b Giả sử d là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số C , tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận đến đường thẳng d.. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đườn
Trang 1MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2
1
x y x
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Giả sử d là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số C , tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ giao điểm I
của hai tiệm cận đến đường thẳng d
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 2
4 s in c o s 1 c o s 6 c o s s in
2
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 2
4
s in c o s
4 s in
Câu 4 (1,0 điểm)
lo g x 2 lo g x 4x 3
b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 1 3 2
1
z i
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0 và đường
y
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, cách mặt phẳng P
một đoạn thẳng độ dài bằng 2 và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng A B C D A B C D ’ ’ ’ ’ có các cạnh , ' 3
2
a
0
6 0
với mặt phẳng B D M N và tính thể tích hình chóp A B D M N.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y, cho tam giác vuông A B C vuông tại A, đường thẳng A B và đường thẳng chứa trung tuyến A M của tam giác lần lượt có phương trình 4x 3y 1 0 và
7x y 8 0 Điểm E1 0 ; 3 thuộc đường thẳng B C Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A B C
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
2
y
x
x y, R
Câu 9 (1,0 điểm) Cho x y, là các số thực bất kỳ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a
- Tập xác định: D R / 1
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
1 '
1
y x
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 5
Trang 2Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 2
' 0 , ; 1 1;
y x , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn:
lim 1; lim 1
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 1
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1
+ Bảng biến thiên
x 1
'
y 1
1
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục O x tại điểm 2 ; 0
+ Đồ thị hàm số cắt trục O y tại điểm 0 ; 2
+ Đồ thị hàm số giao điểm I 1 ; 1 của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm 3 ;1 , 3; 1 , 1; 3 , 1;3
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b Ta có
1 '
1
y x
C có giao 2 tiệm cận là: I 1; 1
0
0
2
;
1
x
x
thuộc C (x0 1), tiếp tuyến của C tạic M có phương trình:
2 0
2
0 0
2 1
1 1
x
x x
Khoảng cách từ I đến d:
2 0
0 0
0 2 0
2
I ;
1
1
x
x x
x
Mà
2
2
0
2 1
x
Trang 3
Dấu = xảy ra khi
2
0 0
0 1
2 1
x
x x
Vậy khoảng cách lớn nhất từ I tới tiếp tuyến d là: ; 2
m a x
Nhận xét: Hướng giải: Tìm giao điểm của hai tiêm cận là I, lập phương trình tiếp tuyến tai điểm M C
và tính khoảng cách từ Itới tiếp tuyến
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương trình tiếp tuyến của hàm số y f x tại điểm Q x Q;y Qy f x :y f' x Q x x Q y Q
0 0
2
; 1
x
x
với x0 1viết được phương trình tiếp tuyến viết tại M
- Tính khoảng cách từ điểm I 1; 1 tới tiếp tuyến
-Sử dụng bất đẳng thức A M G M , ta có a b, 0 :ab 2 a b d I d ; 2
Bài toan kết thúc
Bài tập tương tự:
a Cho hàm số 2
2
x y x
Giả sử d là một tiếp tuyến của đồ thị Tìm khoảng cách lớn nhất từ tâm đỗi xứng tới d Đáp số: M ax 2
b Cho hàm số 2 1
1
x y x
Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số khi khoảng cách từ tâm đối xứng tới
tiếp tuyên là lớn nhất Đáp số: y x 5 ;y x 1
4 s inx c o sx 1 2 c o sx c o s x 3 c o sx s inx 3 0
3 s in 8 s in c o s 4 s in c o s c o s 8 c o s 4 c o s 3 0
3 s in 2 s in c o s 4 c o s 6 c o s 2 c o s 3 c o s 4 s in c o s 6 s in c o s 2 c o s 3 0
2 c o s x 3 s in c o s c o s 2 s in 2 0
2 c o s 3 0 v n
π k 2
2
x
x
Phương trình có nghiệm: π k 2 π ; 2 ;
x x k kZ
Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử vận dụng các công thức lượng giác cơ bản
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
1 c o s 2a 2 c o s a; 1 c o s 2a 2 s in a
-Khai triển phương trình và nhóm nhân tử chung 2 c o s 3 0
s in c o s c o s 2 s in 2 0
x
- Công thức lượng giác cơ bản s i n c o s 2 s i n
4
sinxc o sxcos x2 sin 2x0 trở thành
s i n s i n 2
2
Bài tập tương tự:
3 s in 3x 3 c o s 9x 1 4 s in 3x Đáp số: 2 ; 7 2
Trang 4Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 4
b Giải phương trình 4 s in x 3 c o sx t a nx 3 c o tx Đáp số: ; 4 2
1 2 c o s 1 1 2 c o s 1
4 2 s in 4 2 s in
4 2 s in 4 2 s in
2
4
Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo đạo hàm của mẫu
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Xét tử của biểu thức tích phân: s in c o s 12 c o s 1 2 s in 12 c o s 1 2 s in
Sử dụng hằng đẳng thức 2 2
a b ab ab ta có mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân viết lại dạng
4 sin x x 2 sinx x 2 sinxx
-Nhận thấy 2 sinx x ' 2 c o sx 1 ; 2 sin x x ' 2 c o sx 1nên các tích phân có dạng u'd u ln u C
u
Bài tập tương tự:
a Tính tích phân
2
1
2 ln ln ln
e
Đáp số: I lne 1 1
b Tính tích phân
1
1 ln
e
3
Câu 4.a Điều kiện x 3
lo g x 4x 4 lo g x 4x 3 Đặt 2
t x x ; ta được lo g3t 1 lo g2t z nên 1 3
2
z z
t t
(1)
nghịch biến trên ℝ nên (1) có nghiệm duy nhất z 1
2 2
x
x
Phương trình có nghiệm: x 2 3
Nhận xét: Bài toán giải phương trình lo g a r itvới phép đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Sử dụng công thức lo g n 1lo g ; lo g lo g
n
n
-Đặt ẩn phụ 2
4 3 l o g 1 l o g
-Sử dụng ẩn phụ với lo g3t 1 lo g2t z
nghịch biến trên Rnên có nghiệm duy nhất
- Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm của phương trình
Bài tập tương tự:
Trang 5a Giải phương trình lo g 5 3
2 x x Đáp số: x 2
b Giải phương trinh 3
lo g 1 x lo g x Đáp số: x 3 4 3
Câu 4.b Gọi zab i a b ,
2
4 5
5
2 6
a
b
Vậy có 2 số phức cần tìm: z 0 và 4 5 9
2 6 2 6
Nhận xét: Bài toán tìm số phức zthỏa mãn điều kiện cho trước, ta đặt số phức z cần tìm thay vào điều kiện
đã cho
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Đặt z ab i a b , R
-Thay vào biểu thức 1 3 2
1
z i
- Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương tứng bằng nhau
Bài tập tương tự:
a Tìm số phức z thỏa mãn 3
zz i i Đáp số: 1 5 1 0
4
b Tìm số phức z thỏa mãn 3
1 8 2 6
z i Đáp số: z 3 i
Câu 5 Đường thẳng có phương trình tham số là : 1 2
2
Gọi I t; 1 2 ; 2t t là tâm mặt cầu
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng P một khoảng bằng 3 nên, ta có
2
7
3
t
d I
t
Suy ra có hai tâm mặt cầu là 2;1 8; , 7 ; 1 7 ; 1
Mặt phẳng P cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cấu có bán kính bằng 5
Phương trình mặt cầu là:
Nhận xét: Để viết phương trình mặt cầu ta tìm tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu sử dụng phương pháp tọa
độ hóa điểm và công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mặt phẳng P cắt mặt cầu S tâm I theo một đường tròn C có mối liên hệ bán kính với khoảng cách tâm Itới P : 2 2 2
Trang 6Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 6
-Khoảng cách từ một điểm Q tới mặt phẳng P :axb ycz d 0 là
d Q R
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số hóa tọa độ điểm I Do Icách mặt phẳng P một khoảng bằng 3 d I P ; 3 I
- Sử dụng công thức tính 2 2
;
Với tâm và bán kính ta viết được 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
a Trong hệ trục tọa độ O x y z, cho đường thẳng 1 1 1
:
y
Viết phương trình mặt cầu S
có tâm I1; 0 ; 3 cắt d tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác IA B vuông tại I
Đáp số: 2 2 2 4 0
9
b Trong hệ trục tọa độ O x y z, cho các điểm A0 ; 0 ; 2 , B 0 ; 1; 0 , C 2 ; 0 ; 0 Gọi H là trực tâm tam giác
Đáp số:
Câu 6 Gọi I là tâm của đáy A B C D, S là điểm đối xứng của A qua A' Khi đó S M D, , thẳng hàng; , ,
3
3 2
a
A O A C a và C C' A O Ta có 0
O A S C C A' 9 0 Suy ra A O S C C A c g c' . A C' S O (1)
Vì B D A C B D, A A ' suy ra B D A C C A' ' B D A C' (2)
Từ (1) và (2) suy ra A C' B D M N
Ta có
2
S M N
B D M N B D S A B D M N S A B D
S B D
Vậy
3
.
3
1 6
A B D M N
a
Nhận xét: Ta có thể tính trức tiếp thể tích khối chóp thông qua công thức thể tích tuy nhiên ta có thể sử dụng phương pháp sử dụng tính thể tích thông qua tỉ số thể tích
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Chứng minh một đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng ta chứng minh d d1 , d d2
với d1 , d2
-Công thức tính thể tích khối chóp 1 .
2
V B h với B là diện tích đáy, h là chiều cao
- Chứng minh A C' B D M N: A C' S O A C; ' B D A C' B D M N
-Sử dụng tỉ số diện tích
2
S M N
B D M N B D S A B D M N S A B D
S B D
Bài tập tương tự:
Trang 7a Cho hình chóp S A B C D. có đáy A B C D là hình vuông cạnh 2 ,a S A a S B, a 3 và mặt phẳng S A B vuông góc với đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh A B, B C Tính thể tích khối chóp .
3
.
3 3
S B M D N
a
b Cho hình chóp S A B C. mỗi mặt bên là một tam giác vuông,S AS BS C a Gọi N M E, , lần lượt
là trung điểm của A B A C B C, , , gọi D là điểm đối xứng của S qua E Giả sử A D cắt mặt phẳng
3
.
3 6
M B S I
a
Câu 7 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 4 3 1 0 1; 1
A
Gọi F là điểm thuộc A M sao cho E F / /A B Suy ra E F có phương trình 4x 3y 4 9 0 Vì F thuộc A M
nên tọa độ điểm F là nghiệm của hệ 4 3 4 9 0 1; 1 5
F
Đường trung trực d của E F có phương trình 6x 8y 3 9 0
của A B và trung điểm M của B C
Tọa độ M thỏa mãn hệ 6 8 3 9 0 1 9;
M
Ta có B C 2B M , suy ra C3 ; 4
Tọa độ H thỏa mãn hệ 4 3 1 0 5; 3
H
Ta có A B 2A H , suy ra B 4 ; 5 Vậy A 1; 1 , B 4 ; 5 , C 3; 4
Nhận xét: Bài toán thuộc lớp giải tam giác cơ bản Ta tìm những họ đường thẳng cùng chứa các điểm
, ,
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm P a b ; nhận 2 2
n : xa yb 0
Áp dụng cho bài toán:
- Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A A M
- Gọi FA M thỏa mãn E F / /A B E F F là nghiệm của hệ F E F
-Viết phương trình trung trực của E F d đi qua trung điểm H của A B M; của B C nên tọa độ M thỏa hệ
Sử dụng tính chất vector B C 2B M C
, A B 2A H B Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
a Trong mặt phẳng O x y, cho tam giác A B C Đường cao kẻ từ A,trung tuyến kẻ từ B C, lần lượt có phương trình x y 6 0 ;x 2y 1 0 ;x 1 0 Tìm tọa độ 3 đỉnh A B C, ,
Đáp số: A5 ; 1 , B 3 ; 1 , C 1; 3
Trang 8Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 8
b Trong mặt phẳng O x y, cho tam giác A B C cân tại A Phương trình B C:x 3y 5 0 , đường cao hạ
từ B x: 3y 5 0 Đường cao qua đỉnh C đi qua điểm M3 ; 0 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác A B C
Đáp số: A1; 0 , B 2 ; 1 , C 2 ; 3
Câu 8 Điều kiện x 0
Phương trình thứ nhất tương đương với
2 0
2
2
2
2
1 (v n )
2
y
x
Thế 2
1 4 1
y x vào phương trình thứ hai, ta được 3
4x 1 2x 1 1
Đặt
3
4 1 ; 0
0
b
0
a
b
, ta được
3
0
x x
Hệ phương trình có nhiệm: 1
; 0 2
;
Nhận xét: Hướng giải: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử và đặt ẩn phụ
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Từ phương trình thứ 2 của hệ khó tìm được mối quan hệ giữa x y, Ta xét phương trình thứ nhất cùng sự phân tích cơ bản
- Phương trình thứ nhất của hệ coi ẩn
2
2
y t
x
giải phương trình ẩn t ta có 2
1 4 1
- Thay 2
1 4 1
y x vào phương trình thứ 2 ta được 3
4x 1 2x 1 1 Với phương trình vô tỉ cơ bản, chọn phương pháp sử dụng 2 ẩn phụ 3
a x b x Ta tìm được nghiệm của hệ phương trình
Lưu ý: Ta có thể sử dụng phương pháp nhận lượng liên hợp hoặc hàm số để giải phương trình
3
4x 1 2x 1 1
Bài tập tương tự:
2
b Giải hệ phương trình 2 2
4 2 2
Đáp số: x y; 1; 3 ; 3 ; 1
Câu 9 Xét các điểm M1 x ;y,N x 1;y
2
2
1
y
y
3
y
Ta có bảng biến thiên
Trang 9y 3
3
2
'
f y 0
f y
2 3
Vậy P 2 3 với mọi x y, Khi x 0 và 3
3
y thì P 2 3
Do đó P nhỏ nhất bằng 2 3 , khi x 0 và 3
3
Nhận xét: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất sử dụng bất đẳng thức vector dồn về biến y kết hợp xét hàm số
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác hoặc sử dụng bất đẳng thức vector Cho hai vector
Nhận thấy biểu thức Pcó y 2 độc lập biến ynên ta chuyển giá trị nhỏ nhất của biểu thức theo biến y
- Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức vector cho hai vector a1 x y; ,b 1 x y; ab2 ; 2y (Chọn cặp
1 x; 1 x khi cộng tọa độ vector rút gọn còn theo biến y ) ta có 2 2 2 2 2
1 x y 1 x y 2 1 y
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của P ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
Bài tập tương tự:
a Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abb ccaab c Chứng minh rằng
3
b Chứng minh rằng với mọi số thực a b, ta có