Khảo sát dầm thành mỏng với mô hình độ vênh prokie

Chuyển vị vênh dọc trục là tích số của tọa độ sectơ ω và tốc độ xoắn θx,x : Trong phương trình trên tọa độ sectơ ω nhận được bởi đã bỏ qua biến dạng cắt trên mặt cắt ngang theo bề dày

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

TRẦN MINH PHƯƠNG

KHẢO SÁT DẦM THÀNH MỎNG VỚI MÔ HÌNH ĐỘ VÊNH PROKIÉ

Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã số ngành: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2004

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

PGS TS CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2004

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRẦN MINH PHƯƠNG Phái: NỮ

Ngày, tháng, năm sinh: 01-12-1978 Nơi sinh: Lâm Đồng Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã ngành:23.04.10 Khóa: 13 (Năm 2002 - 2004)

I- TÊN ĐỀ TÀI:

KHẢO SÁT DẦM THÀNH MỎNG VỚI MÔ HÌNH ĐỘ VÊNH PROKIÉ

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Nghiên cứu lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển

- Nghiên cứu mô hình độ vênh do Prokié đề nghị

- Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho dầm thành mỏng tiết diện kín và hở theo mô hình độ vênh của Prokié

- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để khảo sát một số bài toán cụ thể, so sánh kết quả với các phần mềm SAP2000, VNaSAP và nhận xét

- Khảo sát ảnh hưởng của bề dày thanh đến trạng thái ứng suất, chuyển vị

- Nhận xét và hướng phát triển đề tài

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 09 - 02 - 2004

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 30 -10 - 2004

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS TS CHU QUỐC THẮNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.TS CHU QUỐC THẮNG PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

Ngày tháng năm 2004

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC KHOA QUẢN LÝ NGÀNH

Với niềm say mê nghiên cứu khoa học ứng dụng và sự mong muốn được học hỏi sâu hơn trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng, tôi thật sự đã có cơ hội biến ước mơ của mình thành sự thật khi thực hiện bài luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo thạc sĩ lần thứ 13 này Để có thể hoàn thành tốt công việc của mình, tôi thật sự biết ơn sự giúp đỡ hết sức tận tình của Quý thầy cô đã truyền đạt lại những kiến thức khoa học hết sức bổ ích cho bản thân tôi trong suốt quá trình tôi theo học đại học và bậc sau đại học tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh Thông qua đó, tôi đã tích lũy cho mình nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho công tác nghiên cứu khoa học của tôi sau này Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu nhà trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi có một môi trường học tập thật tốt và hiệu quả Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả Quý thầy cô đã giảng dạy chúng tôi tại lớp Cao học Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp khoá 13 Và đặc biệt nhất, tôi xin gởi lời cảm ơn hết sức chân thành đến thầy hướng dẫn luận văn PGS

TS Chu Quốc Thắng Thầy không chỉ là người thầy đáng kính đã hướng dẫn cho tôi khi tôi chọn và thực hiện bài luận văn tốt nghiệp, tận tình giảng dạy chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành bài luận văn mà còn là một người bạn lớn đã khuyến khích động viên tôi vượt qua nhiều khó khăn trở ngại trong suốt quá trình làm bài Điều quý báu và ý nghĩa nhất vẫn là sự truyền thụ của Thầy về những kiến thức khoa học quan trọng mà tôi đang rất cần cho công tác nghiên cứu của mình Ngoài ra sẽ thiếu sót nếu tôi không nói đến, đó là tinh thần và đức độ của người thầy trong công việc, nghiên cứu khoa học và làm việc mà Thầy đã thể hiện qua quá trình hướng dẫn cho tôi

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Th.S Nguyễn Hữu Thành, người đã nhiệt tình trao đổi, giúp đỡ và đóng góp nhiều ý kiến cần thiết giúp tôi vượt qua những vướng mắc khó khăn trong khi thực hiện đề tài

Tôi xin cảm ơn đến Ban lãnh đạo cùng các đồng nghiệp trong Ban QLDA NCĐT Tp.HCM đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi có thời gian học tập trong khi đang công tác tại đây trong thời gian qua

Cha mẹ, gia đình và người thân cũng thật sự là chỗ dựa vững chắc và là nguồn động viên giúp đỡ rất lớn về tinh thần cũng như về vật chất giúp tôi có thể đi đến sự thành công một cách tốt đẹp và mỹ mãn Xin nhận nơi tôi lòng biết ơn chân thành và thật nhiều tình cảm yêu thương nhất

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả các giáo sư, các tác giả của các tài liệu khoa học mà tôi đã được có cơ hội tham khảo khi thực hiện đề tài này

Xin chân thành gởi lời cảm ơn đến tất cả mọi người./

MỤC LỤC

Chương 1: -

TỔNG QUAN 1.1 GIỚI THIỆU CHUNG -1

1.2 MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN VĂN - 6

Chương 2 -

LÝ THUYẾT – MÔ HÌNH VÊNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THANH THÀNH MỎNG 2.1 LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THANH THÀNH MỎNG CỔ ĐIỂN -8

2.1.1 Sự xoắn và sự vênh tiết diện -8

2.1.2 Quan hệ biến dạng – chuyển vị - 11

2.1.3 Ứng suất trong thanh thành mỏng - 13

2.2 MÔ HÌNH VÊNH PROKIÉ - 15

2.2.1 Phương trình chuyển vị – biến dạng - 15

2.2.2 Ứng suất trong thanh thành mỏng - 19

2.2.3 Các phương trình cân bằng - 22

2.2.4 Các phương trình vi phân - 26

Chương 3 -

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO DẦM THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN VÀ HỞ THEO MÔ HÌNH ĐỘ VÊNH PROKIÉ 3.1 GIỚI THIỆU - 31

3.1.1 Chuyển vị , biến dạng và ứng suất trong phần tử - 32

3.1.2 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng - 32

3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ THEO MÔ HÌNH ĐỘ VÊNH PROKIÉ - 34

