Học sinh trình bày chi tiết lời giải và các bước tính toán.. Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt là điều kiện cần và đủ, các bước đánh giá.[r]
Trang 1PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
1
x y x
có đồ thị là ( ) C
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Cho A (0; ) a , tìm các giá trị của a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến với ( ) C và hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó nằm về hai phía trục hoành
Câu II (2,0 điểm)
x
x
2 Giải hệ phương trình
1 1
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
6
0cos cos( )
4
dx I
x x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông tại S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Cho M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho
BM vuông góc với SA Tính AM theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn abc 1 và số thực n 3 Chứng minh rằng
3
n
a b c
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết B (1; 1) , trung tuyến kẻ từ A và B có phương trình lần lượt là x y 2 0 và 7 x y 6 0 Cho diện tích tam giác bằng 2, tìm tọa độ các điểm A và C
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A (1;1; 1) ;B (1;1;2);C ( 1;2; 2) và mặt phẳng ( ) P có phương trình x 2 y 2 z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q qua A, vuông góc với mặt phẳng ( ) P
và cắt đoạn thẳng BC tại I sao cho IB 2 IC
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ẩn x sau có 2 nghiệm trái dấu
( m 3).16x (2 m 1).4x m 1 0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;1), đỉnh A thuộc đường thẳng
2 x y 1 0, các đỉnh B, C thuộc đường x 2 y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác bằng 6
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A (2;0; 5) , B ( 3; 13;7) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua
A, B và tạo với mặt phẳng ( Oxz ) góc nhỏ nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ
số lẻ
THỜI GIAN: 180 PHÚT
Trang 2CÂU ĐÁP ÁN B.ĐIỂM I.1 a TXĐ D \ {1}
b Giới hạn và tiệm cận
lim lim 1
nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của ĐTHS
1
lim
x
và
1
lim
x
nên đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của ĐTHS
0.25
c Chiều biến thiên
2
3
( 1)
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (1; )
0.25
d Bảng biến thiên
0.25
e Đồ thị
Điểm cắt trục tung (0;-2); điểm cắt trục hoành (-2;0)
ĐTHS nhận giao điểm I(1;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0.25
I.2 Đường thẳng d qua A với hệ số góc k có phương trình y kx a
Để d là tiếp tuyến với (C) thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm ẩn x của hệ
2
3 ( 1)
2 1
k x
x
kx a x
Do đó
2 2
x
0.25
Để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 khác 1 Khi đó
hai hệ số góc tương ứng là k k1; 2khác nhau vì nếu k1 k2 thì chỉ ra được x1 x2 2 và
không tồn tại a Do đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến
Chỉ ra
2
1
1 ' 3 3 0
1 ( 1).1 (2 4).1 2 0
a
a a
a
0.25
x y
1 -2
-2
Trang 3Các tung độ tiếp điểm là 1 1 2 2
;
phải trái dấu nhau nên
y y hay 1 2 1 2
0
x x x x
x x x x
0.25
0
a
a
3
a và a 1
0.25
II.1 Điều kiện sin x 0
Quy đồng và biến đổi về
3cos x 3(cos x sin ) x 4(cos x sin )sin x x sin x
0.25
(3cos x sin x ) (cos x sin )(3 4sin x x ) 0
2
(3 4sin x )(1 sin x cos ) x 0
Giải trường hợp đầu được
3
x k
Giải trường hợp sau được 2
2
x k
(thỏa mãn); x k 2 (loại)
x k x k
0.25
II.2 Điều kiện x 0; x y 1
Biến đổi phương trình đầu x x y 1 1 bằng cách bình phương 2 vế được
y x y suy ra y 0 và được ( y 2)2 4 x Do đó y 2 2 x (1)
0.25
Thế vào được y2 y 2 0 nên y 2 hoặc y 1 (loại) 0.25 Tính được x 4
III
(tan ) cos
dx
I
Đưa về
3
3 0 0
1
dt
t
2 ln
2
IV Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
Trang 4Do đó hình chiếu của S trên (ABCD) là hình chiếu của S trên IJ
Chỉ ra tam giác SIJ vuông tại S (định lý Pitago)
4
a
3
3 12
a
Gọi P, Q là trung điểm SA, AJ
Chỉ ra được (BPQ) vuông góc với SA
Suy ra M là giao điểm của BQ và CD
0.25
Tính được
2
a
2
a
V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số ta có
a c a c b a a b c a
Tương tự b a2 b a2 c b2 3 b và c b2 c b2 a c2 3 c
Do đó a c2 b a2 c b2 a b c
0.25
3
n
a b c
Đặt t a b c, chỉ ra t 3
0.25
Biến đổi BĐT thành 3
n
t
Chỉ ra BĐT này luôn đúng do n 3
BĐT đã cho được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a b c 1 0.25 VI.a.1
Tính được tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là 2 4
( ; )
3 3
G Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, CA
0.25
B
S
C
P
Q
M
Trang 5Vì 1
1 2
2
A BN
Gọi A a ( ;2 a ) ta được pt | 6 4 | 2 2
5 50
a
0;
3
a a
0.25
3
a , tính được 4 2 1 13
( ; ); ( ; )
VI.a.2
Dựa vào IB 2 IC
, tính được tọa độ điểm I là 1 5 2
( ; ; )
3 3 3
0.5 Dựa vào 2 vectơ IA n ; P
cùng vuông góc với n Q
, tính được vec tơ pháp tuyến của (Q) là (2;3;2)
Q
VII.a Đặt t 4 (x t 0) PT đã cho trở thành ( m 3) t2 (2 m 1) t m 1 0 (1)
Với mỗi t 0, pt 4x t có nghiệm duy nhất
x x nên để pt đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì (1) phải có 2 nghiệm t t1; 2 thỏa mãn 0 t1 1 t2
0.25
Chỉ ra m 3, để (1) có 2 nghiệm phân biệt dương thì
20 11 0
1 0 3
m m
m m
m
m
0.25
Để t1 1 t2 thì (1 t1)(1 t2) 0, do đó 4 3 3
m
m m
Kết hợp lại ta được 3
1
4
m
VII.a.1 Gọi B (1 2 ; ); (1 2 ; ) b b C c c thì A (1 2 b 2 ;3 c b c )
Do A thuộc đường 2 x y 1 0 nên b c 0 Do đó A (1;3) 0.25
Tính được khoảng cách từ A đến BC bằng 6
Mà B (1 2 ; ); (1 2 ; b b C b b ) nên BC 20 b2 Do đó b 1 0.25
Từ đó A (1;3); ( 1;1); (3; 1) B C hoặc A (1;3); (3; 1); ( 1;1) B C 0.25 VII.a.2 Gọi n ( ; ; ) a b c
Trang 6ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Yêu cầu:
Học sinh trình bày chi tiết lời giải và các bước tính toán
Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt là điều kiện cần và đủ, các bước đánh giá
Học sinh có thể giải bài toán theo các cách khác nhau tổ chấm thảo luận để thống nhất cho điểm
( 5; 13;12)
AB
, ta có 5 a 13 b 12 c 0
Góc giữa (P) và (Oxz) xác định bởi
| |
a b c
Nếu b=0 thì 900
Nếu b 0, chọn b=1 ta được 5 a 12 c 13 0 và
1 cos
1
a c
0.25
Khi đó
2
cos
2
169 130 313 (13 5) 288
5 13
1 12
a a
nên 450
0.25
; 1;
a b c
PT (P) là 5 x 13 y 12 z 70 0
0.25
VII.b Xét các số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài trong đó tính cả số 0 đứng đầu (ví dụ số 01325 thỏa
mãn) (1)
- Chọn 2 chữ số chẵn trong 5 chữ số chẵn có C52 cách
- Chọn 3 chữ số lẻ trong 5 chữ số lẻ có C53cách
- Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí cho chữ số chẵn có C52 cách
- Cho 2 chữ số chẵn vào 2 vị trí này có 2! cách
- Cho 3 chữ số lẻ vào 3 vị trí còn lại có 3! cách
Có tất cả C C C52 53 522!3! 12000 số thỏa mãn
0.5
Xét các số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài trong đó số 0 bắt buộc đứng đầu (2)
- Cố định vị trí số 0
- Chọn 1 số chẵn trong 4 số chẵn (trừ số 0) có 4 cách
- Chọn 3 chữ số lẻ trong 5 chữ số lẻ có C53cách
- Chọn 1 vị trí cho chữ số chẵn này trong 4 vị trí có 4 cách
- Cho 3 chữ số lẻ vào 3 vị trí còn lại có 3! cách
Trường hợp này có 4 C53.4.3! 960 số
Do đó các số thỏa mãn đề bài là các số thỏa mãn (1) nhưng không thỏa mãn (2) nên có
12000 960 11040 (số)
0.5