Khảo sát dầm cong phẳng thành mỏng

Š Nghiên cứu lý thuyết tính dầm hộp thành mỏng thẳng theo mô hình bài toán một chiều với 3 bậc tự do; Lập trình MATLAB khảo sát một số bài toán theo lý thuyết này – đồng thời so sánh vớ

-

LÊ VĂN TÂM

KHẢO SÁT DẦM CONG PHẲNG THÀNH MỎNG Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH – THÁNG 03 NĂM 2006

LÊ VĂN TÂM

KHẢO SÁT DẦM CONG PHẲNG THÀNH MỎNG Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS PHAN NGỌC CHÂU

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ - TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2006

PHỊNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: LÊ VĂN TÂM Phái: NAM

Ngày, tháng, năm sinh: 24 / 04 / 1977 Nơi sinh: BẾN TRE.

Chuyên ngành: XÂY DỰNG DD & CN MSHV: XDDD-13.025

I - TÊN ĐỀ TÀI: KHẢO SÁT DẦM CONG PHẲNG THÀNH MỎNG

II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Š Nghiên cứu & trình bày sơ lược lịch sử phát triển của lý thuyết tính toán dầm

Š Nghiên cứu & trình bày một số bài toán về dầm cong (cổ điển → hiện đại)

Š Nghiên cứu lý thuyết tính dầm hộp thành mỏng (thẳng) theo mô hình bài toán một chiều với 3 bậc tự do; Lập trình MATLAB khảo sát một số bài toán theo lý thuyết này – đồng thời so sánh với kết quả phân tích trên SAP 2000

Š Nghiên cứu lý thuyết tính dầm hộp thành mỏng (cong) theo mô hình bài toán một chiều với 5 bậc tự do; Lập trình MATLAB khảo sát một số bài toán theo lý thuyết này – đồng thời so sánh với kết quả phân tích trên SAP 2000

III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 07 / 07 / 2005

IV - NGÀY HỒN THÀNH NHIỆM VỤ: 07 / 03 / 2006.

V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS PHAN NGỌC CHÂU

QL CHUYÊN NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thơng qua

Ngày …… tháng …… năm ……

TRƯỞNG PHỊNG ĐT – SĐH TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến toàn thể Quý Thầy, Cô đã trang

bị cho tôi rất nhiều kiến thức cũng như tư cách, đạo đức trong thời gian tôi theo học Đại học tại trường ĐHBK (1995 - 2000) Chính kiến thức uyên thâm và lòng nhiệt tình, yêu nghề, mến trò vô hạn của Quý Thầy, Cô là động lực lớn lao để tôi quyết định quay trở lại ĐHBK ở hệ đào tạo Cao học này ! Những lời khuyến khích, động viên của các Thầy đã và đang giảng dạy tại trường (Thầy LÊ PHU, Thầy PHAN NGỌC CHÂU, Thầy ĐỖ ĐÀO HẢI, Thầy LÊ TUẤN KHOA …) luôn tạo cho tôi động lực và sự vững tin để tôi hoàn thành tốt quá trình học tập

Đồng thời, tôi xin gửi lòng biết ơn vô hạn tới Quý Thầy, Cô đã truyền đạt rất nhiều kiến thức trong suốt thời gian tôi học Cao học – đặc biệt là sự truyền đạt, dìu dắt, chỉ bảo rất tâm huyết, tận tình, chu đáo của Thầy PHAN NGỌC CHÂU trong thời gian tôi thực hiện luận văn tốt nghiệp này Kiến thức và sự nỗ lực hết mình của bản thân tôi đã được vun đắp bởi kiến thức uyên thâm, kinh nghiệm dày dặn và phong cách nhiệt tình của Thầy – một nhà giáo tận tâm, nhà khoa học miệt mài – dù tuổi của Thầy đã không còn trẻ nữa Sự hoàn thiện của luận văn tốt nghiệp này là một thành quả mà công sức của Thầy luôn luôn được tôi khắc ghi trong lòng

Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô và các nhân viên của Phòng Đào Tạo SĐH và Bộ môn Công Trình đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập

Chân thành ghi nhớ ơn lãnh đạo Khoa Kỹ thuật Công trình và lãnh đạo Trường ĐHBC Tôn Đức Thắng đã thường xuyên nhắc nhở, động viên và tạo nhiều điều kiện thuận lợi về thời gian trong suốt quá trình học tập

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã gánh vác một số công việc cơ quan giúp tôi có nhiều thời gian dành cho việc học Cảm ơn các thành viên trong gia đình đã lo toan, bằng hữu đã có nhiều động viên để tôi an tâm và hoàn thành tốt nhiệm vụ

Dẫu biết rằng mọi lời cảm ơn đều là quá nhỏ so với công sức của Quý Thầy, Cô nhưng tôi cũng không biết lấy gì hơn Xin nguyện khắc ghi công sức của Quý Thầy Cô; nguyện học tập suốt đời và góp phần phổ biến kiến thức mình tích lũy được như là một lời tri ân gửi đến Quý Thầy, Cô

Học viên LÊ VĂN TÂM

TÓM TẮT

Luận văn tốt nghiệp này chủ yếu tập trung nghiên cứu và khảo sát trạng thái làm việc của dầm thành mỏng có tiết diện hình hộp chữ nhật chịu xoắn (dầm thẳng) cũng như chịu xoắn kết hợp với uốn ngoài mặt phẳng (dầm cong)

Lý thuyết dầm thành mỏng tiết diện kín đã được kết hợp hiệu quả với phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán mà lý thuyết dầm bình thường không thể giải được (hoặc không cho kết quả chính xác) Kết quả khảo sát dầm thành mỏng theo mô hình 1-D này hội tụ rất tốt với kết quả khi giải bài toán theo mô hình 3-D trên các phần mềm phân tích kết cấu mà dung lượng thì nhỏ hơn rất nhiều

Ngoài ra luận văn cũng giới thiệu về lịch sử phát triển của các lý thuyết tính toán dầm cũng như giới thiệu nhiều bài toán dầm cong

ABSTRACT

Analysis of the thin-walled rectangular box beams under torsion and out-of-plane bending is the main field of this thesis The thin-walled closed beam theories had been considered carefully and the finite element method also been applied effectively to analyse many types of problem which conventional beam theories don’t give good results All results according to this new ‘one-dimensional theory’ were compared and have been agreed very well with the other ones that optained from SAP 2000, a popular structural-analysis program The most advantage of this ‘one-dimensional’ model is the size of problem much smaller than the others when we use ‘three-dimensional’ model with the plate/shell elements while the results are the same

Besides, the thesis also shows the background of beam theories and introduces many types of curved beam problem

MỤC LỤC

Mở đầu: Lý do chọn mô hình của Kim Y Y làm nội dung chính Trang 08

Chương 1: TỔNG QUAN Trang 10

Chương 2: SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT DẦM Trang 17

2.1 - LÝ THUYẾT DẦM CỔ ĐIỂN Trang 17

Š Dầm chịu uốn phẳng thuần túy Trang 18

Š Dầm chịu uốn ngang phẳng Trang 19 2.2 - LÝ THUYẾT DẦM HIỆN ĐẠI (THẾ KỶ XX-XXI) Trang 21

Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN DẦM CONG Trang 25

3.1 - BÀI TOÁN DẦM CONG THEO LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN Trang 25 3.1.1 Dầm chịu uốn trong mặt phẳng Trang 25 3.1.2 Dầm chịu uốn ngoài mặt phẳng Trang 28 3.2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN DẦM CONG THEO LÝ THUYẾT MỚI Trang 30 3.2.1 Các bài toán ổn định theo mô hình của Kuo S R và Yang Y B Trang 30

Š Bài toán dầm chịu uốn đều Trang 30

Ví dụ áp dụng Trang 35

Š Bài toán dầm chịu tải phân bố đều theo phương hướng tâm Trang 35

Ví dụ áp dụng Trang 38 3.2.2 Các bài toán ổn định theo mô hình của Chai H Yoo Trang 39

Š Bài toán dầm chịu uốn đều Trang 39 Kết quả khảo sát một ví dụ Trang 43

Š Bài toán dầm chịu tải phân bố đều theo phương hướng tâm Trang 45 Kết quả khảo sát một ví dụ Trang 51

Chương 4: KHẢO SÁT DẦM THẲNG THÀNH MỎNG Trang 53

4.1 - NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG Trang 54 4.1.1 Các đặc trưng của mặt cắt ngang thành mỏng Trang 55

Š Tọa độ quạt của một điểm Trang 55

Š Các đặc trưng quạt của mặt cắt ngang Trang 56 4.1.2 Trạng thái ứng suất – biến dạng của dầm thành mỏng Trang 57

Š Sự xoắn thanh thành mỏng tiết diện hở và kín Trang 57

Š Tâm cắt của tiết diện thành mỏng hở Trang 59

4.2 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN DẦM HỘP THÀNH MỎNG Trang 63 4.2.1 Các biến dạng trên tiết diện ngang của dầm hộp thành mỏng Trang 63 4.2.2 Trường chuyển vị – các phương trình chủ đạo Trang 64 4.2.3 Thiết lập công thức phần tử hữu hạn Trang 69 4.3 - LẬP TRÌNH MATLAB GIẢI BÀI TOÁN DẦM HỘP THÀNH MỎNG Trang 71 4.3.1 Các cơ sở để lập trình Trang 71 4.3.2 Cấu trúc của chương trình; cách xử lý kết quả Trang 71 4.3.3 Khảo sát một số bài toán dầm hộp thành mỏng Trang 73

Š Ví dụ 4.1: Dầm console chịu moment xoắn tại đầu tự do Trang 73

Š Ví dụ 4.2: Dầm console chịu ‘bimoment dọc’ tại đầu tự do Trang 78

Š Ví dụ 4.3: Dầm console chịu ‘ngẫu lực’ tại đầu tự do Trang 81 Nhận xét: Trang 85

Chương 5: KHẢO SÁT DẦM CONG THÀNH MỎNG Trang 86

5.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN DẦM CONG THÀNH MỎNG Trang 86 5.1.1 Các biến động học cơ bản; kiểu biến dạng của tiết diện ngang Trang 87 5.1.2 Phân tích dầm cong thành mỏng Trang 90

Š Các thành phần biến dạng trong dầm cong thành mỏng Trang 90

Š Lý thuyết dầm cong thành mỏng theo mô hình 1-D Trang 93 5.1.3 Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Trang 98 5.2 - LẬP TRÌNH MATLAB - GIẢI BÀI TOÁN DẦM CONG THÀNH MỎNG Trang 101 5.2.1 Các cơ sở để lập trình Trang 101 4.3.2 Cấu trúc của chương trình; cách xử lý kết quả Trang 101

Š Cấu trúc của chương trình Trang 101

Š Kết quả và cách xử lý Trang 102 5.2.3 Khảo sát một số bài toán dầm hộp thành mỏng (cong) Trang 103

Š Ví dụ 5.1: Dầm console cong chịu lực tập trung ở đầu ‘tự do’ Trang 103

Š Ví dụ 5.2: Dầm console cong chịu ‘ngẫu lực’ tại đầu tự do Trang 108

Š Ví dụ 5.3: Dầm cong ( φ =900) - 2 đầu ngàm - chịu tải phân bố đều Trang 113

Š Ví dụ 5.4: Dầm cong ( φ =1800) - 2 đầu ngàm - chịu tải phân bố đều Trang 118 Nhận xét: Trang 125

Chương 6: KẾT LUẬN; KIẾN NGHỊ Trang 126

6.1 - KẾT LUẬN Trang 126 6.2 - KIẾN NGHỊ & HƯỚNG PHÁT TRIỂN Trang 128

MỞ ĐẦU

Từ giữa thế kỷ thứ XX, khoa học kỹ thuật và công nghệ (KHKT-CN) phát triển với một tốc độ nhanh chóng, chưa từng có trong lịch sử Hàng loạt các công trình nghiên cứu trên mọi lĩnh vực của cuộc sống đã được thực hiện và mang lại rất nhiều kết quả khả quan

Đặc biệt, nhờ sự phát triển mạnh của công nghệ thông tin (CNTT), nhiều bài toán phức tạp có thể nói là bế tắc trước đây cũng được giải quyết với kết quả khá mỹ mãn Những khó khăn về khối lượng tính toán đã cơ bản được giải quyết Nhờ đó, có nhiều lý thuyết tính toán mới đã được đề xuất – với độ chính xác cao hơn nhiều so với lý thuyết cổ điển

Trong lĩnh vực kết cấu công trình, nhờ chất lượng của các loại vật liệu xây dựng (VLXD) ngày một tốt hơn nên kết cấu càng mảnh mai hơn, nhẹ hơn và tiết kiệm

vật liệu hơn Và hiện nay, các kết cấu thành mỏng (thin-walled structures) không

những được áp dụng rất phổ biến trong lĩnh vực kết cấu công trình mà còn được áp dụng trong hầu hết các ngành kỹ thuật như cơ khí ô-tô, đóng tàu, hàng không vũ trụ…

Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình và lý thuyết tính toán “kết cấu thông thường” để áp dụng cho “kết cấu thành mỏng” vẫn còn được thực hiện, trong nhiều trường hợp cho kết quả sai lệch rất lớn thiên về hướng bất lợi cho kết cấu hoặc công trình Vì vậy, việc nghiên cứu hoàn thiện lý thuyết thanh thành mỏng nói chung và dầm thành mỏng nói riêng là hết sức cần thiết Có rất nhiều lý thuyết tính toán dầm thành mỏng được đề xuất trong vài thập niên trở lại đây, nhưng phần lớn đều có những hạn chế nhất định, mà nguyên nhân chính thường do các

giả thuyết xuất phát Một số lý thuyết có xét đến biến dạng “vênh” (warping)

cùng với 3 biến dạng thông thường, nhưng lại bỏ qua biến dạng “méo”

(distortion) Một vài lý thuyết khác thì ngược lại Riêng lý thuyết của Yoon

Young Kim và Youngkyu Kim (ĐHQG Seoul – Hàn Quốc) đãø xét đến cả 2 bậc tự do nêu trên, và cho kết quả khá chính xác so với giải theo mô hình phần tử plate/shell trên máy tính điện tử Điểm đặc biệt trong lý thuyết của Kim & Kim

là khảo sát bài toán theo mô hình một chiều (one-dimensional model) – tức là

các bậc tự do (các biến chuyển vị cơ bản) chỉ phụ thuộc vào tọa độ dọc trục phần

tử; sau đó kết hợp việc sử dụng các “hàm dạng” (shape function) để xác định

chuyển vị, biến dạng và ứng suất tại mọi điểm trên tiết diện

Luận văn tốt nghiệp này chủ yếu tập trung vào việc khảo sát dầm hộp thành mỏng theo mô hình một chiều (1-D) của Yoon Young Kim và Youngkyu Kim; kết quả theo mô hình này sẽ được so sánh với kết quả khi giải bài toán theo mô hình ba chiều (3-D) trên SAP 2000

Chương 1:

TỔNG QUAN

Sau chiến tranh thế giới lần thứ II, các nước tham chiến bị tàn phá nặng nề (trừ Hoa Kỳ), cơ sở hạ tầng gần như đổ nát, do đó nhu cầu tái thiết được đặt lên hàng đầu, đây cũng là một trong những động lực quan trọng nhất thúc đẩy KHKT-CN phát triển nhanh, mạnh Các công trình nghiên cứu nhằm hoàn thiện lý thuyết cũng như kỹ thuật tính toán phát triển mạnh mẽ và đạt được rất nhiều kết quả vượt bậc Trong chừng mực nào đó, con người đã và đang chinh phục và làm chủ thiên nhiên, làm chủ vũ trụ

Trong sự phát triển chung của mọi lĩnh vực KHKT-CN, thì lĩnh vực cơ học và kết cấu công trình cũng góp phần rất xứng đáng, các nghiên cứu nhằm mục đích đưa

ra lý thuyết tính toán hoàn chỉnh, đảm bảo công trình bền chắc, ổn định lâu dài nhưng sử dụng ít vật liệu nhất (trong phạm vi có thể) – cũng đồng nghĩa với việc tiết kiệm chi phí cho công trình Muốn vậy, lý thuyết tính toán phải mô tả đúng sự làm việc thực tế của cấu kiện đơn cũng như toàn bộ kết cấu, công trình Trước đây, một số lý thuyết tính toán bị giới hạn bởi phương pháp và công cụ tính, nhưng giờ đây với sự hỗ trợ của khoa học máy tính (KHMT) & công nghệ thông tin (CNTT), nhiều bài toán phức tạp đã có lời giải chính xác

Như chúng ta đã biết, kết cấu công trình là ngành khoa học kỹ thuật có lịch sử lâu đời, có liên hệ mật thiết với các ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt là các ngành toán học, cơ học, vật lý, kỹ thuật máy tính…

Sự phát triển của khoa học khai khoáng, luyện kim, hóa chất… giúp tạo ra các loại vật liệu có phẩm chất ngày càng tốt hơn: có cường độ lớn, dẻo dai, chịu va

đập tốt cũng như những tác động bất lợi của thời tiết và môi trường Các loại vật liệu cường độ cao được dùng phổ biến hiện nay như bê-tông ứng lực trước

(pre-stressed concrete), vật liệu composite, thép carbon, thép hợp kim (alloy steel), các loại hợp kim nhôm

Sự phát triển của lý thuyết tính toán giúp cho việc sử dụng vật liệu có hiệu quả hơn, kết hợp những phẩm chất tốt của các loại vật liệu với nhau, thay đổi tiết diện cho phù hợp với nội lực nên vật liệu gần như được sử dụng hết khả năng chịu lực của chúng Do vậy kết cấu ngày càng mỏng hơn, “mảnh mai” hơn và rất nhẹ Trong đó kết cấu thép là kết cấu “mảnh mai” nhất, do thép là loại vật liệu xây dựng có cường độ cao nhất (một số vật liệu như hợp kim nhôm có thể có cường độ cao hơn thép nhưng giá thành cao, ít dùng trong xây dựng); và chính vì kết cấu quá thanh mảnh, kết cấu sẽ dễ bị mất ổn định

Hiện nay, trong xây dựng, người ta dùng rất nhiều cấu kiện dập nguội

(cold-formed member) từ thép tấm mỏng: dầm chữ C, chữ Z có bề dày thường

không quá 2.5 mm nhưng vượt nhịp lớn; hay các cột, đặc biệt là dầm tổ hợp

(built-up member) có chiều cao tiết diện đến hơn 2000 mm mà bề dày chỉ hơn 10 mm Và tất nhiên, khi thiết kế các cấu kiện này, người ta vẫn dùng giả thuyết “mặt cắt ngang phẳng” của lý thuyết cổ điển Các nghiên cứu gần đây cho thấy giả thuyết này có phạm vi áp dụng nhất định, khi tỷ số giữa chiều cao và bề dày tiết diện quá lớn (cấu kiện “thành mỏng”), giả thuyết này không còn đúng nữa; khi ấy, ngoài các biến dạng thông thường, tiết diện còn bị “vênh”

(warping) và “méo” (distortion) – đặc biệt khi tải trọng không đối xứng trên tiết

diện hoặc tiết diện hở Để hạn chế sự sai lệch kết quả tính toán do ứng xử

(behave) khác biệt của cấu kiện thành mỏng, quy phạm thiết kế kết cấu thép của

các quốc gia đều có quy định giới hạn của tỷ số nêu trên:

Š Theo EuroCode 3 (ENV 1993 – part 1.1): [4]

t ≤ × f đối với thép ống tròn;

trong đó fy là giới hạn chảy tiêu chuẩn của thép, tính bằng MPa

t ≤ × f đối với dầm chữ I tổ hợp hàn;

với: E là module đàn hồi, f là giới hạn chảy tiêu chuẩn của thép

Hình 1.1: a) – tiết diện chữ I tổ hợp hàn; b) – thép ống (cán nóng/uốn nguội)

Hình 1.2: một số dạng tiết diện thành mỏng hở - tạo hình nguội

Như vậy, khi thiết kế dầm, nếu dùng mô hình của lý thuyết cổ điển thì không được phép vượt qua các tỷ số vừa nêu Khi tỷ số không thỏa, tức là tiết diện có

“thành mỏng”, ứng xử (behavior) của cấu kiện khác đi rất nhiều: biến dạng

xoắn, vênh, méo tăng vọt, làm tăng thêm đáng kể ứng suất dọc trục… gây nguy hiểm cho kết cấu (Thực tế, ngay cả khi các tỷ số trên chưa đạt đến giá trị giới hạn, thì ứng xử của cấu kiện cũng có nhiều khác biệt cần phải lưu ý)

Về nguyên tắc, có thể giải bài toán dầm thành mỏng bằng cách xem dầm là tập hợp các phần tử plate/shell (bài toán 3-D); tuy nhiên khối lượng tính toán sẽ tăng lên rất nhiều mà độ chính xác của kết quả đôi khi không cần thiết, vượt quá yêu cầu trong thực tế thiết kế Vì vậy, việc khảo sát bài toán dầm thành mỏng theo mô hình 1-D có ý nghĩa thực tế hơn, khối lượng tính toán không quá nhiều và có vẻ “tự nhiên” hơn Đó cũng là nội dung chính của luận văn tốt nghiệp này

Luận văn gồm 6 chương, được sắp xếp như sau:

Š Chương 1: TỔNG QUAN

• Sự phát triển vượt bậc của KHKT-CN mang lại nhiều lý thuyết tính toán có độ tin cậy cao hơn trước;

• Việc sử dụng vật liệu cường độ cao làm cho kết cấu càng nhẹ hơn, mảnh mai hơn, do đó cũng cần phải có mô hình tính toán phù hợp;

• Sự cần thiết phải khảo sát bài toán dầm thành mỏng theo mô hình 1-D thay vì dùng mô hình 3-D…

Š Chương 2: SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT TÍNH

TOÁN DẦM

• Lý thuyết dầm cổ điển:

‚ Các giả thiết cơ bản trong lý thuyết dầm cổ điển;

‚ Một số tác giả tiêu biểu;

‚ Trường hợp dầm chịu uốn phẳng thuần túy;

‚ Trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng;

‚ Một số nhận định về độ chính xác của các giả thiết cơ bản của lý thuyết cổ điển

• Giới thiệu sơ lược lý thuyết dầm hiện đại (thế kỷ XX – XXI):

‚ Các tác giả tiêu biểu;

‚ Timoshenko S P.; Lý thuyết của Vlasov V Z.;

‚ Những cải tiến của Papangelis T P và Trahair N S.;

‚ Yang Y B và các cộng sự;

‚ Nghiên cứu thực nghiệm của Tetsuya Yabuki và Yasunori Arizumi;

‚ Mô hình phần tử bậc cao và phương pháp PTHH của A Prokíc;

‚ Bài toán uốn ngoài mặt phẳng (out-of-plane bending) với mô hình

5-D.O.F của Yoon Young Kim và Youngkyu Kim

Š Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN DẦM CONG

• Các bài toán dầm cong theo lý thuyết cổ điển:

‚ Trường hợp dầm chịu uốn trong mặt phẳng;

‚ Trường hợp dầm chịu uốn ngoài mặt phẳng – khảo sát bài toán cung tròn tiêu biểu của Timoshenko;

• Một số bài toán theo lý thuyết hiện đại:

Một vài bài toán theo mô hình của Kuo R S và Yang Y B - cũng xuất phát từ bài toán dầm thẳng - nhưng dầm cong được xem như là một tập hợp vô số các phần tử dầm thẳng Hai bài toán tiêu biểu:

‚ Bài toán dầm chịu uốn đều;

‚ Bài toán dầm cong chịu tải phân bố đều hướng tâm

Bài toán theo mô hình của Yoo C H.:

‚ Vẫn khảo sát hai bài toán quen thuộc nêu trên để so sánh kết quả của Yoo với các tác giả khác;

‚ Khảo sát cả trạng thái mất ổn định trong và ngoài mặt phẳng

Š Chương 4: KHẢO SÁT DẦM THẲNG THÀNH MỎNG

• Những hiểu biết chung về cấu kiện thành mỏng;

• Các đặc trưng của tiết diện thành mỏng;

• Cơ sở lý thuyết, thiết lập công thức phần tử hữu hạn cho bài toán dầm hộp thành mỏng theo mô hình 1-D, 3 bậc tự do của Kim Y Y.;

• Khảo sát các bài toán tiêu biểu:

‚ Lập trình MATLAB để giải bài toán trên cơ sở lý thuyết vừa nêu;

‚ Khảo sát bài toán theo mô hình phần tử shell (3-D trên SAP 2000);

Š Chương 5: KHẢO SÁT DẦM CONG THÀNH MỎNG

• Cơ sở lý thuyết của bài toán dầm cong thành mỏng theo mô hình 1-D;

• Công thức phần tử hữu hạn để giải bài toán;

• Khảo sát các bài toán tiêu biểu:

‚ Lập trình MATLAB để giải bài toán trên cơ sở lý thuyết vừa nêu;

‚ Khảo sát bài toán theo mô hình phần tử shell (3-D trên SAP 2000);

‚ So sánh kết quả theo hai mô hình trên

Š Chương 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

• Những điểm tiến bộ và hạn chế của mô hình;

• Những nội dung cần nghiên cứu hoàn thiện hơn;

• Hướng phát triển tiếp theo của đề tài

** * PHẦN PHỤ LỤC (TRÌNH BÀY TRONG QUYỂN ‘PHỤ LỤC’):

• Trình bài các chương trình MATLAB để giải các bài toán (trích in);

• Trình bày kết quả chạy các chương trình MATLAB;

• Các kết quả chuyển vị khi giải bài toán trên SAP 2000;

• Các kết quả, bảng biểu xử lý số liệu, đồ thị trên EXCEL;

phương án là sử dụng các kết cấu thành mỏng (thin-walled structures)

Hiện nay, nhiều tác giả thường phân chia lý thuyết dầm ra làm 2 nhóm: nhóm theo lý thuyết cổ điển và nhóm theo lý thuyết hiện đại Tuy nhiên, khó có thể phân chia một cách chính xác hoàn toàn; và sự phân chia trong chương này chỉ mang tính tương đối

2.1 LÝ THUYẾT DẦM CỔ ĐIỂN

Euler, Bernoulli, Navier là những nhà khoa học đã có công lớn trong việc xây dựng và phát tiển lý thuyết dầm cổ điển; lý thuyết này được xây dựng dựa trên các giả thiết cơ bản sau:

Š Vật liệu đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính;

Š Biến dạng và chuyển vị bé;

Š Kích thước tiết diện ngang của dầm là bé so với chiều dài;

Š Mặt cắt ngang của dầm vẫn giữ nguyên trạng thái phẳng trước và sau khi dầm bị biến dạng …

a) - Trường hợp dầm chịu uốn phẳng thuần túy: [11]

Hình 2.1: Dầm chịu uốn phẳng thuần tuý

Sau khi bị biến dạng, trục thanh biến thành đường cong; các đường thẳng song song với trục thanh trước kia cũng biến thành các đường cong song song nhau; các đường thẳng vuông góc với trục thanh vẫn tiếp tục vuông góc (hình 2.2);

Hình 2.2: a) – chưa biến dạng; b) –đã biến dạng; c) – tiết diện ngang

Š Độ dãn dài tương đối của một đoạn vi phân a-b nằm tại thớ cách trục trung hòa một khoảng y (hình 2.2-a,b) được xác định:

Š Moment uốn trên toàn tiết diện:

x

M

y I

I : moment quán tính của tiết diện khi uốn quanh trục x-x, đối với tiết

diện chữ nhật đặc (hình 2.2-c) → Ix = bh3 12 ;

ϕ : góc xoay của tiết diện ngang sau khi biến dạng;

f : chuyển vị thẳng đứng của tiết diện (tại vị trí có tọa độ z )

b) - Trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng: [11]

Š Ngoài thành phần ứng suất pháp được xác định như (2.5), còn có thành phần ứng suất tiếp τzy Zhuravskii là người đã có công trong việc xác định thành phần ứng suất này, ông đề xuất hai giả thiết sau:

Š Các ứng suất tiếp τzy hướng theo phương của lực cắt Qy;

Š Ứng suất tiếp phân bố đều theo bề rộng của mặt cắt ngang

Hình 2.3: Dầm chịu uốn ngang phẳng

Š Ứng suất tiếp được xác định theo (2.10):

Thực tế, do tồn tại ứng suất τzy nên cũng tồn tại biến dạng trượt γzy = τzy G gây

“vênh” (warping) tiết diện ngang; nhưng các tác giả này hoặc không biết hoặc đã ‘bỏ qua’ (ignored) trong các tính toán của mình

Saint Venant là một trong các học giả đầu tiên nghiên cứu dầm cong

(curved beam) Tuy nhiên, ông chỉ nghiên cứu trường hợp dầm cong chịu uốn trong mặt phẳng (in-plane bending) Cũng chính ông là người đầu tiên kiểm

chứng độ chính xác của các giả thiết cơ bản trong lý thuyết dầm cổ điển, đó là giả thiết mặt cắt ngang phẳng, giả thiết các thớ dọc không ‘chèn ép’ nhau và trong dầm tồn tại trạng thái ứng suất đơn Ông chứng minh rằng các giả thiết này chỉ đúng trong trường hợp dầm chịu uốn phẳng thuần túy như đã trình bày ở trên

Saint Venant là người tiên phong chứng minh rằng tiết diện dầm bị “vênh”

(warping) do sự hiện diện của thành phần ứng suất tiếp

Ngoài việc khảo sát dầm có tiết diện chữ nhật đặc (rectangular section), Saint Venant còn khảo sát dầm có tiết diện hình hộp chữ nhật (rectangular-box

section) chịu uốn phẳng thuần túy, và ông đã phát hiện một đặc điểm rất quan

trọng là tiết diện ngang của dầm bị “méo” (distortion) khi chịu lực, bởi vì các

thớ ở phía lõm bị phình ra còn các thớ ở phía lồi lại bị co lại theo phương ngang

Hình 2.4: a) – Dầm cong chịu uốn phẳng thuần túy;

Tiết diện ngang: b) khi chưa chịu lực, c) – khi đã chịu lực

2.2 LÝ THUYẾT DẦM HIỆN ĐẠI (THẾ KỶ XX – XXI)

Timoshenko S P là một học giả uyên bác trong lĩnh vực sức bền vật liệu Ông có nhiều nghiên cứu về dầm cong chịu tải trọng và ngoài mặt phẳng Với trường hợp dầm cong chịu uốn trong mặt phẳng, Timoshenko giải thích rằng giả thiết

mặt cắt ngang phẳng đúng trong trường hợp tiết diện đặc (solid section) bởi vì

chuyển vị trong mặt phẳng tiết diện quá bé – không ảnh hưởng đến sự phân bố ứng suất trong mặt cắt ngang Tuy nhiên ông đã có thiếu sót khi khảo sát dầm hộp chữ nhật chịu uốn ngoài mặt phẳng vì đã ‘bỏ qua’ sự “vênh” và “méo” Có rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu về trạng thái làm việc của dầm trong thời gian tiếp theo Nổi bật trong số đó là: Vlasov V Z.; Rajasekaran (India); Padmanabhan (India); Young J Kang (South Korea); Chai H Yoo (USA);

A Prokíc (Yugoslavia); Papangelis T P., Trahair N S (Australia); Tetsuya Yabuki, Yasunori Arizumi, Sriramulu Vinnakota (Japan); Yoon Young Kim và Youngkyu Kim (South Korea), … Các tác giả này chủ yếu nghiên cứu về dầm

thành mỏng (thin-walled beam)

Vlasov V Z là người có đóng góp rất lớn trong việc xây dựng lý thuyết dầm

thành mỏng Lý thuyết về dầm cong thành mỏng (thin-walled curved beam) của

ông được chấp nhận rộng rãi cho đến năm 1982, khi Chai H Yoo đưa ra các phương trình cân bằng của dầm cong [19] Vlasov thiết lập các phương trình cân

bằng của dầm cong theo cách đơn giản là thế ‘độ cong’ (curvature) vào các

phương trình cân bằng của dầm thẳng (1961); trong khi Chai H Yoo thiết lập phương trình này bằng cách thế độ cong vào các phương trình thế năng của dầm thẳng (1982) [19], [13] Tuy nhiên, các kết quả của Chai H Yoo (1982) cũng chưa được thừa nhận rộng rãi, bởi vì các nghiên cứu của Rajasekaran, Papangelis T P., Trahair N S., Yang Y B., Kuo S R, … phần nhiều đều cho kết quả phù hợp với kết quả của Vlasov hơn là kết quả của Yoo Nhưng ngay cả các kết quả so sánh này cũng có sự khác biệt lẫn nhau khá nhiều Như vậy, cả lý thuyết của Vlasov V Z và Chai H Yoo đều chưa đáng tin cậy lắm, do nó không dựa trên những nguyên lý xuất phát của cơ học mà được suy luận theo “phương

pháp tương đồng” (method of analogy)

Papangelis T P., Trahair N S (1987) đã khắc phục được những vướng mắc về

‘đường hướng’ (approach) của Vlasov V Z và Chai H Yoo Xuất phát từ các

biểu thức phi tuyến của biến dạng dọc trục và biến dạng trượt của dầm cong chữ I có hai trục đối xứng để khảo sát biến dạng hình học Các biến dạng phi tuyến được dùng để thành lập phương trình thế năng toàn phần Bằng cách cho

biến dạng trượt bằng không, ông tính được tải trọng tới hạn (critical load) gây

mất ổn định tổng thể các dầm cong phẳng Ngoài việc nghiên cứu lý thuyết, hai ông còn có hàng loạt thí nghiệm liên quan tới ổn định của dầm cong phẳng Các kết quả của hai ông đã có cải thiện hơn so với lý thuyết của Chai H Yoo Ngoài

ra, Trahair còn khảo sát ổn định trong trường hợp tiết diện ngang của dầm cong chỉ có một trục đối xứng Tuy nhiên, các nghiên cứu của cả Trahair và Papangelis hầu như chỉ tập trung vào trường hợp tải trọng tác dụng trong mặt

phẳng cong (mặt phẳng chứa độ cong), tức trường hợp “in-plane bending” [20]

Yang Y B và các cộng sự cũng có hàng loạt các nghiên cứu về lĩnh vực dầm cong thành mỏng đã được xuất bản Yang Y B và Kuo S R (1986) đề xuất 4 phương trình vi phân của dầm cong thành mỏng tiết diện chữ I, bản bụng nằm trong mặt phẳng chứa độ cong - dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo Ảnh hưởng

của ứng suất theo phương ‘hướng kính’ (ứng suất ‘xuyên tâm’ - radial stress) đã

được xét đến trong các bài toán của ông Tuy nhiên, giả thuyết xuất phát của Yang và Kuo vẫn có vài sai sót nhất định [20]

Tetsuya Yabuki, Yasunori Arizumi, … (1995) đã có những nghiên cứu khá đặc sắc về dầm cong thành mỏng Các nghiên cứu này xoay quanh sự mất ổn định

của dầm tổ hợp hàn (beam with welded built-up section), có xét đến ảnh hưởng của các sườn ngang (interior diaphragm) và ứng suất dư (residual stress) sinh ra

do quá trình hàn bản cánh với bản bụng; ngoài ra còn quan tâm đến sự phân

phối lại ứng suất (re-distribution of stress) Nghiên cứu được thực hiện theo cả

2 hướng: lý thuyết và thực nghiệm kiểm chứng [15]

A Prokíc (1996) dùng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH – finite element

method - F.E.M), với ‘phần tử bậc cao’ (mỗi phần tử dầm có 3 nút) để khảo sát

bài toán dầm thành mỏng có tiết diện hở cũng như kín Điểm đặc biệt trong mô

không cần phải xác định ‘tâm cắt’ (shear center) và ‘tọa độ quạt’ (sectorial

coordinates) Một điểm đáng lưu ý nữa trong mô hình này là số bậc tự do của

các nút:

Š Nút đầu & cuối: mỗi nút có 6 n + bậc tự do – với n là số góc của tiết diện ngang;

Š Nút ở giữa: chỉ có 5 bậc tự do

Với mô hình này, Prokíc đã khảo sát nhiều bài toán khác nhau về tiết diện ngang, liên kết hai đầu và đặc trưng tải trọng [1]

Yoon Young Kim và Jin Hong Kim (1999, 2000) phân tích bài toán dầm thành

mỏng có tiết diện kín dạng tổng quát (dạng bất kỳ)ø (general cross-section) theo mô hình một chiều (one-dimensional model) [5] Đồng thời cũng thiết lập công

thức tính theo phương pháp phần tử hữu hạn cho dầm hộp thành mỏng theo mô hình 1-D, với 3 bậc tự do [17] Đương nhiên, khảo sát dầm thành mỏng theo cách

xem dầm là tập hợp các phần tử shell sẽ cho kết quả tốt; tuy nhiên điều này có

vẻ không tự nhiên vì dầm vốn là cấu kiện dạng thanh Hơn nữa, sử dụng các

phần tử shell sẽ làm bài toán lớn hơn rất nhiều Với mô hình 1-D, các tác giả này đưa ra nhiều kiểu biến dạng (deformation shape; function shape) của tiết diện

ngang và xác định các hàm vênh, hàm xoắn, [5], [17] Yoon Young Kim và Youngkyu Kim (2002) đề xuất một mô hình 1-D – với 5 bậc tự do (5-D.O.F) và dùng nó để khảo sát dầm cong thành mỏng có tiết diện hình hộp chữ nhật chịu xoắn và uốn trong cũng như ngoài mặt phẳng [21], [18]

Các mô hình của Yoon Young Kim và Youngkyu Kim cho kết quả khá tốt, và sẽ được khảo sát, bàn luận kỹ lưỡng trong chương 4 & chương 5 của luận văn này

Chương 3:

MỘT SỐ BÀI TOÁN DẦM CONG

3.1 BÀI TOÁN DẦM CONG THEO LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN

3.1.1 Trường hợp dầm chịu uốn trong mặt phẳng (in-plane bending):

a) - Dầm console cong chịu tải phân bố đều theo phương hướng tâm: [7]

Ta khảo sát một dầm chịu tải như hình 3.1-a Tải trọng có cường độ là q ; bán kính cong là R Hệ trục tọa độ chọn như hình 3.1-b Quy ước moment có dấu

dương khi nó có xu hướng làm cho dầm cong thêm Vật liệu có module đàn

hồi E ; moment quán tính trong mặt phẳng có giá trị Ix

Hình 3.1: Dầm cong chịu tải phân bố đều theo phương hướng tâm

Xét một đoạn dầm có chiều dài vi phân ds ; hợp lực do tải trọng gây ra là qds

Ta nhận thấy: qds ⋅ sin γ = qdv ; qds ⋅ cos γ = qdu (3.1)

Từ đó, moment tại vị trí có góc nghiêng γ được xác định:

Trong đó: u R = ⋅ − ( 1 cos γ ) ; u0 = ⋅ − R ( 1 cos α ) (3.3-a)

1 sin sin cos cos (cos cos )

1 sin sin cos cos (sin sin )

b) - Dầm console cong chịu tải tập trung tại đầu tự do:

Hình 3.2-a trình bày một dầm cong chịu lực tập trung ở đầu tự do Hệ trục tọa độ và quy ước dấu tương tự như trường hợp a)- (xem hình 3.2-b); [7]

Hình 3.2: Dầm cong chịu tải tập trung ở đầu tự do

Tại vị trí xác định bởi góc nghiêng γ , ta có:

cos cos cos cos

cos cos (sin sin )

* Trường hợp α = 0 , ta có:

(1 cos )

Mγ = PR − γ (3.15); Qγ = P sin γ (3.16)

2 4

3.1.2 Trường hợp dầm chịu uốn ngoài mặt phẳng (out-of-plane bending):

Ta xét bài toán điển hình của Timoshenko: dầm cong là một cung tròn nằm trong mặt phẳng ngang, chịu tải tập trung thẳng đứng tại đầu tự do (hình 3.3-a)

Hình 3.3: Dầm cong chịu uốn ngoài mặt phẳng

Hệ trục tọa độ được Timoshenko chọn như hình 3.3-b, c;

Moment tại vị trí cho bởi góc φ xác định như sau:

sin( )

x

M = − P R α φ − (3.18) 0

Để xác định chuyển vị tại đầu tự do, Timoshenko sử dụng nguyên lý Castigliano Với giả thiết kích thước tiết diện ngang là bé so với bán kính cong, ông xác định được năng lượng biến dạng toàn phần trong dầm:

trong đó E là module đàn hồi của vật liệu; Ix là moment quán tính đối với trục

x x − ; C là độ cứng khi xoắn của dầm (đặc trưng hình học của tiết diện ngang);

Để tìm chuyển vị, Timoshenko dùng phương trình sau:

Qua một số bài toán trên đây, ta đã tìm hiểu việc xác định nội lực, chuyển vị, ứng suất, biến dạng của dầm cong theo lý thuyết cổ điển đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng; tuy nhiên các khảo sát về ổn định chưa được giới thiệu một cách tương đối đầy đủ Do vậy, ở phần tiếp sau đây, sẽ giới thiệu một số bài toán về ổn định của dầm cong theo các lý thuyết tương đối mới

3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN DẦM CONG THEO LÝ THUYẾT MỚI.

Như đã giới thiệu ở chương 2, cả Vlasov (1961), Chai Hang Yoo (1982) đều thiết lập phương trình của dầm cong theo phương pháp tương đồng – tức là xuất phát từ các phương trình của dầm thẳng Tương tự, khi tiến hành khảo sát ổn định của dầm cong, Shyh-Rong Kuo và Yeong-Bin Yang (1991) [12] xem dầm cong là tập hợp nhiều phần tử dầm thẳng Riêng Chai Hang Yoo (1994) đã có những cải tiến nhất định so với mô hình năm 1982 Hai bài toán ổn định mà cả Kuo - Yang và Yoo cùng quan tâm giải quyết đó là trường hợp dầm cong chịu uốn đều trong

mặt phẳng (in-plane uniform bending) và trường hợp dầm chịu tải phân bố đều theo phương hướng tâm (uniformly distributed radial loading)

3.2.1 Các bài toán ổn định theo mô hình của Kuo S R và Yang Y B.:

Theo mô hình này, lý thuyết dầm thẳng (straight beam) vẫn được chọn làm cơ sở

xuất phát, tuy nhiên dầm cong được xem là tập hợp vô hạn các phần tử vi phân dầm thẳng (thay vì một số hữu hạn phần tử như một vài mô hình khác)

a) - Bài toán dầm chịu uốn đều:

Hình 3.4 trình bày sơ đồ tính; các hình 3.5-a, b, c lần lượt thể hiện các phân đoạn (thẳng) của dầm, moment và lực dọc trên mỗi phân đoạn Bằng cách cho l → 0 , các phương trình ổn định của dầm cong có thể thu được từ các phương trình dầm thẳng

Các phương trình tĩnh, động học:

Xét phần tử dầm thẳng chịu uốn đều thứ j , các phương trình vi phân như sau:

(Với E là module đàn hồi (Young’s modulus); G là module chống trượt; I là

moment quán tính đối với trục yj; J là hằng số xoắn; M là moment uốn quanh

trục yj; ; vj θj lần lượt là chuyển vị theo trục yj và góc xoay quanh trục xj) Các lực cắt Fyj, moment uốn Mzj và moment xoắn Mxj được xác định (Gjelsvik - 1981):

Hình 3.4: Dầm cong chịu uốn đều (Possitive Moment)

Nếu đặt μ2 = M E I G J2 , ta có nghiệm tổng quát của (3.27):

Cho n → ∞ (hay l → 0 ), giải (3.29), ta có:

Hình 3.5: Mô hình các phần tử dầm

Mặt khác, từ các điều kiện cân bằng và liên tục giữa phần tử thứ j và j + 1 tại

Khi n → ∞ thì γ = l R → 0 , cos γ → 1 , sin γ → l R ; chú ý (3.30) và (3.31), ta có được quan hệ giữa vector chỉ phương tại hai đầu của phần tử cong vi phân:

Trị riêng và vector riêng của ma trận chuyển:

Ma trận chuyển [ ] S C có thể phân tích thành ma trận các trị riêng và ma trận

‘phụ trợ’ (modal matrix) của nó:

Trong đó: λi xác định theo (14) of [12]

Còn ma trận ‘phụ trợ’ được xác định như sau:

Dầm cong được xấp xỉ hóa bằng vô số đoạn dầm thẳng:

Giữa vector chỉ phương của dầm cong tại mặt cắt x x = và x = 0 có liên hệ nhau thông qua ma trận biến đổi [ ] TR :

Các phương trình vi phân cân bằng:

Từ các điều kiện cân bằng tĩnh và động học, Kuo S R và Yang Y.B tìm được các phương trình vi phân cân bằng của dầm cong:

Ví dụ áp dụng:

Kuo và Yang [12] đã giải bài toán của mình với các thông số sau:

Š Đặc trưng cơ học: E = 29000 ksi (200 GPa); G = 11200 ksi (77,2 GPa) ;

Š Đặc trưng hình học: I = 0,785 in ;4 J = 1,570 in ;4 bán kính quán tính

0,707 in;

r = chiều dài dầm L = 50 in;

Các kết quả được Kuo và Yang trình bày như trên hình 3.6-a,b [12] (có so sánh với kết quả của Vlasov, Timoshenko, Chai Hang Yoo …)

Từ các kết quả cho trên hình, có thể thấy rằng: lời giải rất gần với lời giải của Vlasov (1961) và Timoshenko (1961) nhưng có sự khác biệt với lời giải của

Yoo C H (1982): trường hợp dầm chịu moment âm (negative bending) sự khác biệt là không đáng kể, trong trường hợp dầm chịu moment dương (positive

bending), sự khác biệt này là rất lớn

Hình 3.6-a: Positive Bending Hình 3.6-b: Negative Bending

b) - Bài toán dầm chịu tải phân bố đều theo phương hướng tâm:

Khảo sát một dầm cong có bán kính cong là R , chịu tải phân bố đều có cường độ q như hình 3.7 Nội lực trong dầm chỉ có lực dọc: P qR = Dầm cong cũng

được xấp xỉ bằng n đoạn dầm thẳng có chiều dài l Các thủ tục được tiến hành

tương tự như trường hợp a-)

Hình 3.7: Dầm cong chịu tải phân bố đều hướng tâm

Các phương trình tĩnh, động học:

Với đoạn dầm thẳng thứ j chịu lực dọc trục, các phương trình vi phân như sau

Trong đó: K = Pr2 là hệ số Wagner; GJ GJ K % = −

Chú ý quan hệ giữa nội lực và chuyển vị:

Trong đó , , a bj j fj là các hằng số tùy ý

Cho n → ∞ (hay l → 0 ), bỏ qua các vô cùng bé bậc cao, giải (3.46), ta có:

Trong đó [ ] S C là ma trận chuyển, (xem (48) of [12])

Trị riêng, vector riêng:

Ma trận các trị riêng xác định như (3.35), với các hệ số như (49) & (50) [12] Còn ma trận ‘phụ trợ’ được xác định như sau (3.49):

[ ] Φ = Φ ⎡ ⎣ 1 Φ2 Φ3 Φ4 Φ5 Φ6 ⎤ ⎦ (3.49)

Tương tự như trường hợp a)-, ta xác định được ma trận nghịch đảo của [ ] Φ Cũng bằng cách tương tự, quan hệ giữa ứng suất suy rộng và biến dạng suy rộng được thể hiện như sau:

R

′ + = (3.51-b)

Thế các phương trình (3.50) vào (3.51), ta được các phương trình mất ổn định của

Ví dụ áp dụng:

Các số liệu vẫn giống như trường hợp a)-, kết quả do Kuo & Yang khảo sát [12] (hình 3.8) trùng hợp với lời giải của Timoshenko (1961), nhưng có sự khác biệt (cho giá trị tải trọng tới hạn bé hơn) so với kết quả của Vlasov (1961) và Yoo C H (1982) Kết quả này cũng hoàn toàn trùng hợp với lời giải năm 1987 của Yang & Kuo – dựa trên nguyên lý công ảo

Hình 3.8: Tải trọng tới hạn của dầm cong chịu nén đều

Qua các ví dụ trên, có thể thấy rằng lời giải theo “đường hướng tương đồng”

(analogy approach) của Vlasov, Yoo C H có độ tin cậy chưa cao cho trường hợp

dầm cong; còn các lý thuyết của Timoshenko, Yang và Kuo là chấp nhận được, tuy nhiên nó không mang tính tổng quát – mà chỉ áp dụng được cho một vài trường hợp tải trọng cụ thể mà thôi

3.2.2 Các bài toán ổn định theo mô hình của Chai Hang Yoo [20]:

Như đã đề cập ở chương 2, các phương trình dầm cong do Yoo C H công bố (1982) đã làm nhiều người nghi vấn về độ chính xác của lý thuyết Vlasov – vốn đã được thừa nhận rộng rãi trong thời gian trước đó Nhưng lý thuyết của Yoo (1982) cũng chưa được thừa nhận rộng rãi, và có rất nhiều nghiên cứu nhằm chỉ

ra những hạn chế trong lý thuyết này, trong đó các bài báo của Kuo R S và Yang Y B thuộc nhóm những kết quả đáng chú ý Và tất nhiên, Yoo đã khảo sát lại và có những cải tiến nhất định so với lý thuyết năm 1982 Sau đây chúng

ta sẽ khảo sát các bài toán dầm cong theo mô hình năm 1994 của Yoo [19], [20] Trong trường hợp tổng quát của tải trọng và điều kiện biên, rất khó xác định được dạng chính xác của phương trình cân bằng ổn định cho dầm cong Tương tự, cũng rất khó khăn trong trường hợp tải trọng không nằm trong mặt phẳng cong

Hai bài toán điển hình được rất nhiều tác giả khảo sát là bài toán dầm cong chịu tải phân bố đều theo phương hướng tâm và chịu uốn đều do moment tập trung ở hai đầu Các bài toán này còn là cơ sở để các tác giả so sánh lý thuyết của mình a) - Bài toán dầm chịu uốn đều:

Hình 3.9: Dầm chịu uốn đều: