Ổn định thanh dầm thành mỏng tiết diện chữ z

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : NGUYỄN DUY THIÊN GIANG Phái : nam Ngày, tháng, năm sinh : 22 - 09 - 1974 Nơi sinh : TP.HCM Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp MS

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-oOo -

NGUYỄN DUY THIÊN GIANG

ỔN ĐỊNH THANH DẦM THÀNH MỎNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

-

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

-

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : NGUYỄN DUY THIÊN GIANG Phái : nam

Ngày, tháng, năm sinh : 22 - 09 - 1974 Nơi sinh : TP.HCM Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp MSHV: 02103522 I- TÊN ĐỀ TÀI: ỔN ĐỊNH THANH DẦM THÀNH MỎNG

TIẾT DIỆN CHỮ Z II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phương pháp lý thuyết dầm tổng quát (Generalized beam theory - GBT) trong bài toán xác định ổn định do vênh với các điều kiện biên khác nhau của thanh dầm tiết diện chữ Z (và C) nhằm khắc phục hạn chế của phương pháp dải hữu hạn trong việc xác định ổn định vênh

- Tóm tắt và áp dụng phương pháp dải hữu hạn phân tích ổn định đàn hồi thanh thành mỏng làm cơ sở so sánh với phương pháp lý thuyết dầm tổng quát

- Áp dụng tính toán cường độ chịu nén, uốn của thanh dầm thành mỏng tiết diện Z (và C) theo tiêu chuẩn Mỹ (AISI – Direct strength method)

- Khảo sát ổn định đàn hồi và tính toán cường độ chịu nén, uốn của các kết cấu cụ thể thông qua những ví dụ tính toán

- Xây dựng phần mềm phân tích ổn định đàn hồi và tính toán cường độ chịu nén, uốn của thanh thẳng tiết diện chữ Z (và C) theo tiêu chuẩn trên

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02 – 02 - 2006

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 06 – 10 - 2006

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS.TS NGUYỄN VĂN YÊN

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VĂN YÊN

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Yên đã dẫn dắt, hướng dẫn tận tình và truyền đạt những kiến thức quí báu cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM cùng các quí thầy cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức mới mẻ cho tôi trong suốt thời gian qua

Xin chân thành cảm ơn các Thầy phản biện đã dành thời gian để hiểu và làm sáng tỏ hơn nữa vấn đề mà tác giả đã nghiên cứu

Xin cảm ơn Mẹ tôi, người mà tôi kính trọng và yêu thương nhất đã sinh thành và nuôi dưỡng tôi qua biết bao nhiêu khó khăn để tôi có được ngày hôm nay Dẫu là muộn màng nhưng rồi con cũng theo kịp 2 người con trai của mẹ!

Xin cảm ơn gia đình, người thân và các bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong công việc cũng như trong quá trình học tập nghiên cứu

Xin cảm ơn gia đình bé nhỏ của tôi, người luôn kề vai sát cánh và chia sẻ mọi khó khăn với tôi Đặc biệt dành cho con trai yêu dấu sau này nối tiếp

Chân thành cảm ơn các tác giả của những tài liệu mà tôi đã tham khảo để thực hiện luận văn này

Nguyễn Duy Thiên Giang

THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU

* Thuật ngữ :

ASD (Allowable stress design) : phương pháp ứng suất thiết kế cho phép

Design capacity : khả năng chịu lực thiết kế

Distortional buckling : mất ổn định do vặn

DSM (Direct strength Method) : phương pháp cường độ trực tiếp

FEM (Finite element method) : phương pháp phần tử hữu hạn

FSM (Finite strip method) : phương pháp dải hữu hạn

GBT (Generalized beam theory) : Lý thuyết dầm tổng quát

Global buckling : mất ổn định tổng thể

Local buckling : mất ổn định cục bộ

(Load and resistance factor design) và cường độ

Point-symmetric section : tiết diện đối xứng qua tâm

Stability analysis procedure : qui trình phân tích ổn định

First-order analysis : phân tích bậc nhất

Second-order analysis : phân tích bậc 2

Transverse displacement : chuyển vị thẳng

* Ký hiệu :

A (Area of cross-section) : diện tích tiết diện

a,b,c (Ordinates of warping function) : tung độ của hàm vênh

(Section properties for individual modes) dạng mode biến dạng riêng biệt

bi (Width of bith plate element) : chiều rộng của phần tử tấm thứ i

s

k

f (In-plane movement of a face at its mid-point) : độ dịch chuyển trong mặt phẳng tấm của điểm giữa nằm trên đường trung bình phần tử tấm ở dạng mode thứ k

k (Rotation of the chord line of a face) : độ xoay của đường trung bình tấm

G (Shear modulus) : môđun đàn hồi trượt

I (Second moment of area) : môment quán tính tiết diện

i,j,k (Mode number) : số dạng mode thứ i,j,k

J (St.Venant torsional constant) : hằng số xoắn St.Venant

K (Stiffness matrix) : ma trận độ cứng

k (Foundation constant) : hệ số nền

L (Span of member) : chiều dài nhịp cấu kiện

M11, M22, MI_I , MII_II : môment uốn quanh trục ngang 1-1, trục đứng 2-2,

trục quán tính chính I_I, II_II của tiết diện

M11buckling, M22buckling : môment uốn mất ổn định quanh trục 1-1,

MI_Ibuckling, MII_IIbuckling trục 2-2, trục quán tính chính I_I, II_II của tiết diện

m (Uniformly applied torque or transverse bending moment) : môment do uốn hay xoắn phân bố ngoài mặt phẳng tấm

q (Uniformly distributed load for individual mode) : tải trọng phân bố đều đối với từng dạng mode biến dạng riêng biệt

s (Distance around member) : khoảng cách tới cấu kiện

V (Generalised displacement function) : hàm chuyển vị tổng quát

v,w (global displacement in conventional theory) : các thành phần chuyển vị tổng

thể theo lý thuyết cổ điển

v ~ ~ , (displacement components in GBT) : các thành phần chuyển vị theo GBT

W (Stress resultant) : nội lực, kết quả thu được

x,y,z (Global ordinate system) : hệ trục tọa độ tổng thể

α,β,λ (Non-dimensional coefficients defined in text) : các hệ số không thứ nguyên

ν (Poisson’s ratio) : hệ số Poisson

σ (Design stress) : ứng suất tính toán

ω (Sectorial coordinate) : tọa độ quạt

TÓM TẮT

Kết cấu thành mỏng tiết diện hở là một trong những loại kết cấu hiện đại đã và đang được ứng dụng một cách rộng rãi trong mọi lĩnh vực Cụ thể là khung kèo Zamil, BHP , dầm, cột, xà gồ thép tiết diện chữ C, U, Z chúng có chiều dày rất mỏng so với bản cánh và bản bụng do vậy chúng rất dễ bị mất ổn định khi đưa vào sử dụng Phần lớn cấu kiện thanh thành mỏng với mặt cắt hở có thể được chia thành ba nhóm dạng mất ổn định [22] :

- Mất ổn định cục bộ (Local buckling) : chỉ bao gồm chuyển vị xoay mà không có chuyển vị thẳng tại các vị trí đường góc của tiết diện, mất ổn định cục bộ bao gồm cả sự xoắn mặt cắt ngang

- Mất ổn định vênh (Distortional buckling) : bao gồm cả chuyển vị xoay và chuyển vị tịnh tiến tại các vị trí đường góc của tiết diện, mất ổn định do vênh bao gồm sự xoắn của một phần tiết diện và phần này có đáp ứng cứng vuợt trội so với các phần khác

- Mất ổn định tổng thể (Global buckling) : chính là mất ổn định Euler quen thuộc, nó bao gồm chuyển vị tịnh tiến (uốn) và có hoặc không có chuyển vị xoay (xoắn) của toàn bộ mặt cắt ngang Hoàn toàn không có sự vênh trong mất ổn định tổng thể

Mất ổn định cục bộ Mất ổn định vênh Mất ổn định tổng thể

Hiện nay có rất nhiều phương pháp số để nghiên cứu ứng xử của thanh thành mỏng khi mất ổn định như : phương pháp tính tay của Lau-G.Hancock theo qui phạm Úc, phương pháp tính tay của Ben Shafer-Pekoz theo qui phạm Mỹ, phương pháp FEM (Finite element method), phương pháp FSM (Finite strip

method) và phương pháp GBT (Generalized beam theory ) Tuy nhiên chỉ duy nhất phương pháp GBT là có thể xác định được từng dạng mất ổn định riêng biệt trong khi phương pháp FSM và phương pháp FEM không thể phân biệt Đặc biệt hơn nữa FSM chỉ có thể khảo sát mất ổn định của cấu kiện có 2 đầu tựa đơn đơn giản trong khi GBT có khả năng khảo sát mất ổn định của cấu kiện có các điều kiện biên khác nhau (2 đầu tựa đơn, 2 đầu ngàm, 1 đầu ngàm và 1 đầu tựa đơn)ø với thời gian giải bài toán là vô cùng nhỏ

Rất nhiều nghiên cứu về các dạng mất ổn định của thanh thành mỏng đã cho thấy mất ổn định vênh là trạng thái có ứng xử phức tạp hơn so với mất ổn định cục bộ và mất ổn định tổng thể

Theo [22], ta có thể khử được mất ổn định cục bộ và tổng thể bằng các rãnh gia cường hoặc các thanh giằng bản bụng và tổng thể : “Các rãnh gia cường không ảnh hưởng đến ứng xử mất ổn định vênh và mất ổn định tổng thể của cấu kiện Điều lý thú là các rãnh gia cường nếu được cấu tạo đủ lớn sẽ làm tăng hệ số tải trọng ổn định cục bộ tới hạn của cấu kiện, hay nói một cách trực quan hơn là khử được mất ổn định cục bộ của cấu kiện”

Luận văn này gồm 2 phần, 8 chương tập trung khảo sát sự mất ổn định vênh (distortional buckling) vênh của kết cấu thanh thành mỏng sử dụng thông dụng nhất là tiết diện chữ Z, C bằng phương pháp GBT, cụ thể là :

+ Tóm tắt lý thuyết ổn định thanh thành mỏng cổ điển

+ Giới thiệu phương pháp GBT và phân tích ổn định vênh của cấu kiện thanh thành mỏng bằng phương pháp GBT

+ Tóm tắt lý thuyết phân tích ổn định cấu kiện thành mỏng bằng FSM + Trên cơ sở lý thuyết đã có tác giả xây dựng một chương trình tính toán bằng ngôn ngữ Matlab để phân tích ổn định vênh bằng phương pháp GBT và phân tích các dạng mất ổn định còn lại bằng phương pháp FSM

+ Để kiểm tra độ chính xác của chương trình, các ví dụ minh họa sẽ được thực hiện và đối chiếu với kết quả tính toán bằng phương pháp FSM và phương pháp FEM

+ Thông qua đó sử dụng kết quả phân tích được từ phương pháp GBT kết hợp với phương pháp FSM để áp dụng vào việc xác định cường độ thiết kế của cấu kiện thanh thành mỏng chịu nén, uốn bằng phương pháp cường độ trực tiếp

DSM (Direct strength method) theo qui phạm Mỹ với mục đích giúp cho các kỹ

sư Việt Nam có cái nhìn tổng thể hơn về khả năng chịu lực của cấu kiện thành mỏng

MỤC LỤC

PHẦN THUYẾT MINH

Lời cảm ơn

Tóm tắt

Thuật ngữ và ký hiệu

Mục lục

Chương 1 Tổng quan, đặt vấn đề và mục tiêu nghiên cứu 1

1.1 Tổng quan 1

1.2 Đặt vấn đề 1

1.3 Mục tiêu nghiên cứu 2

Chương 2 Lý thuyết ổn định thanh thành mỏng cổ điển 4

Chương 3 Phương pháp GBT (Generalized Beam Theory - Lý thuyết dầm tổng quát) 12

3.1 Tổng quan về lý thuyết dầm tổng quát (GBT) 12

3.2 Phương trình cơ bản của lý thuyết dầm tổng quát GBT 13

3.3 Lý thuyết dầm tổng quát GBT phân tích bậc nhất 24

3.3.1 Trình tự giải bài toán phân tích nội lực chuyển vị sử dụng lý thuyết dầm tổng quát GBT phân tích bậc nhất 28

3.3.1.1 Bước 1 : xác định các đặc trưng tiết diện 28

3.3.1.2 Bước 2 : giải phương trình cân bằng 34

3.4 Lý thuyết dầm tổng quát GBT phân tích bậc hai 47

Chương 4 Phân tích ổn định vênh thanh thành mỏngtiết diện chữ Z, chữ C bằng phương pháp GBT 59

4.1 Áp dụng lý thuyết dầm tổng quát GBT phân tích bậc 2 59

4.2 Bài toán phân tích ứng xử của tiết diện 60

4.3 Ổn định vênh cấu kiện cột 64

4.4 Ổn định vênh cấu kiện dầm, dầm-cột 66

4.4.1 Tiết diện chữ Z 67

4.4.2 Tiết diện chữ C 71

4.4.3 Điều kiện biên 77

4.5 Các bước giải bài toán ổn định vênh thanh thành mỏng tiết diện chữ Z

và C bằng phương pháp GBT 78

4.6 Chương trình tính toán và so sánh kết quả 98

Chương 5 Tóm tắt lý thuyết phân tích ổn định thanh thành mỏng bằng phương pháp dải hữu hạn FSM 85

5.1 Mô tả vấn đề và phương pháp 85

5.2 Hàm chuyển vị 87

5.3 Biến dạng 88

5.4 Ứng suất 88

5.5 Phương trình hệ thống 89

5.6 Ma trận độ cứng ban đầu 89

5.7 Vectơ tải trọng 91

5.8 Ma trận độ cứng hình học 91

5.9 Lời giải ổn định theo phương pháp dải hữu hạn 94

5.10 Ma trận biến đổi hệ trục tọa độ 94

5.11 Ghép nối phần tử 96

5.12 Áp đặt điều kiện biên 96

Chương 6 Xác định cường độ thiết kế kết cấu thanh thành mỏng bằng phương pháp cường độ trực tiếp DSM (Direct strength method) 97

6.1 Tổng quan 97

6.2 Phương pháp cường độ trực tiếp DSM 99

6.2.1 Điều kiện áp dụng 99

6.2.2 Qui trình tính toán 100

Chương 7 Chương trình tính toán và ví dụ minh họa 104

7.1 Chương trình tính toán 104

7.1.1 Khả năng và phạm vi áp dụng của CFBA 104

7.1.2 Thuật toán 105

7.2 Các ví dụ minh họa 110

7.2.1 Tiết diện chữ Z : cấu kiện 2 đầu tựa đơn 110

7.2.2 Tiết diện chữ Z : cấu kiện 2 đầu ngàm 118

7.2.3 Tiết diện chữ Z : cấu kiện 1 đầu ngàm 1 đầu tựa đơn 7.2.4 Tiết diện chữ C : cấu kiện 2 đầu tựa đơn 127

7.2.5 Áp dụng tính toán cường độ thiết kế chịu nén (uốn) theo qui phạm Mỹ AISI bằng phương pháp cường độ trực tiếp DSM (Direct strength method) 131

Chương 8 Kết luận và phương hướng phát triển 137

8.1 Kết luận 137

8.2 Phương hướng phát triển 139

Tài liệu tham khảo 140

PHẦN PHỤ LỤC PHỤ LỤC A Giới thiệu chương trình CFBA 1

PHỤ LỤC B Mã nguồn chương trình CFBA 12

Chương 1 : Tổng quan, đặt vấn đề và mục tiêu nghiên cứu

1.1 Tổng quan :

Kết cấu thành mỏng là một trong những loại kết cấu hiện đại đã và đang được ứng dụng một cách rộng rãi không chỉ riêng cho ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp mà còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như ngành hàng không, ngành hàng hải, ngành khoa học quân sự …

Trong bối cảnh xây dựng ở nước ta, việc ứng dụng các thanh kết cấu thành mỏng vào các công trình dân dụng và công nghiệp đang được ưa chuộng Cụ thể là khung kèo Zamil, BHP , dầm, cột, xà gồ thép tiết diện chữ Z, C, U được đưa vào sử dụng phổ biến trong các nhà xưởng công nghiệp có khẩu độ lớn, các nhà ở trường học ở các vùng sâu vùng xa Các cấu kiện trên là các cấu kiện có kết cấu dạng thanh thành mỏng được chế tạo bằng phương pháp cán nguội, bản bụng rất cao nhưng lại rất mỏng Sử dụng cấu kiện thép thành mỏng sẽ giúp giảm trọng lượng thép từ 25-50% (mặc dù có thể giảm trọng lượng thép nhiều hơn nữa nhưng sẽ kèm theo khó khăn tốn kém về chế tạo), giúp cho việc vận chuyển được dễ dàng hơn Ngoài ra sử dụng cấu kiện thép thành mỏng sẽ giúp giảm thời gian chế tạo và thi công tới 30% đối với mái nhà và có thể hơn thế nữa

Tuy nhiên, việc tính toán thiết kế và thẩm kế cũng như kiểm định các loại kết cấu thanh thành mỏng này khó khăn hơn vì sự làm việc phức tạp của cấu kiện Điều này đã làm cho không ít kỹ sư hiện nay bị lúng túng

Mặt khác hiện nay tại nước ta do chưa có qui phạm về thiết kế thanh thành mỏng do vậy việc giới thiệu và đưa vào tham khảo qui phạm của nước ngoài là điều cần thiết

1.2 Đặt vấn đề :

Có rất nhiều phương pháp để nghiên cứu ứng xử của thanh thành mỏng khi mất ổn định, trong đó mỗi phương pháp có những ưu và khuyết điểm riêng :

* Phương pháp tính tay của Lau-G.Hancock : phương pháp này đã được xem xét và đưa vào qui phạm Australian/New Zealand 1996 [1], [11]

* Phương pháp tính tay của Ben Schafer-Pekoz [30]: phương pháp này đã được xem xét và đưa vào qui phạm Mỹ AISI

* Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [5], [34]: FEM được xem là phương pháp số phổ biến nhất được áp dụng trong kỹ thuật

+ FEM có thể áp dụng cho bất kỳ bài toán nào bao gồm cả các điều kiện biên, điều kiện tải trọng và tiết diện ngang khác nhau

+ Tuy nhiên FEM phải giải quyết bài toán ổn định với nhiều bậc tự do nhất đồng nghĩa với thời gian tính toán và khả năng của máy tính Và FEM không có khả năng phân tích ổn định đồng thời nhiều chiều dài cấu kiện khác nhau để thiết lập đường cong mất ổn định mà phải phân tích riêng lẽ cho từng chiều dài cấu kiện sau đó mới tổ hợp lại Việc này dẫn đến mất rất nhiều thời gian và dễ dẫn đến sai sót

* Phương pháp dải hữu hạn (FSM) [4], [22]:

+ FSM đòi hỏi số lượng bậc tự do ít hơn FEM do đó khả năng giải quyết bài toán bằng máy tính cũng được cải thiện nhiều FSM có khả năng tính toán tự động các giá trị lực mất ổn định và dạng mất ổn định theo tham số các chiều dài ổn định khác nhau giúp cho chúng ta có thể dễ dàng xác định các dạng mất ổn định

+ Tuy nhiên FSM giải quyết bài toán ổn định thông qua đường cong mất ổn định đã xét đến ứng xử trộn lẫn giữa các dạng mất ổn định với nhau Do vậy FSM không có khả năng cung cấp từng dạng mất ổn định riêng biệt cũng như không có khả năng xác định cấu kiện nào với chiều dài nào thì có thể có trường hợp mất ổn định nào riêng biệt

* Phương pháp GBT (Generalized Beam Theory – Lý thuyết dầm tổng quát) [27], [13], [14],[16],[18]:

Phương pháp GBT là một phương pháp hữu hiệu áp dụng cho thanh thành mỏng có tiết diện vuông góc được phát triển từ 1961 bởi Schard [27] dựa trên lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển của Vlasov [28],[33] và được sử dụng trong việc phân tích cấu kiện thanh thành mỏng Với ưu điểm vượt trội trong tất cả các phương pháp số, phương pháp GBT là phương pháp giải quyết với ít bậc tự do nhất đồng nghĩa với việc giải quyết bài toán với thời gian nhanh nhất Và GBT là phương pháp duy nhất có thể xem xét các dạng mode ổn định thuần túy một cách riêng biệt, đặc tính này giúp cho người thiết kế có cái nhìn chi tiết hơn về ứng xử ổn định của thanh thành mỏng qua đó có thể khắc phục được hạn chế của phương pháp dải hữu hạn và phần tử hữu hạn Tuy vậy GBT là phương pháp có thể nói là thật sự khó hiểu đòi hỏi người đọc phải tìm hiểu và nghiền ngẫm thật kỹ lưỡng

1.3 Mục tiêu nghiên cứu :

Tại Việt Nam, có các luận văn thạc sĩ sử dụng phương pháp dải hữu hạn nhưng chưa nghiên cứu bài toán ổn định như : Lê Văn Bình (Sử dụng dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, 2003), Phạm Sanh

(Phân tích một số kết cấu cầu bằng phương pháp dải hữu hạn, 2003); Lê Hiền Anh (Nghiên cứu phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng để khảo sát dao động của tấm có sườn, 2003) Chỉ có duy nhất luận văn thạc sĩ nghiên cứu bài toán ổn định bằng phương pháp dải hữu hạn đã được bảo vệ thành công tại trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM của Nguyễn Trần Thiện Tâm [22] (Khảo sát ổn định thanh thẳng thành mỏng tiết diện hở theo phương pháp dải hữu hạn, 2005)

Tuy nhiên ta có thể khử đi khả năng xảy ra mất ổn định cục bộ và tổng thể bằng các rãnh gia cường hoặc các thanh giằng bản bụng và tổng thể, theo [22]: “Các rãnh gia cường không ảnh hưởng đến ứng xử mất ổn định vênh và mất ổn định tổng thể của cấu kiện Điều lý thú là các rãnh gia cường nếu được cấu tạo đủ lớn sẽ làm tăng hệ số tải trọng ổn định cục bộ tới hạn của cấu kiện, hay nói một cách trực quan hơn là khử được mất ổn định cục bộ của cấu kiện.” Còn dạng mất ổn định vênh là dạng mất ổn định chuyển tiếp giữa dạng mất ổn định cục bộ và tổng thể thì rất khó xác định và đối với phương pháp dải hữu hạn, có thể nói là không thể tách biệt được dạng mất ổn định vênh

Và [22] với phần mềm VNFS cho thấy việc nhập liệu còn phức tạp (nhập tọa độ của từng nút và dải), tải trọng tính toán chỉ giới hạn trong mặt phẳng các hệ trục đề các, chưa kết hợp phân tích ổn định bài toán cấu kiện dầm-cột và đặc biệt chỉ áp dụng đối với bài toán cấu kiện thanh thành mỏng có liên kết tựa đơn

ở 2 đầu (simply supported ends) Hơn nữa, việc nghiên cứu ứng dụng phương pháp GBT trong phân tích ổn định thanh thành mỏng hiện nay cũng chưa được đề cập trong bất kỳ luận văn nào tại trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM cũng là điều khiến tác giả tâm huyết nghiên cứu phương pháp này

Luận văn này sẽ tập trung khảo sát sự mất ổn định vênh của kết cấu thanh thành mỏng tiết diện chữ Z, C bằng phương pháp GBT

Cụ thể là xác định trực tiếp các hệ số tải trọng cũng như ứng suất mất ổn định vênh của cấu kiện cột, dầm, dầm – cột thành mỏng chịu tải trọng trong mặt phẳng hệ trục đề các và mặt phẳng hệ trục quán tính chính với các điều kiện biên khác nhau (2 đầu tựa đơn, 2 đầu ngàm, 1 đầu ngàm 1 đầu tựa đơn Việc thiết lập chương trình tính toán kết hợp cả 2 phương pháp GBT và FSM sẽ giúp

ta có thể luôn luôn có được đầy đủ các dạng mất ổn định của cấu kiện thanh thành mỏng mà đôi khi FSM không thể xác định dạng mất ổn định vênh của cấu kiện

Sử dụng kết quả phân tích được từ chương trình tính toán kết hợp phương pháp GBT với phương pháp FSM để áp dụng vào việc xác định cường độ thiết kế của cấu kiện thanh thành mỏng chịu nén, uốn theo qui phạm Mỹ sẽ giúp cho các kỹ sư Việt Nam có cái nhìn tổng thể hơn về khả năng chịu lực của cấu kiện thành mỏng.

Chương 2 : Lý thuyết ổn định thanh thành mỏng cổ điển [35]

Timosenko (1921) là người đã đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thành mỏng Sau đó Vlasov đã hoàn chỉnh và phát triển cả về lý thuyết độ bền, ổn định và dao động của thanh thành mỏng mặt cắt hở

Lý thuyết dầm thành mỏng có hai thành phần dẫn đến môment xoắn là thành phần xoắn từ ứng suất xoắn Saint-Venant và hai là thành phần xoắn thu được từ ứng suất dọc trục do vênh gây ra

Theo nghiên cứu lý thuyết đầu tiên về ổn định đàn hồi được thực hiện bởi luận án của Euler năm 1759 về ổn định oằn của cột Nguyên lý này đã cho chúng ta phương pháp phân tích đầu tiên bằng cách giả định sự giảm cường độ của các cột mảnh Luận văn của Saint-Venant năm 1855 về xoắn phân bố cho chúng ta nhận thức đầu tiên về ứng xử của cấu kiện chịu xoắn :

Mu

L

Mu GJ

Hình 2.1 : Xoắn St Venant Đã có rất nhiều nhà nghiên cứu, nghiên cứu các vấn đề trên, luận văn này trình bày dựa trên cơ sở lý thuyết xoắn của Vlasov

Dầm thành mỏng chịu uốn trong mặt phẳng quán tính chính có thể mất ổn định ngoài mặt phẳng khi chuyển vị ngang u và xoắn 1 góc φ Các biến dạng này phụ thuộc lẫn nhau Cụ thể, một góc xoắn φ của tiết diện ngang dầm sẽ làm cho môment uốn trong mặt phẳng M=Mx trở thành hợp lực Mxφ gây ra chuyển vị ngang u Ngược lại, chuyển vị ngang u sẽ làm cho môment uốn trong mặt phẳng

Mx trở thành hợp lực Mxu’ như trong hình 2.2 sẽ gây ra chuyển vị xoắn φ

Dầm tiết diện chữ Z là dầm đối xứng qua một điểm và có tâm cắt trùng với trọng tâm Khi dầm chịu uốn trong mặt phẳng quán tính chính, khi mất ổn định nó sẽ có chuyển vị ngang u và chuyển vị xoắn φ (xem hình 2.2) Phương trình vi phân cân bằng và phương trình năng lượng cũng tương tự với của dầm có tiết diện đối xứng kép Vì vậy cường độ ổn định đàn hồi khi chịu uốn cũng tương tự của dầm có tiết diện đối xứng kép

Xét dầm đơn giản tiết diện chữ I (tiết diện đối xứng kép), chịu môment đối xứng M = Mx ở 2 đầu như hình vẽ :

Hình 2.2 : Dầm đơn giản chịu môment đối xứng ở 2 đầu và quan hệ chuyển

vị ngang u với góc xoay φ Phương trình vi phân cân bằng như sau :

0 ) ( )

và ( EIwφ,),− ( GJ φ,),+ Mxu, = 0 (2.2) trong đó : + u là chuyển vị ngang của tiết diện

+ φ : góc xoắn của tiết diện

Phương trình (2.1) và (2.2) thỏa mãn điều kiện biên : chuyển vị bên tại 2 gối tựa u0 = 0 và uL = 0; góc xoắn tại 2 tối tựa φ0 = 0 và φL = 0

=> u0 = uL = φ0 = φL = 0 Phương trình (2.1) cho ta thấy sự cân bằng giữa ,

) ( Mxφ

− biểu diễn ứng xử uốn ngoài mặt phẳng và , ,

) ( EIyu biểu diễn khả năng chống uốn của tiết diện Phương trình (2.2) cho ta thấy sự cân bằng giữa ,

u

Mx

− biểu diễn ứng xử xoắn và , ,

) ( EIwφ biểu diễn khả năng chống vênh và , ,

) ( GJ φ

− biểu diễn khả năng chống xoắn

Dễ thấy từ phương trình cân bằng năng lượng của dầm đơn giản đối xứng đơn ổn định chịu uốn xoắn trong miền đàn hồi :

0 ) (

2

1 )

( 2 1

} 2

2

1 } ) ( ) ( )

( ( { 2 1

2 0 0

2 0

0

2 , , 2

, 2

, 2

, 0

=

− +

− +

+ +

+ +

φ β φ φ

φ

y y Q dz

y y q

dz u

M dz

GJ EI

u EI

Q y L

q y

L

x x

w y

L

(2.3)

2 2

/ )

I

I y I dA y x y

x px A

Y

vị ngang u

φ

Dầm đơn giản tiết diện chữ I chỉ chịu môment uốn 2 đầu Mx = M là dầm có tiết diện đối xứng kép => trọng tâm C và tâm cắt trùng nhau cho nên

2

1 } ) ( ) ( )

( ( { 2

1

0

, 2

, 2

, 2

, 0

= +

+

∫ EI u EI GJ dz M u dz

L x w

y

L

φ φ

yYQ

π θ

GJ L

z L

EI L

EI U

0

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

} cos ) ( sin

] ) ( )

( {[

z L

M V

0

2 2

2 2

sin ) ( 2 2

1 2

sử dụng phương pháp tích phân tương ứng và thay thế vào (2.7), (2.8), dẫn đến phương trình dạng ma trận :

0 )

/ (

/ 2

2

1

2 2

2 2

π θ

δ π

L EI GJ

M

M L

) )(

(

2 2 2

2

L

EI GJ

L

EI M

yz

π π

Tuy nhiên, do dầm tiết diện chữ Z là dầm đối xứng qua 1 điểm có trọng tâm trùng với tâm cắt (x0 = y0 = 0) cho nên khi nó chịu uốn trong mặt phẳng YZ nó có thể có chuyển vị bên u và φ Phương trình vi phân cân bằng và phương trình năng lượng của dầm tiết diện chữ Z cũng tương tự với của dầm chữ I cho nên phương trình (2.10) cũng chính là phương trình ổn định của dầm đơn giản tiết diện chữ I chịu môment đối xứng M ở 2 đầu với Iy, J, Iw tương ứng sẽ được xác được ở phần dưới

Trong đó : + E là môđun đàn hồi của vật liệu

+ Iy là môment quán tính của tiết diện đối với trục y được xác định từ công thức : = ∫

• Xác định hằng số vênh Iw :

Xét cấu kiện thanh thành mỏng tiết diện hở chiều dài L có hệ trục như hình vẽ, trọng tâm cắt S(x0,y0) được xác định từ công thức :

∫ = ∫ =

dA y dA

ds tds

ds

1

ρ ρ

với ρ0 là khoảng cách vuông góc từ trục đi qua trọng tâm cắt đến trục đi qua đường cát tuyến trung bình của bề dày tiết diện và s là chiều dài của đường trung bình của bề dày tiết diện (xem hình 2.4)

Y

C 1

Hình 2.4 : Cấu kiện thành mỏng Công thức (2.14) thỏa mãn điều kiện môment tĩnh bằng không :

0

=

∫

AdA

* Sự xoắn vênh và võng:

Tiết diện ngang của cấu kiện xoay một góc φ quanh hệ trục đi qua tâm cắt S(x0,y0) như hình trên Với giả thiết biến dạng trượt là nhỏ do vậy sự vênh do lực cắt có thể bỏ qua Khi đó chuyển vị vênh dọc trục của cấu kiện chỉ phụ thuộc vào góc xoay φ

X

Y

S(x ,y ) 1

Z

L

0

S(x ,y ) 2

2

1 ρ

} ) ( )

s p

0 0

Biến dạng dọc trục tại điểm P theo chuyển vị vênh wp khi bỏ qua biến

* Ứng suất và ứng suất tổng :

Ứng suất dọc trục tại điểm P trên mặt cắt tiết diện được xác định theo

từ (2.21) và (2.22) suy ra : ,

φ

σ ω

a0Mặt cắt

dz

d

0

∫ ∫

p p

A

dA E

dA E

φ φ

A

dA x E

dA E x dA

φ φ

A

dA y E

dA E y dA

φ φ

; ω φ

) ( wφ

* Thế năng toàn phần, sự xoay ảo và phương trình cân bằng :

Thế năng toàn phần UT của cấu kiện chịu xoắn theo chiều dài và chịu tải trọng khác xác định bởi :

A p

U02

1 σ

và thế năng của tải trọng ngoài thu được tại vị trí không bị xoắn được xác định bởi :

∫ − ∑ − ∑

−

=L

w

m V

, 2

, 1

φ φ

Thay (2.16), (2.21) và (2.22) vào (2.33) ta được :

∫

=L

EI U

0

,22

1

Khi cấu kiện chịu một góc xoay ảo từ vị trí cân bằng φ trong khi dưới tác dụng của hằng số xoắn và bimoment, nguyên lý công ảo phải được thỏa mãn đối với toàn bộ góc xoay ảo δφ :

0

=TU

L

w w

EI

, ,

,

0 } {

w w

, , ,

, ,

,

0 } {

] ) (

[ } )

1 ,

,

2 ,

,

) (

) (

) (

) (

0

B EI

B EI

M EI

M EI

w

L w

w w

w L w

φ φ φ φ

Chương 3 : Phương pháp GBT

(Generalized Beam Theory – Lý thuyết dầm tổng quát)

[27], [13], [14], [16], [18],[28],[27a]

3.1 Tổng quan về lý thuyết dầm tổng quát GBT :

Lý thuyết dầm tổng quát GBT của Schardt [27] và đồng nghiệp tại trường đại học Darmstadt ở Đức suốt thời gian qua từ năm 1961, lý thuyết này rất gần với lý thuyết tọa độ tổng quát GCM (Generalized coordinate method) của Vlasov [28] Ban đầu Schardt đã phát triển thêm với giả thiết biến dạng trượt =

0 Giả thiết này tạo nên mối quan hệ giữa chuyển vị ngang và chuyển vị dọc trục và do vậy GBT có thể giải quyết hữu hiệu các cấu kiện thanh thành mỏng tiết diện mở có nhiều nhánh cũng như tiết diện kín

Lý thuyết dầm thành mỏng cổ điển bao gồm bốn dạng biến dạng mà tiết diện giữ nguyên hình dáng ban đầu của tiết diện (rigid-body) gọi là bài toán nén dọc trục, bài toán uốn quanh hệ trục quán tính chính và bài toán xoắn Sau đó dựa trên lý thuyết dầm thành mỏng cổ điện, Schardt đã phát triển thêm bằng cách thêm vào các dạng mode biến dạng liên quan đến sự vênh của tiết diện và ông đã thành công trong việc tách rời các dạng mode biến dạng sau đó hợp nhất lại các thuật ngữ, các ghi chú công thức và viết thành một công thức chung cho tất cả các dạng mode biến dạng

J.M Davies và P.Leach 1994 [13] đã áp dụng lý thuyết này để xét đến dạng biến dạng của tiết diện và của cả cấu kiện trong việc phân tích tuyến tính hình học và gọi là lý thuyết dầm tổng quát phân tích bậc nhất - first-order generalized beam theory Tiếp đó J.M Davies và P.Leach 1994 [13] lại tiếp tục phát triển lý thuyết dầm tổng quát phân tích bậc nhất để khảo sát ứng xử ổn định của cấu kiện thép thanh thành mỏng và gọi là lý thuyết dầm tổng quát phân tích bậc 2 - second order generalized beam theory Từ đây GBT trở thành phương pháp hữu hiệu để sánh bước cùng phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn trong việc phân tích ổn định của cấu kiện thanh thành mỏng với nhiều ưu điểm vượt trội : GBT có khả năng tách rời và xác định các dạng mode riêng biệt, ta có thể chọn ra và quyết định dạng mode nào là quan trọng trong việc phân tích ổn định và thiết kế cấu kiện thanh thành mỏng trong khi phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn không thể phân biệt

3.2 Phương trình cơ bản của lý thuyết dầm tổng quát GBT [16],[26a],[27],[28]:

Lý thuyết dầm tổng quát chủ yếu là phân tích ứng xử của tiết diện để xác định các đặc trưng tổng quát của tiết diện gồm nhiều tấm vuông góc với nhau Về cơ bản nó dựa trên phương trình cân bằng cơ bản của lý thuyết dầm chịu uốn thông thường để xác định ứng suất và chuyển vị của tiết diện với các giả thuyết :

+ Phần tử tấm là phần tử được nối bởi 2 đường gập ở 2 đầu phần tử

+ Các phần tử tấm làm việc theo lý thuyết tấm Kirchoff và bỏ qua biến dạng trượt theo phương chiều dày của tấm

+ Chuyển vị theo phương dọc trục phần tử khi biến dạng không làm thay đổi chiều dài đường trung mặt cắt phần tử, Do vậy trong tiết diện chỉ có thành phần ứng suất kéo (hoặc nén) M

x M

+ Bỏ qua độ cứng uốn dọc trục của phần tử tấm (mx=0)

* Hệ tọa độ địa phương và tổng thể, biến dạng và phương trình cơ bản của lý thuyết dầm tổng quát :

+ Hệ tọa độ địa phương và tổng thể :

Nút thứ r

Nút thứ r+1

b=bề rộng phần tử thứ r

Trục st

Đường trung bình tấm

Trục x (u)hướng ra khỏi

Trục sTrục s

Trục z (w)

Trục y (v)

Trục x (u)

Trục x (u)mặt cắt

Hình 3.1 : Phần tử điển hình và hệ trục tọa độ địa phương và tổng thể Trục x tổng thể chính là trục theo phương của đường gập giữa các tấm Và hệ trục tọa độ địa phương được xét thông qua mặt trung bình của mỗi phần tử

tấm r bao gồm trục s (hướng từ nút thứ r+1 đến nút thứ r) dọc theo trục đường trung bình tiết diện tấm, trục s và trục x tổng thể (xem hình 3.1)

+ Chuyển vị :

Các thành phần chuyển vị của phần tử thứ r tại nút thứ r và r+1 theo phương của hệ tọa độ tổng thể x,y,z lần lượt lượt là ur, vr, wr Chuyển vị u có ý nghĩa đặc biệt được gọi là “các chuyển vị vênh” (warping functions) (xem giải thích cụ thể hơn ở mục 3.3) Các chuyển vị vênh là tuyến tính giữa các nút và giá trị tại các nút được gọi là tung độ vênh (warping cordinates) và hình thành nên vectơ vênh (warping vector) [27],[28]:

Theo phương pháp GCM của Valsov [28], chuyển vị vênh u(x,s) của một điểm bất kỳ ở mặt trung bình của phần tử theo phương dọc trục (trục x) được xác định như sau :

x u

1

) ( ) ( )

x v

1

) ( ) ( )

,

với Vk(x) và ψk(s) biểu diễn chuyển vị thẳng theo phương s tổng quát trong mặt phẳng của phần tử thứ k và tọa độ thẳng theo phương s tổng quát của nút thứ k (theo phương s) (xem hình 3.2)

Hình 3.2 : Tọa độ tổng quát dọc trục ϕr(s ) và tọa độ thẳng tổng quát ψk(s ) tương

ứng với chuyển vị trong mặt phẳng Lưu ý rằng tọa độ tổng quát ϕr(s ) , ψk(s ) được chọn sao cho ϕr(s ) là tuyến tính, không phụ thuộc và phải tuân thủ tính chất liên tục của chuyển dọc trục và chuyển vị thẳng Các thành phần chuyển vị tổng quát Ur(x), Vk(x) là các hàm chưa biết thu được từ việc nghiên cứu giải hệ phương trình vi phân bậc 2 của Vlasov

Các chuyển vị trong mặt phẳng tiết diện gây nên môment uốn đơn vị được biểu diễn dưới dạng các hàm chuyển vị thẳng tổng quát :

) ( ) ( )

, (

1

s m x V s

x

m

k k

∂

= ) , (

) (

) , (

x

v s

u G s x

∂ +

u G s x

∂ +

u x

v s

u G s x

∂

∂

) , (

( ) ( )

,

(

) ( ) ( )

( ) ( )

,

(

' 1

1

x V s x

v s x V

s

x

v

s x U s

u s x U

s

x

u

k k k

r

ψ ψ

) ( ) ( )

( )

) ( )

(

) ( ) (

) ( )

(

'

' '

x U s

s x

V

x V s

s x

U

r k

r k

k r

k r

ψ ϕ ϕ ψ

Vì ϕr(s ) , ψk(s ) không phụ thuộc vào x và ϕr(s ) được giả định là tuyến tính và liên tục giữa 2 phân tử liền kề nên

j r

r

r r

r

k

r r

k r

k

b

x U x U dx x U s

s x

V x U x

) (

) ( )

( )

( )

•

1

2 1

1

) ( ) ( )

(

b

x U x U x

V == − − = chuyển vị theo phương s của phần tử thứ 1 (hợp bởi nút 1 và 2)

•

2

3 2

2

) ( ) ( )

(

b

x U x U x

V == − − = chuyển vị theo phương s của phần tử thứ 2 (hợp bởi nút 2 và 3)

Từ mối liên hệ đó, R.Schardt viết dưới dạng tổng quát với các ký hiệu qui ước tương ứng [16],[28]:

+ Các chuyển vị (thẳng và xoay) trong mặt phẳng hệ tọa độ địa phương được ký hiệu chung thông qua ký tự f Vì vậy các chuyển vị của điểm giữa phần tử thứ r theo phương trục s (chiều dương trục s xác định bằng phương pháp vặn nút chai) được ký hiệu là f ,r Các chuyển vị của điểm giữa phần tử thứ r theo phương trục s (vuông góc với trục s , có trục dương ký hiệu là fs,r với lưu ý rằng

fs,r bằng hằng số trong mỗi phần tử và chuyển vị xoay của phần tử so với phương trục s ban đầu được ký hiệu là fϑ,r (xem hình 3.3)

b=bề rộng phần tử t

hứ rb/2

r (*)

r+1 (*)fr,r

fr+1,rfs,r

-fs,r

b=bề roäng pha

àn tử th

ứ r (*)

Phần tử thứ r ở trạng thái

Phần tử thứ r ở trạng thái biến dạng

Ghi chú : (*) biểu diễn nút ở trạng thái biến dạng

s,r+1s,r

Hình 3.4 : Quan hệ giữa chuyển vị theo phương s và phương dọc trục

(Phần tử có chiều dài phân tố dx=1 nhìn từ mặt bằng) + Vectơ vênh u(x) (có kích thước n × 1) biểu diễn dưới dạng :

u

1

'

) ( ) ( )

Tương tự viết Vr(x ) dưới dạng vectơ cột : T

n x V x V x

V ( ) = { 1( ), , ( )} là ma trận vectơ chuyển vị thẳng tổng quát theo phương s (có kích thước n × 1)

Do vậy đối với bất kỳ vectơ vênh u(x) (có kích thước n × 1), ta có thể biểu diễn dưới dạng :

) ( )

( x U V' x

u = ghi chú : ([n × n]× [n × 1]= [n × 1]) (3.11) trong đó U là ma trận hàm vênh cơ bản (có kích thước n × n)

Và vectơ chuyển vị thẳng fs(x) của phần tử (có kích thước (n-1) × 1 = m × 1 với m= số phần tử) được biểu diễn thông qua V (x ) :

) ( )

( )

fs = r = s ghi chú : ([m × n]× [n × n] × [n × 1]= [m × 1]) (3.12) trong đó f ,r là ma trận (có kích thước m × n) phụ thuộc vào vectơ fs(x ) thông qua

)

(x

u (từ mối quan hệ giữa chuyển vị dọc trục và chuyển vị thẳng theo phương s (3.8)) và fs = f ,rU là ma trận (có kích thước m × n)chuyển vị thẳng theo phương s phụ thuộc vào ma trận hàm vênh cơ bản U

Rõ ràng từ hình 3.4, ta có được quan hệ giữa chuyển vị fs,r trong mặt phẳng của điểm giữa phần tử thứ r theo phương s (bằng với chuyển vị fs(r) của nút thứ r và chuyển vị fs(r+1) của nút thứ r+1 theo phương s) với chuyển vị vênh u (warping functions) theo phương x:

s

f x

v s

b

u u

b

u u f

f

( ) (

với : br = bề rộng phần tử thứ r

và vectơ góc xoay của phần tử thứ r khi chuyển vị :

r

r r

r

b

f f

( )

fs = r = s ghi chú : ([m × n]× [n × n] × [n × 1]= [m × 1]) (3.15)

) ( )

( )

fϑ = ϑr = ϑ ghi chú : ([m × n]× [n × n] × [n × 1]= [m × 1]) (3.16)

trong đó f ,r là ma trận (có kích thước m × n) phụ thuộc vào vectơ fs(x ) (có kích thước m × 1) thông qua u (x ) (chính xác hơn là từ mối quan hệ hình học với f ,r) (từ mối quan hệ giữa chuyển vị dọc trục và chuyển vị thẳng theo phương s (3.8));

m × n) phụ thuộc vào ma trận hàm vênh cơ bản U

Các thành phần chuyển vị trên dẫn đến môment uốn đơn vị mT,r(x) của m phần tử cũng được biểu diễn dưới dạng tương tự :

) ( )

( )

mT = Tr = T ghi chú : ([m × n]× [n × n] × [n × 1]= [m × 1]) (3.17)

trong đó mT(x ) là ma trận môment uốn ngoài mặt phẳng của m phần tử (có kích thước m × 1) và mT,r là ma trận biểu diễn sự phụ thuộc của môment uốn đơn vị tại nút thông qua giá trị vênh của nút đó (có kích thước m × n); mT = mT,rU là ma trận môment uốn ngoài mặt phẳng phần tử (có kích thước n × n) tương ứng với ma trận vênh cơ bản U

* Thiết lập phương trình cơ bản của lý thuyết dầm tổng quát :

Schardt đã thiết lập phương trình cơ bản bằng phương pháp công ảo [16] bằng cách đưa các chuyển vị biến dạng ảo vào lần lượt các nút Đó là một quá trình tính toán rất dài, do giới hạn trong khuôn khổ cho phép của luận, tác giả xin trình bày tóm tắt nguyên lý thực hiện như sau :

+ Điều kiện chuyển vị ảo Vr'( x ) = 1 :

Khi Vr'( x ) = 1 =hằng số, theo (3.10), ta có u ( x ) = ur( s ) và hàm vênh cơ bản được đưa vào nút thứ r của tiết diện tại mặt cắt x Vì vậy sẽ tồn tại một chuyển

vị ảo =1 của nút r theo phương x và tất cả các giá trị vênh tại các nút còn lại đều bằng 0 (xem công thức (3.10*)) Giá trị vênh của nút r tại mặt cắt x là

Hình 3.5 : Chuyển vị ảo Vr'( x ) = 1 dẫn đến chuyển vị vênh tại nút r bằng 1

và tạo ra chuyển vị ở cạnh trên rδr−1dx , rδr, dxrδr+1dx , + Điều kiện chuyển vị ảo Vr( x ) = 1 :

Ban đầu, với chuyển vị thẳng Vr( x ) = 1 = hằng số, hiển nhiên ta có được 0

)

( =0 (theo 3.10) Điều kiện chuyển vị ảo lúc này đơn thuần chỉ tạo ra độ võng trong mặt phẳng của tiết diện, do vậy chuyển vị di chuyển một cách trực giao với nhau để đảm bảo điều kiện cân bằng của tiết diện Xem hình 3.6 ta thấy dạng biến dạng của tiết diện gây ra bởi các chuyển vị do điều kiện chuyển vị Vr'( x ) = 1 tại điểm nút ở mặt cắt x có chuyển vị thẳng Vr ( x ) = 0 do vậy đối với chuỗi động học, ta đủ điều kiện để xem đó là khớp nối vì không xảy ra sự xoắn trong phần tử Các biến dạng tương ứng với thành phần chuyển vị của nút thứ r luôn luôn chỉ ảnh hưởng đến các phần tử và các nút lân cận với nút r Bản thân điều này đã được diễn tả trong dạng cấu trúc dải của các ma trận biến dạng Vào lúc đầu, ta không thực hiện phép lấy đạo hàm đối với thành phần thuần nhất của hệ phương trình vi phân Đó là lý do tại sao công ảo của tải trọng áp đặt bây giờ mới được xem xét đến

δ

1

1×

− r

rδ

Hình 3.6 : Chuyển vị ảo Vr ( x ) = 1 Hình vẽ tiết diện được áp đặt tổng chuyển vị từ hình 3.5 dẫn đến chuyển vị thẳng trực giao tại các nút để đảm bảo

điều kiện cân bằng của tiết diện + Công ảo của Vr'( x ) = 1 :

Với dự định thiết lập một hệ các phương trình cân bằng quen thuộc dưới dạng ma trận bằng cách xét đến công do ứng suất trên phần tử dx khi chịu góc xoay ảo Vr'( x ) = 1 , Schardt lưu ý rằng chuyển vị ur(s ) theo phương x là chuyển vị có độ lớn lớn hơn các chuyển vị trong mặt phẳng tiết diện Xét đến các thành phần biến dạng như trong hình 3.5, ta có thể biểu diễn công ảo của Vr'( x ) = 1 thông qua bốn dạng thành phần công sau :

_ Công ảo của ứng suất dọc trục dWσ( Vr'( x ))

_ Công ảo của lực cắt dWS( Vr'( x ))

_ Công ảo của môment uốn thẳng dWm( Vr'( x ))

_ Công ảo của môment xoắn dWD( Vr'( x ))

Tuy nhiên công ảo của môment uốn ngoài mặt phẳng tấm không quan trọng và có thể bỏ qua và công ảo của môment xoắn thì hiển nhiên bằng không

do vậy phương trình cân bằng có dạng :

)) ( ( V' x

dWσ r + dWS( Vr'( x )) = 0 Bằng cách nhóm tất cả n thành phần chuyển vị của n nút vào một ma trận duy nhất, ta có thể biểu diễn công của ứng suất dọc trục là :

dx V C E V

dWσ( ') = '' trong đó C là ma trận chứa 3 dãy thành phần dưới đây và chỉ phụ thuộc vào hình dạng tiết diện:

, 6

1

1 1 ,

3

1

1 1 ,

i i i i

t b t b

t b C 6

dWS( '( )) = ST trong đó FS là ma trận phụ thuộc vào dạng hình học của cấu kiện và S là vectơ lực cắt

+ Công ảo của Vr ( x ) = 1 :

Vì không tồn tại ứng suất dọc trục cho nên chỉ có 3 thành phần công ảo được xét đến đối với thành phần chuyển vị như trong hình 3.6 Công ảo của các lực cắt tự khử lẫn nhau do vậy chỉ còn lại lực cắt Sr’dx do trượt mà thôi Điều này dẫn tới :

dx V C E dx S F x V

Công của môment uốn gây ra phức tạp hơn bởi vì nó phải thỏa tính tương hợp dọc theo đường gập giữa các tấm do vậy phải thực hiện nhiều phép tính ma trận phức tạp cuối cùng được kết quả :

dx V B x

V

trong đó thành phần B (hay ký hiệu là ikB ) là công ảo âm của môment uốn tại cạnh của tấm ở dạng mode biến dạng thứ i với góc giữa 2 phần tử liền kề thay đổi ở dạng mode biến dạng thứ k phụ thuộc vào hình dạng tiết diện

Cuối cùng công ảo của moment xoắn do khác không đối với chuyển vị ảo 1

)

( x =

Vr nên ta có :

dx V D G x V

0 ''

'' − G D V + B V = V

C

Đây chưa phải là phương trình cân bằng tổng quát của lý thuyết dầm tổng quát GBT vì các dạng mode biến dạng vẫn chưa trực giao với nhau có nghĩa là (3.21) chưa phải là phương trình tổng quát của các dạng bài toán nén, uốn và xoắn và các dạng khác chẳng hạn đối với bài toán nén thì D biểu diễn khả năng kháng xoắn phải = 0 và B biểu diễn công ảo âm của môment uốn tại cạnh tiết diện cũng phải = 0 Do vậy ta cần thiết phải thực hiện việc trực giao các dạng mode biến dạng với nhau, khi đó các dạng mode biến dạng sẽ trở nên tách biệt và phương trình (3.21) sẽ đúng cho từng dạng bài toán khác nhau (nén, uốn, xoắn và dạng khác) Muốn vậy ta phải làm thế nào để các ma trận C , D , B chỉ tồn tại các thành phần trên đường chéo

Tuy nhiên, công việc trên chỉ thực hiện được với 2 ma trận cùng một lúc bằng bài toán trị riêng Và vì lưu ý rằng môment xoắn có ảnh hưởng ít nhất đến

điều kiện cân bằng của (3.21) cho nên ta chọn ma trận C , B để thực hiện bài toán trị riêng :

0 '' − V B = V

C

Giải phương trình trị riêng trên ta có được n-1=m trị riêng tương ứng với vectơ trị riêng u Các vectơ trực giao này được ký hiệu là ku ~ với k là chỉ số thể hiện dạng bài toán thứ k Hay thể hiện lại (3.22) :

0

~ ) ( B −kλ E C ku = với k =1,2, n-1 Bởi vì cả 2 ma trận C và B là đối xứng do vậy cần biết tất cả các dạng trị riêng Schardt đã sử dụng phương pháp Jacobi để giải quyết bài toán trị riêng tổng quát (phương pháp Jacobi chỉ thỏa mãn khi không có tồn tại bất kỳ trị riêng nào bằng 0) :

C E

Bkk

kk k

u~ ku ~ = 0 đối với i ≠ k và i T

u~ ku ~ = kkC ~ đối với i=k

• iu~T ku ~ = 0 đối với i ≠ k và iu~T ku ~ = kkC ~ đối với i=k

Vì vậy thực hiện phép chuyển đổi ma trận thông qua ma trận nút U ~ , ta có được : ikC ~ = U ~TC U ~ và ikB ~ = U ~TB U ~ Tương tự để hoàn tất việc chuyển đổi ma trận cho đồng nhất, ma trận D và V cũng phải được chuyển đổi thành : ikD = U ~TD U ~ và ikV = U ~TV U ~ (lưu ý rằng tất cả các ma trận chuyển vị đã đề cập ở phần trên có ký hiệu gạch ngang trên đỉnh ( ) cũng phải được chuyển đổi thông qua ma trận

U ~ để trở thành ma trận chuyển vị đã chuyển đổi có ký hiệu gạch ~ trên đỉnh) Đến đây ta có được phương trình cân bằng sau khi chuyển đổi :

V C

với lưu ý do tính trực giao nên khi i=k : kkB ~ =11B ~ =22B ~ =33B ~ =44B ~ = 0 (thỏa (3.23)) Một lần nữa, (3.24) cũng chưa phải là phương trình cân bằng tổng quát của GBT đối với các dạng bài toán khác nhau vì các biến dạng tương ứng khi không có môment uốn ngoài mặt phẳng tấm chưa tương thích với lý thuyết dầm cổ điển (có 4 dạng mode biến dạng mà tiết diện hóa cứng đó là bài toán nén (kéo) dọc trục, bài toán uốn quanh hệ trục quán tính chính và bài toán xoắn thuần túy) Vì vậy các dạng mode vẫn còn chưa được tách riêng biệt (kkC ~ ,kkD ~

vẫn chưa tách biệt được với các dạng mode), vì vậy việc tách biệt các dạng mode vẫn được tiếp tục thực hiện bằng cách sắp xếp lại các dạng mode tiết diện hóa cứng của lý thuyết dầm cổ điển

Đầu tiên ta tách rời dạng mode xoắn thuần túy (dạng mode thứ 4), điều này đòi hỏi phải có thêm một điều kiện trực giao sao cho 4 vectơ vênh u~ có được khi tiết diện chịu môment xoắn là trực giao Tiến hành phương pháp Jacobi lần thứ 2 đối với m ma trận kkC ~ ,kkD ~ (có kích thước 4x4) dẫn đến 4 cột đầu tiên trong ma trận vênh nút U ~ bị thay đổi Thành phần đầu tiên ikD ~ trong ma trận

C ~

44 = hằng số vênh và 44D ~ = hằng số xoắn St.Venant

Các vectơ còn lại 1u ~ , 2u ~ ,3u ~ lúc này không chứa bất kỳ thành phần nào liên quan đến sự xoắn nhưng vẫn chưa thể tách biệt được, bởi thế cần phải thực hiện điều kiện trực giao 1 lần nữa sao cho các thành phần chuyển vị của 3 dạng mode hóa cứng còn lại phải vuông góc lẫn nhau Bằng cách đưa vào ma trận ikX có kích thước 3×3 có dạng :

r r r k r i m

r

r k r i

Giải bài toán trị riêng đối với ma trận ikC ~3×3 và ikX3×3, sau khi gán 1u ~ = − 1 ,

ta có được 11C ~ = A =diện tích tiết diện ngang, tương tự đối với 2u ~ ,3u ~ ta có 22X và

33X có giá trị =1 dẫn đến 22C = ~ Izz và 33C ~ = Iyy và các chuyển vị tương ứng với u

0

'' ''− G D V + B V = V

C

3.3 Lý thuyết dầm tổng quát GBT phân tích bậc nhất [13]:

+ Từ (3.25), ta có phương trình cơ bản của lý thuyết dầm tổng quát GBT phân tích bậc nhất :

q V B V D G V C

Trong đó : E, G : là môđun đàn hồi Young và môđun đàn hồi trượt

kC ,kD ,kB : là các đặc trưng tiết diện tương ứng với dạng mode thứ k

: là tải trọng phân bố tác dụng ứng với dạng mode thứ k

x : là trục dọc theo cấu kiện (hướng ra khỏi mặt cắt)

Thực ra công thức (3.26) nhìn thoạt đầu có vẻ phức tạp và khó hiểu nhưng thực ra (giải thích một lần nữa) đó là dạng tổng quát của các dạng mode biến dạng cơ bản của trạng thái uốn và xoắn, cụ thể :

+ Bài toán nén dọc trục x (dạng mode 1 => ứng với k=1):

A C N dx

x d EA q V C

4

4 1

'' 1 1

; : bài toán nén thuần túy + Bài toán uốn quanh trục quán tính chính z-z (dạng mode 2 => ứng với k=2):

zz y

dx

y d EI q V C

4

4 2

'' 2 2

; : bài toán uốn thuần túy + Bài toán uốn quanh trục quán tính chính y-y (dạng mode 3 => ứng với k=3):

yy z

dx

z d EI q V C

4

4 3

'' 3 3

; : bài toán uốn thuần túy + Bài toán xoắn thuần túy (dạng mode 4 => ứng với k=4):

w

dx

d GJ dx

d EC q

V D G V C

2 2 4

4 4

'' 4 4 '' 4 4

;

ϑ ϑ

Do vậy công thức (3.26) là dạng tổng quát cho các dạng mode và phần

+ Dạng mode biến dạng đầu tiên là biến dạng dọc trục phân bố đều trên toàn bộ tiết diện ngang Khi đó giá trị hàm vênh tương ứng là 1u ~ = − 1

+ Dạng mode biến dạng thứ hai và ba là trạng thái chịu uốn quanh các hệ trục quán tính chính 2u ~ = − y , 3u ~ = − z và các hàm vênh tương ứng là biến dạng phân bố tuyến tính quanh hệ trục quán tính chính

+ Dạng mode biến dạng thứ tư là trạng thái chịu xoắn thuần túy và hàm vênh tương ứng là hàm vênh 4u ~ = ω thông thường theo lý thuyết cổ điển của Vaslov diễn tả sectơ tọa độ mà nó phản ánh sự phân bố biến dạng dọc trục thông qua bimoment như đã đề cập ở chương 2

Các hàm vênh của các dạng mode biến dạng này luôn thỏa điều kiện trực giao như đã đề cập ở trên Điều này cho thấy bất kỳ phân tích bậc nhất cũng có thể xem xét một cách hoàn toàn độc lập và ảnh hưởng của chúng được kết hợp bởi sự chồng chất đơn giản Về mặt toán học, điều kiện trực giao của các hàm vênh được biểu diễn như sau : ∫ =

A

k idA u

u ~ ~ 0 đối với i ≠ k

(a)

1 2

5 4 1

4 1

2

5 4

(b)

(c)

1 2

5 4 3

1 2

5 4 3

(d)

(e)

1 2

5 4 3

1 2

5 4 3

(f)

Hình 3.7 : (a) – tiết diện khảo sát (b) – Dạng biến dạng nén mode 1 (c) – Dạng biến dạng do uốn quanh trục quán tính chính 1 mode 2 (d) – Dạng biến dạng do uốn quanh trục quán tính chính 2 mode 3 (e) – Dạng biến dạng do xoắn mode 4

(f) – Dạng biến dạng do vênh mode 5 Hình 3.7 biểu diễn tiết diện ngang với 5 nút do vậy 5 nút có thể vênh một cách độc lập và các hàm vênh là tuyến tính giữa các nút Vì vậy các hàm vênh, mỗi hàm vênh có 5 bậc tự do và tiết diện ngang có 5 dạng mode biến dạng trực giao nhau với nhau tương ứng với mỗi hàm vênh riêng biệt Bốn dạng mode đầu là dạng mode “cứng hóa tiết diện” có nghĩa là tiết diện chỉ chuyển dịch hoặc xoay chứ không bị biến dạng tiết diện ngang, điều này rất dễ hiểu đối với lý thuyết cổ điển Còn dạng mode thứ 5 là dạng mode mà tiết diện ngang bị vênh có nghĩa là tiết diện ngang bị biến dạng và các tấm có kích thước lớn (phần tử có bề rộng lớn) sẽ xoay quanh điểm nối giữa chúng