3.2.1 Trường chuyển vị của phần tử - 34

3.2.2 Ma trận độ cứng phần tử thanh thành mỏng theo mô hình vênh của Prokié - 37

3.3 GIẢI THUẬT – CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN - 44

Chương

4 -VÍ DỤ MINH HỌA

4.1 Dầm thành mỏng tiết diện chữ I liên kết ngàm hai đầu chịu moment tập trung tại giữa dầm Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm theo mô hình vênh Prokié So sánh kết quả với mô hình phần tử Shell của SAP2000N và VNaSAP Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm - 47 4.2 Dầm thành mỏng tiết diện chữ C một đầu ngàm một đầu tự do chịu moment phân bố dọc trục dầm Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm theo mô hình vênh Prokié So sánh kết quả với mô hình phần tử Shell của SAP2000N Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm - 55 4.3 Dầm thành mỏng tiết diện chữ nhật hở tựa đơn hai đầu chịu moment tập trung tại giữa dầm Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm theo mô hình vênh Prokié So sánh kết quả với mô hình phần tử Shell của SAP2000N Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm - 60

4.4 Dầm thành mỏng tiết diện chữ nhật kín tựa đơn hai đầu chịu moment tập trung tại giữa dầm Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm theo mô hình vênh Prokié So sánh kết quả với mô hình phần tử Shell của SAP2000N Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm - 65

Chương 5 - KẾT LUẬN VÀ CÁC PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN

5.1 KẾT LUẬN - 72 5.2 CÁC PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN - 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO -75

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

1.1/ GIỚI THIỆU CHUNG

Ngành xây dựng công trình là một ngành khoa học công nghệ đòi hỏi một trình độ phát triển cao về nghiên cứu kết cấu và ứng dụng vật liệu xây dựng mới Lịch sử phát triển của ngành xây dựng công trình từng bước đem lại cho chúng ta những tiện nghi trong cuộc sống Qua đó, những công nghệ được ứng dụng và nâng cao dần từ những công trình có kết cấu vật liệu thô như đá, gỗ đến kết cấu vật liệu có chất lượng cao hơn như kết cấu vữa, bê tông, bê tông cốt thép rồi đến kết cấu thép Bên cạnh những loại vật liệu cũ, để đáp ứng lại sự phát triển chung của xã hộivà những công trình kiến trúc với quy mô hiện đại, nhiều loại vật liệu mới đã được nghiên cứu và đưa vào sử dụng với nhiều tính chất cơ lý hết sức ưu việt như vật liệu hợp kim cường độ cao, composite, sợi thủy tinh…Kéo theo đó là quá trình nghiên cứu ứng dụng vật liệu để sử dụng chúng vào các mô hình tính toán kết cấu mới như các lý thuyết, quan điểm, phương pháp tính … xem xét mô phỏng sự làm việc của vật liệu mới nhằm đem lại một kết quả tối ưu cho giải pháp kết cấu phù hợp với quy mô mà kiến trúc công trình đòi hỏi Đây là một sự tiến bộ cho phép con người xây dựng các công trình thế kỷ, các tòa nhà chọc trời, các kết cấu vượt nhịp lớn, các ứng dụng mới vào công nghệ cao như ngành chế tạo máy bay, tàu con thoi và khoa học vũ trụ…mà trước đây ta chỉ có thể xem chúng là chuyện viễn tưởng

Việc nghiên cứu phát triển nâng cao các tính năng chịu lực của vật liệu mới đã đem lại những công trình lớn nhưng có dáng dấp thanh mảnh, sử dụng ít vật liệu hơn và hiệu quả hơn, giảm thiểu về chi phí xây dựng

Từ đó, một lý thuyết tính toán mới phù hợp với điều kiện làm việc mới của vật liệu và các giải pháp kết cấu tương ứng kèm theo là một nhu cầu cần thiết Kết cấu thành mỏng là một trong các kết cấu hiện đại được đưa ra nghiên cứu ứng dụng góp phần tương đối đáng kể vào công cuộc phát triển ngành xây dựng Hiện nay, kết cấu thành mỏng được sử dụng rất nhiều và rộng rãi không những trong xây dựng dân dụng và công nghiệp mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như hàng không, ngành hàng hải, khoa học quân sự…Trước đây, lý thuyết cổ điển về thành mỏng đã có sự nghiên cứu tìm hiểu Tác giả Timoshenco là người đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thành mỏng và sau đó là Vlasov đã tiếp tục phát triển hoàn chỉnh hơn cả về lý thuyết độ bền, ổn định và dao động đàn hồi của các lý thuyết tính toán cho thanh thành mỏng mặt cắt hở (1961) [15]

Do tính phức tạp của công việc mà hiện nay các lý thuyết tính toán cho thanh thành mỏng vẫn được tiếp tục nghiên cứu và không ngừng phát triển Các thành tựu trong nghiên cứu kết cấu khiến cho kết cấu thanh thành mỏng đã được ứng dụng ngày càng phổ biến rộng rãi và thông dụng hơn

Trong bối cảnh xây dựng ở nước ta hiện nay cùng với tốc độ đầu tư và sự phát triển đô thị một cách mãnh liệt, việc ứng dụng ngay giải pháp kết cấu cùng với sử dụng các loại vật liệu mới vào các công trình dân dụng cũng như công nghiệp như các khu nhà công nghiệp ứng dụng các khung thép thanh thành mỏng cho nhà xưởng đang được ưa chuộng sử dụng vì thỏa mãn các yêu cầu kỹ thuật về khả năng chịu lực, độ ổn định của kết cấu cũng như các yêu cầu về mỹ thuật, kinh tế, tuổi thọ sử dụng cao hơn Những ứng dụng từ giải pháp kết cấu thanh thành mỏng làm cho các dự án xây dựng có tính khả thi cao hơn Bên cạnh đó, các kết cấu sử dụng thanh thành mỏng bằng thép dập nguội hoặc kết hợp giữa bê tông và thép hình tổ hợp đang sử dụng nhiều cho các công trình lớn Đứng trước nhu cầu

sử dụng ngày càng nhiều kết cấu thanh thành mỏng, chúng ta rất lúng túng trong việc ứng dụng chúng vào công tác tính toán thiết kế, kiểm định các công trình dùng kết cấu loại này Ngay cả trong tiêu chuẩn thiết kế xây dựng Việt Nam cũng chưa có các tiêu chuẩn đánh giá dành cho kết cấu thanh thành mỏng Nếu dùng các tiêu chuẩn hiện hành để kiểm tra thiết kế thì kết cấu thanh thành mỏng sẽ không đạt được các chỉ tiêu kỹ thuật, tức là ta không đánh giá đúng mức khả năng chịu lực và độ ổn định của công trình mà vật liệu đem lại.Vậy thì kết cấu như thế nào được xem là thanh thành mỏng? Prokié [6] cho rằng những phần tử kết cấu thỏa mãn quan hệ t/b ≤ 0.1 và b/L ≤ 0.1 với t là chiều dày, b là kích thước phương điển hình cho mặt cắt tiết diện và L là chiều dài phần tử thì được xem như một phần tử 1 hướng có nghĩa là tất cả các biến chỉ phụ thuộc vào tọa độ dọc trục Các kết cấu như vậy được gọi là thanh thành mỏng

