Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau... Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng c[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ THI HỌC KÌ 2
MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2021 – 2022 Thời gian: 60 phút
ĐỀ SỐ 1
I TRẮC NGHIỆM
Chọn phương án trả lời đúng cho các câu hỏi sau:
Câu 1 Nếu ( )
0
x f x thì lim 30 4 ( )
x x f x bằng bao nhiêu?
Câu 2 Tính đạo hàm của hàm số sau 3 4
2
− +
=
−
x y
x
A ' 2 2
( 2)
=
−
y
11 '
( 2)
−
=
−
y
5 '
( 2)
−
=
−
y
10 '
( 2)
=
−
y
Câu 3 Cho hàm số f x( )= 2x2−4x+5 Khẳng định nào dưới đây đúng?
A lim ( )
x f x
x f x
C lim ( ) 2
x f x
→− = D lim ( ) 2
x f x
→− = −
Câu 4 Tìm m để hàm số ( )
2
1
1 1
−
= −
x
khi x
liên tục tại điểm x =0 1
A m=3 B m=0 C m=4 D m=1
Câu 5 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=x3−4x2+1 tại điểm có hoành độ bằng 1 là
Câu 6 Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi công thức ( ) 2
v t = +t t , t tính bằng giây, v t ( )
tính bằng(m s/ ) Tính gia tốc của chất điểm khi vận tốc đạt 11(m s/ )
Câu 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết rằng SA=SC SB, =SD Khẳng định nào sau đây đúng?
A CD⊥AD B CD⊥(SBD) C AB⊥(SAC) D SO⊥(ABCD)
Câu 8 Hàm số y=cos 32 x có đạo hàm là
A 'y =6 sin 6 x B 'y =2 cos 3 x C 'y = −3sin 6 x D 'y = −3sin 3 x
Câu 9 Cho hình chóp S ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Gọi M là trung điểm SA
Mặt phẳng (MBD vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? )
A (SBC ) B (SAC ) C (SBD ) D (ABCD )
Trang 2Câu 10 Cho hàm số ( ) 1 3 ( ) 2 ( )
3
f x x m x m x ,m là tham số Biết rằng tồn tại giá trị
0
m sao cho f( )x ,0 x Khi đó m0 thuộc khoảng nào sau đây?
A.( )0; 2 B.(− −3; 1) C.( )3;6 D.(− −4; 2)
Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA⊥(ABCD) Khoảng cách
từ điểm D đến mặt phẳng (SAC bằng )
3
a
2
a
Câu 12 Cho
2 1
lim
x
→
=
(a
b là phân số tối giản; a b, là số nguyên) Tính tổng
P=a +b
A.P = 5 B P = 3 C P = 2 D P = − 2
II TỰ LUẬN
Câu 13
1) Tính các giới hạn sau:
a)
2
3
7 12 lim
3
x
x
→
2) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y=x4+2 x với x 0 b) y=2 cosx+ 3x
Câu 14 Cho hàm số y=x3−3x+1 có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có
tung độ bằng 3
Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a Mặt bên (SAB là tam )
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H K, lần lượt là trung điểm của AB BC,
a) Chứng minh rằng SH⊥(ABCD) và (SAD) (⊥ SAB)
b) Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD Tính ) tan
c) Tính khoảng cách từ K đến (SAD )
Câu 16 Cho hàm số 3 2 ( )
f x =ax +bx + +cx d a có đồ thị là ( )C Biết ( )C cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 Tính giá trị biểu thức
( )1 ( )2 ( )3
D
ĐÁP ÁN
I TRẮC NGHIỆM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Trang 3II TỰ LUẬN
Câu 13
7 12
x
2
1 1
2
1
−
−
2) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y x4 2 x y' 4x3 1
x
b) y=2 cosx+ 3x y'= −2 sinx+ 3
Câu 14
Ta có: y =3x2−3
Gọi M x y( 0; 0) là tiếp điểm
Với y0 = 3 x30−3x0− = 2 0 x0 =2,x0 = −1
• x0 = − 1 y( 1)− =0 Phương trình tiếp tuyến: y =3
Câu 15
a) Theo Vì SAB là tam giác đều và H là trung điểm của ABSH⊥AB
Vì (SAB) (⊥ ABCD) theo giao tuyến AB nên SH⊥(ABCD)
Ta có SH⊥(ABCD)SH⊥AD
Mà AB⊥ AD, suy ra AD⊥(SAB) ( SAD) (⊥ SAB)
b) Có SH⊥(ABCD) nên HC là hình chiếu của SC trên (ABCD )
Trang 4Do đó (SC ABCD,( ) )=(SC HC, )=SCH =
Xét SAB là tam giác đều cạnh a và SH là đường cao nên 3
2
a
SH =
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên 2 2 5
2
a
5
SH HC
c) VBC/ /ADBC/ /(SAD)d K SAD( ,( ) )=d B SAD( ,( ) )=2d H SAD( ,( ) )
Trong mp(SAB kẻ ) HE⊥SA E( SA)
Có(SAD) (⊥ SAB)HE⊥(SAD)
Do đó d H SAD( ,( ) )=HEd K SAD( ,( ) )=2HE
Xét tam giác SHA có HE là đường cao nên
4
HE
+
2
a
Câu 16
Vì ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3. f x( )=a x x( − 1)(x x− 2)(x x− 3)
Suy ra f '( ) (x =a x x− 2)(x x− 3) (+a x x− 1)(x x− 3) (+a x x− 1)(x x− 2)
Do đó
' ' '
Vậy
D
ĐỀ SỐ 2
I PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Trong các tam giác sau
tam giác nào không phải là tam giác vuông?
Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Trang 5A
2
2
n
n n
−
2 2
1 2
n
−
2
2
n
u n
−
=
2
2
2
1 3
n
n u
n
−
= +
Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Hàm số ( ) 1
1
x
f x
x
−
= + gián đoạn tại x = 1 B Hàm số 2
1 ( )
1
x
f x
x
+
= + liên tục trên R
C Hàm số
2
1 ( )
1
x
f x
x
−
= + liên tục trênR D Hàm số
1 ( )
1
x
f x
x
+
=
− liên tục trên (0; 2)
Câu 4: Giới hạn
1
lim 1
x
x x
−
→
+
− là:
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC Khẳng định nào sau đây đúng ?
A SO⊥(ABCD) B BD⊥(SAC) C AC ⊥(SBD) D AB⊥(SAD)
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy Khẳng định nào sau đây đúng ?
A (SCD)⊥(SAD) B (SBC)⊥(SAC) C (SDC)⊥(SAC) D (SBD)⊥(SAC)
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, (SAB)⊥(ABC), SA = SB , I là
trung điểm AB Khẳng định nào sau đây sai ?
A Góc giữa SCvà (ABC)là SCI B SI ⊥(ABC)
Câu 8: Một chất điểm chuyển động có phương trình s = + (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Tính t3 3t
vận tốc của chất điểm tại thời điểm t =0 2 (giây) ?
A 15 /m s B 7 /m s C 14 /m s D 12 /m s
Câu 9: Cho một hàm số f x( ) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Nếu f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x =( ) 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( , )a b
B Nếu hàm số f x( ) liên tục, đồng biến trên đoạn [ , ]a b và f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x =( ) 0
không có nghiệm trong khoảng ( , )a b
C Nếu f x( ) liên tục trên đoạn a b; , ( ) ( )f a f b thì phương trình 0 f x =( ) 0 không có nghiệm trên
khoảng ( ; )a b
D Nếu phương trình f x =( ) 0 có nghiệm trong khoảng ( , )a b thì hàm số f x( ) phải liên tục trên khoảng ( ; )a b
b
+ − + = (a b, Z và a
b tối giản) thì tổng
2 2
b
a + là :
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC) và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 6A AC⊥SH B BC ⊥ SC C AB⊥SH D BC ⊥ AH
Câu 12: Hàm số 6
9
x y x
+
= + có đạo hàm là:
A
( )2
3
9
x +
B
( )2
3 9
x
−
15 9
x +
D
( )2
15 9
x
− +
Câu 13: Cho hàm số
2 2
→− bằng:
A
3
a
B 1 2
Câu 14: Hàm số 3 2 4
2
2
x
y=x + x + +
có đạo hàm là:
4
2
y = x + x+ D y =3x2+4x+ 2
Câu 15: Cho hàm số y= 3x−2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng 3 1
y= x+ là:
A 3 1
2
2
y= x−
Câu 16: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn hữu hạn?
A
3
4
4
n
u
n
=
2
2
n
4
6
2
n
n u n
−
=
3 2
2 2
n
u n
−
=
−
Câu 17: Giới hạn
0
3 2 lim
1 4
x
x x
→
+
− là:
A 1
Câu 18: Phương trình
1
s inx lim
1
t
t t
→
+ −
=
− , có nghiệm x (0;2)
A
6
B vô nghiệm C 300 D 1
2
Câu 19: Biết lim 2 2
x
x
+ , khi đó a có giá trị là:
A 1 B Không tồn tại C a R D 0
Câu 20: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R thỏa mãn 3
2
) 2 ( ) ( lim
−
−
f x f
đây là đúng?
Trang 7A f’ 3( )= 2 B f’ 2( )= 3 C f’( )x = 3 D f’( )x = 2
Câu 21: Đạo hàm của hàm số y= sin 3x là :
A 3cos 3x
cos 3x
cos 3x
2 sin 3x
−
D 3cos 3x
2 sin 3x
−
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA =a 2 và SA vuông
góc với mp(ABCD) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) là:
A 450 B 300 C 600 D 900
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy tâm O và M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD
Khẳng định nào sau đây là sai ?
A (SBD)⊥(SAC) B Góc giữa (SBC)và (ABCD)là SMO
C Góc giữa (SCD)và (ABCD)là NSO D (SMO)⊥(SNO)
Câu 24: Cho hàm số y f x= ( ) cos= 2x m+ sinx có đồ thị (C) Giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại điểm
có hoành độ x= vuông góc với đường thẳng y= −x là:
A Không tồn tại B 0 C 1 D −1
Câu 25: Hàm số y=cosx−sinx+2x có đạo hàm là:
A −sinx+cosx+ 2 B sinx−cosx+2 C −sinx−cosx+ 2 D − sinx− cosx+ 2x
II.PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1 Cho hàm số 1 3 2
3
y= − x + mx − mx+ , m là tham số
a) Giải bất phương trình y 0 khi m = 1
b) Tìm điều kiện của tham số m để y' 0, x R
Câu 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+x tại điểm có hoành độ là 1
Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a Biết SA = SC, SB = SD, SO
=3
4
a
và ABC =600 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC
a)Chứng minh SO⊥(ABCD), (SAC)⊥(SBD)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và IJ
c) Tính góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC)
ĐÁP ÁN
I PHẦN TRẮC NGHIỆM
25C
Trang 8II PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1:
a) Giải bpt y 0 khi m = 1
2
y = − +x mx− m Khi m=1, y'= − +x2 4x− 3
0
y Vậy bất phương trình 1 x 3 y 0 có nghiệm1 x 3
b) Tìm điều kiện của tham số m để y' 0, x R
' 0,
y x R 0
4
Câu 2:
(1) 4
y = , y(1)=2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= y(1)(x− +1) y(1)
Câu 3:
a) SAC cân tại S nênSO⊥AC, SBD cân tại S nênSO⊥BD.Vậy SO⊥(ABCD)
(Cm trên)
(ABCD là hình thoi)
⊥
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và IJ
IJ
E = BO E là trung điểm của BO Do OE⊥IJ;OE⊥SO d SO IJ( , )= OE
Tam giác ABC đều cạnh a nên 3
2
a
c) Tính góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC)
Nhận thấy giao tuyến của (SIJ) và (SAC) song song với AC
Theo trênAC ⊥ ( SBD ), do đó góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC) làOSE
1 tan OS
3
OE E
SO
= = góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC) là OSE =300
ĐỀ SỐ 3
E
I
J O
D A
S
Trang 9PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm)
Câu 1: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?
A lim3n ; B.
2
lim
+ − ; C lim k( *)
n k ; D lim
3
2
3
+
n n
Câu 2: 2 4 6 22
lim
n
n n
+ + + +
A 1
2 B
1 4
− C 1
2
− D 1
4
Câu 3:
3
1 lim
2 6
x
x x
+
→
+
− là:
A 1
1
6 C − D +
Câu 4: Đạo hàm của hàm số 4 7
1
x y
x
−
=
− là:
A ' 3 2
y
x
−
=
3 '
y x
=
11 '
(1 )
y
x
=
− D 2
11 '
(1 )
y
x
−
=
−
Câu 5: Hàm số f x( )=sin 2x+5cosx+ có đạo hàm là: 8
A f '( )x =2 os2c x+5sinx B f '( )x =2 os2c x−5sinx
C f '( )x =cos2x+5sinx D f '( )x = −2 os2c x−5sinx
Câu 6: Một chất điểm chuyển động có phương trình S(t)= −t3 3t2+ + Trong đó t > 0, t tính bằng 5t 2
giây(s) và S tính bằng mét(m) Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là:
A.24 /m s 2 B 17 /m s 2 C.14 /m s 2 D 12 /m s 2
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( )=2x4−4x+1 tại điểm M(1; -1) có hệ số góc bằng:
A 4 B -12 C 1 D 0
Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, cóAB=a AD, =b AA, '=c Gọi I là trung điểm của BC’
Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A
B AC' = − + + C a b c
D
AC '=2(a+ +b c)
Câu 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau
B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
C Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
Trang 10Câu 10: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( ) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Nếu a⊥( ) và b⊥ thì a ( ) / /b B Nếu a/ /( ) và b⊥( ) thì a⊥ b
C Nếu a/ /( ) và ( ) / /b thì b/ /a D Nếu a/ /( ) và b⊥ thì a ( ) ⊥ b
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Góc giữa hai đường thẳng AC và A D1 1 bằng
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy
B Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật
C Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương
D Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đ
PHẦN II: TỰ LUẬN ( 7 điểm)
Câu 13:
a) Tìm giới hạn sau lim ( 3 5 5 3 2)
→− − + + − b) Tính đạo hàm của hàm số
4
2
n
x
= +
,( với m,n là tham số) tại điểm x = 1
Câu 14: Tìm a để hàm số
2
2
neu x
liên tục tại x = 2.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O
Biết SA⊥(ABCD), 3
3
a
a) Chứng minh BC⊥SB
b) Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh (BDM) (⊥ ABCD)
c) Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC)
ĐÁP ÁN
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 13:
a) Tìm giới hạn sau lim ( 3 5 5 3 2)
→− − + + −
Trang 11Ta có 5 3 5 52 14 25
Mà lim 5
→− = − , lim ( 3 52 14 25) 3 0
x→− − +x +x −x = − Vậy lim ( 3 5 5 3 2)
b) Tính đạo hàm của hàm số
4 2
n
x
= +
,( với m,n là tham số) tại điểm x = 1
'(1) 8
y = − n m+n
Câu 14:
Tập xác định D = R
Ta có •
2
3 2
2
x x
lim (ax 1) 2 1
x
a
+
→ + = + , • f(2)=2a+1
Hàm số liên tục tại x = 2
lim ( ) lim ( ) (2)
2a+ = =1 1 a 0
Vậy với a=0 thì hàm số liên tục tại x = 1
Câu 15:
a) Chứng minh BC⊥SB
Ta có BC⊥SA do SA( ⊥(ABCD) ) (1) , BC⊥AB ( do ABCD là hình vuông) (2)
và SA AB, (SAB) (3)
O
M
S
Trang 12Từ (1), (2) và (3) suy ra BC⊥(SAB)BC⊥SB
( Có thể áp dụng định lí 3 đường vuông góc để chứng minh)
b) Chứng minh (BDM) (⊥ ABCD)
+ Xét 2mp (BDM) và (ABCD), ta có
MO SA
SA ABCD
+ Mà MO(BDM) (2) Từ (1) và (2) suy ra (BDM) (⊥ ABCD)
c) Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC)
Ta có SO là hình chiếu của SB lên mp(SAC)
Do đó góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là BSO
Xét tam giác vuông SOB, có:sinBSO OB
SB
= Mà
2
2
3
a
a
0
37,5
BSO
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là: BSO 37,50
ĐỀ SỐ 4
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x x x
2 1
2
lim
1
→
− −
−
b)
3
2 lim
3
x
x
x
+
→
+
−
Câu 2: Chứng minh rằng phương trình x5−3x4+5x− =2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt
Câu 3:
a) Tính đạo hàm của hàm số y x
x
1
+
=
−
b) Cho hàm số f x( ) cos 2= 2 x Tính f
2
Câu 4: Cho hàm số y x
x
1 1
−
= +
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y x 2
2
−
Trang 13Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA⊥ (ABCD) và SA a= 6
a) Chứng minh : (SBD) ( ⊥ SAC)
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và BC
Câu 6: Cho định nghĩa bông tuyết von Koch như sau:
Bông tuyết đầu tiên K1 là một tam giác đều có cạnh bằng 1 Tiếp đó, chia mỗi cạnh của tam giác thành
ba đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bởi hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một
tam giác đều về phía ngoài, ta được bông tuyết K2 Cứ tiếp tục như vậy, cho ta một dãy các bông tuyết
1, 2, 3, , n
K K K K Gọi C n là chu vi của bông tuyết K n Hãy tính limC n
ĐÁP ÁN
Câu 1:
x
x x
x
2 1
2
lim
1
→
− −
x
( 1)
−
3
2 lim
3
x
x
x
+
→
+ = +
( )
3
3
x
x
x x
x khi x
+
+
→
→
+
Câu 2:
Xét hàm số f x( )=x5−3x4+5x−2 f liên tục trên R
Ta có: f(0)= −2, (1) 1, (2)f = f = −8, (4) 16f =
f(0) (1) 0f PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1(0;1)
f(1) (2) 0f PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2(1;2)
f(2) (4) 0f PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3(2;4)
PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5)
Câu 3:
y
x 2
4
( 1)
=
−
f x( )= −4cos2 sin2x x f x( )= −2sin 4x f x( )= −8cos4x
K 3
K 2
K 1
