Chửụng 3---------------------------------------------------------------------------------- ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO DẦM THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN VÀ HỞ THEO MÔ HÌNH ĐỘ VEÂNH PROKIEÙ 3.1. GIỚI THIỆU
3.3. GIẢI THUẬT – CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN
Aùp dụng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết thanh thành mỏng theo mô hình độ vênh do Prokié đề nghị, tác giả sử dụng Matlab 6.5 để lập chương trình giải quyết một số bài toán dầm thành mỏng. Chương trình chỉ áp dụng được cho một số bài toán dầm thành mỏng có mặt cắt tiết diện cụ thể : tiết diện chữ nhật kín, tiết diện chữ nhật hở, tiết diện chữ C và tiết diện chữ I, chưa tự động hóa tính toán cho mọi phần tử dầm thành mỏng có tiết diện bất kỳ.
Một phần tử dầm có 3 nút, nút đầu và nút cuối mỗi nút có 6 + n bậc tự do và nút giữa có 5 bậc tự do. Như vậy tổng số bậc tự do của một phần tử là 2n+17 bậc tự do . Xét các trường hợp đơn giản nhất là tiết diện hình hộp chữ nhật kín.
Với tiết diện chữ nhật kín, ta xấp xỉ thành 1 đa giác với 4 điểm nút như hình.
4
3 2
1
Hình 3.2
Như vậy số nút i trên 1 mặt cắt là n = 4 nút. Tổng số bậc tự do của 1 phần tử là:
2n + 17=2 x 4 + 17 = 25 bậc tự do Ma trận độ cứng phần tử có kích thước 25 x 25.
Các hàm Ωi và chuyển vị dọc trục của các điểm nút i được biểu diễn như sau :
1
3 2
4 1 4 1
3 2
1
1
3 2
4 1
4 1
3 2
1
Ω1 Ω2 Ω3 Ω4
Hình 3.3 : Hàm Ωi của tiết diện chữ nhật kín
w11
w21
w31
w41
w13
w23
w33
w43
Hình 3.4 : Chuyển vị dọc trục của các điểm nút i
Tương tự với tiết diện chữ C, chữ I, chữ nhật hở các hàm Ωi của các điểm nút i được biểu diễn :
3 4
2 1
1 1
2 1
3 4
Ω1 Ω2 Ω4
1
2 1
3 4
Ω3
3 4
2 1
1
Hình 3.5 : Hàm Ωi của tiết diện chữ C
6 5 4
3 1 2
Ω1 Ω2
1 2
3 5 4 6
1 1 1
Ω3
1 2 3
5 4 6
6 5 4
3 1 2
Ω4
1 1
6 5 4
3 2 1
Ω5 1
Ω6
1 2 3
5 4 6
Hình 3.6 : Hàm Ωi của tiết diện chữ I
Từ những phân tích ở trên, ta xây dựng được ma trận độ cứng phần tử (trình bày trong phần phụ lục) , ghép nối các phần tử để được ma trận độ cứng tổng thể rồi giải hệ phương trình tuyến tính như trình bày trong phần sơ đồ giải thuật dưới đây, ta nhận được chuyển vị, ứng suất của các phần tử.
SƠ ĐỒ GIẢI THUẬT CƠ BẢN CỦA PP PTHH
Nhập dữ liệu đầu vào - Dữ liệu nút.
- Dữ liệu phần tử.
- Đặc trưng vật liệu.
- ẹieàu kieọn bieõn.
- Dữ liệu về tải trọng.
Xây dựng ma trận chỉ số - Ma trận chỉ số nút.
- Ma trận chỉ số phần tử.
Xây dựng ma trận độ cứng và ma trận lực nút tổng thể
BEGIN
Lấy các dữ liệu phần tử
Xây dựng ma trận độ cứng phần tử ke.
Xây dựng vectơ lực nút phần tử fe.
Lắp ghép ke vào kk Lắp ghép fe vào ff
NEXT
Giải hệ phương trình tuyến tính
Chuyển vị nút phần tử Tính nội lực phần tử Tính ứng suất phần tử
END START
CHệễNG 4:
VÍ DỤ MINH HỌA
4.1. BÀI TOÁN 1:
Dầm thành mỏng tiết diện chữ I40020044 liên kết ngàm ở hai đầu, chịu moment tập trung Mz =10KNm giữa dầm (Để tiện so sánh, tác giả dùng ví dụ số 2 trong luận văn của Nguyễn Hữu Thành [14])
1. Phân tích chuyển vị, ứng suất trong dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng mô hình độ vênh của Prokié.
2. So sánh kết quả với phần mềm Sap2000 sử dụng mô hình phần tử Shell và phần mềm VNaSAP của Nguyễn Hữu Thành [14] .
3. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày của bản cánh và bản bụng đến trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm.
b
h
tb
tf
l=6m M=10KNm
1 2 3
4 5 6
l/2 l/2
Hình 4.1
Dầm được đánh số nút và số phần tử như Hình 4.2, các đặc trưng hình học và ma trận độ cứng phần tử trình bày ở phần phụ lục.
1 2 3 4 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Hình 4.2
Kết quả chuyển vị, ứng suất của dầm được cho trong bảng sau:
Bảng 4.1 : Chuyển vị nút dầm
Nuùt u(m) v(m) w0(m) ψx(Rad) ψy(Rad) ϕ(Rad)
1 0 0 0 0 0 0
2 1.94E-07 -3.01E-06 0 2.48E-05 3.10E-06 0.00464 3 7.75E-07 -1.22E-05 0 5.07E-05 6.21E-06 0.018077 4 1.68E-06 -2.76E-05 0 7.17E-05 8.25E-06 0.038556 5 2.84E-06 -4.86E-05 0 9.01E-05 1.03E-05 0.064325 6 4.17E-06 -7.42E-05 0 0.000103 1.10E-05 0.093619 7 5.59E-06 -0.000102 0 0.000107 1.18E-05 0.12468 8 7.02E-06 -0.00013 0 0.000103 1.10E-05 0.15574 9 8.35E-06 -0.000156 0 9.01E-05 1.03E-05 0.18503 10 9.51E-06 -0.000177 0 7.17E-05 8.25E-06 0.2108 11 1.04E-05 -0.000192 0 5.07E-05 6.21E-06 0.23128 12 1.10E-05 -0.000201 0 2.48E-05 3.10E-06 0.24472 13 1.12E-05 -0.000204 0 -1.24E-17 3.18E-17 0.24936 14 1.10E-05 -0.000201 0 -2.48E-05 -3.10E-06 0.24472 15 1.04E-05 -0.000192 0 -5.07E-05 -6.21E-06 0.23128 16 9.51E-06 -0.000177 0 -7.17E-05 -8.25E-06 0.2108 17 8.35E-06 -0.000156 0 -9.01E-05 -1.03E-05 0.18503 18 7.02E-06 -0.00013 0 -0.0001 -1.10E-05 0.15574 19 5.59E-06 -0.000102 0 -0.00011 -1.18E-05 0.12468 20 4.17E-06 -7.42E-05 0 -0.0001 -1.10E-05 0.093619 21 2.84E-06 -4.86E-05 0 -9.01E-05 -1.03E-05 0.064325 22 1.68E-06 -2.76E-05 0 -7.17E-05 -8.25E-06 0.038556 23 7.75E-07 -1.22E-05 0 -5.07E-05 -6.21E-06 0.018077 24 1.94E-07 -3.01E-06 0 -2.48E-05 -3.10E-06 0.00464
25 0 0 0 0 0 0
Bảng 4.1 : Chuyển vị nút dầm (tiếp theo)
Nuùt W1(m) W2 (m) W3 (m) W4 (m) W5 (m) W6 (m) 1 0 0 0 0 0 0 3 0.001489 8.37E-05 -0.00132 0.00149 8.27E-05 -0.00133
5 0.002392 0.000141 -0.00211 0.002398 0.000144 -0.00211 7 0.002695 0.000161 -0.00238 0.002703 0.000167 -0.00237 9 0.002392 0.000141 -0.00211 0.002398 0.000144 -0.00211 11 0.001489 8.37E-05 -0.00132 0.00149 8.27E-05 -0.00133 13 -2.16E-16 -8.82E-18 1.05E-16 -2.54E-16 -1.29E-17 5.57E-17 15 -0.00149 -8.37E-05 0.001325 -0.00149 -8.27E-05 0.001326 17 -0.00239 -0.00014 0.002114 -0.0024 -0.00014 0.002112 19 -0.00269 -0.00016 0.002376 -0.0027 -0.00017 0.002372 21 -0.00239 -0.00014 0.002114 -0.0024 -0.00014 0.002112 23 -0.00149 -8.37E-05 0.001325 -0.00149 -8.27E-05 0.001326 25 0 0 0 0 0 0
Các chuyển vị w1, w2, … w6 là các chuyển vị dọc trục của các điểm nút 1, 2, …, 6 trên mặt cắt tiết diện (xem Hình 4.1). Đây là các đại lượng đặc trưng cho sự vênh của tiết diện, ưu điểm của mô hình vênh Prokié là ta có ngay chuyển vị dọc trục của các điểm nút trên mặt cắt tiết diện, vì thế độ vênh được xác định rất dễ dàng. Để dễ hình dung, ta biểu diễn chuyển vị dọc trục của các điểm nút tại nút cuối của phần tử số 1 (nút số 3 của dầm)
0.00149 8.37E-5
0.00133
0.00149 8.27E-5 0.00132
1 2 3
5 4 6
Hình 4.3
Dầm chữ I đã cho được giải với phần mềm Sap2000N với mô hình phần tử Shell, phần mềm VNaSAP của Nguyễn Hữu Thành với lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển và thanh thành mỏng mô hình phần tử membrane [14]. So sánh kết quả chuyển vị xoắn trục dầm và ứng suất dọc trục tại điểm 3 của tiết diện.
Hình 4.4 : Chuyển vị xoắn dầm với các lời giải Prokié, SAP2000 và VNaSAP
Bảng 4.2 : So sánh chuyển vị xoắn dầm
PROKIE VNaSAP SAPShell
x/L Rad Rad Tyỷ leọ sai
leọch (%) Rad Tyỷ leọ sai leọch (%)
0 0 0 0 0 0 0.083 0.018077 0.0181 -0.13 0.019279 -6.65 0.167 0.064325 0.0634 1.44 0.061733 4.03 0.250 0.12468 0.122 2.15 0.118041 5.32 0.333 0.18503 0.181 2.18 0.174348 5.77 0.417 0.23128 0.226 2.28 0.216802 6.26 0.500 0.24936 0.244 2.15 0.236081 5.33 0.583 0.23128 0.226 2.28 0.216802 6.26 0.667 0.18503 0.181 2.18 0.174348 5.77 0.750 0.12468 0.122 2.15 0.118041 5.32 0.833 0.064325 0.0634 1.44 0.061733 4.03 0.917 0.018077 0.0181 -0.13 0.019279 -6.65
1.000 0 0 0 0 0
Hình 4.5 : Ưùng suất pháp dọc trục σz
Bảng 4.3 : Ứng suất pháp dọc trục (tại điểm nút số 3 của mặt cắt tiết diện)
x/L PROKIE
(KN/m2) VNaSAP
(KN/m2) SAPShell (KN/m2)
0 -5.67E+05 -6.87E+05 -6.18E+05
0.083 -3.39E+05 -4.55E+05 -4.66E+05 0.167 -1.14E+05 -2.27E+05 -2.45E+05 0.250 1.11E+05 0.00E+00 -2.00E-04 0.333 3.38E+05 2.27E+05 2.45E+05 0.417 5.67E+05 4.55E+05 4.66E+05 0.500 5.68E+05 6.87E+05 6.18E+05 0.583 5.67E+05 4.55E+05 4.66E+05 0.667 3.38E+05 2.27E+05 2.45E+05 0.750 1.11E+05 0.00E+00 -2.00E-04 0.833 -1.14E+05 -2.27E+05 -2.45E+05 0.917 -3.39E+05 -4.55E+05 -4.66E+05 1.000 -5.67E+05 -6.87E+05 -6.18E+05
Với kết quả ở trên ta nhận thấy chuyển vị xoắn của dầm (ϕ) và ứng suất pháp dọc trục σz lời giải phần tử hữu hạn theo mô hình vênh của Prokié khá chính xác so với lời giải PTHH sử dụng lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển của VNaSAP và mô hình phần tử Shell của SAP2000N.
Sự tồn tại của ứng suất pháp dọc trục trong trường hợp dầm chỉ chịu moment xoắn là do biến dạng vênh của tiết diện. Giá trị của thành phần này khá lớn, trong bài toán này nó phụ thuộc chủ yếu vào chuyển vị của các điểm nút trên mặt cắt tiết diện.
Bây giờ ta khảo sát dầm chữ I như trên với bề dày bản cánh và bản bụng thay đổi từ 2mm đến 12mm. Chuyển vị xoắn dầm và ứng suất dọc trục dầm thay đổi như sau:
Bảng 4.4 : Ứng suất dọc trục dầm (KN/m2) với bề dày t thay đổi
x/L t=2mm t=4mm t=8mm t=12mm 0 -1.14E+06 -5.67E+05 -2.73E+05 -1.71E+05 0.083 -6.86E+05 -3.39E+05 -1.62E+05 -1.00E+05 0.167 -2.32E+05 -1.14E+05 -5.44E+04 -3.35E+04 0.250 2.25E+05 1.11E+05 5.28E+04 3.25E+04 0.333 6.84E+05 3.38E+05 1.61E+05 9.99E+04 0.417 1.15E+06 5.67E+05 2.73E+05 1.71E+05 0.500 1.15E+06 5.68E+05 2.74E+05 1.71E+05 0.583 1.15E+06 5.67E+05 2.73E+05 1.71E+05 0.667 6.84E+05 3.38E+05 1.61E+05 9.99E+04 0.750 2.25E+05 1.11E+05 5.28E+04 3.25E+04 0.833 -2.32E+05 -1.14E+05 -5.44E+04 -3.35E+04 0.917 -6.86E+05 -3.39E+05 -1.62E+05 -1.00E+05 1 -1.14E+06 -5.67E+05 -2.73E+05 -1.71E+05
Hình 4.6 : Chuyển vị xoắn dầm với các bề dày dầm khác nhau Bảng 4.5 : Chuyển vị xoắn dầm (Rad) với bề dày t thay đổi
x/L t=2mm t=4mm t=6mm t=8mm t=10mm t=12mm
0 0 0 0 0 0 0 0.083 0.036506 0.018077 0.011861 0.008704 0.006775 0.005467
0.167 0.12996 0.064325 0.042175 0.030917 0.024038 0.019367 0.250 0.25197 0.12468 0.081708 0.059858 0.046499 0.037425 0.333 0.37398 0.18503 0.12124 0.088798 0.06896 0.055482 0.417 0.46744 0.23128 0.15155 0.11101 0.086222 0.069382 0.500 0.50394 0.24936 0.16342 0.11972 0.092998 0.074849 0.583 0.46744 0.23128 0.15155 0.11101 0.086222 0.069382 0.667 0.37398 0.18503 0.12124 0.088798 0.06896 0.055482 0.750 0.25197 0.12468 0.081708 0.059858 0.046499 0.037425 0.833 0.12996 0.064325 0.042175 0.030917 0.024038 0.019367 0.917 0.036506 0.018077 0.011861 0.008704 0.006775 0.005467
1 0 0 0 0 0 0
Bảng 4.6 : Quan hệ giữa bề dày t và chuyển vị xoắn tại vị trí giữa dầm
t 0.5 1 2 3 4 6 8 10 12
ϕ 2.0224 1.0105 0.5039 0.3345 0.2494 0.1634 0.1197 0.093 0.0748
Hình 4.7 : Quan hệ giữa bề dày dầm và chuyển vị xoắn
Đây là quan hệ phi tuyến, nó cho thấy rõ tính chất của thanh thành mỏng là rất nhạy với xoắn. Thanh càng mỏng càng nhạy với xoắn. Từ kết quả trên, chúng ta nhận thấy khi bề dày thay đổi từ 0.5mm đến 4mm chuyển vị xoắn giảm rất nhanh. Nhưng trong khoảng thay đổi từ 8mm đến 12mm, chuyển vị xoắn lại giảm chậm hơn rất nhiều. Chuyển vị tăng rất nhanh khi bề dày giảm đến một giá trị đủ nhỏ nghĩa là lúc này thanh khá mỏng. Điều đó cho thấy ảnh hưởng của sự vênh tiết diện đến trạng thái chuyển vị, ứng suất của thanh thành mỏng, thanh càng mỏng sự ảnh hưởng này càng lớn. Việc khảo sát quan hệ giữa bề dày và trạng thái chuyển vị, ứng suất cho thấy được nên giảm bề dày tiết diện đến khi nào là hợp lý, nếu giảm bề dày đến một giá trị nào đó khả năng chịu lực của dầm thành mỏng giảm đi rất nhiều.
4.2. BÀI TOÁN 2:
Dầm thành mỏng tiết diện chữ C liên kết ngàm ở một đầu, một đầu tự do chịu moment xoaộn phaõn boỏ mz = -407Tm/m theo phửụng truùc z (nhử hỡnh 4.8)
1. Phân tích chuyển vị, ứng suất trong dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng mô hình độ vênh của Prokié.
2. So sánh kết quả với phần mềm Sap2000 sử dụng mô hình phần tử Shell.
3. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày t đến chuyển vị, ứng suất.
b=0.917m
h=0.833m t=1/6m
m=-407Tm/m
l=4m
2 1
3 4
Hình 4.8
Dầm được đánh số nút và số phần tử như Hình 4.9, các đặc trưng hình học và ma trận độ cứng phần tử trình bày ở phần phụ lục.
8 7
6 5
4 3
2 1
17 15
13 11
9 7
5 4 3 2 1
Hình 4.9
Kết quả chuyển vị, ứng suất của dầm được cho trong bảng sau:
Bảng 4.7 : Chuyển vị nút dầm
Nuùt u(m) v(m) w0(m) ψx(Rad) ψy(Rad) ϕ(Rad)
1 0 0 0 0 0 0
2 2.82E-19 -3E-04 0 0.002149 -9.02E-19 -0.001923 3 2.85E-19 -0.001 0 0.004211 -1.13E-18 -0.004652 4 9.16E-19 -0.003 0 0.005253 4.44E-18 -0.007915 5 2.46E-18 -0.004 0 0.00605 1.09E-17 -0.011534 6 2.87E-18 -0.006 0 0.006258 7.68E-18 -0.015291 7 5.00E-18 -0.008 0 0.00615 2.04E-18 -0.019067 8 5.19E-18 -0.01 0 0.005483 2.82E-20 -0.022676 9 4.95E-18 -0.011 0 0.004549 -3.68E-18 -0.026028 10 5.24E-18 -0.012 0 0.003278 7.85E-18 -0.028992 11 6.03E-18 -0.013 0 0.001882 1.58E-17 -0.03153 12 7.09E-18 -0.013 0 0.000401 8.39E-19 -0.033575 13 5.20E-18 -0.013 0 -0.00102 -1.25E-17 -0.03515 14 4.47E-18 -0.012 0 -0.00226 -2.04E-17 -0.036251 15 2.71E-18 -0.011 0 -0.00327 -2.67E-17 -0.036965 16 2.04E-18 -0.01 0 -0.00387 1.25E-17 -0.03734 17 8.13E-18 -0.009 0 -0.00415 4.81E-17 -0.03752 Dầm chữ C đã cho được giải với phần mềm Sap2000N với mô hình phần tử Shell. So sánh kết quả chuyển vị xoắn trục dầm và ứng suất dọc trục tại điểm 4 cuỷa tieỏt dieọn.
Bảng 4.8 : So sánh chuyển vị xoắn dầm
PROKÍE SAPShell x/L Rad Rad Tyỷ leọ sai leọch (%)
0 0 0 0
0.125 -0.004652 -0.00369 20.68
0.250 -0.011534 -0.009349 18.95
0.375 -0.019067 -0.015695 17.69
0.500 -0.026028 -0.022216 14.65
0.625 -0.03153 -0.028384 9.98
0.750 -0.03515 -0.032632 7.16
0.875 -0.036965 -0.035359 4.34
1.000 -0.03752 -0.037142 1.01
Hình 4.10 : Chuyển vị xoắn dầm với lời giải Prokié và SAP2000N Với kết quả ở trên ta nhận thấy chuyển vị xoắn của dầm (ϕ) giải phần tử hữu hạn theo mô hình vênh của Prokié chênh lệch khoảng 20% tại vị trí gần biên ngàm nhưng càng về phía đầu tự do giá trị khá chính xác so mô hình phần tử Shell của SAP2000N.
Bây giờ ta khảo sát dầm chữ C như trên với bề dày t thay đổi từ 1/16m đến 1/4m. Chuyển vị xoắn dầm thay đổi như sau:
Bảng 4.9 : Chuyển vị xoắn dầm (Rad) với bề dày t thay đổi
x/L t=1/16 t=1/14 t=1/12 t=1/10 t=1/8 t=1/6 t=1/5 t=1/4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 -0.0136 -0.0118 -0.0101 -0.0083 -0.0065 -0.0047 -0.0037 -0.00274 0.250 -0.0341 -0.0297 -0.0253 -0.0208 -0.0162 -0.0115 -0.0091 -0.00664 0.375 -0.057 -0.0496 -0.0422 -0.0347 -0.027 -0.0191 -0.015 -0.01084 0.500 -0.0783 -0.0682 -0.058 -0.0476 -0.037 -0.026 -0.0204 -0.01466 0.625 -0.0955 -0.0831 -0.0706 -0.0579 -0.0449 -0.0315 -0.0246 -0.01765 0.750 -0.1073 -0.0933 -0.0792 -0.0649 -0.0502 -0.0352 -0.0274 -0.01956 0.875 -0.1139 -0.099 -0.0792 -0.0686 -0.053 -0.037 -0.0287 -0.02044 1.000 -0.1168 -0.1014 -0.0859 -0.0701 -0.054 -0.0375 -0.0291 -0.02061
Hình 4.11 : Chuyển vị xoắn dầm với các bề dày khác nhau
Bảng 4.10 : Quan hệ giữa bề dày t và chuyển vị xoắn tại đầu tự do của daàm
t 1/16 1/14 1/12 1/10 1/8 1/6 1/5 1/4 ϕ -0.1168 -0.1014 -0.0859 -0.0701 -0.054 -0.0375 -0.0291 -0.0206
Hình 4.12 : Quan hệ giữa bề dày t và chuyển vị xoắn
Tương tự như dầm thành mỏng chữ I, đây cũng là quan hệ phi tuyến, nó cho thấy rõ tính chất của thanh thành mỏng là rất nhạy với xoắn. Thanh càng mỏng càng nhạy với xoắn.
4.3. BÀI TOÁN 3:
Dầm thành mỏng tiết diện chữ nhật hở như hình 4.3, chịu momoment tập trung giữa dầm.
1. Phân tích chuyển vị, ứng suất trong dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng mô hình độ vênh của Prokié.
2. So sánh kết quả với phần mềm Sap2000 sử dụng mô hình phần tử Shell.
3. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày t đến trạng thái chuyển vị của dầm.
l=10m M=100Mpm
t=0.005m
b=0.5m
a=1m
Hình 4.13
Dầm được đánh số nút và số phần tử như Hình 4.2, các đặc trưng hình học và ma trận độ cứng phần tử trình bày ở phần phụ lục.
10 9
8 7
6 5
4 3
2 1
21 19
17 15
13 11
9 7
5 4 3 2 1
Hình 4.14
Kết quả chuyển vị của dầm được cho trong bảng sau:
Bảng 4.11 : Chuyển vị nút dầm
Nuùt u(m) v(m) w0(m) ψx(Rad) ψy(Rad) ϕ(Rad)
1 0 0 0 0 0 0
2 0.00508 1.63E-17 0 -3.97E-18 0.009759 0.023384 3 0.012589 4.57E-17 0 -2.64E-17 0.019518 0.04743 4 0.02127 4.73E-17 0 1.15E-17 0.018035 0.071467
5 0.029866 -3.68E-18 0 1.68E-17 0.016551 0.094825 6 0.038164 -4.92E-18 0 2.54E-17 0.015884 0.11679 7 0.045953 -2.95E-17 0 1.75E-18 0.015218 0.13663 8 0.052749 -1.36E-17 0 1.19E-17 0.012167 0.15365 9 0.058065 -2.00E-18 0 1.10E-17 0.009115 0.16713 10 0.061497 9.71E-18 0 -2.10E-17 0.004558 0.17636 11 0.062641 1.99E-17 0 -2.80E-17 -4.96E-16 0.1806 12 0.061497 2.86E-17 0 3.42E-18 -0.00456 0.17636 13 0.058065 2.03E-17 0 3.59E-17 -0.00911 0.16713 14 0.052749 4.38E-18 0 3.18E-17 -0.01217 0.15365 15 0.045953 -1.10E-17 0 1.85E-17 -0.01522 0.13663 16 0.038164 -1.74E-17 0 1.60E-17 -0.01588 0.11679 17 0.029866 -1.73E-17 0 -1.03E-17 -0.01655 0.094825 18 0.02127 -7.57E-18 0 -1.83E-17 -0.01804 0.071467 19 0.012589 -2.17E-18 0 -7.75E-18 -0.01952 0.04743 20 0.00508 1.05E-18 0 -3.61E-18 -0.00976 0.023384
21 0 0 0 0 0 0
Bảng 4.11 : Chuyển vị nút dầm (tiếp theo)
Nuùt W1(m) W2 (m) W3 (m) W4 (m) W5 (m) W6 (m) 1 0.023991 0.013205 0.00232 0.004053 -0.00693 -0.01782 3 0.025837 0.021625 0.010492 -0.00414 -0.01545 -0.01937 5 0.024368 0.018607 0.007929 -0.00169 -0.01256 -0.01792 7 0.02036 0.016321 0.007658 -0.00129 -0.00974 -0.01388 9 0.013178 0.010524 0.005495 0.000809 -0.00434 -0.00677 11 0.003292 0.003197 0.003089 0.003111 0.003238 0.003013 13 -0.00676 -0.00436 0.000611 0.005584 0.010563 0.012951 15 -0.01382 -0.01001 -0.0011 0.007215 0.015873 0.020032 17 -0.01787 -0.0125 -0.00163 0.007905 0.018654 0.024459 19 -0.0197 -0.01546 -0.00417 0.010489 0.021471 0.025809 21 -0.0177 -0.007 0.004172 0.002116 0.013351 0.02411 So sánh kết quả chuyển vị xoắn trục dầm với phần mềm Sap2000N mô hình phần tử Shell
Hình 4.15 : Chuyển vị xoắn với lời giải Prokié và SAP2000N Bảng 4.12 : So sánh chuyển vị xoắn dầm
PROKÍE SAPShell
x/L Rad Rad %Prokíe
0.00 0 0 0 0.10 0.04743 0.052533 -10.76 0.20 0.094825 0.101003 -6.52 0.30 0.13663 0.141338 -3.45 0.40 0.16713 0.169957 -1.69 0.50 0.1806 0.184005 -1.89 0.60 0.16713 0.169957 -1.69 0.70 0.13663 0.141338 -3.45 0.80 0.094825 0.101003 -6.52 0.90 0.04743 0.052533 -10.76 1.00 0 0 0
Với kết quả ở trên ta nhận thấy chuyển vị xoắn của dầm (ϕ) giải phần tử hữu hạn theo mô hình vênh của Prokié khá chính xác so với lời giải mô hình phần tử Shell của SAP2000N.
Bây giờ ta khảo sát dầm chữ nhật hở như trên với bề dày dầm thay đổi từ 1mm đến 20mm. Chuyển vị xoắn dầm và ứng suất dọc trục dầm thay đổi nhử sau:
Hình 4.16 : Chuyển vị xoắn dầm với các bề dày khác nhau Bảng 4.13 : Chuyển vị xoắn dầm (Rad) với bề dày t thay đổi
x/L t=1mm t=2mm t=3mm t=4mm t=5mm t=10mm t=15mm t=20mm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.2373 0.1187 0.0791 0.0593 0.0474 0.0237 0.0157 0.01171 0.2 0.4745 0.2372 0.1581 0.1186 0.0948 0.0473 0.0314 0.02342 0.3 0.6837 0.3418 0.2278 0.1708 0.1366 0.0681 0.0452 0.03374
0.4 0.8363 0.4181 0.2787 0.209 0.1671 0.0834 0.0554 0.04129 0.5 0.9037 0.4518 0.3012 0.2258 0.1806 0.0901 0.0598 0.04463 0.6 0.8363 0.4181 0.2787 0.209 0.1671 0.0834 0.0554 0.04129 0.7 0.6837 0.3418 0.2278 0.1708 0.1366 0.0681 0.0452 0.03374 0.8 0.4745 0.2372 0.1581 0.1186 0.0948 0.0473 0.0314 0.02342 0.9 0.2373 0.1187 0.0791 0.0593 0.0474 0.0237 0.0157 0.01171
1 0 0 0 0 0 0 0 0 Bảng 4.14 : Quan hệ giữa bề dày t(mm) và chuyển vị xoắn (Rad) tại vị trí
giữa dầm
t 1 2 3 4 5 10 15 20 ϕ 0.9037 0.4518 0.3012 0.2258 0.1806 0.0901 0.0598 0.0446
Hình 4.17 : Quan hệ giữa bề dày t và chuyển vị xoắn
Tương tự như dầm thành mỏng chữ I, chữ C đã phân tích ở các ví dụ trước đây cũng là quan hệ phi tuyến, nó cho thấy rõ tính chất của thanh thành mỏng là rất nhạy với xoắn. Thanh càng mỏng càng nhạy với xoắn.
4.4. BÀI TOÁN 4:
Dầm thành mỏng tiết diện chữ nhật kín như hình 4.3, chịu momoment tập trung giữa dầm.
1. Phân tích chuyển vị, ứng suất trong dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng mô hình độ vênh của Prokié.
2. So sánh kết quả với phần mềm Sap2000 sử dụng mô hình phần tử Shell 3. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày dầm đến trạng thái chuyển vị của dầm.
a=1m
b=0.5m
t=0.005m M=100Mpm
l=10m
Hình 4.18
Dầm được đánh số nút và số phần tử như Hình 4.19, các đặc trưng hình học và ma trận độ cứng phần tử trình bày ở phần phụ lục.
10 9
8 7
6 5
4 3
2 1
21 19
17 15
13 11
9 7
5 4 3 2 1
Hình 4.19
Kết quả chuyển vị của dầm được cho trong bảng sau:
Bảng 4.15 : Chuyển vị nút dầm
Nuùt u v w0 ψx ψy ϕ
1 0 0 0 0 0 0
2 9.40E-20 -9.83E-19 0 -3.58E-18 2.47E-19 0.0014285 3 2.05E-19 -6.17E-18 0 -1.18E-19 5.44E-19 0.0028569 4 4.56E-19 -3.29E-18 0 -9.97E-19 1.18E-18 0.0042854 5 7.98E-19 2.75E-18 0 2.53E-18 1.54E-18 0.0057139
6 1.04E-18 1.23E-19 0 -5.11E-18 4.16E-19 0.0071422 7 7.84E-19 2.76E-18 0 4.22E-19 -5.54E-19 0.0085698 8 1.29E-18 9.63E-19 0 -2.15E-18 -5.67E-19 0.010001 9 1.22E-18 -5.48E-19 0 1.17E-18 -5.13E-19 0.011439 10 1.67E-18 -3.01E-18 0 2.79E-18 8.46E-20 0.012838 11 1.64E-18 5.08E-18 0 -4.22E-19 6.52E-19 0.014151 12 1.77E-18 -3.52E-18 0 -2.99E-18 5.08E-19 0.012838 13 1.65E-18 2.49E-18 0 5.26E-18 5.12E-19 0.011439 14 1.26E-18 -9.66E-20 0 2.01E-19 -3.60E-19 0.010001 15 1.54E-18 -6.77E-19 0 1.30E-19 -6.47E-19 0.0085698 16 1.40E-18 6.89E-19 0 7.80E-18 -1.20E-18 0.0071422 17 9.48E-19 -1.23E-18 0 -2.39E-19 -1.15E-18 0.0057139 18 4.75E-19 -5.24E-19 0 1.28E-18 -8.11E-19 0.0042854 19 2.57E-19 -1.44E-18 0 2.72E-18 -2.66E-19 0.0028569 20 1.06E-19 -1.27E-18 0 1.27E-19 -1.20E-19 0.0014285
21 0 0 0 0 0 0
Hình 4.20 : Chuyển vị xoắn với lời giải Prokié và SAP2000N
Bảng 4.16 : So sánh chuyển vị xoắn dầm
PROKÍE SAPShell
x/L Rad Rad %Prokíe
0.00 0 0 0 1.00 0.0028569 0.0020900 26.84 2.00 0.0057139 0.0057310 -0.30 3.00 0.0085698 0.0085030 0.78 4.00 0.0114390 0.0114420 -0.03 5.00 0.0141510 0.0143780 -1.60 6.00 0.0114390 0.0114420 -0.03 7.00 0.0085698 0.0085030 0.78 8.00 0.0057139 0.0057310 -0.30 9.00 0.0028569 0.0020900 26.84
10.00 0 0 0
Bảng 4.17 : Ứng suất pháp dọc trục (tại điểm nút số 3 của mặt cắt tiết diện) PROKIEÙ SAPShell
x/L (T/m2) (T/m2) %Prokíe
0.00 147.210 158.300 -7.53 1.00 351.750 304.900 13.32 2.00 652.120 596.080 8.59 3.00 937.790 916.380 2.28 4.00 1198.240 1266.470 -5.69 5.00 1258.430 1287.080 -2.28 6.00 1198.240 1266.470 -5.69 7.00 937.790 916.380 2.28 8.00 652.120 596.080 8.59 9.00 351.750 304.900 13.32 10.00 147.210 158.300 -7.53
Hình 4.21: Ưùng suất pháp dọc trục σz
Với kết quả ở trên ta nhận thấy chuyển vị xoắn của dầm (ϕ) và ứng suất pháp dọc trục giải phần tử hữu hạn theo mô hình vênh của Prokié khá chính xác so với lời giải mô hình phần tử Shell của SAP2000N.
Bây giờ ta khảo sát dầm chữ nhật như trên với bề dày t thay đổi từ 0.5mm đến 20mm. Chuyển vị xoắn dầm và ứng suất dọc trục dầm thay đổi như sau:
Bảng 4.18 : Chuyển vị xoắn dầm (Rad) với bề dày t thay đổi
x/L t=0.5 t=1 t=5 t=10 t=15 t=20 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.028571 0.014286 0.002857 0.001428 0.000952 0.000713 0.2 0.057144 0.028572 0.005714 0.002856 0.001904 0.001427 0.3 0.085704 0.042852 0.00857 0.004284 0.002855 0.00214 0.4 0.1144 0.0572 0.011439 0.005718 0.003811 0.002857 0.5 0.14152 0.07076 0.014151 0.007074 0.004714 0.003534 0.6 0.1144 0.0572 0.011439 0.005718 0.003811 0.002857
0.7 0.085704 0.042852 0.00857 0.004284 0.002855 0.00214 0.8 0.057144 0.028572 0.005714 0.002856 0.001904 0.001427 0.9 0.028571 0.014286 0.002857 0.001428 0.000952 0.000713
1 0 0 0 0 0 0
Hình 4.22 : Chuyển vị xoắn dầm với các bề dày khác nhau
Bảng 4.19 : Quan hệ giữa bề dày t và chuyển vị xoắn tại vị trí giữa dầm t 0.5 1 5 10 15 20 ϕ 0.14152 0.07076 0.014151 0.007074 0.004714 0.003534
Hình 4.23 : Quan hệ giữa bề dày t và chuyển vị xoắn
Bảng 4.20 : Chuyển vị xoắn tại vị trí giữa dầm của tiết diện chữ nhật kín và tiết diện chữ nhật hở
Nút Chữ nhật kín Chữ nhật hở
1 0 0 3 0.0028569 0.04743
5 0.0057139 0.094825
7 0.0085698 0.13663 9 0.011439 0.16713 11 0.014151 0.1806 13 0.011439 0.16713 15 0.0085698 0.13663 17 0.0057139 0.094825 19 0.0028569 0.04743 21 0 0
Ta nhận thấy ở bài toán 3 và bài toán 4, dầm chữ nhật có tiết diện như nhau, cùng chiều dài, cùng chịu moment xoắn như nhau. Nhưng chuyển vị xoắn của tiết diện chữ nhật hở lớn gấp hơn 10 lần chuyển vị xoắn của tiết diện chữ nhật kín. Điều đó cho thấy dầm thành mỏng hở rất nhạy với xoắn, khi tiết diện không kín khả năng chịu lực giảm đi rất nhiều.
Hình 4.24 : So sánh chuyển vị xoắn giữa tiết diện chữ nhật kín và hở
CHệễNG 5:
KẾT LUẬN VÀ CÁC PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN
5.1. KẾT LUẬN:
Dựa vào lý thuyết cơ bản của Vlasov, Prokié đã xây dựng mô hình độ vênh mô tả sự vênh của tiết diện thanh thành mỏng. Theo mô hình độ vênh này thì bậc tự do vênh được biểu diễn bằng các chuyển vị dọc trục của các điểm nút trên tiết diện mặt cắt ngang. Ta có thể giải được trực tiếp chuyển vị của các điểm nút trên mặt cắt tiết diện và do đó độ vênh của tiết diện được xác định một cách dễ dàng mà không phải tính toán tọa độ sectơ, tâm cắt như lý thuyết dầm thành mỏng cổ điển. Ngoài ra so với lý thuyết cổ điển, phương pháp này còn có một số ưu điểm sau:
- Có thể sử dụng chung một hàm độ vênh để phân tích kết cấu thành mỏng với tiết diện kín và hở.
- Ưùng suất cắt do vênh có thể tích phân trực tiếp từ các biến dạng tương ứng.
- Các khái niệm cơ bản của lý thuyết cổ điển như tọa độ sectơ, tâm cắt…
không còn cần thiết; vì thế tất cả các đặc trưng hình học có liên quan của tiết diện có thể dễ dàng tính toán.
- Có thể tính toán thanh thành mỏng với các dạng mặt cắt tiết diện phức tạp khác nhau.
Luận văn này tập trung nghiên cứu và trình bày mô hình độ vênh của Prokié đối với dầm thành mỏng với tiết diện kín và hở bất kỳ. Phân tích các chuyển vị, biến dạng, các thành phần ứng suất, nội lực, các phương trình cân bằng, phương trình vi phân… của thanh thành mỏng. Sau đó áp dụng phương
pháp phần tử hữu hạn với phần tử bậc hai (phần tử ba nút) để xây dựng ma trận độ cứng phần tử cho dầm thành mỏng, lắp ghép các ma trận độ cứng phần tử thành ma trận độ cứng tổng thể để tính toán các chuyển vị nút của tiết diện thành mỏng. Từ đó, tính toán các thành phần biến dạng, ứng suất, nội lực của phần tử.
Từ các nghiên cứu trên, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab 6.5 để tính toán ma trận độ cứng phần tử, ma trận độ cứng tổng thể và chuyển vị nút của tiết diện thành mỏng cho một số bài toán và mặt cắt tiết diện cụ thể.
Đây chỉ là phần lập trình để tính toán các bài toán với tiết diện cụ thể để kiểm tra tính chính xác của mô hình, chưa phải là chương trình tổng quát có thể tính toán cho mọi bài toán với các tiết diện khác nhau. Để làm được điều đó phải đầu tư rất nhiều thời gian và công sức mà tác giả chưa làm được.
Khảo sát dầm thành mỏng với các bề dày khác nhau, phân tích trạng thái chuyển vị, biến dạng của thanh thành mỏng khi bề dày thay đổi, ta thấy quan hệ giữa bề dày và chuyển vị là quan hệ phi tuyến. Chuyển vị tăng rất nhanh khi bề dày giảm đến một giá trị đủ nhỏ nghĩa là thanh khá mỏng. Điều đó cho thấy ảnh hưởng của sự vênh tiết diện đến trạng thái chuyển vị, ứng suất của thanh thành mỏng, thanh càng mỏng sự ảnh hưởng này càng nhiều. Việc khảo sát quan hệ giữa bề dày và trạng thái chuyển vị, ứng suất cho thấy được nên giảm bề dày tiết diện đến khi nào là hợp lý, nếu giảm bề dày đến một giá trị nào đó khả năng chịu lực của dầm thành mỏng giảm đi rất nhiều.
Cùng với các phần mềm tính toán SAP2000, chương trình VNaSAP của tác giả Nguyễn Hữu Thành [14], các bài toán cụ thể đã được phân tích và khảo sát. Kết quả thu được cho thấy chuyển vị và ứng suất tính toán theo mô hình độ vênh của Prokié khá tương đồng với mô hình phần tử Shell của SAP2000 và lời giải VNaSAP với mô hình thanh thành mỏng cổ điển. Điều này chứng tỏ