Theo Steen Krenk [2], năm 1855 Saint – Venant đã đưa ra công thức và giải bài toán xoắn thuần túy của dầm đàn hồi Tất cả các tiết diện của dầm truyền cùng một moment và vì vậy chúng được cho rằng chịu sự phân bố ứng suất và vênh giống nhau nghĩa là tốc độ xoắn là hằng số Điều này không đúng trong trường hợp xoắn không đều vì tốc độ xoắn thay đổi dọc theo chiều dài dầm Nếu lý thuyết Saint – Venant được áp dụng cho xoắn không thuần túy, tiết diện có thể chịu độ vênh khác nhau vì thế có thể nảy sinh ứng suất dọc trục Sự ảnh hưởng của ứng suất này lên các loại dầm là khác nhau và sự ảnh hưởng lên dầm thành mỏng tiết diện hở là quan trọng nhất Dầm thành mỏng tiết diện hở có độ cứng xoắn rất bé Do đó, điều quan trọng là sử dụng dầm chịu tải trọng ngang sao cho không gây ra xoắn nhiều Điều này được xác định bởi khoảng cách giữa đường tác dụng của lực so với tâm cắt của tiết diện, do đó việc xác định vị trí tâm cắt của tiết diện là phần quan trọng khi phân tích dầm thành mỏng Khi dầm thành mỏng

chịu xoắn, sự xoắn được xác định bởi hai cơ cấu : độ cứng chịu xoắn St Venant cổ

điển được xác định bởi module chống cắt và thành phần sinh ra do việc cản trở sự

vênh của tiết diện ngang liên quan với sự xoắn St Venant Nếu độ xoắn là hằng

số trên toàn bộ dầm, sự vênh tiết diện là giống nhau và thanh phần thứ hai triệt

tiêu Dạng xoắn này là xoắn thuần tuý Trong trường hợp độ xoắn thay đổi theo

chiều dài gọi là xoắn không thuần tuý Xoắn không thuần tuý sinh ra ứng suất

dọc trục trong dầm và phải được kể đến trong bài toán phân tích độ bền Lúc này

quan điểm cơ bản của lý thuyết dầm thành mỏng là : bỏ đi giả thiết cổ điển mặt

cắt ngang vẫn phẳng trước và sau khi biến dạng để thừa nhận sự vênh của tiết

diện ra khỏi mặt phẳng ban đầu

Theo Shakourzadeh H., Guo Y.Q and Batoz J.L [10], lý thuyết xoắn đối với dầm

thành mỏng mặt cắt hở được phát triển bởi Vlasov đã xem xét ảnh hưởng của biến

dạng vênh không đều nhưng lại bỏ qua biến dạng cắt trên mặt cắt ngang Chuyển

vị vênh dọc trục là tích số của tọa độ sectơ ω và tốc độ xoắn θx,x :

Trong phương trình trên tọa độ sectơ ω nhận được bởi đã bỏ qua biến dạng cắt

trên mặt cắt ngang theo bề dày của tiết diện Điều này có thể chấp nhận được đối

với dầm thành mỏng hở nhưng đối với dầm thành mỏng kín thì không thể bỏ qua

biến dạng cắt trên mặt cắt ngang Để khắc phục vấn đề này, Bencoter sử dụng

một biến dạng cắt giả tạo Một hàm vênh mới ψ thay thế cho θx,x , vì thế biến

dạng vênh dọc trục nhận được như sau:

trong phương trình này toạ độ sectơ ω cũng giống như trong (1.1) nhưng biến dạng

cắt trên mặt cắt ngang không bỏ qua và biến dạng cắt giả tạo được xem xét De

Ville De Goyet đã lấy một vài ví dụ để so sánh, ông sử dụng phần tử Shell để

kiểm tra với kết quả nhận được từ việc phân tích dựa trên lý thuyết của Benscoter, kết quả nhận được là khá chính xác [10]

Một trong những lời giải số sớm nhất của bài toán xoắn thanh thành mỏng tiết diện hở thay đổi được trình bày bởi Cywinski năm 1968 Cywinski chỉ khảo sát các tiết diện đối xứng một phương và hai phương để loại bỏ một vài hệ số Lời giải tương tự được giới thiệu bởi Kitipornchai và Trahair vào năm 1972 và 1975, và Iremonger năm 1980 Tất cả các lời giải của các phương trình vi phân được giải bởi các tác giả trên đều dùng kỹ thuật tích phân hữu hạn hoặc sai phân hữu hạn [16]

Một trong những lời giải đầu tiên của dầm thành mỏng tiết diện không đổi sử dụng phương pháp PTHH được thực hiện bởi Barsoum và Gallagher năm 1970, Bazant và ElNimeiri năm 1973 Theo lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển, lời giải số của họ chỉ giới hạn trong phạm vi dầm I để lược bớt một số các đặc trưng tiết diện Họ tìm được ma trận độ cứng và ma trận hình học cho phần tử hữu hạn thanh thành mỏng dựa trên bốn hàm chuyển vị giả thiết là các hàm đa thức với 14 tham số, tương ứng với 14 bậc tự do của mỗi phần tử [16]

Một phương pháp mới được đưa ra bởi Wilde năm 1968 Ông đề nghị xem thanh thành mỏng như một trường hợp đặc biệt của tấm màng với các ràng buộc nội tại Các ràng buộc này rút ra từ các giả thiết của Vlasov và Wagner được áp dụng bởi Wilde trong lý thuyết vỏ Quan điểm của Wilde sau đó được Wekezer áp dụng vào năm 1984 – 1987, Ông dùng phương pháp này để phát triển một phần tử hữu hạn tổng quát thanh thành mỏng để phân tích xoắn, biến dạng lớn, ổn định và dao động tự do của thanh thành mỏng tiết diện hở và thay đổi Về mặt hình học phần tử này được mô tả bởi các điểm cho trước bố trí tuỳ ý trên mặt trung bình của phần tử để lấy tích phân với miền tích phân là các phần tử phụ tam

giác phẳng Phần tử hữu hạn thanh thành mỏng của Wekezer luôn luôn có 15 bậc tự do bất kể phần tử có phức tạp thế nào [16]

Một quan điểm mới khác được trình bày bởi Kanok – Nukulchai và Sivakumar năm 1988 Họ dùng phần tử khối 8 nút và phần tử tấm 4 nút với các ràng buộc bên trong thêm vào để phân tích thanh thành mỏng Bên cạnh các nút phụ trợ thông thường, họ thêm vào hai nút sectơ cho mỗi lớp phần tử hữu hạn Các nút sectơ cần thiết để quản lý biến dạng vênh của tất cả các nút phụ trợ nằm trên cùng một tiết diện Mặc dù phương pháp này cho thấy độ hội tụ tốt đến lời giải chính xác, nhưng nó dẫn đến số lượng bậc tự do lớn đồng thời hệ phương trình đại số có bề rộng băng lớn Tuy nhiên, phương pháp này rõ ràng có tính linh hoạt cao

vì nó có thể dùng để phân tích thanh thành mỏng có tiết diện hở và kín [16]

Phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích dầm thành mỏng còn được Chen và Blandford (1989, 1991), Conci và Gattass (1990), Meek và Lin (1990) … nghiên cứu [7]

1.2 MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN VĂN

Luận văn tập trung nghiên cứu và trình bày mô hình độ vênh của Prokié đối với dầm thành mỏng với tiết diện kín và hở bất kỳ Luận văn gồm các nội dung cụ thể sau:

- Trình bày lý thuyết, hàm vênh và các phương trình cơ bản của lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển Vlasov

- Trình bày mô hình độ vênh của Prokié đối với dầm thành mỏng với tiết diện kín và hở bất kỳ, các phương trình chuyển vị, biến dạng, nội lực, phương trình cân bằng, phương trình vi phân của thanh thành mỏng

- Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầm thành mỏng tiết diện bất kỳ theo mô hình vênh Prokié với phần tử 3 nút

- Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab 6.5 để tính toán chuyển vị, nội lực của thanh thành mỏng

- Khảo sát các ví dụ đồng thời so sánh kết quả với các nghiên cứu có trước và phần mềm nổi tiếng (SAP2000 ) để kiểm tra tính chính xác và hiệu quả của mô hình và chương trình tính toán Khảo sát ảnh hưởng của bề dày tiết diện đến trạng thái chuyển vị, ứng suất

- Nhận xét và kết luận các kết quả nghiên cứu, đề xuất hướng phát triển của đề tài

Toàn bộ luận văn bao gồm 2 phần:

Phần 1: Phần thuyết minh của luận văn bao gồm 5 chương:

Chương I : TỔNG QUAN

Chương II : LÝ THUYẾT –MÔ HÌNH VÊNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ

BẢN CỦA THANH THÀNH MỎNG Chương III: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO DẦM

THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN VÀ HỞ THEO MÔ HÌNH VÊNH PROKIÉ

Chương IV: VÍ DỤ MINH HỌA

Chương V: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Phần 2: Phần phụ lục, bao gồm:

- Phần mã nguồn của chương trình tính toán

- Ma trận độ cứng phần tử và các đặc trưng hình học của tiết diện

CHƯƠNG 2:

LÝ THUYẾT –MÔ HÌNH VÊNH VÀ PHƯƠNG

TRÌNH CƠ BẢN CỦA THANH THÀNH MỎNG

2.1 LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THANH THÀNH MỎNG CỔ ĐIỂN

Timoshenko (1921) là người đã đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thành mỏng Sau đó Vlasov đã hoàn chỉnh và phát triển cả về lý thuyết độ bền, ổn định và giao động của thanh thành mỏng mặt cắt hở [15]

Lý thuyết cổ điển dầm thành mỏng với một mặt cắt tiết diện hở tùy ý dựa trên giả thiết Vlasov:

- Mặt cắt ngang tiết diện cứng tuyệt đối trong mặt phẳng của nó

- Biến dạng cắt trên đường trung bình ( đường chu tuyến) có thể bỏ qua

- Mặt trung bình không bị biến dạng trong suốt quá trình thanh bị biến dạng

2.1.1 Sự xoắn và sự vênh của tiết diện

Theo Steen Krenk [2] dầm thành mỏng tiết diện hở có độ cứng xoắn rất bé, khi dầm thành mỏng chịu xoắn, sự xoắn được xác định bởi hai cơ cấu : độ cứng chịu xoắn Saint – Venant cổ điển được xác định bởi mô đun chống cắt và thành phần sinh ra do việc cản trở sự vênh của tiết diện ngang liên quan với sự xoắn Saint – Venant Nếu độ xoắn là hằng số trên toàn bộ dầm, sự vênh tiết diện là giống nhau và thành phần thứ hai triệt tiêu Trong trường hợp độ xoắn thay đổi theo chiều dài sẽ sinh ra ứng suất dọc trục trong dầm, thành phần này phải được kể đến trong bài toán phân tích độ bền

Theo lý thuyết dầm thành mỏng, có hai thành phần dẫn đến moment xoắn, một

là thành phần xoắn từ ứng suất xoắn Saint - Venant và hai là thành phần xoắn

thu được từ ứng suất dọc trục do vênh Độ lớn tương đối của hai thành phần

này là một khía cạnh quan trọng của lý thuyết dầm thành mỏng

Bây giờ, để cụ thể, đưa vào một toạ độ dọc trục và giả thiết rằng dầm thực

hiện sự xoắn thể hiện bằng góc xoay ϕ (z) thay đổi theo trục z Sự xoắn dầm

cho ra moment xoắn Ms từ thành phần ứng suất cắt Saint - Venant:

dz

z d GK z

Trong đó : G là module cắt của vật liệu

K là tham số độ cứng của dầm

Tương tự như moment xoắn Saint - Venant Ms sinh ra do độ thay đổi của góc

xoắn ϕ (z), thành phần mới Mω sinh ra do độ thay đổi của đối ngẫu bimoment

B(z) là:

dz

z dB z

dz

z d EI z

fI h

I 2 2 1

=

Như vậy tổng moment xoắn của dầm là:

dz

d EI dz

d dz

d GK M

M

Điều kiện ứng suất cắt triệt tiêu trên mặt trung bình cho phép xác định trực

tiếp hàm vênh tiết diện một cách đơn giản Tiết diện ngang được giả thiết là

không biến dạng trong mặt phẳng của nó, và chuyển vị của tiết diện do đó có

thể được mô tả bằng một thành phần chuyển vị dọc trục chưa biết ω(s,z) và

một góc xoay ϕ (z) quanh một điểm A

Vị trí một điểm trên đường tâm được biểu diễn bằng chiều dài cung s, như trên

hình 2.1 Chuyển vị trong mặt phẳng us dọc theo tiếp tuyến tại s có thể được

∂

∂ +

u z

z d z s

(2.10)

( ) = ∫ ( )

s

ds s h s

ω

Toạ độ sectơ được diễn giải hình học đơn giản là bằng hai lần diện tích quét

bởi đường thẳng nối từ tâm xoay A đến điểm s trên đường tâm

( ) s = 2 A ( ) s

2.1.2 Quan hệ biến dạng – chuyển vị

Khảo sát một dầm thẳng tiết diện không đổi, ký hiệu trục z song song với trục

dầm, trục x1 và x2 mô tả mặt phẳng tiết diện, như hình 2.2

Hình 2.2 Tại một điểm trên tiết diện tồn tại ba thành phần chuyển vị, hai chuyển vị

trong mặt phẳng của tiết diện theo hai phương tương ứng ký hiệu là u1, u2, (uα),

chuyển vị theo phương trục z ký hiệu là w Chuyển vị tổng quát của tiết diện

mô tả bởi các dịch chuyển của tiết diện như một miếng cứng ξα = (ξ1, ξ2) và

chuyển vị xoay quanh một điểm aα = (a1, a2)

Hình 2.3

Quan hệ giữa các thành phần chuyển vị của chất điểm với chuyển vị tổng quát

của tiết diện:

2 2 1 1

a x u

a x

u

− +

Thành phần chuyển vị dọc trục bao gồm bốn phần, một thành phần dịch

chuyển dọc trục của tiết diện, hai chuyển vị xoay quanh các trục x1, x2 và cuối

cùng là chuyển vị do vênh tiết diện

Biến dạng cắt của dầm khi chịu uốn triệt tiêu, và do đó góc xoay quanh các

đường x1 = c1, x2 = c2 tương ứng là − d ξ1 dz và − d ξ2 dz Thành phần chuyển

vị dọc trục do vênh được xác định từ điều kiện biến dạng cắt bằng không trên

mặt trung bình đưa đến phương trình (2.8)

Từ các giả thiết trên, chuyển vị dọc trục của một điểm trên tiết diện ngang

biểu diễn theo công thức:

dz

d s dz

d c x dz

d c x

w = ς − − ξ − − ξ2 − ω ϕ

2 2 1 1

d s dz

d c x dz

d c x dz

d z

d s

n h z s

w z

∂

∂

2.1.3 Ứng suất trong thanh thành mỏng

Lý thuyết dầm thành mỏng tiết diện hở dựa trên giả thiết không có biến dạng

cắt trên mặt trung bình của thành dầm Ưùng suất cắt do đó không thu được trực

tiếp từ trường chuyển vị, nhưng được xác định bằng cách dùng điều kiện cân

bằng cục bộ liên quan đến ứng suất dọc trục [2]

- Ứng suất dọc trục: Ứng suất dọc trục trong dầm được xác định từ biến

dạng dọc trục cho bởi (2.14)

d c x dz

d E

β β

2

(2.16)

Nếu giả thiết rằng C=(c1, c2) là tâm đàn hồi và ω (s) là toạ độ sectơ chính Điều

này đưa đến công thức đơn giản của nội lực :

Lực dọc N

dz

d A E dA N

A a

β αβ α

0 dz

d I E dA B

A

ϕ σ

- Ứng suất cắt:

Trong tiết diện thành mỏng, ứng suất cắt có thể được xem như biến thiên tuyến

tính qua bề dày thành Ứng suất cắt tổng cộng gồm hai phần: phần phân bố

đều τ0 liên quan đến dòng cắt, và phần τ1 do xoắn đều Ứng suất cắt do xoắn

đều được xác định gần đúng từ lời giải của hình chữ nhật hẹp và dài Khi ảnh

hưởng của đầu mút không được để ý đến, lời giải này cho ta cho ta ứng suất cắt

dọc theo thành có cường độ là :

n dz

d

G ϕ

Trong đó n là khoảng cách từ tâm của thành tiết diện đến điểm xét Phần ứng

suất cắt này không sinh ra bất kỳ một lực cắt nào khi lấy tích phân trên toàn

chiều dày thành và do đó nó có thể được loại ra khỏi các điều kiện cân bằng

dùng để xác định dòng cắt và thành phần ứng suất cắt τ0

Dòng cắt tτ0 trong tiết diện thành mỏng với bề dày thành thoả mãn phương

trình cân bằng theo phương dọc trục

∂

z

t s

Trong đó p là lực dọc trục trên một đơn vị thể tích

Đây là các phương trình cơ bản của thanh thành mỏng cổ điển theo [2]

Theo lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển, hàm vênh w(s,z)=-ω(s)ϕ’(z) là tích

số của hai thừa số độc lập, trong đó thành phần thứ nhất tọa độ quạt ω(s) phụ

thuộc vào đặc trưng hình học của mặt cắt tiết diện và thành phần thứ hai là đạo

hàm bậc nhất của góc xoay ϕ(z) Sự phân bố của ứng suất pháp do vênh được

cho bởi tọa độ sectơ và giống nhau trên tất cả các tiết diện Ứng suất cắt

Saint-Venant τS = 0 tại đường trung bình của tiết diện và thay đổi tuyến tính theo bề

dày tiết diện Ứng suất cắt do vênh τω phân bố đều trên bề dày của thanh,

không thể tính trực tiếp từ biến dạng cắt mà chỉ tính được từ điều kiện cân

bằng, nhưng việc này lại đưa đến sự rối loạn điều kiện tương thích [6]

Theo [6] Prokié cho rằng đối với dầm thành mỏng mặt cắt kín thì ứng suất cắt

τω phân bố đều qua bề dày tiết diện là chủ yếu nên giả thiết của Vlasov đối

với mặt cắt hở không còn đúng Nếu chúng ta vẫn giữ giả thiết 2 là bỏ qua biến

dạng cắt trên đường trung bình thì dẫn đến sự vênh không được xét đến Vì thế, lý thuyết của dầm thành mỏng mặt cắt kín phải được xem xét riêng Umanski (1939) đã là người đầu tiên diễn tả một cách rõ ràng bằng công thức hàm vênh của một mặt nghiêng kín wwτp = Ω(x,y)ϕ(z) Hàm Ω(x,y)=

