1 Phân tích đa thức thành nhân tử ra thừa số là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức, đa thức.. 2 Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.. Nội dung Phần I:
Trang 1Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng A.Lý thuyết chung.
1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức, đa thức
2 ) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1) Đặt nhân tử chung;
2) Dùng hằng đẳng thức;
3) Nhóm nhiều hạng tứ;
4) Tách, thêm, bớt;
5 )Phối hợp nhiều phơng pháp
B Nội dung
Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
I Phơng pháp đặt nhân tử chung
1 Phơng pháp
Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử
Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc
2.Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) –3xy + x2 y2 – 5x2y
b) 2x(y – z) + 5y(z – y)
c) 10x2 (x + y) – 5(2x + 2y)y2
Bài Làm
a) 3xy + x2 y2 – 5x2 y = xy(- 3 + xy – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x2 (x + y) – 5(2x + 2y)y2 = 10x2 (x + y) – 10y2 (x + y) = 10(x + y)(x2 – y2 )
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) 2 (x – y)
3 Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy2 – 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
c)
7
5
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 3
b) 2x3(x – y) + 2x3(y – x ) + 2x3(z – x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
1 Phơng pháp
Trang 2Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức
đơn giản
+
Những hằng đẳng thức :
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A – B = (A + B)(A – B)
(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2 B + 3AB2 - B3
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2 )
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2 )
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA
An – Bn = (A – B)(An− 1 + An− 2 B + … + ABn− 2 + Bn− 1)
A2k – B2k = (A +B)(A2k− 1 - A2k− 2B + … - B2k− 1)
A2K+ 1 + B2K+ 1 = (A + B)(A2k – A2k− 1B + A2k− 2B2 - … +B2k )
(A + B)n = An + n An− 1B - n(1n.2−1) An− 2 B2 + … + n(1n.2−1) A2 Bn− 2 + nABn− 1+ Bn
(A - B)n = An - n An− 1B +n(1n.2−1) An− 2B2 - … +(-1)n Bn
2.Ví dụ
Ví Dụ 1 Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x2 + 6xy2 + 9y4
b) a4 – b4
c) (x – 3)2 - (2 – 3x)2
d) x3 – 3x2 + 3x - 1
Bài Làm
a) x2 + 6xy2 + 9y4 = x2 + 2x3y2 + (3y)2 = (x + 3y2 )2
b) a4 – b4 = (a2 )2 – (b2 )2 = (a2 + b2) (a2 – b2 ) = (a2 + b2 ) (a + b) (a – b)
c) (x – 3)2 - (2 – 3x)2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x)
d) x3 – 3x2 + 3x - 1 = (x – 1)3
Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a3 + b3 + c3 – 3abc
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
Bài Làm
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= ( a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 ] – 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a3 – b3 –c3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c2) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
3 Bài tập tự luyện
Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 15)2 – 16
Trang 3b) 25 – (3 – x)2
c) (7x – 4)2 – ( 2x + 1)2
d) 9(x + 1)2 – 1
e) 9(x + 5)2 – (x – 7)2
f) 49(y- 4)2 – 9(y + 2)2
Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x3 + 27y3
b) (x + 1)3 + (x – 2)3
c) 1 – y3 + 6xy2 – 12x2 y + 8x3
d) 20042 - 16
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
1 Phơng pháp
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm
AÙp dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán
2 Ví dụ
Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 3xy + x – 3y
b) 7x2 – 7xy – 4x + 4y
c) x2 + 6x – y2 + 9
d) x2 + y2 – z2 – 9t2 – 2xy + 6zt
Bài Làm
a) x2 – 3xy + x – 3y = (x2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x2 – 7xy – 4x + 4y = (7x2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x2 + 6x – y2 + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 - y2 = (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x2 + y2 – z2 – 9t2 – 2xy + 6zt = (x2 – 2xy + y2 ) – (z2 – 6zt + 9t2 )
= (x – y)2 – (z – 3t)2 = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 y + xy2 + x2 z + xz2 + y2 z + yz2 + 2xyz
b) x2 y + xy2 + x2 z + xz2 + y2 z + yz2 + 3xyz
Bài Làm
a) x2y + xy2 + x2 z + xz2 + y2 z + yz2 + 2xyz
= (x2 z + y2z + 2xyz) + x2 y + xy2 + xz2 + yz2
= z(x + y)2 + xy(x + y) + z2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z2 )
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z2 )]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x2 y + xy2 + x2 z + xz2 + y2 z + yz2 + 3xyz
= (x2 y + x2z + xyz) + ( xy2 + y2 z + xyz) + (x2 z + yz2 + xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
Trang 43 Bài Tập
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x4 + 3x2 – 9x – 27
b) x4 + 3x3 – 9x – 9
c) x3 – 3x2 + 3x – 1 – 8y3
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)
b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp
1 Phơng pháp
Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
2 Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x3 - 45x
b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bài làm
a) 5x3 – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3 Bài tập
Bài tập 1 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
b) 8x3(x + z) – y3(z + 2x) – z3(2x - y)
c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bài tập 2 Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z)3 – x3 – y3 - z3
Hớng dẫn
(x + y + z )3 – x3 – y3 - z3
=[(x + y + z)3 – x3] – (y3 + z3)
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2]
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
Trang 5= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1 Phơng pháp
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + 8
Bài làm
Caựch 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Caựch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Caựch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Caựch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Caựch 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3 Bài tập
Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 + 7x +10
b) x2 – 6x + 5
c) 3x2 – 7x – 6
d) 10x2 – 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 4x2 – 29x + 24
b) x3 + 6x2 + 11x + 6
c) x2 – 7xy + 10y
d) 4x2 – 3x – 1
VI/ Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Phơng pháp
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.
x4 + 64 = x4 + 64 + 16x2 – 16x2 = (x2 + 8)2 – (4x)2 = (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x4 + 4y4
b) x5 + x + 1
Bài làm a) x4 + 4y4 = x4 + 4y4 + 4x2 y2 – 4x2 y2 = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x5 + x + 1 = (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2 ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x +1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 +1)
Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x5 + x4 + 1
b) x8 + x7 + 1
c) x8 + x + 1
d) x8 + 4
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 5x2 + 3x – 9
b) x3 + 9x2 + 11x – 21
Trang 6c) x3 – 7x + 6
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 - 5x2 + 8x – 4
b) x3 – 3x + 2
c) x3 – 5x2 + 3x + 9
d) x3 + 8x2 + 17x + 10
e) x3 + 3x2 + 6x + 4
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 – 2x – 4
b) 2x3 – 12x2 + 7x – 2
c) x3 + x2 + 4
d) x3 + 3x2 + 3x + 2
e) x3 + 9x2 + 26x + 24
f) 2x3 – 3x2 + 3x + 1
g) 3x3 – 14x2 + 4x + 3
* Moọt soỏ phửụng phaựp khaực
VII/ Phơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ)
Phơng pháp
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 6x4 – 11x2 + 3
b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) –5
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm a) 6x4 – 11x2 + 3
- Đặt x2 = y
- Đa thức đã cho trở thành: 6y2 – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
- Trả lại biến cũ:
6x4 – 11x2 + 3 = (3x2 – 1) (2x2 – 3) = ( 3 x – 1)( 3 x + 1)( 2 x - 3)( 2 x + 3)
b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) –5
- Đặt x2 + 3x + 1 = y ⇒ x2 – 3x – 3 = y – 4
- Đa thức đã cho trở thành
y(y – 4) – 5 = y2 – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)
- Trả lại biến cũ
(x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) – 5 = (x2 + 3x + 1 + 1)(x2 + 3x + 1 – 5)
= (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- Đặt x2 + 8x + 7 = y ⇒ x2 + 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đã cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x2 + 8x +7 + 5)(x2 + 8x + 7 + 3)
= (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Trang 73 Bài tập
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – 6
c) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x2
d) 3x6 – 4x5 + 2x4 – 8x3 + 2x2 – 4x + 3
VIII/ Phơng Pháp hệ số bất định
Phơng Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tơng ứng của chúng phải bằng nhau.
an xn + an= 1 xn− 1 + + a2 x2 + a1x + a0 = bn xn + bn= 1xn− 1 + + b2x2 + b1 x + b0
⇔ ai = bi ∀ i = 1; n
2 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Vớ duù 1: A = x3 + 11x + 30
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1 Nên nếu A phân tích đợc thì A có dạng
A = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
⇔ x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có
=
=
+
=
+
30
11
0
ac
c
ab
b
a
Chọn a = 2 ⇒c = 15; b = -2
Vậy (x3 + 11x + 30) = (x + 2)(x2 – 2x + 15)
2.2 Ví dụ 2: B = x4 – 14x3 + 15x2 – 14x +1
Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích đợc thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
⇔B = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số, ta có:
14
15 14
1
a c
ac b d
ad bc
bd
+ = −
+ + =
+ = −
=
⇒
=
−
=
=
−
=
1 13 1 1
d c b
a
hoặc
13 1 1 1
a b c d
= −
=
= −
=
Do vậy B = (x2 – x + 1)(x2 – 13x + 1) hoặc B = (x2 – 13x + 1)(x2 – x + 1)
Bài tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3 + 4x2 + 5x + 2
b) 2x4 – 3x3 –7x2 + 6x + 8
Trang 8c) 5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – 8
Bài 17: Tìm a, b, c
a) x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + a = (x2 – 2x + 1)(x2 + bx + c)
b) x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 2)( 2 x + bx + c) + a
c) 4x3 + 7x2 + 7x – 6 = (ax + b)(x2 + x +1) + c
IX/ Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Khi các biến có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: Vớ duù 1: P = (x + y + z)3- x3 – y3 – z3
Bài Làm Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y thì P = 0 ⇒ P (x + y)
Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên
P (x + z)
P (y + z)
⇒ P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số
Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
Ví dụ 2:
M = a(b + c)(b2 - c2 ) + b(c + a)(c2 - a2 ) + c(a + b)(a2 - b2 )
Bài Làm Coi M là đa thức biến a
Khi a = b thì M = 0
⇒M (a - b)
Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên :
M (b - c)
M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a
Nhng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R là hằng số)
⇒ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chọn a = 0, b = 1, c = 2 ⇒ R = 1
Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
X Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
1 Phơng pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0
Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do
2 Ví dụ: x3 + 3x - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra -
ac = - 4 suy ra a là ớc của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng t không đổi
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4 sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1)
Trang 9Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)
* Cách 1:
x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2
* Cách 2:
x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1)
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1)
Ví dụ :
* Đa thức : x3 - 5x2 + 8x – 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x – 1)
*Đa thức : x3 – 5x2 + 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)
+Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ
Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p
q trong đó p là ớc của hạng tử không đổi,
q là ớc dơng của hạng tử cao nhất
Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là :
(- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3
Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x -1
2 ) hay (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1)
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
=x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI Phơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
a) Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c
Nếu b2 – 4ac là bình phơng của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phơng pháp đã biết
Nếu b2 – 4ac không là bình phơng của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp đợc nữa
b) Ví dụ: 2x2 – 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3
Xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55
Suy ra Phân tích đợc thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 , x2 thì
P(x) =a( x- x1)(x - x2)
Phần 2: CAÙC BAỉI TOAÙN AÙP DUẽNG PHAÂN TÍCH ẹA THệÙC THAỉNH NHAÂN TệÛ.
I) Bài toán rút gọn biểu thức
1 Phơng pháp
+Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung
+áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung
⇒ Học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển t duy suy luận lôgic, sáng tạo
2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức
A =
3 4 2
1 5 7
3
2
3
2 3
+
−
−
− +
−
x x
x
x x
x
Trang 10B =
1
3 1
1 2
1
3
2 −
−
−
−
−
−
+
+
x
x x
x
x
x
Bài Làm a) A =
3 3 2
2
1 4
4 3
3
2 2 3
2 2 3
+
−
− +
−
− + +
−
−
x x x x x
x x x x x
A =23 2(( 11)) 4(( 1)1) 3(( 11))
2
−
−
− +
−
− +
−
−
−
x x
x x
x
x x
x x
x
A =(( 11)()(32 2 4 31)) (( 11)()(2 1)(3)(3 11))
2
− +
−
−
−
−
=
− +
−
+
−
−
x x x
x x
x x
x x
x x x
) 3 2 ( )
1
(
) 1 3 ( )
1
(
2
2
+
−
= +
−
−
−
x
x x
x
x x
b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
B = (x+3)(x−1)(−x(+21x)(−x1−)(1x)+1)−(x−3)
B = x2+2x−(3x−+21)(x2x+−x1)+1−x+3
B = 1 2 1
( 1)( 1)
x
− = −
3 Bài tập
Bài 19 Rút gọn biểu thức
A = 2( )2 2(2 3) 22( )
bc b ac ab
b a c a c b c
b
a
+
−
−
− +
− +
−
B =
9 33 19
3
45 12 7
2
2 3
2
3
− +
−
+
−
−
x x
x
x x
x
3 3 3
) ( ) ( )
(
3
x z z y y
x
xyz z
y
x
− + + +
+
+ +
−
3 3 3
) ( ) ( )
(
3
x z z y y
x
xyz z
y
x
− +
− +
−
− + +
Bài 20 Rút gọn biểu thức
A =x(x1 y) y(x1 y) x(x1 y)+ y(y1−x)
−
+ +
+
+
B =a(a b1)(a c) b(b a1)(b c) +c(c−a1)(c−b)
−
−
+
−
−
Bài 21 Cho x 2 - 4x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = 4 22 1
x
x
x + +
II) Bài toán giải phơng trình bậc cao.
Phơng pháp: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đa về phơng trình tích
AB = 0 ⇔ hoặc A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phơng trình
* Ví dụ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0
⇔ x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0
⇔x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
⇔(x- 5)(x2- 2x + 5) = 0