Đề Luyện thi ĐH môn Toán 2015 Có đáp án Đề số 2

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.. Nhận xét: Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ thị hàm số cho trước tại nđiểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm hệ số góc k của đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2, sao cho d cắt  C tại hai điểm phân biệt A B, Gọi k k A, B là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị  C tại A và B Tìm các giá trị của k để 1

A B

k k

 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 1 sin 2sin 2 6cos 2sin 3

2 2cos 1

x



Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 1   2

0

2 1

ln 1 1

x

x





Câu 4 (1,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn 2z    3 z 1 i và z i z     1 2i là số thực

b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi Tính xác suất để 5

viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :  x 2y 2z  7 0 và đường

y

 Viết phương trình mặt phẳng   chứa d và tạo với   một góc  sao cho 4

cos

9

 

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB a BC a ,  2, góc giữa hai mặt phẳng SAC và mặt phẳng đáy bằng 0

60 , tam giác SAB cân tại S thuộc mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. và khoảng cách giữa hai đường thẳng

AB và SC

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  C có phương trình x2 y2  25, AC đi qua K 2;1 , hai đường cao BM và CN Tìm tọa độ các đỉnh A B C, , biết

A có hoành độ âm và đường thẳng MN có phương trình 4x 3y 10 0 

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2

1

2 1

x x

Câu 9 (1,0 điểm) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

27 10

y x

P





HẾT

ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a

- Tập xác định: DR/  1

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

 2

1 ' 1

y x





y     x   , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 1 và   1; 

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị

+ Giới hạn:

xy xy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 2

lim ; lim

x y x y

      đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1

+ Bảng biến thiên

x   1 

'

y

2





2

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 1; 0

2

+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0;1

+ Đồ thị hàm số giao điểm I 1; 2 của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm   3 1 3

2; 3 , ; 4 , ; 0 , 1;

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b Phương trình đường thẳng d là y k x    1 2

Để d cắt  C tại 2 điểm phân biệt khi phương trình 2 1

2 1

x

kx k x



Tức phương trình kx2  2kx k   1 0 có 2 nghiệm khác  1

 

2

0

k

k k k



        

Ta có

 2

1 '

1

y

x



;

  trong đó x x A, Blà nghiệm của phương trình

kx  kx k  

Nên

2 2

1 1

B A

 và x x A, Bthỏa mãn  2

k x  

A B

             

    , đẳng thức xảy ra khi k 1

A

B

k

k

 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi k  1

Nhận xét: Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ thị hàm số cho trước tại nđiểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến tại các hoàng độ giao điểm Ta lập phương trình đường thẳng rồi tìm giao điểm của nó với hàm số , sau đó biện luận các yêu cầu của bài toán

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Phương trình đường thẳng đi qua điểm Q x y Q, Q hệ số góc k có phương trình: yk x x  Qy Q

-Bất đẳng thức AM GM : a b,     0 a b 2 ab Dấu bằng xảy ra  a b

Áp dụng cho bài toán:

- Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc k là y k x    1 2

- Lập phương trình hoành độ giao điểm d cắt  C tại hai điểm phân biệt A B,  f x kx2  2kx k   1 0

có hai nghiệm phân biệt x 1

- Hệ số góc tiếp tuyến tại A B, lần lượt là k k A, B (x x A, B là nghiệm của phương trình f x  0) Khi đó tìm được A 1

B

k

k

k

         ( theo AM GM )

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ

,

Ox Oy lần lượt tại A,B thỏa mãn

4

OA

;

y  x y  x

b Cho hàm số 2

2

x y x



 Viết phương trìn tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo hai trục tọa độ một

tam giác có diện tích bằng 1

18 Đáp số:

y x Câu 2 Điều kiện 2 2 ;

3

x  k  k

Phương trình tương đương 1 sin 4sin cos 6cos 2sin 3

2 2cos 1

x





2

x



2 2

2

6

5

2 5

   









   



          Z

Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản Để giải phương trình ta sử

dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Sử dụng công thức góc nhân đôi sin2 =2sin cos   

-Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản

-Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất sin x tìm đươc xvới công thức nghiệm:

2

    

        

+cosx cos     x k2 ;  k Z

-Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình

Bài tập tương tự:

a Giải phương trình sin 2 cos 2

cot tan cos sin

3

x   k 

b Giải phương trình 3

2

x x   x x

7

6

x k x   k 

Câu 3 1   1  

ln 1

1

x

x





1

0

A  x x dx

2

1 2

dx du

x

dv xdx

v













1 0

0

x



1 ln 2

2

I 

Nhận xét: Đặc điểm biểu thức dưới dấu tích phân khó có thể đổi biến số và sử dụng tích phân từng phần Ta

tách tích phân ban đầu thành 2 tích phân nhỏ

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Công thức tính tích phân từng phần : '

b b a a

I u v u vdu -Công thức tính

1

1

b

n

x

x dx n







-Nhận thấy  2  



  , nên ta có I A B

- Tính A: Sử dụng công thức tính tích phân từng phần với

2

ln 1 1 2

x v









- Tính B: 1  

0

ln 1 1

x

x







ln 1 '

1

x

x

 nên ngầm đặt ẩn phụ t lnx 1chuyển về công thức u u du'. n

Bài tập tương tự:

a Tính tích phân  

1

0

2 ln

1 ln

 





 Đáp số: I  e 3 2ln 2

b Tính tích phân

3

2

1 ln

e

e





 Đáp số: I  3ln 2 4  e3  2e2 Câu 4.a Giả sử số phức z có dạng: z a bi a b  ; ,  

 z i z 1 2i a a 1 b 1 2 b  a 1b 1 a 2 b i

a 1b 1 a 2 b 0 a b 1

2z     3 z 1 i 2a 3  4b  a 1   1 b

3 2 ;

3 3

z  i z  i

Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm số phức zthỏa mãn điều kiện nào đó Ta chỉ cần đặt số phức có dạng chung

z a bi a b R   rồi thay vào các điều kiện để giải ra z

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Đặt z a bi  a b R,   Số phức zlà số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0

- Thay vào đẳng thức 2z    3 z 1 1 Sử dụng tính chất modul của số phức

- Mặt khác , z i z     1 2i là số thực nên phần ảo bằng 0

- Giải hệ cơ bản  2 2   2 2

1

a b





 

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Tìm số phức zthỏa mãn z2   1 i z 11i Đáp số: z  3 2 ,i z   2 3i

b Tìm số phức z thỏa mãn 1 2  i z  3z i Đáp số: 1 1

4 4

z   i Câu 4.b Số cách chọn ra 5 viên bi từ 14 viên bi là 5

C  (cách), suy ra, không gian mẫu là   2002 Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng

A C C C C C C C C

2002 1001

A

Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố Abất kì

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì: P A   A



 với  A là số trường hợp thuận lợi cho A ,

là tổng các trường hợp có thể xảy ra

Áp dụng cho bài toán:

- Tìm số cách chọn 5 viên bi từ 14 viên cho trước

- Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả màu xanh và trắng , ta tính được  A theo các cách chọn

-Sử dụng công thức tính xác suất ta thu được đáp án

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Trong mặt phẳng Oxy , ở góc phần thư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các góc phần tư thứ hai , ba , bốn lấy 3,3,5 điểm phân biệt(các điểm không nằm trên các trục tọa độ) Tính xác suất để

đường thẳng nối 2 điểm đó cắt hai trục tạo độ Đáp số: 23

91

b Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó Hỏi

có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu Đáp số: 645

Câu 5   có vectơ pháp tuyến là n 1; 2; 2  ;   có vectơ pháp tuyến là nA B C; ; 

d đi qua A2; –1; 2 và có vectơ chỉ phương là a d1; 2; 2  

+ d    a d n A 2B 2C   0 A 2B 2C

+ Lại có

cos

 

 

2

 

+ Với B 2C; chọn C 1;B   2 A 2    : 2 x– 2  2 y  1 1 z– 2  0 2x 2y z – 4 0 

+ Với C 2B; chọn B 1;C   2 A –2    : –2 x– 2  1 y  1 2 z– 2  0 –2x y  2z  1 0

Nhận xét: Bài toán cơ bản viết phương trình mặt phẳng   : Ta tìm một điểm thuộc   và một vector pháp tuyến của   Sử dụng dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng để tìm một vector pháp tuyến của  

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến

-Mặt phẳng  P đi qua A a b c ; ;  nhận n m n p ; ;  là một vector pháp tuyến: m x a   n y b  p z c  0

-Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng      , : cos cos ; .

.

n n

n n

 

 

     với n n,  lần lượt là vector

pháp tuyến của      ,

Áp dụng cho bài toán:

- Tham số vector pháp tuyến của   :nA B C; ; , d đi qua điểm Avà có vector chỉ phương là a d ,

d  a n

- Sử dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng       ; cos 4 . 4

n n

n n

 

 

- Tìm được mối quan hệ giữa A B C, , tương ứng viết được mặt phẳng  

Bài tập tương tự:

a Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A1;0;1 , B 2;1; 2 và mặ phẳng  Q x:  2y 3z  3 0 Lập phương trình mặt phẳng  P đi qua A B, và vuông góc với  Q

Đáp số:  P x:  2y z   2 0

b Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

2

y

   và điểm A 1; 2; 3 Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng d và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng  P bằng 3 Đáp số:  P : 2x y  2z  1 0

Câu 6 ABCvuông tại B, nên đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm K là trung điểm AC và bán kính 1

2

r AC Gọi H là trung điểm của ABSHABC

Kẻ HMACSMACSMH 60 0 SHHM.tan 60 0

2

BC AH a

AC

Kẻ đường thẳng d đi qua K và song song với SH Khi đó tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

là giao điểm của đường trung trực đoạn SH và d trong mặt phẳng SHK và

a

R OC  OK CK  SH  AC 

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

3 3

a

Dựng hình chữ nhật ABCD, khi đó AB/ /SCD, suy ra khoảng

cách giữa AB và SC bằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD

Gọi giao điểm của HK với CD là E , ta có CDSHE

Kẻ HFSE thì HF là khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD

Trong tam giác vuông SHE có HF là đường cao nên

5

a HF

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 10

5

a

Nhận xét: Dạng toán liên quan tới thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và góc giữa hai mặt phẳng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Công thức tính thể tích khối cầu ngọa tiếp: 4 3

3

V  R -Dựng góc giữa hai mặt phẳng SAC , ABC

- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp: K là trung điểm của AC thì K chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Kẻ đường thẳng dđi qua điểm K và song song SH, suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC là O giao của đường trung trực SH và d trong mặt phẳng SAK

- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC: Dựng hình chữ nhật ABCDd AB SC ,  d H SCD, 

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Cho tam giác ABC vuông cân, cạnh huyền AB 2a Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC lấy điểm S sao cho mặt phẳng SBCtạo với ABCmột góc bằng 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC Đáp số: S  10 a2

b Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên

ABCD trùng với trung điểm H của AB Đường trung tuyến AM của tam giác ACD có độ dài là 3

2

a , góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD bằng 0

30 Tính thể tích khối chóp S ABCD. và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Đáp số:

3

3 , 12

S ABCD

a

3

S ABC

S  a

Câu 7 Chứng minh được MNOA, suy ra OA có vectơ pháp tuyến là n 3; 4 OA: 3x 4y 0 Tọa độ A thỏa hệ

2

16

25

4

x

y

 

AC nhận AK6; 2   làm vecto chỉ phương 2 1

y x

5; 0

25

C

2; 2

M

BM qua M và vuông góc ACBM: 3x  1 1 y 2  0 3x y   5 0

Với B 0; 5 thì BA–4; –2và BC 9 2 ; BA BC    40 0, suy ra góc B tù

Với B–3; –4 thì BA–1;7 và BC 8; 4 BA BC  20 0  , suy ra góc B nhọn

Vậy A–4;3 , B –3; –4 và C 5;0

Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh

viết được với đường tròn  C suy ra tọa độ A B C, ,

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến Để viết được đường thẳng  d ta cần tìm điểm M a b ; , một vector pháp tuyến n d       ;  2 2 0 Dạng tổng quát   d :      x a y b 0

-Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABCOA OB OC 

Áp dụng cho bài toán:

- Viết phương trình OAA là nghiệm của hệ

 

A OA

 



 

 (x A0)

- Đường thẳng AC nhận AK làm một vecto chỉ phương nên viết được phương trình AC Hoàn toàn tương

tự C là nghiệm của hệ C AC C  C

 



 

- Tính tọa độ điểm B: M BM ACM BM đi qua M và vuông góc AC nên có phương trình MB Tọa độ B là nghiệm của hệ

 

B MB

 



 

Lưu ý: Để loại trường hợp ta sử dụng tích vô hướng của 2 vector BA BC. , nếu BA BC   0 B tù và

BA BC B nhọn

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng ABlà điểm

 1; 1

H   Phân

Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ Tìm mối quan hệ giữa các ẩn

phụ giải được nghiệm của phương trình

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau  2  2

với điểm tương đồng vế trái có

1 2 1 4

x x















Đặt 2 ẩn phụ

1

; 0 2 1 4

x v









 



, ta có phương trình

2

u v  u v  u v

-Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng f x   g x f x g x     , 2 0

f x g x





 ta được nghiệm của phương trình đã

cho

Lưu ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức cơ bản a b  2a2 b2 để đánh giá phương trình

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Giải phương trình x2 7x  1 4 x4x2 1 Đáp số: 13 69

10

x  

b Giải phương trình 2x2 5x 22 5  x3 11x 20 Đáp số: 5 21 25 881

,

Câu 9 Dự đoán dấu bằng xảy ra khi   2 4

3 3

  

  Áp dụng bất đẳng thức AM GM– ta có

           

2 3

4

MinP

Nhận xét: Bài toán tím giá trị nhỏ nhất của hai biến x y, với điều kiện cho trước x y  2 Ta cố gắng đánh giá biểu thức P theo x y

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Tách biểu thức

2

                    

- Sử dụng bất đẳng thức AM GM cho 3 bộ số và 2 bộ số

3

3 2

a b c abc

   





 

P x y  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong AM GM xảy ra

Bài tập tương tự:

a Cho các số thực không âm x y, thỏa mãn x y  1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

S x  y y  x  xy (Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009)

  

 

b Cho x y z, , là các số thực dương Chứng minh rằng :

yz zx xy

  (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên-Hà Nội lần 3)