Coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tự nhiên goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau ủoõi moọt tửứ X, mà moọt trong ba chửừ soỏ ủaàu tieõn phaỷi baống 1.. 2..[r]
Trang 1Đề 4 kscl theo khối thi đH Mơn tốn 11 lên 12- ban khtn
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày :18 / 7/ 2009
Câu 1: (3,0 đ)
1 Cho haứm soỏ: y = x3 + 3x2 + mx + 1 coự ủồ (Cm); (m laứ tham soỏ).
a Xaực ủũnh m ủeồ (Cm) caột ủửụứng thaỳng y = 1 tái 3 ủieồm phãn bieọt C(0, 1),
D, E sao cho caực tieỏp tuyeỏn cuỷa (Cm) tái D vaứ E song song vụựi nhau.
b Xác định m để hàm số nghịch biến trong khoảng (-2;1)
2 Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x)= x ax bx c
2 3
3
1
đạt cực đại tại điểm x=3 và đồ thi (C) của nĩ tiếp xúc với đường thẳng (d): 3
1
3
x y
tại giao điểm của (C) với trục tung
Câu 2: (2,0 đ)
1 Giaỷi phửụng trỡnh: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0
2 Giải hệ phương trỡnh
Câu 3:(2,0 đ)
1 Tớnh theồ tớch cuỷa hỡnh choựp S.ABC, bieỏt ủaựy ABC laứ moọt tam giaực ủều cánh a,
maởt bẽn (SAB) vuõng goực vụựi ủaựy, hai maởt bẽn coứn lái cuứng táo vụựi ủaựy goực a.
2 Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C): x2 y2 2 x 4 y 1 0 và điểm M(4;3) Chứng tỏ qua M cĩ 2 tiếp tuyến với (C) và giả sử A;B là 2 điểm tiếp xúc
Lập phương trỡnh đường thẳng AB
Câu 4: (2,0 đ)
1 Cho taọp hụùp X = 0,1,2,3,4,5,6,7 Coự theồ laọp ủửụùc bao nhiẽu soỏ tự nhiên gồm 5 chửừ soỏ khaực nhau ủõi moọt tửứ X, mà moọt trong ba chửừ soỏ ủầu tiẽn phaỷi baống 1
2 Tìm m để phương trình sin2 x cos x m
cĩ nghiệm duy nhất 0 ;
Câu 5: (1,0 đ)
Cho x, y, z là các số dương thoả mĩn
1 1 1
2009
x y z Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : P =
2 x y z x 2 y z x y 2 z
Trang 2
Họ và tên thí sinh: Số báo
danh: -1 Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tỡm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà gĩc giữa hai tiếp tuyến đĩ bằng 600.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
I PHẦN CHUNG:
Câu 1: : y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1 m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 (C3)
+ TXẹ: D = R
+ Giới hạn: lim , lim
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x
* Baỷng bieỏn thiẽn:
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1)
y” = 0 x = –1 điểm uốn I(-1;0)
* ẹồ thũ (C3):
2 Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (Cm) vaứ ủửụứng thaỳng y = 1 laứ:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0
x 02
* (Cm) caột ủửụứng thaỳng y = 1 tái C(0, 1), D, E phãn bieọt:
Phửụng trỡnh (2) coự 2 nghieọm xD, xE 0
m 0
m
Luực ủoự tieỏp tuyeỏn tái D, E coự heọ soỏ goực lần lửụùt laứ:
kD = y’(xD) = 3x2D 6xD m (xD 2m);
kE = y’(xE) = 3x2E 6xE m (xE 2m).
Caực tieỏp tuyeỏn tái D, E vuõng goực khi vaứ chổ khi: kDkE = –1
(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vỡ xD + xE = –3; xDxE = m theo ủũnh lý Vi-ột)
4m2 – 9m + 1 = 0 m = 1 9 65
8
ẹS: m = 1 9 65 hay m 1 9 65
Câu 2:
1 3 sin x cosx 2 cos3x 0 sin 3 sinx + cos 3 cosx = – cos3x.
Trang 3 cos
x cos3x
x cos( 3x) 3
k x
k
3 2 (k Z)
2 Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x2 91 y2 91 y 2 x 2 y2 x2
y x y x
1
x y
x = y (trong ngoặc luơn dương và x và y đều lớn hơn 2)
Vậy từ hệ trên ta cĩ: x291 x 2x2 x291 10 x 2 1 x2 9
2 2
( 3)( 3)
2 1
91 10
x x
2 1
91 10
x x
x = 3
Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
b
2/ 3 1/ 3
3 u
b 2/ 3
3 4 (e 2) ;
2 (vụựi u = ex – 2, du = exdx) Suy ra:
b 2/ 3
b ln2 b ln2
lim J lim 4 (e 2) (4) 6
Câu 4:
Dửùng SH AB
Ta coự:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
SH (ABC)
vaứ SH laứ ủửụứng cao cuỷa hỡnh choựp.
Dửùng HN BC, HP AC
SN BC, SP AC SPH SNH
DSHN = DSHP HN = HP
DAHP vuõng coự:
HP HA.sin60
4
DSHP vuõng coự:
a 3
4
Theồ tớch hỡnh choựp
ABC
4ab ≤ (a + b)2
1 4
a b
1 1 1
( , 0)
Ta cĩ:
S
H
P
C A
B
N
j
Trang 4Tương tự:
Vậy
2 x y z x 2 y z x y 2 z
1 1 1 1 2009
Vậy MaxP =
2009
4 khi x = y = z =
3 2009
II.PHẦN TỰ CHỌN:
1 Phần 1: Phần dành cho chương trỡnh cơ bản
Câu 6a.1a
1.Giả sử AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Vậy A(0;3)
Đường cao đỉnh BO đi qua O nhận VTCPa = (7; - 4) của AC làm VTPT
Vây BO: 7x - 4y = 0 vậy B(-4;-7)
A nằm trên Oy, vậy đường cao AO chính là trục OY, Vậy AC: y + 7 = 0
2 Gói A(a; 0; 0) Ox.
Khoaỷng caựch tửứ A ủeỏn maởt phaỳng (a) : 2 2 2
d(A; )
3
2 1 2
(D) qua M (1; 0; 2)0 vaứ coự vectụ chổ phửụng u (1; 2; 2)
ẹaởt M M 0 1 u
Do ủoự: d(A; D) laứ ủửụứng cao veừ tửứ A trong tam giaực AM M0 1
0 1
2 0
AM M
0 1
[AM ; u]
d(A; )
Theo giaỷ thieỏt: d(A; a) = d(A; D)
2
2
2a 8a 24a 36
4a 8a 24a 36 4a 24a 36 0
4(a 3) 0 a 3.
Vaọy, coự moọt ủieồm A(3; 0; 0)
Câu 6a.2a n = a b cd e
* Xem caực soỏ hỡnh thửực ab cd e , keồ caỷ a = 0 Coự 3 caựch chón vũ trớ cho 1 (1 laứ a
hoaởc laứ b hoaởc laứ c) Sau ủoự chón trũ khaực nhau cho 4 vũ trớ coứn lái tửứ X \ 1
: soỏ caựch chón A74.
Nhử theỏ coự 3 x (7 x 6 x 5 x 4) = 2520 soỏ hỡnh thửực thoỷa yẽu cầu ủề baứi.
* Xem caực soỏ hỡnh thửực 0bcd e .
* Loái nhửừng soỏ dáng hỡnh thửực 0b cd e ra, ta coứn 2520 – 240 = 2280 soỏ n thoỷa yẽu
cầu ủề baứi.
1 Phần 2: Phần dành cho chương trỡnh nâng cao:
1 (C) cú tõm I(3;0) và bỏn kớnh R = 2
M Oy M(0;m)
Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
Vậy
0 0
60 (1)
120 (2)
AMB
AMB
Trang 5Vỡ MI là phõn giỏc của AMB
(1) AMI = 300 sin 300
IA MI
MI = 2R m29 4 m 7
(2) AMI = 600 sin 600
IA MI
MI =
2 3
3 R
9 3
m
Vơ nghiệm Vậy cĩ hai điểm M1(0; 7) và M2(0;- 7)
2.- (d1) ủi qua ủieồm A(0; 0; 4) vaứ coự vectụ chổ phửụng u 1 (2; 1; 0)
- (d2) ủi qua ủieồm B(3; 0; 0) vaứ coự vectụ chổ phửụng u 2 (3; 3; 0)
AB (3; 0; 4)
AB.[u ; u ] 36 0 1 2 AB, u , u 1 2
khõng ủồng phaỳng
Vaọy, (d1) vaứ (d2) cheựo nhau
Gói MN laứ ủửụứng vuõng goực chung cuỷa (d1) vaứ (d2)
M (d ) 1 M(2t; t; 4), N (d ) 2 N(3 t ; t ; 0) / /
MN (3 t 2t; t t; 4)
Ta coự:
1
2
MN u 2(3 t 2) (t t) 0 t 1 M(2; 1; 4)
N(2; 1; 0)
t 1
3 t 2t (t t) 0
MN u
Tóa ủoọ trung ủieồm I cuỷa MN: I(2; 1; 2), baựn kớnh
1
2
Vaọy, phửụng trỡnh maởt cầu (S): (x 2) 2 (y 1) 2 (z 2) 2 4.
Câu 6b.2b
Xeựt phửụng trỡnh Z4 – Z3 + 6Z2 – 8Z – 16 = 0
Deĩ daứng nhaọn thaỏy phửụng trỡnh coự nghieọm Z1 = –1, sau ủoự baống caựch chia ủa thửực ta thaỏy phửụng trỡnh coự nghieọm thửự hai Z2 = 2 Vaọy phửụng trỡnh trụỷ thaứnh:
(Z + 1)(Z – 2)(Z2 + 8) = 0
Suy ra: Z3 = 2 2 i vaứ Z
4 = –2 2 i
ẹaựp soỏ: 1,2, 2 2 i, 2 2 i