giúp học sinh làm những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

1/Thực trạng của vấn đề: Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

MỤC LỤC

Trang

A MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ: 2

1/Thực trạng của vấn đề: 2

2/Ý nghĩa và tác dụng : 2

3/Phạm vi nghiên cứu: 2

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 2

1/Cơ sở lý luận và thực tiển: .2

2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian: 2

B NỘI DUNG 2

I MỤC TIÊU: .3

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 3

1/ Thuyết minh : 3

2/Khả năng áp dụng: 3

-Các phương pháp : 4

C.KẾT LUẬN 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

GIÚP HỌC SINH LÀM NHANH NHỮNG BÀI TOÁN “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”

A MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính vì vậy việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng

1/Thực trạng của vấn đề:

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó

“Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan

trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều

đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài toán về phân tích

đa thức thành nhân tử, Cho nên chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà giáo viên hết sức quan tâm

2/Ý nghĩa và tác dụng :

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm

Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này

3/Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại Trường THCS Trần Quang Diệu và dành cho đối tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán các lớp 8; 9

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

1/Cơ sở lý luận và thực tiển:

- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân

tử trong giảng dạy

- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu

2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian:

a.Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

b) Phương pháp khảo sát thực tiễn

c) Phương pháp quan sát

d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

b.Thời gian nghiên cứu

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

1/ Thuyết minh :

* Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng

đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân

tử khác 0 với một đa thức khác Thật vậy:

Giả sử P(x)P x là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường

P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x) Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P

*Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy,

và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”

b) Định lý 2

Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức  < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0

c)Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên

Q

2/Khả năng áp dụng:

Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các

đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử một cách có hệ thống từ dễ dến khó cho từng phương pháp

-Các phương pháp : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

2 Phương pháp nhóm các hạng tử

3 Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

4 Phương pháp thực hiện phép chia

5 Phương pháp đặt ẩn phụ

6 Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)

7 Phương pháp hệ số bất định

8 Phương pháp xét giá trị riêng

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược)

*Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

b/ B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)2a – 3ax – 6a – 4ax 2   2 

d/ D = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có: D = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)

* Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

a/ A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) - yz(y – z) - x2(y – z)

b/ B= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có: B= 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)

c/ C = x6 + x4 + x2 + 1

Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) d/ D = x2 + 2x + 1 – y2

Giải: Ta có: D = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + 1 + y ) e/ E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y)

= (x + y)(x + y – z) f/ F = 2xy + z + 2x + yz

Giải: Ta có : F = 2xy + z + 2x + yz

= (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) g/ G = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Giải: Ta có : G= xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1) h/ H = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z

Ta có : H = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

-Cách khác : Nhận xét : dễ thấy z – x = -y – z   x – y 

Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)c b   c   a b   c = ( a + b)(b + c)(c + a)

Giải: Ta có : L = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)

= (a + 2b)a 2b – c – c 2b – c   

= (a + 2b)(2b – c)(a – c) m/ M = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) a – b a   b   1)

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = 2x(x2 + 3y2)

Vậy G = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 = 3(z – x)(y – z)(x – y)

4 Phương pháp thực hiện phép chia:

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một

đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phân tích tiếp g(x)

*Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để thực hiện phép chia được nhanh hơn

Ví dụ :chia f(x) cho (x + 2) như sau :

Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với

ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích

được thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ

*Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = y(y + 3) + 5(y + 3)

Bằng cách biến đổi tương tự như bài e/, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ

đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử

F =

2 3 ) 1

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (a + b)2 (*)

6 Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)

Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ

*Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (x – 1)5 x – 1 – 4x  

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(1) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5) Vậy

A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau :

Bước 1 : lấy tích a.c = t

Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi

Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (x2 + 3)(x2 – 1)

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (x + y)(5x + y)

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ

số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp

*Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a/ A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :

6 12 14 3

8 6

c a

Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :

B = ( ax + by + c )( dx + ey + g )

= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg

= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg

11 22 3

cg

ce bg

be

cd ag

bd ae

g e d c b a

Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

c/ C= x4 – 8x + 63

Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :

C = x4 – 8x + 63

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:

bd

bc ad

d b ac

c a

d c b a

Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)

8 Phương pháp xét giá trị riêng

Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh Trong phương pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

*Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a/ A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Giải: Thử thay x bởi y thì A = y2(y – z) + y2(z – y) = 0

Như vậy A chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì A không đổi ( ta nói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh xyzx Do đó nếu A chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy A có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải là hằng số, vì A có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi

x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được:

4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)

2 = -2k

k = -1 Vậy A = -1(x – y)(y – z)(z – x)

Như vậy B chứa thừa số x – y

Ta thấy đa thức B có thể hoán vị vòng quanh xyzx Do đó nếu B chứa thừa

số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy B có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác B là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia B cho

(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014

Mặt khác D là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia D cho

(y – z)(z – x)(x – y)được thương là hằng số k, nghĩa là :

Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(x – y)

e/ E = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)

Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì E không thay đổi

Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc

C.KẾT LUẬN

Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ Bởi

vì các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán Để có được những học sinh giỏi, chúng ta cần phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6 Với 4 năm liên tục, cùng

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 với sự nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có được những học sinh giỏi thực sự

về bộ môn Toán

Do năng lực còn hạn chế, nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi không thể tránh được những thiếu sót, bản thân rất mong có sự đóng góp, bổ sung của các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để có thể hoàn thiện hơn

Trên đây, sáng kiến kinh nghiệm tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất trọng tâm của chương trình toán THCS

1 Kết quả

Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi.Tôi thấy HS tiến

bộ hơn nhiều trong việc nhận dạng bài toán và chọn lựa phương pháp giải phù hợp,nhanh chóng

2 Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện

- Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải được các bài toán khó một cách thành thạo Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích được sự tò

mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh

- Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng Chính vì vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm tất cả các chuyên đề Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài toán điển hình, cơ bản nhất

để học sinh từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùng thể loại

- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các

em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu