) y = 2 ( 3 1 ) 1
3
2
3 − x + m+ x−
x
m
có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 1 ; 0
3
4 < < ≠
c) y =
1
2
2
−
+
−
x
mx
x có cực đại và cực tiểu ĐS : m < 3
d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị ĐS : m > 0
e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
f) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1
g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
h) y =
m x
mx x
+
+
2
đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3 k) y =
1
1
2
+
− +
−
x
m mx
đạt cực tiểu tại x = 1
3 Cho hàm số y =
1
2
2
−
+
x
x
x (1) a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
4 Cho hàm số y= x3 − 2x2 − +x 1 (1) a) Tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
3.1.Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Tính y’
+ Tìm nghiệm của y/ = 0 ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm thuộc (a;b)
là x1 , x2,…,xn
+ Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2) ………y(xn)
+ So sánh các giá trị vừa tính max y
[a;b] =số lớn nhất, min y
[a;b] =số nhỏ nhất
Trang 43.2.Phương pháp tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên TXĐ (a;b) hoặc[ )a b; :
+ Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ
+ Tìm đạo hàm y/ Tìm nghiệm y/ =0 ( nếu có )
+Lập BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
3.3 Phương pháp tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số lượng giác : PP đổi biến số
BÀI TẬP
1 Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số
a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]
c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [1 ; 4] e) y = x +
x
1 trên khoảng (0 ; +∞ ) f) y = x -
x
1 trên nữa khoảng (0 ; 2] g) y =
1
1
−
+
x
x
trên đoạn [2 ; 5] h) y =
2
4 5
2 2
+
+ +
x
x
x trên đoạn [0 ; 3] k) y = 6 − 3x trên đoạn [-1 ; 1] l) y = 100 x− 2 trên doạn [-8 ; 6] m) y = (x + 2) 1 x− 2 n) y =
1
1
2 +
+
x
x
trên doạn [1 ; 2] p) y = x + 4 x− 2 q) y = 3 +x+ 6 −x và y=2 x+ 5 −x (CĐ 2014) r) y = 2 cos 2x+ 4 sinx trên 0;2
π s) y = 2sinx - sin 3 x
3
4
trên ]
;
0
[ π u) y = sin2x + 2sinx – 1 t) y = cos22x - sinxcosx + 4
o) y = sin4x + cos2x + 2 v) y = x – sin2x trên −π ; π
2
w)f (x) x x 4x x
4
(TN 2014)
2 Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất
3 Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là 48cm2
4.Tìm các giá trị của m để GTNN của hàm số ( ) 2
1
f x
x
= + trên đoạn [0;1] bằng -2
(TN 2012)
4 ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.
a) Công thức chuyển hệ tọa độtheo vec tơ: OI = (x0;y0) là :
+
=
+
=
0
0
y Y y
x X x
b) Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ IXY: Y = f(X + x0 ) – y0
BÀI TẬP
1 Xác định đỉnh I của (P) : y = x2 – 4 x + 3 Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo
OI và viết phương trình của (P) đối với hệ tọa độ IXY
2 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0
Trang 5b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI và viết phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C)
3 Cho đường cong (C) : y = 1 - x1+1 và điểm I(-1 ; 1) Viết công thức chuyển hệ trục tọa
độ trong phép tịnh tiến theo OI và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY Từ đó suy ra I là tâm Đx của (C)
5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
a) Tiệm cận đứng.Nếu lim → + ( )=+∞ ; lim → − ( )=+∞
0 0
x f x
f
x x x
−∞
=
−∞
→ ( ) ; lim ( )
lim
0 0
x f x
f
x x x
đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của (C)
b) Tiệm cận ngang Nếu lim f(x) y0
x→+∞ = hoặc lim f(x) y0
x→−∞ = thì đg thẳng y = y0 là tiệm cận
ngang của(C)
c) Tiệm cận xiên Nếu lim[ ( ) − ( + )]= 0
+∞
→ f x ax b
x hoặc lim[ ( ) − ( + )]= 0
−∞
→ f x ax b
= ax + b
( a ≠ 0 ) là tiệm cận xiên của (C).
BÀI TẬP.
1.Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số
a) y =
1 2
2 3
+
−
x
x
b) y =
4
3
2 −
+
x
x
c) y =
3
5
+
−
−
x
x
d) y =
4
1
2
2
+
−
+
−
x
x x
e) y =
1
2
2 −
+
x x
2 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số.
a) y = x – 2 +
1
1
−
1
2
+
x
1 2
4 2
3 2
+
+
−
x
x
1
2 −
x
x
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Câu 1. Cho hàm số y 1 ( 1)m x3 mx2 (3m 2)x
3
= − + + − (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó ĐS: m 2≥
Câu 2. Cho hàm số y x= 3+ 3x2−mx− 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)−∞ ĐS: m≤ − 3
Câu 3. Chohàmsốy= 2x3− 3(2m+ 1)x2+ 6 (m m+ 1)x+ 1.Tìmm để HSĐB trên khoảng (2;+∞)
ĐS: m 1≤
Câu 4. Chohàmsố y x= + − 3 (1 2 )m x2 + − (2 m x m) + + 2.Tìm m để HSĐB trên(0; +∞) ĐS:
≥m
5
4
Câu 5. Cho hàm số y x= 3+ 3x2+mx m+ –2 (m là tham số) có đồ thị(C m ) Xác định m để
(Cm)
có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành ĐS
m 3<
Trang 6Câu 6. Cho hàm số y= − +x3 (2m+ 1)x2− (m2− 3m+ 2)x− 4 (m là tham số) có đồ thị là (C m).
Xác định m để (C m) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung ĐS 1<m<2
Câu 7. Cho hàm số 1 3 2
(2 1) 3 3
y= x −mx + m− x− (m là tham số) có đồ thị là (C m ) Xác định m
để (Cm)
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung Đ S: m>1/2
và m≠1
Câu 8. Cho hàm số 3 2
y x= − x −mx+ (m là tham số) có đồ thị là (C m ).Xác định m để (C m)
có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1= − .
ĐS: m=0
Câu 9. Cho hàm số y x= 3− 3mx2+ 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (C m ).Xác định m để (C m)
có các
điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ĐS m 2
2
= ±
Câu 10. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 3(m 2)x 1
= − − + − + , với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã
cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1+2x2=1 ĐS m 19= ± 73
16 .
Câu 11. Cho hàm số y= 4x3+mx2–3x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa
x1= −4x2 ĐS m= ± 9 / 2