2.2 MÔ HÌNH VÊNH PROKIÉ

Prokié [4,5,6] đã đưa ra một hàm vênh mới tổng quát hơn việc sử dụng lý thuyết cổ điển, không có sự phân biệt giữa mặt cắt tiết diện kín và hở Sự vênh tiết diện được định nghĩa bởi các thông số chuyển vị chưa biết tại các nút đã chọn trên mặt cắt tiết diện Không cần giả thiết thứ 2 của Vlasov là biến dạng cắt trên đường trung bình bằng không, vì thế ứng suất cắt cả τs lẫn τω có thể

đạo hàm trực tiếp từ các biến dạng tương ứng, tâm cắt không còn quan trọng như trước cũng như không cần phải tính toán tọa độ sectơ

2.2.1 Phương trình chuyển vị – biến dạng

Xét một dầm thành mỏng thẳng với mặt cắt kín hoặc hở tùy ý Nếu đường trung bình của mặt cắt tiết diện có hình dạng bất kỳ, ta có thể xấp xỉ nó với một đa giác Mục đích của việc lý tưởng hóa này là để đơn giản trong tính toán Số cạnh của đa giác phụ thuộc vào độ chính xác mong muốn Những điểm mà tại đó hai hoặc nhiều cạnh của đa giác nối với nhau được xem là những điểm nút của mặt cắt tiết diện như hình 2.4

Hình 2.4 : Mặt cắt tiết diện dầm thành mỏng Trục z của hệ trục tọa độ Cartesian trùng với trục trọng tâm dọc trục, trục x, y trùng với trục trọng tâm của tiết diện

Ngoài những giả thiết thông thường của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, cần phải thêm vào các giả thiết sau:

1/ Mặt cắt ngang tiết diện tuyệt đối cứng trong mặt phẳng của nó

2/ Chuyển vị dọc trục gây ra bởi sự vênh thay đổi tuyến tính giữa hai nút gần kề

3/ Độ vênh tương đối so với đường trung bình của mặt cắt tiết diện được chấp nhận giống như trong lý thuyết cổ điển dầm thành mỏng

Sử dụng những giả thiết trên, các chuyển vị u*, v*, w* của một điểm bất kỳ của mặt cắt tiết diện, nơi mà góc xoắn đủ nhỏ với một tải trọng nào đó, được cho bởi dạng sau:

Trong công thức trên:

u, v, w0 : các chuyển vị thành phần của trọng tâm theo trục x, y, z

ψx, ψy , ϕ : thành phần xoay của tiết diện quanh trục x, y, z

Thành phần cuối cùng wwτp đại diện cho sự vênh của mặt cắt tiết diện, được tính như sau:

Số hạng thứ nhất của hàm độ vênh ws

wτp đại diện cho sự vênh dọc theo đường trung bình của tiết diện Vì các thông số wi chưa biết nên ta có thể chọn

chuyển vị bất kỳ của những nút trên đường trung bình Những nút này phải là

những nút điển hình của mặt cắt, số nút mà chúng ta chọn sẽ xác định số thông

số chưa biết wi

Hàm Ωi phụ thuộc vào cách chuyển vị thay đổi giữa những nút của đa giác

tiết diện Nếu sự thay đổi này là tuyến tính thì theo giả thiết thứ hai, hàm Ωi

có dạng hình học đơn giản như hình 2.5 Hàm Ωi chỉ tồn tại dọc theo những

phần giữa nút i, tại i nó có giá trị bằng 1 và tại những nút sát cạnh có giá trị

bằng 0.

Hình 2.5 : Hàm Ω cho nút mặt cắt tiết diện

Số hạng thứ hai của hàm độ vênh we

wτp xác định độ vênh tương đối so với đường trung bình của mặt cắt tiết diện, theo giả thiết thứ 3 (độ vênh tương đối

so với đường trung bình của mặt cắt tiết diện được chấp nhận giống như trong

lý thuyết cổ điển dầm thành mỏng), được xác định là:

we

Trong đó:

Với :

e là khoảng cách từ điểm đang xét đến đường trung bình của tiết diện

hn được xác định như hình 2.4, hn có giá trị dương khi pháp tuyến của đường

trung bình quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trọng tâm khi ta nhìn từ chiều

dương của trục z

Bây giờ ta tính được tổng chuyển vị dọc trục w* của một điểm bất kỳ là:

w* = w0 + yψx - xψy + ΣΩi (x,y)wi(z) - ω(x,y)ϕ’ (2.30)

Trong đó :

w0 là chuyển vị dọc trục của trọng tâm tiết diện

yψx là chuyển vị dọc trục do xoay quanh trục x

xψxy là chuyển vị dọc trục do xoay quanh trục y

ΣΩi (x,y)wi(z) - ω(x,y)ϕ’ là chuyển vị do sự vênh tiết diện

Ta thấy rằng từ n+1 tham số chưa biết là w0, w1, w2,… wn thì chỉ có n tham số

độc lập với nhau Chúng ta có thể giữ lại tất cả n+1 tham số đó, nhưng phải

đưa thêm vào 1 điều kiện:

Thành phần lực dọc tính toán từ ứng suất do vênh và thành phần bimoment do

Điều này cho phép ta nghiên cứu riêng lẻ biến dạng dọc trục và biến dạng

' '0

Biến dạng cắt :

∑ Ω +

− +

−

=

∂

∂ +

x

x

w z

u

, ,

*

*

' ) (

' ω ϕ ψ

∑ Ω + +

− +

=

∂

∂ +

y

y

w z

v

, ,

*

*

' ) (

' ω ϕ ψ

2.2.2 Ứng suất trong thanh thành mỏng :

Như đã phân tích ở trên, chỉ tồn tại 3 thành phần biến dạng là một thành phần

biến dạng dọc trục và hai thành phần biến dạng cắt Do đó ứng suất trong

thanh bao gồm ứng suất dọc trục σz và các ứng suất cắt τzx, τzy

Giả sử dầm được làm bằng vật liệu đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng

hướng, quan hệ ứng suất – biến dạng được cho bởi định luật Hooke:

Thay thế các biểu thức từ (2.32-34) vào (2.35-37) ta thu được quan hệ giữa ứng

suất và chuyển vị như sau:

Ứng suất dọc trục :

x

z E w0' y ψ' x ψ' w' ωϕ "

σ

Hai số hạng cuối của (2.38) ΣΩiw’i - ωϕ” là thành phần ứng suất dọc trục gây

ra bởi sự vênh tiết diện

− +

−

i i i x y

x

zx G u' y ω, ϕ' ψ , w

τ

xy G v' x ω, ϕ' ψ , w

τ

Trong đó : E là mođun đàn hồi của vật liệu

G là mođun cắt của vật liệu

Từ các ứng suất ta tính được kết quả nội lực trên mặt cắt tiết diện:

− +

=

i i i y

x zx

y zy

Biểu thức cuối cùng (2.47) đại diện cho thành phần bimoment, với mỗi thông

số chuyển vị đại diện cho sự vênh tiết diện wi ( i =1, 2,…, n), ta có được một

bimoment tương ứng, vì thế tổng số bimoment là n

Đưa vào điều kiện thành phần lực dọc tính toán từ ứng suất do vênh và thành

phần bimoment do biến dạng dọc trục phải bằng 0 (2.31), ta thu được các biểu

thức kết quả nội lực phụ thuộc vào các thông số chuyển vị:

Lực dọc N :

; (2.48) '

y y

x yy

x x

y xx

+

i yy

'

j j

y x x y

= y x dF

2.2.3 Các phương trình cân bằng

Xét 1 phân tố vô cùng bé giữa 2 mặt cắt z1 = z và z2 = z + dz của dầm thành

mỏng như hình

dF dz

z )

(

∂

∂ + σ σ

dz z

∂

∂ + δ δ Hình 2.6 Tại 1 điểm bất kỳ trên mặt cắt z1, vectơ ứng suất σ được biểu diễn như sau:

z z y zy x

zxi τ i σ i

τ

Và tại 1 điểm tương ứng trên mặt cắt z2 cách mặt cắt z1 một khoảng dz, vectơ

ứng suất là:

dz z

∂

∂ + σ

Cho 1 ngoại lực P với các thành phần px, py,, pz, ta giả định rằng lực này tác

dụng lên mặt trung bình của dầm

Nguyên lý của chuyển vị ảo được sử dụng cho các điều kiện cân bằng Vectơ

chuyển vị ảo δ thỏa mãn điều kiện cần liên tục và điều kiện chuyển vị biên,

có thể được nhận cùng 1 dạng như vectơ chuyển vị thật

i i i y

x y

x z

+ +

−

= + +

dấu ngang ở trên u , v , w0, ψx , ψy … Chúng là những hàm bất kỳ của tọa

độ và không phụ thuộc vào các tải trọng bên ngoài

Biểu thức công ảo là:

W là công ảo của tải trọng ngoài do chuyển vị ảo δ

U công ảo của ứng suất σ do biến dạng ảo [ z zx zy]

T

τ τ ε

x o

z' w y ψ x ψ w ω ϕ'σ

( ' ϕ') ( τ ' ϕ')

τzx u − y + zy v + x

+

dF w

x y

− + + σ ' ψ' ψ' ∑ ' ω ϕ ''

( u y ) ( p v x ) p w y x w ds p

i i i y

x o z y

−

Trong công thức trên tích phân thứ nhất tính trên bề mặt và tích phân thứ hai

tính trên đường trung bình của mặt cắt tiết diện

Công ảo của nội lực trên 1 đơn vị chiều dài phần tử là:

Sử dụng (2.32, 33, 34) cho chuyển vị ảo, tại các vị trí chuyển vị thật được thay

bằng các chuyển vị ảo, ta có:

dF

w x

y w

w x

v

w y

u U

i i i y

x o z

y i i

i y x

zy

x i i

i x y

' '

'

' '

' , ,

' '

ϕ ω ψ

ψ σ

ϕ ω ψ

ϕ τ

ϕ ω ψ

ϕ τ

(2.75)

Sắp xếp lại (2.73) và (2.75) theo đúng với các thông số chuyển vị ảo, nguyên

lý công ảo có thể diễn tả như sau:

'

' '

'

= +

+

− +

Ω + Ω

− Ω

− Ω

+

− +

− +

+ +

p dF

w

ds yp xp dF

y x ds

xp dF x

ds yp dF y

ds p dF v

ds p dF u

ds p dF

w

zy y zx x z z

i zy

i y zx i x z i

i

i

x y zx

zy z

z zx

y

z xy

z

x

y zy

x zx

z z

o

τ ω τ ω ωσ ϕ

τ τ

σ

τ τ ϕ σ

τ

ψ

τ σ

ψ

τ τ

; (2.78b)

0

* ' + x =

x p Q

; (2.78c)

0

* ' + y =

y p Q

; (2.78d)

0

* ' − y + x =

z m M

; i = 1, 2, 3……, n (2.78g)

0

* ,

, , 2 , 1 ,

n i

i x

2.2.4 Các phương trình vi phân

Xét 1 cạnh đa giác của mặt cắt tiết diện thành mỏng như hình 2.7

của tiết diện, chúng ta đưa thêm vào 1 hệ tọa độ địa phương (e, s, z) với e, s là

hướng pháp tuyến và tiếp tuyến với cạnh của đa giác đang xét

Gọi xi và yi là toạ độ của điểm i trong hệ tọa độ Carterian

Toạ độ tại 1 điểm i bất kỳ trên cạnh của đa giác được viết:

α

sin e s

y

; (2.82) α

cos

*

y x

α

sin y x

Với :

xi , yi là tọa độ của điểm i (nút đầu của phần tử cạnh đa giác trên mặt cắt tiết

diện)

α là góc giữa trục x và pháp tuyến của đường trung bình

e là khoảng cách từ điểm đang xét đến đường trung bình

Vì hàm Ωi chỉ tồn tại dọc theo những phần giữa nút i, tại i nó có giá trị bằng 1

và tại những nút sát cạnh có giá trị bằng 0, nên ta có thể viết biểu thức Ωi dưới

l x

s s x

i i

l x

s s x

j j

l y

s s y

i i

s s y

j j

α α

ω ω

ω

cos

e x

e e x

s s

ω ω

ω

sin

e y

e e y

s s

cos sin

cos

sin cos sin

dF

l

e

dF l h

e l

h e

dF y y x

e h

e h

y dF

L

e h dF

2

* 2

2 2

2

Thay biểu thức ứng suất (2.38-40) và nội lực (2.48-54) vào những phương trình

cân bằng (2.78) chúng ta có tập hợp các phương trình vi phân tuyến tính, trong

đó các thông số chuyển vị u, v, w0 … chưa biết

y

* '

i

i y x

yy

y y

+ +

* '

i

i x y

xx

x x

i yy

GI v GS u GS w I E EI

EI

i j

y i x j

y

i

x

i x y

i i

i y i

x j

i i

i

j

j

y x

j

j y

x x

y

, , 2 , 1

;

*

' '

,

,

,

=

−

= +

−

+

− +

−

− +

−

Ω Ω

Ω Ω

Ω

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

Ω

∑

ψ ψ

(2.89h)

, ,

, , , ,

, ,

'

' '

− +

+ +

−

−

− +

−

y x

y x x y

x y

y y x x

y x

GS GS

I I

I G

v GS u GS EI

EI I

ψ ψ

ϕ

ψ ψ

ϕ

ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω

, , Ω = ∫∫ Ω Ω

, , Ω = ∫∫ Ω Ω

ω ω

ω ω

Lấy vi phân (2.89h) và ghép nối vào (2.89f), đưa vào những số hạng bằng

không và bỏ qua những vô cùng bé bậc cao như phần trên vừa trình bày, cuối

GF GS

x x

* ' '

∑ = − +

+

i

y i

GF GS

y y

* '

x i

i y x

y y

i

* '

y i

i x x

x x

i

* '

− +

−

i

z i y

x

GI v GS

u

x y

y x

* ' '

−

+

− +

−

− +

−

Ω Ω

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω Ω

Ω

j

j y

x j

j y

x

x

y

n i

m w I

I G

GS

GS GI

v GS u GS w I E EI

EI

i j

y i y j x i x i

x

i y i

i y i

x j

i i

i

, , 2 , 1

;

*

' '

, ,

,

ψ

ψ ϕ

ψ ψ

(2.91g) Với Ih là hằng số xoắn được tính như sau :

dF y

x x

y I

I I

I

I

I

y y x x

= + +

+

+

=

2 2

2, , , ,

ω

ω

ω ω ω ω

CHƯƠNG 3:

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO

DẦM THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN & HỞ THEO MÔ

HÌNH ĐỘ VÊNH CỦA PROKIÉ

3.1 GIỚI THIỆU:

Từ nguyên lý chuyển vị ảo chúng ta thành lập được một tập hợp các phương

trình vi phân Để giải các phương trình này người ta thường sử dụng các

phương pháp số như là phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp tích phân

số, phương pháp phân đoạn … Nhưng các phương pháp này có một số giới hạn

khi áp dụng

Prokié đã trình bày phép lấy đạo hàm một ma trận độ cứng tổng quát cho phần

tử dầm 3 chiều sử dụng thủ tục cập nhật Lagrangian (Bathe và Bolourchi -

1979) Điểm đặc biệt ở đây là ma trận độ cứng phần tử áp dụng chung cho cả

dầm thành mỏng có mặt cắt tiết diện kín và hở, không cần tính toán tâm cắt và

tọa độ sectơ như lý thuyết cổ điển Kết quả của việc tính toán này là các

chuyển vị của mặt cắt ngang tiết diện Ứng suất dọc trục, ứng suất cắt sẽ nhận

được trực tiếp từ các biến dạng tương ứng tại mỗi điểm của tích phân số

Phương pháp này cũng có thể mở rộng cho phân tích ổn định rẽ nhánh và phi

tuyến hình học Một thủ tục lặp gia tăng dựa trên phương pháp dây cung và

phương pháp Newton-Raphson được sử dụng để giải quyết những phương trình

phi tuyến [7]

Trong chương này ta khảo sát một dầm thành mỏng với tiết diện kín hoặc hở

bất kỳ bằng phương pháp Phần Tử Hữu Hạn sử dụng phần tử dầm 3 điểm nút

để thiết lập ma trận độ cứng phần tử

3.1.1 Chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong phần tử :

Khi giải bài toán với mô hình tương thích, đại lượng cơ bản cần tìm trước tiên

là chuyển vị Chuyển vị được xấp xỉ hóa và nội suy theo vectơ chuyển vị nút

phần tử {q}e Sau khi tìm được ma trận các hàm dạng, chúng ta biểu diễn được

trường chuyển vị theo các chuyển vị nút phần tử {q}e

Theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng ( các phương trình

Cauchy ) biến dạng của một điểm trong phần tử sẽ là :

{ } ε e = [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ } ∂ u e = ∂ N q e = B q e (3.2)

[B] được gọi là ma trận tính biến dạng

Ứng suất tại 1 điểm thuộc phần tử, trong trường hợp vật liệu tuân theo định

luật Hooke là:

Sử dụng (3.9) ta có:

Trong đó [T] = [D] [B] gọi là ma trận tính ứng suất phần tử (3.6)

(3.1), (3.2), (3.5) cho ta biểu diễn chuyển vị, biến bạng và ứng suất trong phần

tử theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e

3.1.2 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng

Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi Π được xác định là:

Trong đó : U là thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi tích lũy trong quá trình

biến bạng

A là công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời của ngoại lực

do vật thể bị biến dạng

Nội dung nguyên lý : Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị)

khả dĩ động (tức thỏa mãn các điều kiện tương thích và điều kiện biên động

học) thì trường chuyển vị thực (tức trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng

của vật thể) sẽ làm cho thế năng toàn phần Π đạt giá trị dừng [13]

Thế năng biến dạng đàn hồi U được tính bởi công thức :

{ } { } dV { } [ ] D { } dV

V

T V

ε ε

1

(3.8) Công A của ngoại lực (gồm lực khối {g}, lực mặt {p}) trên các chuyển dời {u}

V T

T T V

3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ THEO MÔ

HÌNH ĐỘ VÊNH PROKIÉ :

3.2.1 Trường chuyển vị của phần tử :

Xét 1 phần tử thành mỏng điển hình với tiết diện hở hoặc kín bất kỳ

như hình 3.1

Hình 3.1 Phần tử dầm thành mỏng _ Các chuyển vị nút

Theo [7],[8] mỗi phần tử có 6 + n bậc tự do tại nút đầu và nút cuối bao gồm

các chuyển vị ui, vi, woi, ψxi, ψyi, ϕi, w1i, w2i, ……, wni ( i = 1 và 3; n = số điểm

nút trên đường trung bình mặt cắt tiết diện để xấp xỉ hóa đường trung bình mặt

cắt tiết diện thành một đa giác như đã trình bày ở chương 2)

Trong khi tại nút giữa chỉ có 5 bậc tự do là u2, v2, ψx2, ψy2, ϕ2

Trục z của hệ tọa độ vuông góc trùng với trục trọng tâm dọc trục Trục x, y

trùng với trục chính của mặt cắt tiết diện

Chuyển vị của một điểm bất kỳ của mặt cắt tiết diện được cho bởi: