Khảo sát dầm phẳng timoshenko có xét ảnh hưởng của phi tuyến hình dọc

và việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích những vấn đề còn chưa khảo sát trên.+ Sự cần thiết của việc nghiên cứu dầm Timoshenko: Chính vì có nhiều bỏ ngõ đối với loại dầm

-LUẬN VĂN THẠC SĨ

HỌC VIÊN CAO HỌC :

NGUYỄN VĂN PHÁT

ĐỀ TÀI :

PHÂN TÍCH DẦM PHẲNG TIMOSHENKO

Chuyên Ngành : Xây Dựng Dân Dụng & Công Nghiệp

Mã số ngành :

MỤC LỤC

CHƯƠNG I : TỔNG QUAN

I.1 Lịch sử phát triển 1

I.2 Nhiệm vụ của luận văn 2

I.2.1 Sự cần thiết của luận văn 3

I.2.2 Mục tiêu của luận văn 4

CHƯƠNG II : CƠ SỞ LÝ THUYẾT II.1 Cơ học môi trường liên tục 5

II.1.1 Mô tả chuyển động của vật thể 6

II.1.2 Mô tả chuyển động của vật thể theo Lagrange Tổng 7

II.1.2.1 Hệ trục tọa độ 8

II.1.2.2 Chuyển vị & Tensơ biến dạng và ứng suất 9

II.1.2.3 Năng lượng biến dạng 10

II.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 11

II.2.1 Hệ tọa độ tự nhiên 12

II.2.2 Mô hình phần tử đẳng tham số 13

II.2.3 Tích phân số : Guass 14

II.3 Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến 15

II.3.1 Tổng quan 16

II.3.2 Phương pháp trực tiếp 17

CHƯƠNG III : PHÂN TÍCH PHI TUYẾN DẦM TIMOSHENKO THEO

III.2 Xác định ma trận độ cứng của dầm Timoshenko

III.2.1 Trục phần tử trùng với trục X 21

+ Mô tả phần tử 22

+ Hàm nội suy chuyển vị 23

+ Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị 24

III.2.2 Trục phần tử ở vị trí bất kỳ so với trục X 25

+ Mô tả phần tử 26

+ Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị 27

+ Tensơ ứng suất 28

+ Năng lượng biến dạng 29

III.2.3 Ma trận độ cứng 30

+ Ma trận độ cứng vật liệu 31

+ Ma trận độ cứng hình học 32

+ Dùng tích phân số 33

CHƯƠNG IV : CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG IV.1 Tổng quan về chương trình ứng dụng 34

IV.2 Lưu đồ chương trình 35

CHƯƠNG V: THÍ DỤ MINH HỌA V.1 Bài toán 1 : 36

( Dầm console chịu uốn với tải trọng tập trung ) V.2 Bài toán 2 : 37

+ Khi e = 1 (cm)

+ Biểu đồ quan hệ P-e

V.4 Bài toán 4: 39 ( Dầm đơn giản chịu nén uốn 2 đầu với tải trọng nén lệch tâm )

V.5 Bài toán 5: 40 ( Dầm đơn giản chịu uốn với tải phân bố đều )

V.6 Bài toán 6 : 41 ( Khung Portal )

V.7 Bài toán 7 : 42 ( Khung phẳng )

CHƯƠNG VI : KẾT LUẬN

VI.1 Nhận xét 43 VI.2 Hướng phát triển 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Phụ lục : MÃ NGUỒN CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG

CHƯƠNG I :

TỔNG QUAN I.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN :

Trở lại những năm 1920 Stephen Prokofyevich Timoshenko (1878-1972) là một trong những cha đẻ của cơ học kỹ thuật hiện đại Sinh ra ở Ukraina, Oâng tốt nghiệp ở Viện kỹ thuật công trình St Peterburg năm 1901 Và ông đã trở thành giáo sư ở Kyev từ năm 1907-1920, khi ông rời Yogoslavia.Năm 1922 ông đã di

cư đến Mỹ, và công việc đầu tiên là tại một phòng nghiên cứu Westinghouse, sau đó tham gia vào trường đại học Michigan năm 1927 Năm 1936 ông di chuyển đến Stanford , nghỉ hưu vào năm 1960 Ngoài những đóng góp chính yếu của ông về lý thuyết và thực tiễn của cơ học ứng dụng ,ông còn cải tiến phương pháp giảng dạy trong kỹ thuật kết cấu 12 cuốn sách của ông được in ra thành 35 thứ tiếng và có giá trị trong mọi thời đại Điển hình như :Lý thuyết Tấm và vỏ, Lý thuyết về kết cấu và những tiền đề về động lực, hay Lý thuyết về Sức Bền Vật Liệu mà ông đã rút ra từ lịch sử của Leonardo da Vinci and Galileo.

Năm 1921, Timoshenko đã cho ra một mô hình dầm mà cho đến bây giờ nó lại mang tên của ông Nó được xem như là một sự cải tiến của mô hình dầm cổ điển Euler-Bernoulli Nó đã mở đầu cho ảnh hưởng cắt bậc nhất bằng cách tháo bỏ quan niệm “ tiết diện phẳng giữ nguyên phẳng” của mô hình Euler

Bernoulli, cũng như là quán tính xoay trong năng lượng động học Mô hình này cũng liên quan đến những vấn đề chuyển động và động học.

Theo lý thuyết Timoshenko (hay lý thuyết dầm dày) có kể đến ảnh hưởng

- Sơ đồ tính dầm chịu uốn thuần túy :

- uz=w(x) :chuyển vị theo phương

vuông góc với trục trung hòa nên :

) x (

- Mặt phẳng AB sau biến dạng vẫn

vuông góc với trục CD :

ux = −

dx

w d z x

∂

∂

= σ

x

u z

z ψ

−

=

xu

- Mặt phẳng AB sau biến dạng không vuông góc với trục CD nên :

dx

dw

≠ ψ

-Biến dạng :

x

uxxx

∂

∂

= ε

- Ứng suất :

⇒

dx

d z Exx

- Thành phần nội lực :

với

GA

) x ( V ) x ( dx

dw

−

= ψ

−

I , A : diện tích & Momen quán tính

Chính sự khác nhau giữa hai mô hình dầm trên, nên đến bây giờ trên thế giới đã có hàng loạt những nghiên cứu về mô hình dầm Timoshenko như sau :

- Theo Gen-Qi Xu, De-Xing Feng [7] : đã nghiên cứu về những lý thuyết cơ bản của Riesz về mô hình dầm Timoshenko với điều kiện biên động và ứng dụng Trong nghiên cứu này, tác giả đã giới thiệu hệ thống vectơ riêng của dầm Timoshenko ở trạng thái không gian tương ứng với điều kiện biên động

- Theo Ivan Hlavá ek [8] : sự phá hoại độ của dầm Timoshenko ở trạng thái đàn hồi với dữ liệu đầu vào không chắc chắn Tác giả đã chứng minh sự phụ thuộc của tải trọng phá hoại của dầm Timoshenko – Mindlin theo hệ số điều chỉnh lực cắt và theo độ cứng Và sử dụng phương pháp phản chứng để tìm ra dữ liệu đầu vào nguy hiểm nhất

- Theo T Kaneko [20]: Nghiên cứú thực nghiệm về hệ số lực cắt của Timoshenko cho dầm bị rung động Ở đây tác giả đã đề nghị 2 hệ số lực cắt thực nghiệm K1,

K2 đối với dầm hình chữ nhật và hình trụ, hai hệ số này phụ thuộc vào mỗi hệ số Poisson mô tả đúng ảnh hưởng của lực cắt đối với dầm Timoshenko bị rung động

- …vv vv…….( được trình bày trong phần tham khảo)

Nhận thấy rằng, trong hầu hết các nghiên cứu liên quan đến mô hình dầm

trên thế giới bàn về các khía cạnh đối với mô hình dầm này Nhưng đối với mô hình dầm Timoshenko thì còn có nhiều bỏ ngõ, chẳng hạn như nghiên cứu về tính phi tuyến của loại dầm này vv và việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích những vấn đề còn chưa khảo sát trên.

+ Sự cần thiết của việc nghiên cứu dầm Timoshenko:

Chính vì có nhiều bỏ ngõ đối với loại dầm Timoshenko nên tác giả của luận án đã chọn mô hình dầm này để nghiên cứu sự khác biệt của nó với những mô hình dầm khác Từ đó có sự nhận định đúng đắn về mô hình dầm này

+ Phi tuyến hình học :

Mục đích của phân tích kết cấu là tìm ra ứng suất, biến dạng, lực tác dụng và chuyển vị với kết cấu cho trước dưới những điều kiện tải trọng Dựa trên những kết quả phân tích, kỹ sư kết cấu có thể kiểm tra những thiết kế, đề ra những yêu cầu về điều kiện biên đủ đến sự kết hợp của tải trọng và nếu cần thiết xem lại thiết kế cho đến khi những yêu cầu này được thoả mãn Ngay lúc này, phân tích đàn hồi tuyến tính giữ được những cơ bản của thiết kế chuyên nghiệp, kết quả lấy được từ sự phân tích được sử dụng cho sự tính toán lực và ứng suất và những thành phần của phần tử kết cấu.

Một điều trở ngại trong phân tích đàn hồi tuyến tính nó không có khả năng phản ánh ứng xử thực tế của kết cấu đưới những điều kiện tải trọng bất thường hay cực hạn, vì hầu hết các kết cấu đều ứng xử phi tuyến trước khi đạt đến khả năng giới hạn của chúng Chính vì vậy những tiêu chuẩn hiện tại dựa trên nội dung thiết kế cường độ cực hạn không đủ cung cấp cho các kỹ sư kết cấu để xem

vực như kỹ thuật hàng không, kỹ thuật cơ khí, hay là những công trình cao tầng trong đó trọng lượng của vật liệu là một mối quan tâm chính Ứng dụng của những vật liệu này trong những ngành trên, thông qua những kỹ sư có năng lực để có được những thiết kế kết cấu nhẹ hơn, những ứng dụng của phi tuyến trong thiết kế kết cấu Rõ ràng chức năng của phân tích phi tuyến trở nên rất quan trọng do sự gia tăng việc sử dụng những vật liệu nhẹ và cường độ cao trong công nghiệp Mặt khác, ngoài những yêu cầu thiết kế nghiêm ngặt, sự tiến bộ trong phương pháp giải, sự mở rộng trong bộ nhớ máy tính, sự giảm nhiều trong chi phí tính toán và những yếu tố khác nhường chỗ cho phân tích phi tuyến

+ Phương pháp phần tử hữu hạn :được mô phỏng bởi sự phát triển mạnh

mẽ của máy tính điện tử và mạnh hơn vị trí của nó trong cơ học có sử dụng máy tính, từ những cơ bản về phân tích tuyến tính cho đến những bài toán đơn giản trong một thời đại của việc tạo ra những thách thức mới như phi tuyến, không đàn hồi, phân tích động học v.v hay những bài toán tồn tại hàng mười, trăm hoặc nghìn năm Hiện nay nhiều người có khuynh hường xem phần tử hữu hạn như là một công cụ tốt mà nó có thể được ứng dụng trong việc giải quyết của những bài toán phi tuyến khác nhau Mặt khác, với thuật toán của phương pháp này cho phép tránh được mọi khó khăn nảy sinh do cách qui luật biến dạng phức tạp của vật liệu, do lịch sử phát triển của tải trọng, do hình dạng hình học phức tạp của đối tượng nghiên cứu

I.2.2 Nhiệm vụ :

Trong nội dung của luận án này, tác giả luận án xin đề cập một vài vấn đề sau :

Hình 1.1 : Sơ đồ thiết lập ma trận độ cứng của dầm Timoshenko

2 Sử dụng phương pháp trực tiếp ( Direct Method, Chajes và Churchill)[16] để giải hệ phương trình phi tuyến

3 Xây dựng một chương trình trên máy tính bằng ngôn ngữ Matlab theo mô hình phi tuyến và tuyến tính đã đề cập trên Từ đó đánh giá và so sánh các kết quả tìm được từ mô hình dầm Timoshenko có xét đến ảnh hưởng của phi tuyến hình học và so sánh các kết quả tìm được với kết quả từ chương trình Sap2000 và STAAD III các kết quả của mô hình dầm Euler-Bernoulli có xét đến ảnh hưởng phi tuyến hình học (Mallett,Marcal) [11] mà tác giả Tô Chiêu Cường [21] đã

Trường chuyển vị phần tử

Hàm Năng Lượng Biến Dạng U

Thành phần nội lực p

Ma trận độ cứng

K = (KM + KG)

CHƯƠNG II:

CƠ SỞ LÝ THUYẾT II.1 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC :

II.1.1 Mô tả chuyển động của vật thể :

Cả công thức Euler và Lagrange được đề nghị để mô tảsự di chuyển của

vật thể cứng Trong công thức Euler, hệ tọa độ không gian…, là những hệ tọa độ

liên quan đến vật thể đã bị biến dạng, được xem là hệ tọa độ gốc Trong khi đó,

công thức Lagrange, hệ tọa độ vật chất, là hệ tọa độ liên quan đến vật thể trước

khi nó biến dạng Công thức Lagrange thì phù hợp cho việc phân tích phi tuyến từng bước cho vật thể, mà theo công thức đó chúng ta biết nguồn góc biến dạng của mỗi điểm thuộc vật thể trong suốt quá trình chịu tải Ngược lại, theo công thức Euler thích hợp với việc phân tích những bài toán cơ lư u chất ở đó chỉ tập trung vào sự chuyển động của vật thể thông qua một thể tích cụ thể Trong luận án , tác giả chỉ đề cập đến công thức Lagrange

bằng cách chia đường tải trọng của vật thể cứng thành một số trạng thái cân bằng Được thể hiện ở hình 2.1 Ba trạng thái của vật thể có thể hình thành dưới dạng hệ thống tọa độ đề các tĩnh :

Trạng thái chưa biến dạng ban đầu : Co

Trạng thái biến dạng gần nhất : C1Trạng thái biến dạng hiện tại : C2

Giả thiết rằng: những sự thay đổi về ứng suất, biến dạng chuyển vị theo tải tác dụng được biết ở trạng thái C1.Nhiệm vụ là thiết lập lý thuyết gia tăng cho việc quyết định những thông số thay đổi ở trạng thái biến dạng C2, và giả thiết tải ngoài tác động lên vật thể ở C1 tăng dần theo một lượng nhỏ Từng bước mô tả quá trình biến dạng của vật thể từ trạng thái C1 đến C2 sẽ được xem như là một bước gia tăng Trong khi đó biến dạng, trong phạm vi từ C1 đến C2được giả sử là nhỏ, những biến dạng của vật thể tích lũy từ trạng thái Co đến C1 và C2 có thể là lớn bất kỳ

Tùy trạng thái trước đó được chọn là trạng thái tham khảo cho việc thành lập phương trình chủ đạo của vật thể ở trạng thái hiện tại C2, hai loại công thức Lagrange được định nghĩa như sau:

+ Công thức Lagrange cải tiến: trạng thái tính tóan gần nhất C1 được chọn là trạng thái tham khảo.

+ Công thức Lagrange tổng: trạng thái tham khảo được chọn là trạng thái chưa biến dạng ban đầu Co

Cả hai công thức Lagrange tổng và cải tiến được xem như là những trường

Dựa vào hình 1.1, tọa độ của điểm P tại trạng thái C1 và C2 được suy ra như sau :

1xi =oxi +1ui với ( i=1 ,2 ,3) (2.1)

2xi =oxi +2ui với ( i=1 ,2 ,3) (2.2) Trong đó : - (ox1, ox2, ox3) : Tọa độ của điểm P ở trạng thái Co

- (1x1, 1x2, 1x3) : Tọa độ của điểm P ở trạng thái C1

- (2x1, 2x2, 2x3) : Tọa độ của điểm P ở trạng thái C2Như vậy, độ gia tăng chuyển vị của điểm P từ trạng thái C1 đến C2

ui =2ui-1ui với ( i=1 ,2 ,3) (2.3)

II.1.2 Mô tả chuyển động của vật thể theo lagrange tổng (TL)

II.1.2.1 Hệ trục tọa độ :

Hình 2.2 Mô tả Lagrange tổng về chuyển động của vật thể

( Lagrange tổng có trạng thái ban đầu trùng với trạng thái tham khảo)

Hình dạng của vật thể được đề cập trong hệ thống tọa độ cơ bản Đề cát.

trí mới có tọa độ (x,y,z) và tọa độ này cũng được viết gom lại ở dạng vectơ 3

u u

u =

Y y

X x

z z

y y

x x

Trong đó: (X ≡ xo, Y ≡ yo , Z ≡ zo)

II.1.2.2 Chuyển vị & tensơ biến dạng và ứng suất :

+ Chuyển vị :

Khi đạo hàm (x,y,z) theo (X,Y,Z) và được sắp xếp theo dạng của Jacobian

Ta có gradient biến dạng như sau:

F =

) Z , Y , X

(

) z , y , x (

z X z

Y

y Y

y X

x Y

x X x

(2.6)

Nghịch đảo mối quan hệ đạo hàm (X,Y,Z) theo (x,y,z) ta có :

F-1=

) z , y , x (

) Z , Y , X (

Z x Z

y

Y y

Y x Y

z

X y

X x X

(2.7)

Tượng tự, gradien chuyển vị đối với trạng thái tham khảo thể hiện ở ma trận sau :

u X

u Y

u X

u Y

u X u

z z z

y y y

x x x

Z x

Z

y

Y y

Y x

Y

z

X y

X x

X

1 1

u x u

z

u y

u x u

z

u y

u x u

z z z

y y y

x x x

g g g g g g g g g

y x z y x z y x

(2.11)

nó lại thiếu trong lý thuyết vi phân Và cũng càng quan trọng hơn trong công thức nòng cốt Lagrange tổng để phân tích dầm Timoshenko

Mối quan hệ giữa phần tử thể tích vi phân dV=dx.dy.dz và dVo = dX.dY.dZ ở trạng thái tham khảo và trạng hiện tại xuất hiện trong một vài công thức cơ học liên tục như sau :

ρ

ρ

= o odV

trong đó ρ và ρo là khối lượng ở trạng thái hiện tại và tham khảo

+ Tensơ biến dạng :

Tensơ biến dạng Green – Lagrange được thể hiện dưới dạng 3 chiều trong hệ tọa độ Dềcát

e = ( FTF − I ) 2

yzyyyx

xzxyxx

e e e

e e e

e e e

(2.15) Các thành phần biến dạng được khai triển như sau :

u X

u X

u Y

u Y

u Z

u Z

∂

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

Y

u X

u Y

u X

u Y

u X

u X

u Y

2

1 2

1 γxy tương tự biến dạng tuyến tính

Dựa vào các thành phần biến dạng trên , chúng ta sắp xếp thành một vectơ biến dạng 6 thành phần như sau:

e e e e e e

yxxy

xzzx

zyyzzzyyxx

e e

e e

e e e e e

e e e e e e

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

(2.31)

+ Tensơ ứng suất :

Hình 2.3: Sự thay đổi Tensơ ứng suất trong quá trình

Theo nguyên tắc, có nhiều loại tensơ ứng suất và biến dạng được chọn trong việc nghiên cứu những bài tóan phi tuyến hình học của một vất thể rắn Tuy nhiên, nếu mục tiêu là thiết lập một dạng toán hữu hiệu cho việc phân tích phần tử hữu hạn tổng quát, thì tác giả luận án chỉ đề cập đến tensơ biến dạng Green - Lagrange và tensơ ứng suất piola-Kirchhoff 2 ( PK2) là những đại lượng biến dạng và ứng suất rất hữu ích trong các công thức thuộc dạng Lagrange

2

oSij =1

oSij +oSij ( vớioSijtensơ ứng suất PK2 gia tăng ) (2.32) Các thành phần của tensơ ứng suất PK2 thể hiện dưới dạng 3 chiều trong hệ trục tọa độ đề các như sai :

yzyyyx

xzxyxx

s s s

s s s

s s s

s s s s s s

s s s s s s

(2.34)

Mối quan hệ giữa biến dạng Green – Lagrange và ứng suất PK2 được viết dưới dạng sau:

s s s s s s

s s s s s

654321

655545352515

645444342414

635343332313

625242322212

615141312111

E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E

e e e e e e

(2.36)

II.1.2.3 Năng lượng biến dạng :

Năng lượng biến dạng được tính toán ở trạng thái hiện tại trên đơn vị thể tích ở trạng thái tham khảo :

II.2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN :

II.2.1 Hệ tọa độ tự nhiên :

Xét phần tử một chiều với hệ tọa độ tự nhiên ξ ( là một dạng hệ tọa độ địa phương) có gốc tại điểm giữa của phần tử và sao cho tọa đo ξ của các điểm trên phần tử có giá trị trong khoảng từ -1 đến 1.

Hình 2.4 Hệ tọa độ tự nhiên của phần tử 1 chiều

Khi tọa độ tổng thể x và tọa độ tự nhiên ξ của điểm bất kỳ trên phần tử có quan hệ được xác định như sau :

ξ = 2 − 1 − 1

L

) x x

)k(

k

) (

) (

11

(2.43)

Ở đây ξi là hệ tọa độ tự nhiên của nút i ( i = 1, 2,……, n+1)

Với công thức như trên , hàm dạng của phần tử một chiều tuyến tính 2 điểm nút

Phần tử đẳng tham số là phần tử mà số các tham số dùng để nội suy dạng hình học của nó đúng bằng số tham số dùng để nội suy các hàm chuyển vị Và khi đó các hàm nội suy dùng để xấp xỉ trường chuyển vị cũng là hàm nội suy dùng để xấp xỉ trường tọa độ

Khái niệm về phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi một phần tử được gọi là phần tử chuẩn ( master element) trong hệ tọa độ tự nhiên thành phần tử thực có dạng tùy ý hơn trong hệ tọa độ vuông góc :

Hình 2.5: Mô hình phần tử đẳng tham số của phần tử phẳng

Với trường hợp bài toán phẳng , hàm chuyển vị theo phương x và theo phương y là u , v được nội suy theo các chuyển vị nút có dạng chung như sau :

i i i

n

i i i

v N

u N

N N

N

N N

21

21

0 0

0

0 0

v v u

u u

11

(2.45)

II.2.3 Tích phân số : Guass

Với phần tử đẳng tham số ,các biểu thức tính tích phân xác định [K]e ( ma trận độ cứng phần tử ) và { P }e (vectơ tải phần tử ) là các tích phân xáx định với các cận là 1 và -1, nhưng do chứa các đa thức ở mẫu nên nói chung là không nhận được kết quả tích phân ở dạng tường minh Do vậy cần phải sử dụng các tích phân số

Có một vài phương pháp tích phân số để tính tích phân xác định Tuy nhiên phương pháp cầu phương Guass được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử hữu hạn Do vậy luận án cũng chỉ giới thiệu phương pháp Guass mà thội.

Xét tích phân xác định của bài toán một chiều như sau :

I = ∫

1

d ) (

Cách đơn giãn và gần đúng nhất là xem tích phân trên là bằng tích của các giá trị của f tại điểm giữa khoảng tích phân với chiều dài của khoảng tích phân đó

a) Tại 1 điểm a) Tại 2 điểm a) Tại 3 điểm

Hình2.6 : phép cầu phương Guass với các sơ đồ có số điểm Guass khác nhau

Dễ thấy rằng kết quả trên là chính xác nếu đường cong f( ξ ) là đường thẳng

II.3.1 Tổng quan:

Sau khi có được ma trận cứng của từng phần tử dựa trên hình (1.1) ta có :

Theo phương pháp hữu hạn để tìm ẩn số cần tìm của bài toán là chuyển vị nút tổng thể { q } theo công thức sau : [K]. { q } = { P } ( 2.48) Nhưng theo các công thức (3.41) đến (3.45), trong [K] lại có chứa các thành phần của vectơ chuyển vị nút tổng thể { q } , do đó hệ phương trình (2.48) là hệ phương trình phi tuyến Để giải hệ phương trình phi tuyến (2.48), ta có hai nhóm phương pháp chính như sau:

- Phương pháp gia tải (Incremental Method): để vẽ đường cong quan hệ

giữa tải – chuyển vị thì phương pháp này tiến hành phân tích dựa trên một chuỗi các bước gia tải nghĩa là phương trình cân bằng và quan hệ động học của kết cấu

ở cuối một bước gia tải được dùng để thiết lập ma trận độ cứng cho lời giải của bước gia tải tiếp theo Vì vậy lời giải của bài toán phi tuyến nhận được từ một chuỗi các bài toán tuyến tính Trong nhóm phương pháp gia tải có các phương pháp chính như: phương pháp lực (Load Control Method), phương pháp chuyển vị (Displacement Control Method), phương pháp chiều dài dây cung (Arc Length Control Method), và phương pháp công (Work Control Method) Điểm khác biệt chính của các phương pháp này là xác định độ lớn của bước gia tải Độ lớn của bước gia tải có ảnh hưởng sâu rộng đến thời gian tính toán và độ hội tụ của bài toán Nếu độ lớn của bước gia tải quá nhỏ thì số lần gia tải sẽ rất lớn, do đó sẽ

- Phương pháp trực tiếp (Direct Method): chuyển vị tương ứng với một

giá trị tải trọng nào đó nhận được bằng cách áp dụng toàn bộ giá trị tải đó trong một bước lặp duy nhất.

Hình 2.7- (A) phương pháp gia tải, (B) phương pháp trực tiếp.

II.3.2 Phương pháp trực tiếp:

Trong nội dung của luận án này, tác giả chọn phương pháp trực tiếp để giải hệ phương trình phi tuyến.

Phương pháp trực tiếp sử dụng các ma trận cứng phần tử cho bởi các công thức từ (3.41) đến (3.45) để tìm tổng chuyển vị tương ứng với một giá trị lực nào đó Ngược lại với phương pháp gia tải trong đó tải được tác dụng như một chuỗi các bước gia tải liên tiếp thì trong phương pháp trực tiếp toàn bộ tải được tác dụng trong một bước gia tải duy nhất Bởi vì các ma trận [K] là chứa các chuyển

Đường cong thật

Lời giải của phương pháp phần tử hữu hạn

thông qua công thức (2.49) Dùng { q }1 tính toán lại [K]1 Với [K]1 và { q }1 dùng công thức (2.50) tính ra { P }1, so sánh { P }1 và { P } Nếu khác nhau, dùng { P } và [K]1 tính ra { q }2, lấy { q }2 tính ra [K]2 Dùng [K]2 và { q }2 với công thức (2.50) tính

ra { P }2, so sánh { P }2 và { P } Phép lặp này được thực hiện cho đến khi lời giải hội tụ Tóm lại chuyển vị [q]i cho bởi:

Tóm tắt thuật toán của phương pháp trực tiếp:

1 Thiết lập [K]o cho từng phần tử tương ứng với { q } = 0.

2 Chuyển các ma trận cứng phần tử từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể và lắp ghép để tạo ma trận cứng tổng thể [K]o.

3 Thiết lập vectơ tải { P }

4 Khởi tạo i: i = 0.

5 Tăng i: i = i + 1.

6 Tìm chuyển vị { q }i bằng cách giải hệ phương trình [K]i – 1{ q }i= [P].

7 Sử dụng { q }i để tìm [K]icho cho phần tử

8 Chuyển các ma trận cứng phần tử từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể và lắp ghép để tạo ma trận cứng tổng thể [K]i.

9 Tìm vectơ lực nút từ phương trình { P }i = [K]i{ q }i.

10 Lặp lại từ bước 5 đến bước 9 cho đến khi { P }i = { P }

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN DẦM TIMOSHENKO

THEO LAGRANGE TỔNG BẰNG FEM III.1 MÔ HÌNH DẦM TIMOSHENKO TRONG PHẦN TỬ HỮU HẠN

III.1.1 Dầm Timoshenko và giả thiết :

+ Mô hình :

+ Giả thiết :

Mô hình này đúng với lý thuyết dầm cổ điển với ý nghĩa biến dạng cắt bậc nhất Trong lý thuyết này tiết diện ngang vẫn giữ là phẳng và xoay xung quanh trục trung hoà như mô hình Euler-Bernoulli nhưng nó không vuông góc với biến dạng dọc trục Sự khác biệt với bình thường là lực cắt ngang mà nó được giả thiết là hằng số trên toàn tiết diện ngang

Cả hai mô hình Euler-Bernoulli và Timoshenko đều dựa trên giả thiết là biến dạng nhỏ và ứng xử vật liệu đẳng hướng đàn hồi tuyến tính Thêm vào đó

III.1.2 Mô hình phần tử hữu hạn :

Hình3.1 : Mô hình phần tử hữu hạn của dầm Timoshenko

Hình 3.2: Mô hình phần tử dầm 2 nút , 6 bậc tự do của 2 mô hình dầm

Để tiến hành phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến hình học của một kết cấu khung, các phần tử dầm được lý tưởng hóa như là tập hợp của một hay nhiều hơn phần tử nhỏ, được mô tả trong hình 3.1 Phần tử thông dụng nhất được sử

III.2.1 Trục phần tử trùng với trục X: ( ở trạng thái ban đầu Co)

+ Mô tả phần tử :

Hình 3.3 : mô tả chuyển động của phần tử dầm ở trạng thái ban đầu Co

Có trục phần tử trùng với trục X

Xét một phần tử thẳng, 2 nút di chuyển trong mặt phẳng (X,Y) ở trạng thái ban đầu Co Với chiều dài ban đầu là Lo, diện tích tiết diện ngang Ao và momen quán tính phụ Io đối với trục trung hoà được định nghĩa bởi tích phân toàn bộ diện tích :

θ

f f f f f

Y X

Y X

(3.2)

C (xc,yc) Với giả thiết tiết diện ngang không đổi và dựa vào hình ta có được tạo độ x,y của điểm P như sau :

θ ψ

γ γ

ψ ψ

γ γ

ψ ψ

Nên xC = X + uXC − Y sin θ và y = uYC + Y cos θ

(Từ bây giờ, chúng ta sẽ gọi uXC và uYC đơn giản uX và uY⇒

sin Y u

trong đó : uX , uY và θ là những hàm chỉ phụ thuộc biến X.

Gọi w là vectơ chuyển vị ⇒

dX / du

dX / duY X

' uY X

θ

(3.5) Đạo hàm θ = κ : là độ cong của dầm ở trạng thái hiện tại Từ đó ta có mối quan hệ vi phân như sau :

Trong đó : ds là chiều dài vi phân ở trạng thái hiện tại

Nếu u'Xvà u'Y là hằng số trên toàn phần tử thì :

+ Hàm nội suy chuyển vị :

Hàm nội suy chuyển vị của phần tử 2 nút, Co được biểu diễn như sau:



 u

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 2

1

θ

θ θ

Y X

Y X

Y

X

u u

u u

+ Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị :

Theo cơ học môi trường liên tục , ta có ma trận biến dạng như sau :

κ

θ θ

κ

cos sin

Y ' u

sin cos

Y ' u Y

κ

θ θ

κ

cos sin

Y '

u

sin cos

Y '

−

+ +

−

− +

− +

−

0 1

1 2

2

θ θ

θ θ

θ κ θ

κ θ

κ

cos ' u sin ) ' u (

cos ' u sin ) ' u ( ) sin Y ' u ( ) cos Y ' u ( ) cos

Y X

Y X

−

−

− +

θ

κ θ

cos ' u sin ) ' u (

Y sin ' u cos ) ' u ( e

e

e

e

Y X

Y X

XY

XX

1

1 1

2

2

Trong đó :

III.2.2 Trục phần tử ở vị trí bất kỳ so với trục X: ( ở trạng thái ban đầu Co) + Mô tả phần tử :

Hình 3.4 : mô tả chuyển động của phần tử dầm ở trạng thái ban đầu Co

Có trục phần tử nghiêng 1 góc ϕ với trục X

Đây là trường hợp tổng quát nhất ở trạng thái ban đầu Co, phần tử nghiên 1 góc ϕ

so với trục X Hình trên thể hiện 6 bậc tự do của phần tử, góc xoay của tiết diện được tính từ trục Y vuông góc với trục X

Với tọa độ của 2 nút (X1,Y1) và (X2,Y2), và góc nghiêng ϕ ta có :

LL

Trong đó : Lsin ψ và Lcos ψ chính là chuyển vị thẳng của nút

+ Ma trận giữa biến dạng và chuyển vị :

Để có được mối quan hệ giữa vectơ biến dạg và chuyển vị, ta nhân thấy rằng : Các thành phần biến dạng trong công thức (3.15) không phụ thuộc vào góc nghiêng ϕ Tiến hành lấy biến phân các thành phần biến dạng δ e, δγ , δκ theo biến phân chuyển vị nút Ta sẽ có được biểu thức δ h =B δ u

Trong đó : B có được bằng cách đạo hàm các thành phần biến dạng e , γ , κ

theo các chuyển vị nút Ví dụ:

1 1

1

1 1

X

o

X o

] L / ) sin sin cos (cos L [ u

] L / ) cos(

cos L

sin sin cos cos L

sin Y cos

−

= 21 2 21

Như vậây : với 3 thành phần biến dạng và 6 thành phần chuyển vị nút Lần lược

đạo hàm như trên và xếp trong ma trận B, và đặt ω = θ + ϕ .

Ta được ma trận B như sau :

0 1

0 0

1 1

1

2 1

2 1

) e ( L cos sin

) e ( L cos sin

L sin

cos L

sin cos

o o

o

Ν ω

ω Ν

ω ω

γ Ν ω

ω γ

Ν ω

ω

(3.20)

Với : N1 = (1 ξ )/2 và N2= (1+ ξ )/2

+ Tensơ ứng suất

Chúng ta đã đề cấp đến tensơ ứng suất Piola-Kirchhoff 2 (PK2) ơ chương 2

Do vậy, tương ứng với hai thành phần biến dạng dọc trục và biến dạng cắt chứa trong tensơ biến dạng, thì theo PK2 cũng tồn ại hai thành phần ứng suất dọc trục

Trong đó : E là môdun đàn hồi Young , G là môdun cắt

Và s0 là ứng suất trước ở trạng thái ban đầu

Với s0 như trên chúng ta tính được thành phần lực dọc, lực cắt và momen uốn ở trạng thái ban đầu như sau :

dA s

o A o o

dA Ys

Từ đây, ta tính được thành phần lực ở trạng thái hiện tại như sau :

e EA

N

oGA V

oEI M

Những thành phần lực này được gom lai trong vectơ zT sau đây :

+ Năng lượng biến dạng :

Từ chương 2, ta có được biểu thức tính năng lượng biến dạng như sau :

X dAd )]

Ge Ee ( ) e s e s [(

dV ] Ee e e )

T

o

2 2

2 1 2

2 1

1 2

1

+ +

+

= +

( X d ) GA V

( X d ) e EA e

1 2

1

κ κ

T L

TX zd

III.2.3.Ma trận độ cứng :

EI GA EA M

V

N

o o o

0 0

0 0

0 0

Trong đó : S là ma trận chỉ phụ thuộc vào EAo ,GAo ,EIo

Mà δ h =B δ u nên BTδ z trở thành BTSB δ u = KMδ u Vì vậy :

+ Ma trận độ cứng hình học :

Ma trận KG có được bằng cách lấy biến phân ma trận B theo biến chuyển vị và

giữ nguyên z Viết KG, B, u và z dười dạng chỉ số như sau : KGij, Bki, uj, zk ở đó i, j chạy từ 1 → 6, k chạy từ 1 → 3.Goi Aj= Lúc đó ta có :

ki T

Uj

uj

B X

zd B

0 0

0 0

0 0 0

0

0 0 0

0 1

2 1

2 1

1

ω ω

cos N cos

N

sin N sin

N L

u

B

A

o X

0 0

0 0

0 0 0

0

0 0 0

0 1

2 1

2 1

1

ω ω

sin N sin

N

cos N cos

N L

u

B

A

o Y

0 0

0 0

1 1

2 1

2 1

1 1

ω ω

ω ω

θ

o o

o o

o

L N sin

cos L

N sin

cos

) e ( L N cos

sin )

e ( L N cos

sin L

0 0

0 0

1 1

2 1

2 1

2 2

ω ω

ω ω

θ

o o

o o

o

L N sin

cos L

N sin

cos

) e ( L N cos

sin )

e ( L N cos

sin L

i Mij A

N

cos N cos

N

sin N sin

N

) e ( L N N cos N sin N ) e ( L N cos N sin

N

cos N cos

N

sin N sin

N

L

W

o o

o o

o

N

1 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1

2 2 2

2 2

1 2

2

2 1

2 1

2 1 1

1

2 1 1

1

2 1

2 1

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω γ

ω ω

ω ω

ω ω

γ ω

ω γ

ω ω

ω ω

ω ω

o o

o o

o

V

L N sin

N cos N L

N N sin N cos

N

sin N sin

N

cos N cos

N

L N N sin

N cos N L

N sin

N cos

N

sin N sin

N

cos N cos

N

L

W

2 2 2

2 2

1 2

2

2 1

2 1

2 1 1

1

2 1 1

1

2 1

2 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

+ Dùng tích phân só Guass :

Vì các ma trận độ cứng KM , KG được tính thông qua các phép tích phân xác định theo ξ trên toàn Lo Nên dùng phép tích phân cầu phương Guass tại 1 điểm giữa phần tử ( tại ξ =0 ) để tính các tích phân trên.

các giá trị của : B , p , KM , KG

0 1

0 0

1 2

1 1

2

1 2

1 1

) e ( L c s ) e ( L c s

L s

c L

s c

m o m

m m o m

m

o

γ γ

N ) e ( L c

s ) e ( L c s

L s

c L

s c z

B

L

T

m o m m m o m m

m o m

m m o m

0 1

0 0

1 2

1 1

2

1 2

1

γ γ

(3.40)

- Ma trận độ cứng KM được tính tại điểm giữa phần tử như sau : từ (3.31) ⇒

s M b M a M m

2 4

2 2

2 2

2 2

4 2

2 4

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

/ L /

s L / L c / L /

s L /

L c

/ s L s

s c /

s L s

s c

/ L c s c c

/ L c s c c

/ L /

s L / L c / L /

s L /

L c

/ s L s

s c /

s L s

s c

/ L c s c c

/ L c s

c c

L

EA

K

o m m

o m o m m o

m m

o m o

m m

m o m m

m m m

o m m

m m

o m m m m m

o m m m m m

o m m

o m o m m o

m m

o m o

m m

m o m m

m m m

o m m

m m

o m m m m m

o m m m

m m

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

2 4

2 2

2 2

2 2

4 2

2 4

2 2

2 2

2 2

2 2 1 1

1 2

2 1 1

1

1

2 1

2

1

2 1

2

2 2 1 1

1 2

2 1 1

1

1

2 1

2 1

2

/ L a /

L a c / s L a / L a / L a c / s L

a

/ L a c c

s c /

L a c c

s c

/ s L a s c s

/ s L a s c s

/ L a / L a c / s L a / L a / L a c / s L

a

/ L a c c

s c /

L a c c

s c

/ s L a s

c s

/ s L a s c s

L

GA

K

o o

m m

o o

o m m o

o m m

m m o

m m

m m

m o m

m m

m o m

m m

o o

m m

o o

o m m o

o m m

m m o

m m

m m

m o m

m m

m o m

m m

s ) e ( L c

s

c c

s s

) e ( L c

s ) e ( L c

s

c c

s s

N

K

m o m

m m

o m

m

m m

m m

m o m

m m

o m

m

m m

m m

m

G

1 2

1 1

2

0 0

0 0 0

0

1 2

1 1

2

0 0

0 0 0

m o m

m m o m

m

m m

m m

m o m

m m o m

m

m m

m m

m

L s

c L

s c

s s

c c

L s

c L

s c

s s

c c

V

γ γ

γ γ

2

1 2

0 0

0 0 0

1 2

0 0

0 0 0

0

2

Trong đó : Vmvà Nmlà giá trị của V , N tính tại điểm giữa của phần tử

CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG IV.1 TỔNG QUAN VỀ CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG :

Nhìn các ma trận độ cứng KM và KG thông qua các công thức từ (3.42) đến (3.45 ), được tạo thành từ nhiều ma trận khác và các đều phụ thuộc vào chuyển

vị nút Trong phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình tương thích, để có được các thành phần nội lực cũng như biến dạng của kết cấu, trước tiên chúng ta phải giải phương trình [K] { q } = [P] để có được chuyển vị { q } Do vậy để chúng ta giải phương trình phi tuyến này, buộc phải giải lặp bằng phương pháp trực tiếp mà đã trình bày ở chương 2 Chính vì vậy để rút ngắn được thời gian giải phương trình phi tuyến này, tác giả luận án đã lập trình tính toán bằng ngôn ngữ Matlab đối với từng bài toán dầm cụ thể

Trong chương 5 , tác giả đã đề ra cũng như lấy những ví dụ mà những tác giả khác đã khảo sát nhằm mục đích: một mặt kiểm tra tính đúng đắn của thuật toán giải phương trình phi tuyến của mình, mặt khác rút ra những kết luận cho sự khác nhau giữa mô hình dầm Timoshenko và nhừng mô hình dầm khác.

* Ưu điểm của chương trình :

- Loại bỏ những sai số và sai sót do việc tính toán bằng tay đem lại.

- Với sai số giữa [P]i của bước lặp thứ i và [P] được lấy bằng = 1/1000

- Từng bài toán dầm với dạng chịu tải khác nhau, giúp người dọc và sử dụng dể theo dõi và kiểm tra

* Nhược điểm :