Khảo sát dầm thành mỏng tiết diện hở

Lập luận của phương pháp này rất đơn giản là khi cần phân tích một hệ kết cấu phức tạp, chúng ta rời rạc hoá hệ thống thành những phần nhỏ gọi là các phần tử, nối kết với nhau tại các nú

BỘ GIÁ O DỤ C VÀ ĐÀ O TẠ O ĐẠ I HỌ C QUỐ C GIA TP.HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-oOo -

NGUYỄ N HỮ U THÀ NH

Đề Tài

Luậ n Vă n Thạ c Sĩ

Chuyên ngành : XÂ Y DỰ NG DÂ N DỤ NG VÀ CÔ NG NGHIỆ P

Mã số ngành : 23 04 10

TP.HỒ CHÍ MINH - THÁNG 06 NĂM 2003

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn khoa học

P G S T S C h u Q u o á c T h a é n g

P G S T S C h u Q u o á c T h a é n g

Người chấm nhận xét 1

Người chấm nhận xét 2

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCK KHOA ngày tháng năm 2003

Có thể tìm luận văn tại Thư viện Trường Đại Học Bách Khoa –

Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : NGUYỄN HỮU THÀNH Phái : Nam

Ngày tháng năm sinh : 22/05/1967 Nơi sinh : Bảo Lộc

Chuyên ngành : Xây Dựng DD & CN Mã số : 23.04.10

I TÊN ĐỀ TÀI : KHẢO SÁT DẦM THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

• Nghiên cứu lý thuyết phân tích thanh thành mỏng cổ điển

• Nghiên cứu PP PTHH áp dụng vào thanh thành mỏng tiết diện hở cổ điển

• Nghiên cứu phân tích tĩnh thanh thành mỏng theo mô hình phần tử tấm phẳng ứng suất màng – membrane

• Bằng PPPTHH, vận dụng lý thuyết thanh thành mỏng, xác định công thức ma trận độ cứng phần tử thanh thành mỏng theo hàm nội suy xoắn hyperbolic

• Dựa theo các lý thuyết đã nghiên cứu, lập chương trình ứng dụng phân tích thanh thành mỏng theo mô hình thanh cổ điển và mô hình tấm màng membrane – xây dựng chương trình VNaSAP

• Khảo sát phân tích các bài toán thanh thành mỏng bằng chương trình VNaSAP và các phần mềm quốc tế ANSYS, SAP2000N So sánh các kết quả, nhận xét và nhận định tính đúng đắn của chương trình VNaSAP Nêu bậc khả năng phân tích và ứng dụng của kết cấu thanh thành mỏng vào thực tế xây dựng công trình

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 29/11/2002

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 07/06/2003

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được hội đồng chuyên ngành thông qua

TP.HCM Ngày tháng năm 2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA

-oOo -

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

Lời cảm ơn

Lời cảm ơn

Là một người đi theo con đường lao động khoa học kỹ thuật, trước những nhu cầu thực tiễn của công tác thiết kế và xây lắp công trình, tôi nghĩ rằng mình phải tiếp tục học tập và nghiên cứu, trau dồi thêm kiến thức khoa học kỹ thuật trong lĩnh vực xây dựng, thế là tôi quyết định trở lại trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM

Sau hơn hai năm học tập tại khoa xây dựng theo hệ đào tạo thạc sĩ, ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp, tôi đã nỗ lực, cố gắng hết mình trong công tác học tập nghiên cứu và đã gặt hái được nhiều kết quả thật tốt Trong quá trình học tập tôi nhận thấy rằng tri thức khoa học kỹ thuật là biển rộng, kiến thức tôi hiện có chỉ là một giọt nước mà thôi Sự học không bao giờ có giới hạn mà khoa học là vô bờ bến

Luận văn này thể hiện lòng nhiệt tình, sự nổ lực của tôi trong lao động khoa học Tôi đã đặt tất cả tâm tư nguyện vọng của mình vào đây với ước mong làm được một các gì đó thật tốt, thật thực tế, thật hữu ích, để góp một phần công sức nghiên cứu và thành quả lao động của mình vào các ứng dụng thực tế thiết kế xây dựng công trình và hoàn thiện chính mình trong lý luận thiết kế hiện nay

Để có được thành quả hôm nay, ngoài những nỗ lực bản thân, không thể thiếu được sự dìu dắt của các thầy cô khoa xây dựng trường Đại Học Bách Bách Khoa TP.HCM Không có

gì sánh được với tấm lòng của các thầy cô đã từng bước giứp cho tôi có được những kiến thức cơ bản cần thiết nhất cho công tác nghiên cứu Xin kính gửi đến các thầy cô lời cảm

ơn chân thành nhất Sự hoàn thiện của đề tài hôm nay là nhờ sự hướng dẫn trực tiếp của Thầy Chu Quốc Thắng Thầy đã từng bước đưa ra đề tài, giao nhiệm vụ và theo dõi, đôn đốc để tôi có thể hoàn thành đề tài đúng thời hạn, đạt chất lượng yêu cầu Dẫu biết rằng một lời cảm ơn chân thành không thể đáp đền được công lao của Thầy nhưng không biết lấy gì hơn Tấm lòng cao cả và công ơn trời biển của thầy xin được khắc cốt ghi tâm Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin gới đến bạn bè đồng nghiệp đã động viên giứp đỡ, cho tôi thêm niềm tin để tiếp bước trên con đường học tập, vững bước đi hết quãng đường gian nan nhưng đầy ý nghĩa này Xin cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình, đã lo toan chăm chút cho tôi từ những nhu cầu sinh hoạt hằng ngày, để tôi có đủ sức khoẻ hoàn thành tốt nhiêm vụ học tập, công lao của họ góp phần không nhỏ trong sự thành công hôm nay Xin cảm ơn mái nhà, ngôi trường, cơ quan, những nơi tôi đã nương tựa và cậy nhờ để thực hiện đề tài

Xin cảm ơn

Giới thiệu

Nhu cầu về phân tích và tính toán thiết kế các kết cấu trong các ngành kỹ thuật như Ngành Hàng Không, Cơ khí, Thuỷ Lợi, , luôn là quan trọng và không thể thiếu vì trước khi tiến hành xây dựng một công trình hay một đề án chúng ta cần phải thiết kế và

do đóù cần phải tính toán phân tích Điều này thể hiện rất rõ nét trong ngành Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp (XD DD&CN) cũng như Ngành Cầu Đường vì kết cấu bền vững, hợp lý là một trong những yêu cầu quan trọng nhất của một công trình xây dựng Việc phân tích để xác định khả năng chịu lực và sự bền vững của công trình xây dựng là mối quan tâm lớn nhất của nhà thiết kế mà các nhà khoa học xây dựng đã liên tục nghiên cứu trong nhiều thế kỷ nhằm tìm ra những phương pháp tính toán phân tích tiện lợi, nhanh chóng và chính xác nhất phục vụ cho công tác thiết kế kết cấu

Trong thời kỳ khoa học hiện đại đang phát triển nhanh chóng hiện nay, nhờ vào các lý thuyết toán học hiện đại như hình học giải tích, đại số vectơ, lý thuyết trường, , nhất là khái niệm về đạo hàm, vi phân, tích phân, kết hợp với nhiều nghiên cứu của vật lý học về lý thuyết cũng như thực nghiệm như lý thuyết đàn hồi, cơ học môi trường liên tục, vật liệu học, lý thuyết thế năng biến dạng đàn hồi , nhiều phương pháp phân tích kết cấu đã ra đời và được ứng dụng hiệu quả trong thực tế

Một phương pháp phân tích thật sự mạnh mẽ đã được phát triển và ứng dụng trong vòng ba mươi năm gần đây dựa vào nguyên lý thế năng biến dạng và điều kiện dừng của hàm năng lượng trong từng miền con đó là Phương pháp Phần Tử Hữu Hạn – PP PTHH Lý thuyết của PP PTHH đã được xây dựng từ rất lâu nhưng không được phát triển vì có liên quan tới việc thiết lập và giải hệ phương trình tuyến tính có số ẩn số rất lớn Nhờ vào sự phát triển của máy tính điện tử và kỹ thuật số, PP PTHH đã phát triển và ứng

thể nói rằng PP PTHH là một phương pháp phân tích kiện toàn và vạn năng Tất cả các bài toán trong mọi ngành kỹ thuật đều có thể giải quyết bằng PP PTHH Lập luận của phương pháp này rất đơn giản là khi cần phân tích một hệ kết cấu phức tạp, chúng ta rời rạc hoá hệ thống thành những phần nhỏ gọi là các phần tử, nối kết với nhau tại các nút, trong mỗi phần tử, giá trị trường cần phân tích được xác định nhờ các hàm nội suy theo các giá trị tại nút, các giá trị của trường tại các nút được xác định nhờ vào việc xây dựng và giải hệ phương trình đại số tuyến tính theo các điều kiện tải trọng và điều kiện ràng buộc trên biên của miền Đối với

cơ học kết cấu, hệ kết cấu là hệ dầm, dàn, khung, tấm, vỏ chịu tải trọng là trọng lực và các tác nhân khác như gió, động đất (lực quán tính) Yếu tố cần phân tích để xác định là trường chuyển vị, trường ứng suất và biến dạng trong kết cấu Từ các kết quả phân tích, chúng ta đưa vào các điều kiện về cường độ, ổn định, về biến dạng và chuyển vị và quyết định các thiết kế cuối cùng

Như vậy, hiện nay ngành xây dựng đã có công cụ tính toán mạnh và chính xác là máy vi tính, đã có phương pháp phân tích kết cấu hoàn hão và vạn năng là PP PTHH, nhiều phần mềm ứng dụng đã được xây dựng và áp dụng, phục vụ hiệu quả cho công tác thiết kế kết cấu công trình Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều bài toán kết cấu trong thực tế chưa được giải quyết triệt để và đúng đắn vì nhiều lý

do, do hạn chế của các giả thiết lý thuyết, do sai lệch hoặc khó khăn trong việc xây dựng mô hình kết cấu, mô hình phần tử hoặc

do kích thước bài toán quá lớn mà tài nguyên máy tính có hạn dẫn đến thời gian phân tích dài, tiêu tốn nhiều bộ nhớ làm cho việc tính toán phân tích không có hiệu quả

Một trong những kết cấu còn nhiều vấn đề cần nghiên cứu đó là các kết cấu thành mỏng Trong thực tế, các kết cấu thành mỏng được sử dụng rất nhiều ví dụ như các khung kèo thép tổ hợp, các cấu kiện thép dập nguội, các cầu vồng bằng kết cấu bê tông cốt thép thành mỏng, vỏ trụ tròn xoay, , kết cấu thành mỏng còn được ứng dụng rất nhiều trong ngành Hàng không và Hàng hải trong thiết kế vỏ máy bay và tàu thủy

Việc nghiên cứu khảo sát các kết cấu thanh có tiết diện thành mỏng hở là mục tiêu của đề tài này Các nội dung chủ yếu bao gồm : Nghiên cứu lý thuyết về trạng thái ứng suất và biến dạng của tiết diện thanh thành mỏng hở, tìm hiểu các đặt trưng về dãn dài, uốn, xoắn, và vênh của tiết diện thanh thành mỏng hở Áp

dụng PP PTHH với mô hình kết cấu phần tử thanh có tiết diện thành mỏng hở Cuối cùng là nghiên cứu kết cấu thanh dầm có tiết diện thành mỏng hở, tiết diện thay đổi, phân tích theo phương pháp PTHH với mô hình phần tử tấm mỏng chịu lực màng (Membrane)

Ứng dụng của các kết cấu thành mỏng trong ngành xây dựng và cầu đường ngày càng phổ biến vì tính hợp lý về kết cấu chịu lực, có thể sử dụng triệt để khả năng chịu lực của vật liệu nhờ bố trí

ra xa tâm uốn xoắn, từ đó dẫn đến tiết kiệm vật liệu và mang lại hiệu quả kinh tế cao Ví dụ như các dầm thân cầu thường có tiết diện thành mỏng kín vì tiết diện hình hộp có đặc trưng ổn định xoắn cao Các kết cấu khung thép vượt nhịp lớn thường dùng tiết diện thành mỏng hở chế tạo từ các tấm thép mỏng liên kết hàn hoặc các tiết diện bằng thép tấm dập nguội có chiều cao thay đổi

vì các tiết diện loại này dễ chế tạo và chịu lực hợp lý Hiệu quả của việc ứng dụng thanh thành mỏng trong kết cấu đã thể hiện rõ ràng trong thực tế Tuy nhiên việc tính toán và thiết kế các loại kết cấu thành mỏng hiện nay vẫn chưa được hoàn chỉnh, chỉ riêng bài toán thanh thành mỏng có tiết diện thay đổi cũng chưa được tích hợp đầy đủ trong các phần mềm phân tích kết cấu hiện đại

Có thể dùng mô hình phần tử vỏ mỏng để giải quyết bài toán thanh thành mỏng Tuy nhiên làm như thế khiến cho bài toán trở nên phức tạp hơn, số bậc tự do tăng lên mà các số liệu kết quả thu được lại đôi khi không cần thiết, không có ý nghĩa lớn theo nhu cầu thiết kế và không tương xứng với công sức và chi phí để giải bài toán Vấn đề là làm thế nào để đơn giản hoá đưa hệ phần tử tấm trở thành phần tử thanh tương đương dựa vào phương pháp PTHH, sau đó giải quyết bài toán hệ thanh thông thường Đó cũng là mục tiêu nghiên cứu chính của đề tài này Nội dung cụ thể về cơ sở lý thuyết, các giải thuật phân tích và kết quả tính toán của một số kết cấu thanh dầm tiết diện thành mỏng điển hình sẽ lần lượt được khảo sát và trình bày chi tiết qua các chương trong luận văn này

Chương 1

TỔNG QUAN

Thực tế thiết kế và xây dựng các công trình ngày nay đang phát triển mạnh mẽ Các ngành khoa học công nghệ có liên quan đến xây dựng cũng phát triển Cụ thể như ngành vật liệu xây dựng Các vật liệu cũ như bê tông, thép ngày càng tin cậy hơn, cường độ cao hơn, các tính chất cơ lý tốt hơn Bên cạnh các loại vật liệu xây dựng cũ, nhiều loại vật liệu mới được nghiên cứu và đưa vào sử dụng với nhiều tính chất cơ lý siêu việt, ví dụ như vật liệu composite, hơp kim cường độ cao Vì vậy các kết cấu xây dựng ngày càng trở nên thanh mảnh và kinh tế hơn về nhiều mặt

Để có thể sử dụng tối đa các tính năng chịu lực của vật liệu cường độ cao, cần phải chế tạo ra các kết cấu mỏng hơn, sử dụng ít vật liệu hơn, và do đó đòi hỏi phải có một lý thuyết tính toán mới phù hợp với điều kiện làm việc mới của vật liệu và kết cấu

Dầm thành mỏng tiết diện hở là một loại kết cấu chưa được thiết kế và ứng dụng trong xây dựng công trình trước đây Tuy nhiên hiện nay dầm thành mỏng bắt đầu được sử dụng rộng rãi trong xây dựng dân dụng và công nghiệp nhờ sự phát triển của các công nghệ gia công kim loại như công nghệ dập nguội, công hệ hàn tĩnh điện Bên cạnh các dầm thành mỏng bằng kim loại, các kết cấu dầm thành mỏng bằng bê tông cốt thép cũng được áp dụng trong xây dựng dân dụng, công nghiệp và cầu đường do ứng dụng vật liệu bê tông và cốt thép cường độ cao, kết hợp với công nghệ ứng lực trước

Trong hầu hết các quy phạm và tiêu chuẩn thiết kế hiện nay không có các hướng dẫn cụ thể về thiết kế các cấu kiện dầm thành mỏng, hơn nữa các tiêu chuẩn đôi khi còn hạn chế phạm vi sử dụng các kết cấu thành mỏng Ví dụ theo tiêu chuẩn mỹ AISC-

LRFD93 45, dầm chữ I được thiết kế với giới hạn tỷ số giữa bề rộng và bề dày bản thép như sau :

Description

Of section Check λλ

COMPACT (λλ p )

NONCOMPACT

λλ r

SLENDER (λλslender)

y b u

y b u y

y u u

F

P

P F

P P for

P

P F

P P For

253

33 2 191

125 0

75 2 1 640

125 0

ϕ

ϕ ϕ ϕ

.

.

5 16

14000

y

E

2 38

u F

E r M

0759 0 124 0 124 0

Một điều thật ấu trĩ là hiện nay trong thủ tục thiết kế, chúng ta dùng các phần mềm phân tích kết cấu để xác định các nội lực trong thanh, sau đó dùng các nội lực đó để kiểm tra và thiết kế cấu kiện Rất không đúng khi làm như thế đối với các thanh thành mỏng, vì khi phân tích kết cấu ta dùng lý thuyết thanh thường tìm ra nội lực nhưng lại dùng nội lực đó để thiết kế thanh thành mỏng tiết diện hở Vì thanh tiết diện thành mỏng hở rất nhạy về xoắn, sự liên hệ giữa chuyển vị xoắn và biến dạng vênh sẽ sinh ra ứng suất dọc trục, thành phần ứng suất này có thể rất lớn nếu tiết diện có các thành khá mỏng Nếu thiết kế theo cách này thì chúng ta đã bỏ qua một thành phần nội lực quan trọng trong dầm thành mỏng đó là bimoment, và thật nguy hiểm nếu nội lực và biến dạng để thiết kế tiết diện lại không tương đương với thực tế làm việc của cấu kiện Chúng ta sai lầm khi cho rằng dầm thành mỏng làm việc giống như dầm tiết diện thông thường

Một vấn đề thường bị bỏ qua trong tính toán thiết kế là trục khai báo phần tử được mặc nhiên cho là trùng với trục trọng tâm của tiết diện Điều này có thể không quan trọng lắm đối với dầm tiết diện đặt và đối xứng Tuy nhiên, với dầm thành mỏng tiết diện hở, vấn đề trở nên quan trọng vì rằng đa số tiết diện thành mỏng hở có trọng tâm và tâm xoắn không nằm trên tiết diện, các liên kết các cấu kiện thường được thực hiện thông qua phần bản bụng hoặc bản cánh của tiết diện nên không trùng với trọng tâm tiết diện, hơn nữa trọng tâm và tâm cắt không trùng nhau, do đó một tải trọng bất kỳ tác dụng lên trục thanh đều gây ra hiệu ứng xoắn thanh mà đây lại là điểm yếu nhất của tiết diện thành mỏng hở (xem hình 1.1 và 1.2)

Một vấn đề nữa cần tính đến là trong thực tế thường sử dụng những dầm có tiết diện thành mỏng hở có chiều cao thay đổi nhằm thích ứng với sự biến thiên của moment uốn Thông thường những loại dầm này có trục trọng tâm không phải là một đường thẳng (xem hình 1.3) Đây là nguyên nhân gây ra uốn dọc và xoắn dầm Điều này cũng được giải quyết trong dầm thành mỏng bằng cách mô tả hàm chuyển vị dọc trục bằng một đa thức bậc hai và áp dụng mô hình phần tử ứng suất màng membrane kết hợp với kỹ thuật tích phân số sẽ được đề cập trong chương 4 của luận văn

Trục tham chiếu

Trục trọng tâm

Một điểm đặc biệt của kết cấu thanh thành mỏng là tiết diện có biến dạng vênh nên mỗi một nút có bảy bậc tự do, ngoài các chuyển vị thông thường là ba chuyển vị thẳng và ba góc xoay còn có thêm bậc tự do vênh (warping) Nhờ đó, tại đầu thanh có thể mô tả được các liên kết thông qua các bản bụng như thực tế thường dùng (xem hình 1.4)

Các vấn đề nêu trên sẽ được nghiên cứu, khảo sát và trình bày qua các chương trong luận văn này

Nội dung của Luận Văn bao gồm bảy chương sau đây :

Chương 1 : Tổng quan

– Các vấn đề về thực tế áp dụng trong công tác thiết kế xây dựng hiện nay ở Việt Nam

– Sự cần thiết phải nghiên cứu, khảo sát và ứng dụng lý thuyết tính toán thanh thành mỏng và các vấn đề chính được đưa ra giải quyết

Chương 2 : Lý thuyết cơ bản về trạng thái làm việc của thanh tiết

diện thành mỏng

– Phân tích trạng thái ứng suất biến dạng của thanh tiết diện thành mỏng

Tiết diện

vệnh tự do

p

Hình 1.4

– Phân tích các đặc trưng hình học của tiết diện thành mỏng hở

Chương 3 : Phương pháp PTHH áp dụng cho thanh dầm có tiết

diện thành mỏng hở

– Bài toán kéo nén, uốn và xoắn của phần tử dầm thành mỏng

– Aùp dụng phương pháp trực tiếp xác định ma trận độ cứng phần tử dầm thành mỏng với bài toán xoắn

– Xác định ứng suất trong thanh thành mỏng

Chương 4 : Phương pháp PTHH giải bài toán thanh tiết diện

thành mỏng hở theo mô hình phần tử tấm mỏng ứng suất màng

– Hệ phương trình vi phân

– Hàm nội suy chuyển vị thần tử thanh

– Đặt tả hình học một phần tử thanh thành mỏng theo mô hình phần tử membrane

– Phân tích biến dạng phần tử

– Aùp dụng kỹ thuật phần tử hữu hạn

– Bài toán phân tích tĩnh thanh thành mỏng

Chương 5 : Lập trình ứng dụng phân tích tĩnh thanh dầm thành

mỏng bằng PP PTHH – Giới thiệu chương trình VNaSAP

– Cấu trúc tổ chức của chương trình VNaSAP

– Giải thuật chính của PP PTHH trong VNaSAP

– Ma trận độ cứng phần tử thanh thành mỏng theo lý thuyết cổ điển và theo mô hình phần tử tấm màng membrane theo Wekezer

Chương 6 : Khảo sát thanh dầm thành mỏng tiết diện qua các ví

dụ bằng chương trình VNaSAP và các phần mềm ANSYS, SAP2000N

Chương 7 : Tổng kết và Kết luận

2.1.1 Sự xoắn và sự vênh của tiết diện

Dầm thành mỏng tiết diện hở có độ cứng xoắn rất bé Do đó, điều quan trọng là sử dụng dầm chịu tải trọng ngang sao cho không gây ra xoắn nhiều Điều này được xác định bởi khoảng cách giữa đường tác dụng của lực so với tâm cắt của tiết diện, do đó việc xác định vị trí tâm cắt của tiết diện là phần quan trọng khi phân tích dầm thành mỏng Khi dầm thành mỏng chịu xoắn, sự xoắn được xác định bởi hai cơ cấu : độ cứng chịu xoắn St Venant cổ điển được xác định bởi module chống cắt và thành phần sinh ra

do việc cản trở sự vênh của tiết diện ngang liên quan với sự xoắn

St Venant Nếu độ xoắn là hằng số trên toàn bộ dầm, sự vênh tiết diện là giống nhau và thanh phần thứ hai triệt tiêu Dạng xoắn này là xoắn thuần tuý Trong trường hợp độ xoắn thay đổi theo chiều dài gọi là xoắn không thuần tuý Xoắn không thuần tuý sinh ra ứng suất dọc trục trong dầm và phải được kể đến trong bài toán phân tích độ bền

Trên thực tế dầm có tiết diện thành mỏng hở rất mềm đối với xoắn cũng như ảnh hưởng đến đặc trưng ổn định của nó Trong khi cột có tiết diện đặt bị mất ổn định do uốn dọc, cột tiết diện thành mỏng có thể mất ổn định do kết hợp của uốn và xoắn nên tải trọng tới hạn ổn định thấp hơn Chi tiết của sự kết hợp của tác dụng uốn và xoắn phụ thuộc vào hình dáng của tiết diện

ngang và tải trọng tác dụng Tương tự, dầm tiết diện thành mỏng có thể bị phá hoại do bị mất ổn định Kiểu mất ổn định này thường gọi là mất ổn định ngang (Lateral buckling) là do sự kết hợp của xoắn và uốn ngang Việc phân tích mất ổn định ngang dưới tác dụng của tải trọng ngang thường phải dùng đến kỹ thuật số

Phần này minh hoạ về độ cứng chịu xoắn nhỏ của dầm tiết diện thành mỏng hở và trình bày những quan điểm cơ bản về lý thuyết dầm có tiết diện thành mỏng hở Trong dầm tiết diện thành mỏng hở, giả thuyết tiết diện ngang vẫn phẳng trước và sau khi biến dạng không còn được áp dụng, thay vào đó tiết diện ngang khi biến dạng sẽ bị vênh ra khỏi mặt phẳng ban đầu

2.1.2 Tiết diện thành mỏng hở so với kín

Đặc trưng cơ bản nhất của dầm thành mỏng tiết diện hở là độ cứng chịu xoắn bé khi chịu xoắn thuần tuý Phần ngắn gọn sau đây giứp nhận ra thứ tự về độ lớn của các tham số liên quan để có được một cái nhìn khái quát về lý thuyết dầm thành mỏng sẽ được phát triển về sau Hình 2.1 trình bày hai dầm có tiết diện thành mỏng hình chữ nhật, bề rộng b, chiều cao h, bề dày t Sự khác nhau giữa hai dầm là: một dầm là tiết diện hình chữ nhật kín còn dầm kia tiết diện được rọc ra bởi một đường dọc theo trục dầm

Hình 2.1

Miễn là thành dầm đủ cứng để giữ nguyên hình dáng tiết diện, sự khác nhau này không làm ảnh hưởng đến độ cứng chịu uốn của dầm Tuy nhiên độ cứng trong xoắn thuần tuý thì khác nhau hoàn

số K định nghĩa theo quan hệ giữa mô men xoắn M và độ xoắn

dϕ/dz:

dz

d GK

Trong đó G là module chống cắt của vật liệu, M là moment xoắn Trong dầm thành mỏng, suy ra từ tĩnh học rằng không thể có ứng suất cắt chính trong thành dầm và do vậy biến dạng cắt trong mặt trung bình triệt tiêu Điều này dẫn đến sự phân bố ứng suất và biến dạng cắt tuyến tính có giá trị bằng zero tại mặt trung bình như minh hoạ trên hình vẽ Tích phân của mô men từ thành phần ứng suất cắt tương ứng dẫn đến công thức tổng quát sau đây cho thông số xoắn của tiết diện thành mỏng hở:

ở đây t là nhỏ so với a và b

Trong tiết diện kín, moment xoắn được chịu bởi dòng ứng suất cắt dọc theo đường bao quanh ô tiết diện do đó sự phân bố ứng suất cắt gần như là hằng số trên bề dày thành Trong trường hợp này thông số xoắn được xác định theo công thức Bredt :

∫

=

t ds

b a t

2 2

2

2 2

a

b a t K

2.1.3 Cơ sở của sự xoắn không thuần nhất

Đặc trưng cơ bản của bài toán xoắn dầm thành mỏng hở bắt đầu bằng việc khảo sát một dầm consol tiết diện chữ I như biểu diễn trên hình 2.2 Một đầu dầm ngàm cứng còn đầu kia tự do chịu tác dụng của hai moment có độ lớn bằng nhau M0, một moment tác dụng ở cánh trên và một moment tác dụng ở cánh dưới theo chiều ngược nhau

Theo giả thiết của lý thuyết dầm cổ điển, tất cả các lực và moment tác dụng trên cùng một tiết diện có thể được cộng lại thành một lực và một moment tác dụng lên tiết diện đó Thủ tục này dựa trên giả thiết rằng tiết diện ngang của dầm là tuyệt đối cứng trong mặt phẳng tiết diện cũng như theo phương vuông góc với tiết diện Trong lý thuyết dầm thành mỏng, giả thiết thứ hai không được sử dụng

Trên hình 2.2 cũng biểu diễn vectơ đại diện cho cặp moment bằng nhau và ngược chiều nhau, đặt cách nhau một khoảng h bằng với chiều cao của dầm Cấu trúc này của moment được gọi là bi moment, và độ lớn của nó được xác định theo công thức :

h M

Hình 2.3

Như đã mô tả, dầm trên hình 2.2 sẽ chịu ứng suất xoắn cũng như ứng suất dọc trục Theo lý thuyết dầm cổ điển, sự xoắn dẫn đến moment xoắn hoàn toàn do ứng suất cắt xác định bởi lý thuyết xoắn thuần tuý St Venant Theo lý thuyết dầm thành mỏng, có hai thành phần dẫn đến moment xoắn, một là thành phần xoắn từ ứng suất xoắn St Venant và hai là thành phần xoắn thu được từ ứng suất dọc trục Độ lớn tương đối của hai thành phần này là một khía cạnh quan trọng của lý thuyết dầm thành mỏng

Bây giờ, để cụ thể, đưa vào một toạ độ dọc trục và giả thiết rằng

dầm thực hiện sự xoắn thể hiện bằng góc xoay ϕ(z) thay đổi theo

trục z Sự xoắn dầm cho ra moment xoắn Ms từ thành phần ứng suất cắt St Venant:

z d GK z

Trong đó G là module cắt của vật liệu, K là tham số độ cứng của dầm

Độ cứng hữu hạn của bụng dầm nối hai cánh gây ra sự thay đổi

của mô men trong cánh dầm M f (z) dọc theo dầm, sự thay đổi này

đến lượt nó sinh ra lực cắt Q f (z) trong cánh tiết diện xác định theo

công thức:

( )

dz

z dM z

Lực cắt trong hai cánh tiết diện tác dụng cách nhau khoảng h do

đó sinh ra moment xoắn mω như biểu diễn trên hình 2.4 :

Tương tự như moment xoắn St Venant, M s sinh ra do độ thay đổi

của góc xoắn ϕ(z), thành phần mới M ω sinh ra do độ thay đổi của

đối ngẫu B(z) Độ lớn của bimoment suy ra từ việc khảo sát sự uốn

của cánh dầm:

2 2 2

2

2

12

1

dz

d I h E h

dz

d EI h hM

2 1

dz

d dz

d GK M

d dz

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên được biểu diễn

dưới dạng các hằng số và các hàm hyperbolic sinh(kz) và cosh(kz)

Công thức cụ thể của nghiệm phụ thuộc vào điều kiện biên của mỗi bài toán

Với bài toán dầm consol như hình 2.2, điều kiện biên tại z=0 là điều kiện biên động học tương ứng với điều kiện không xoay và không vênh Điều kiên này được biểu diễn bằng biểu thức :

ω ω

ϕ

EI

hM EI

l B dz

hình 2.5 và 2.6 với các giá trị kl = 1, 4, 10 Các đường cong được

chuẩn hoá đối với giá trị lớn nhất ϕmax và MS,max tại z = L

Các đường cong trên hình 2.5 và 2.6 minh hoạ sự ảnh hưởng của

tham số kl Tham số này đại diện cho chiều dài vô hướng của dầm Cho kl = 1, moment St Venant gần như biến thiên tuyến

tính qua chiều dài dầm, và hệ quả là ϕ(z) biến thiên gần như là parabol Với các giá trị lớn hơn của tham số kl mmen St Venant trở nên cục bộ hơn tập trung tại gần đầu tự do của dầm, z = l Cuối cùng, suy giảm đến zero tại đầu ngàm khi kl tăng lớn

Độ lớn của tham số kl dễ dàng được dự đoán đối với dầm tiết

diện chữ I Các thông số tiết diện được chi phối bởi các cánh tiết

diện Bề dày cánh t, bề rộng cánh b, chiều cao tiết diện h Khi sự

tham gia của bụng dầm vào tham số độ cứng St Venant K được

3 1

2 bt

K = Độ cứng xoắn vênh là I h I f h2b3t

24 1 2 2

2 1

3 3 2

Một cách điển hình tham số vô hướng kl là tích số giữa chiều dài

dầm và bề dày thành tiêu biểu, chia cho diện tích đựng bên trong tiết diện Một tiết diện ngang mảnh với bề dày thành nhỏ dẫn

đến một giá trị kl nhỏ hơn so với tiết diện đặt chắt Mặc dù công

thức 2.24 là cụ thể cho tiết diện chữ I, dạng thức của nó có giá trị tổng quát cho các dầm có tiết diện hở

2.1.4 Sự vênh tiết diện

Đối ngẫu bimoment B(z) và moment M(z) liên quan tới sự xoắn

không thuần tuý có liên hệ mật thiết đến sự vênh của tiết diện

Để tổng quát hoá việc phân tích dầm tiết diện chữ I cho dầm thành mỏng có tiết diện tổng quát, các giả thiết cơ bản của việc phân tích phải được đồng nhất Khi phân tích dầm chữ I, người ta giả thiết rằng sự uốn của cánh dầm dựa trên lý thuyết uốn dầm cổ điển không có biến dạng cắt Giả thiết này có thể được bắt đầu lại ở dạng tổng quát : Với dầm tiết diện thành mỏng hở, sự vênh của tiết diện ngang không sinh ra bất kỳ một biến dạng cắt nào trong trong mặt phẳng trung bình của tiết diện

Phát biểu này được minh hoạ trên hình 2.7 biểu diễn mặt trung bình của dầm Sự triệt tiêu của biến dạng cắt nói lên rằng các góc vuông như thể hiện trên hình (2.7) vẫn giữ là vuông trong quá trình dầm biến dạng

Hình 2.7

Điều kiện không có biến dạng cắt trong mặt trung bình của dầm không gây trở ngại cho lời giải St Venant của bài toán xoắn thuần tuý cho dầm thành mỏng tiết diện hở Trong xoắn thuần tuý, ứng suất cắt τs và biến dạng cắt γs chạy song song với đường tâm của thành với một biến thiên tuyến tính qua bề dày thành

như biểu diễn trên hình 2.8 tại mặt trung bình τ s = 0 và γ s = 0

Hình 2.8

Điều kiện ứng suất cắt triệt tiêu trên mặt trung bình cho phép việc xác định trực tiếp đơn giản hàm vênh tiết diện Tiết diện ngang được giả thiết là không biến dạng trong mặt phẳng của nó, và chuyển vị của tiết diện do đó có thể được mô tả bằng một

thành phần chuyển vị dọc trục chưa biết ω(s,z) và một góc xoay

ϕ(z) quanh một điểm A Tâm xoay A được giả thiết là đã biết ngay

lúc này Việc xác định tâm xoay sẽ được bàn đến trong phần sau

Vị trí một điểm trên đường tâm được biểu diễn bằng chiều dài cung s, xem trên hình 2.9 chuyển vị trong mặt phẳng us dọc theo tiếp tuyến tại s có thề được viết như sau :

Ở đây, h(s) là khoảng cách từ điểm A đến tiếp tuyến của đường

tâm tại điểm s

z d z s

Đây là một quan hệ có dạng :

Toạ độ sectơ được diễn giải hình học đơn giản là bằng hai lần diện tích quét bởi đường thẳng nối từ tâm xoay A đến điểm s trên

đường tâm Số gia dω = hds là hai lần diện tích của tam giác được

tô gạch chéo trên hình 2.10

đề cập tớiù khả năng thêm một hằng số tuỳ ý vào ω(s) như đã xác

định trong tích phân (2.29) Với tiết diện chữ I đối xứng, vấn đề này đã được giải quyết – một cách hiểu ngầm – bằng cách sử dụng trọng tâm tiết diện làm tâm xoay và làm gốc toạ độ sectơ s Với tiết diện tổng quát, việc xác định đúng tâm xoay A và hằng số

thêm vào trong toạ độ sectơ ω(s) có liên hệ mật thiết với vấn đề

tách rời sự xoắn ra khỏi sự uốn và giãn dài của dầm Câu hỏi này là mục tiêu của phần kế tiếp sau

2.2 Phân tích các đặt trưng hình học của tiết diện thành mỏng hở

Các phương trình cân bằng của dầm đàn hồi tiết diện thành mỏng hở tổng quát sẽ được phát triển từ thế năng biến dạng của dầm Phương pháp này có một số thuận lợi, được trình bày ngắn gọn sau đây

Thế năng được thiết lập dưới dạng chuyển vị và biến dạng và do đó chỉ có mô tả về động học của dầm là cần thiết để tìm được thế năng biến dạng của dầm Công việc nền tảng của các mô tả động lực học của dầm đã được thực hiện trong phần 1 bằng việc đưa vào toạ độ sectơ để mô tả sự vênh tiết diện

Năng lượng biến dạng của dầm đàn hồi có dạng bậc hai đối với các chuyển vị tổng quát Các kiểu biến dạng tương ứng là sự giãn dài, uốn và xoắn Và do đó được tách ra nhờ yêu cầu rằng các hệ số kết hợp trong năng lượng biến dạng phải triệt tiêu Điều này đưa đến các định nghĩa tổng quát và đơn giản của tâm cắt, tức là một điểm của tiết diện ngang mà có thể chịu được lực ngang mà không gây xoắn dầm Định nghĩa tổng quát của tâm cắt như là trục quay của tiết diện đưa đến sự tách biệt của năng lượng liên quan tới sự uốn và xoắn được đưa ra do Trefftz năm 1935

Các tham số tiết diện mô tả cho dầm như diện tích, moment quán tính, moment xoắn, , xuất hiện như các hệ số trong thế năng

biến dạng Tham số I ω mô tả độ cứng vênh của tiết diện trong xoắn không thuần tuý nhận được ở dạng tổng quát từ công thức này Phương trình cân bằng và các điều kiện biên có liên quan thu được từ thế năng trong chương kế tiếp

Đạo hàm gốc của phương trình cân bằng cho dầm thành mỏng của Vlasov (1961) đã dựa trên các nghiên cứu về cân bằng Trong khi về mặt quan điểm đơn giản phương pháp này không dễ dàng để tổng quát hoá cho dầm đặt và dầm có tiết diện thay đổi, cách lập công thức theo kỹ thuật số thì thuận lợi hơn dựa trên một số các công thức năng lượng Một sự kết hợp giữa tĩnh học và động học đã được sử dụng bởi Kollbrunner và Hajdin (1972), họ đã dùng nguyên lý công ảo trên một lát mỏng của dầm Hiện nay, việc lập công thức chỉ cần đến các giả thiết động học, và bằng cách dùng thế năng biến dạng của toàn bộ dầm Các điều kiện biên tĩnh học thu được trực tiếp như trình bày trong phần kế tiếp Công thức hiện tại được xác định bởi Krenk (1989)

Trong chương kế tiếp thế năng biến dạng được sử dụng để xác định các phương trình cân bằng dưới dạng các phương trình vi phân với các chuyển vị tổng quát Trong phạm vi lời giải số, thế năng là một điểm khởi đầu thuận lợi, và sự thay thế của cách biểu diễn chuyển vị xấp xỉ trực tiếp dẫn đến hệ phương trình tuyến tính thích hợp Công thức năng lượng cũng được tổng quát hoá cho bài toán ổn định tuyến tính của dầm thành mỏng và khung

2.2.1 Động học dầm

Thế năng được biểu diễn dưới dạng chuyển vị và biến dạng Vì vậy bước đầu tiên của việc xác định thế năng là biểu diễn trường chuyển vị dưới dạng những chuyển vị tổng quát thích hợp mô tả sự dịch chuyển, sự xoay và sự vênh của tiết diện ngang của dầm

Chúng ta hãy khảo sát một dầm thẳng tiết diện không đổi Để thuận lợi, ký hiệu trục z song song với trục dầm, trục x1 và x2 mô tả mặt phẳng tiết diện, xem hình (2.12)

Hình 2.12

Xem hình vẽ minh hoạ trong hình (2.13) Tại một điểm trên tiết diện tồn tại ba thành phần chuyển vị, hai chuyển vị trong mặt phẳng của tiết diện theo hai phương tương ứng ký hiệu là u1, u2, (uα), chuyển vị theo phương trục z ký hiệu là w Chuyển vị tổng quát của tiết diện mô tả bởi các dịch chuyển của tiết diện như một miếng cứng ξα = (ξ1, ξ2) và chuyển vị xoay quanh một điểm aα

= (a1, a2) Quan hệ giữa các thành phần chuyển vị của chất điểm với chuyển vị tổng quát của tiết diện:

Hình 2.13

( )

ξ

ϕ ξ

1 1 2 2

2 2 1 1

a x u

a x u

−+

Thành phần chuyển vị dọc trục bao gồm bốn phần, một thành phần dịch chuyển dọc trục của tiết diện, hai chuyển vị xoay quanh các trục x1, x2 và cuối cùng là chuyển vị do vênh tiết diện Để thuận tiện ta giả sử tiết diện xoay quanh các trục x1 = c1, x2 = c2 điểm cα = (c1,c2) sẽ được khảo sát sau

Biến dạng cắt của dầm khi chịu uốn triệt tiêu, và do đó góc xoay quanh các đường x1 = c1, x2 = c2 tương ứng là −d ξ1 dz và −d ξ2 dz Thành phần chuyển vị dọc trục do vênh được xác định từ điều kiện biến dạng cắt bằng không trên mặt trung bình đưa đến phương trình (2.28)

Từ các giả thiết trên, chuyển vị dọc trục của một điểm trên tiết diện ngang biểu diễn theo công thức:

dz

d c x dz

d c x

w=ς− − ξ − − ξ2 −ω ϕ

2 2 1 1

Sự biến thiên của w(z) được diễn tả qua bốn thành phần độc lập như trên hình 2.14 Ba thành phần đầu tiên, 1, x1 - c1, x2 - c2, ứng với giả thiết Euler – Bernoulli cổ điển rằng tiết diện ngang vẫn phẳng, thành phần cuối cùng là do vênh tiết diện

Hình 2.14

Các chuyển vị tổng quát của dầm thành mỏng tiết diện hở là các hàm ζ(z), ξα(z), ϕ(z) và các đạo hàm dξα(z)/dz và dϕ(z)/dz Vì vậy lý thuyết dầm thành mỏng đàn hồi tiết diện hở có thể xem như là mở rộng của thuyết uốn dầm cổ điển của Euler-Bernoully trong đó sự vênh St Venant -ω(s)dϕ/dz được kết hợp có hệ thống và sự xoắn không thuần nhất cũng được kể đến

Các chuyển vị biểu diễn trong (2.31) và (2.32) được xây dựng từ giả thiết rằng biến dạng cắt triệt tiêu trên mặt trung bình Điều này có thể được kiểm tra bằng cách tính toán biến dạng cắt từ các biểu diễn chuyển vị, và trên thực tế dạng chi tiết hơn của hàm vênh bao gồm sự biến thiên qua bề dày của thành có thể được tìm thấy theo cách này Các thành phần biến dạng cắt γα = (γ1, γ2) là :

1 2 2 1

w z

2 1 1 2

w z

tuyến biểu diễn trên hình 2.15, là t α = (t 1 , t 2 ) = (dx 1 /ds, dx 2 /dz), và

từ đó theo quy tắc chuỗi và (2.35), (2.36) ta thu được :

ds

dx a x

ds

dx x ds

dx x

t x

t x s

2 1 1 1 2 2

2 2 1 1 2 2 1 1

−+

Vectơ pháp tuyến địa phương là n α = (n 1 , n 2 ) = (dx 2 /ds,-dx 1 /dz) Do

đó, vế phải của (2.37) có thể đồng nhất với phép chiếu của vectơ

(x 1 - a 1 , x 2 - a 2 ) lên pháp tuyến, xem hình 2.15 Đây là tham số h(s) đã được giới thiệu trước đây

ds

dx a x s

1 1 1 2

dx a x

ds

dx x ds

dx x

n x

n x n

2 2 2 1 1 1

1 2 2 1 2 2 1 1

ω ω

ω ω

ω

(2.40)

Vế phải của phương trình là đổi dấu của hình chiếu của vectơ (x1 –

a1, x2 – a2) lên vectơ tiếp tuyến đơn vị (dx 1 /ds, dx 2 /ds) Điều này

xác định tham số h(s) thể hiện trên hình 2.15

ds

dx a x s

2 2 1 1

Với giá trị của hàm vênh ω trên đường tâm của thành tiết diện, quan hệ (2.42) xác định một biến thiên tuyến tính của ω qua bề dày của tiết diện, tức là

n h z s

w z

ω ϕ

ra trực tiếp từ biểu thức chuyển vị dọc trục (2.32)

2 2

2 2 2 2 2 1 2 1

d s dz

d c x dz

d c x dz

d z

2.2.2 Thế năng biến dạng

Thế năng bao gồm hai phần, năng lượng biến dạng của dầm và công thực hiện bởi ngoại lực Theo phần lý thuyết đã trình bày trong phần trên, chỉ có hai thành phần biến dạng là biến dạng dọc trục ε theo biểu thức (2.45) và biến dạng cắt St Venant γ theo biểu thức (2.44) Từ đó, ứng suất trong dầm thành mỏng theo phân tích ở trên chỉ có hai thành phần là ứng suất cắt tiếp tuyến và ứng suất dọc trục:

γ τ

ε σ G

E

=

=

(2.46)

Trong đó E là module đàn hồi và G là module cắt của vật liệu Nói một cách nghiêm túc điều này gây mâu thuẫn cho giả thiết tiết diện ngang không biến dạng, nhưng trong thực tế sự co lại theo phương ngang không bị cản trở và biến dạng này được bỏ qua Thành phần biến dạng cắt và ứng suất cắt nêu ra ở đây chính là biến dạng và ứng suất xoắn St Venant Nói chung, sự cân bằng cục bộ cần sự có mặt của ứng suất cắt phụ thêm để cân bằng với sự biến thiên của ứng suất dọc trục σ dọc theo dầm Tuy nhiên đây là một phần trong các giả thiết động học của lý thuyết dầm, rằng các ứng suất cắt này không sinh ra biến dạng cắt, và do đó chúng không tham gia vào năng lượng biến dạng Ưùng suất cắt phụ thêm này có thể được xác định từ sự cân bằng cục bộ như được trình bày trong phần sau

Mật độ năng lượng biến dạng tính theo hai thành phần này:

2 2 1 2 2

Năng lượng biến dạng trên một đơn vị chiều dài của dầm suy ra từ việc lấy tích phân của mật độ biến dạng trên tiết diện ngang Dùng ký hiệu đạo hàm, tích phân của biến dạng dọc trục (2.45) cho ta công thức sau:

ξ ξ ς ε

ωω ω ω ω

ω ω ω

2 1

2 1

2 22 21 2

1 12 11 1

2 1

2 1 2

S S I I I

I I I

S A S S S E

dA

E

A

,,

A

dA c

x α α

α

SMoment quán tính : Iαβ =∫ (x α −c α) (x β −c β)dA

A

dA s ω

x α α ω

αω

I

∫G dA GK

A

2 1 2 2

pw u p pw u p u

7 thành phần chuyển vị và tải trọng

Bảng 2.2 Tải trọng dầm

A

dA p

q α α

A

pdA q

A

pdA c x

m α α α

A

dA p a x p a x

m 1 1 2 2 2 1

A

pdA s

b ω

Tổng năng lượng biến dạng của dầm là:

p G

E

2 1 2 2

Một cách thuận lợi để tính tích phân của hàm năng lượng là ta chuyển tích phân trên thể tích thành tích phân trên tiết diện ngang A sau đó tính tiếp tích phân theo chiều dài dầm L, tức là tích phân dạng:

, , , ,

ϕ ϕ

ϕ ϕ ξ ϕ ς ϕ

ϕ ξ ξ ξ ς ξ

ϕ ς ξ ς ς ς ϕ

ϕ ϕ ξ ξ

ξ

ς

ς

α α α

α

ωω β

ωβ ω

αω α β αβ α α α

ω β

α α

′

−

′

−++

′

′+

m

K G

I I

I I

S

S S

A E

qq-

S-

2 1

)

( ,

, , ,

2.2.3 Tâm đàn hồi và tâm cắt

Mật độ thế năng F() xác định theo công thức (2.55) chứa đựng các số hạng kết hợp, tức là chứa hai chuyển vị tổng quát khác nhau như là ς′S β ξ β′′ Sự hiện diện của số hạng này cho thấy rằng một lời giải có liên quan tới độ giãn dài, mô tả bởi ς’, sẽ cũng kích hoạt sự uốn , mô tả bởi ξ”β Sự kết hợp này được loại trừ nếu

Sβ=0 tương tự cho các số hạng kết hợp khác Có thể yêu cầu để mô tả biến dạng của dầm bằng các kiểu biến dạng độc lập đại diện cho sự giãn dài, sự uốn và xoắn Điều này có thể thực hiện được nếu tất cả các hệ số kết hợp được triệt tiêu

Việc loại bỏ Sα sẽ loại bỏ sự kết hợp giữa giãn dài và uốn Suy ra trực tiết từ định nghĩa trong bảng 1 với Sα là moment tĩnh đối với trục đi qua cα, Sα = 0 dẫn đến biểu thức xác định điểm cα :

∫

=

A

dA x A

Công thức này xác định tâm đàn hồi cα của tiết diện ngang Định nghĩa này là rất nổi tiếng của lý thuyết dầm chịu uốn Navier Trong trường hợp tiết diện không đồng nhất, lý thuyết này có thể tổng quát hoá bằng cách đưa vào môđun đàn hồi E trong tích phân khi xác định Sα và A

Theo cách tương tự, sự xoắn có thể tách khỏi sự giãn dài và uốn bằng điều kiện :

Điều kiện (2.59) được thoả mãn nhờ chọn tương ứng điểm aα = (a1,

a2), là tâm cắt, và điều kiện (2.58) được thoả mãn bằng cách thêm những hằng số phụ trợ thích hợp vào định nghĩa (2.29) của toạ độ sectơ ω

Để tìm ra tâm cắt aα một toạ độ sectơ ωb được định trước dùng hệ một trục xoay giả thiết bα Đạo hàm của toạ độ sectơ ωa đối với trục xoay đúng nhưng chưa biết aα được cho bởi quan hệ (2.35) và (2.36) Đạo hàm của toạ độ sectơ ωb được cho bởi quan hệ tương tự nhưng thay aα bằng bα Tiến hành lấy vi phân ta có ;

( ) ( )

2 2 1

a b x

b a

a b x

b a

Trong đó c là một hằng số tích phân chưa biết

Hằng số c được xác định bằng cách thay thế biểu thức (2.62) vào điều kiện trực giao (2.58) , Sα = 0

A

A dA s A

Chọn một hằng số tích phân c ứng với việc chọn một giới hạn

thấp hơn tương ứng trong tích phân (2.29) khi xác định toạ độ ω

Toạ độ aα của tâm cắt được xác định bằng cách thay thế biểu thức (2.62) vào điều kiện trực giao (2.59) Điều này cho ta phương trình :

I I I I I b

b a

a

ω

ω

1 2 22 12

12 11 2 12 22 11 2 1 2

(2.66)

Công thức này sẽ đơn giản khi khảo sát nếu I 12 = 0 , tức là trục

toạ độ song song với trục chính của tiết diện Đây sẽ là một chọn lựa điển hình với các tiết diện đối xứng Để chỉ thị rằng một hệ

toạ độ đặc biệt được dùng, các moment chính được ký hiệu là I 1 và I 2 Trong hệtoạ chính, công thức (2.66) được đơn giản như sau:

2 2 2

1 2

1

I I

I I b

b a

a

b b ω

Khi (c1, c2) là tâm đàn hồi đã cho theo (2.57), và (a1, a2) là tâm cắt xác định theo (2.66) và (2.67), và hằng số tích phân c được xác định theo (2.63), bài toán xoắn được tách rời khỏi bài toán kéo nén và uốn dầm Điều này là thuận lợi theo quan điểm phân tích, và cũng phục vụ cho việc mô tả rõ ràng cơ cấu xoắn không thuần tuý, tức là xác định độ cứng xoắn phụ thêm do vênh tiết diện

Độ cứng vênh của tiết diện ngang có thể đạt được từ tích phân

toạ độ sectơ ω a đối với tâm cắt hoặc chuyển moment sectơ với toạ

độ sectơ ω b Trong thực tế không cần thiết phải định nghĩa lại toạ độ sectơ theo (2.62) hoặc tính toán lại dùng tâm cắt aα Một cách

khác moment sectơ I a

ωω có thể tính trực tiếp từ moment sectơ I b

Thay thế ω a từ (2.62) vào công thức tính I a

ωω và biến đổi sử dụng (2.63) – (2.66) đưa đến công thức chuyển đổi sau đây :

1 1 11 12

12 22

2 2 1 1 2

1

b a

b a I I

I I

b a b a S

Suy ra từ biểu thức này rằng moment sectơ chính I a

ωω xác định đối

với tâm cắt a α nhỏ hơn moment sectơ I b

ωω xác định cho một điểm

bất kỳ b α Giá trị đặc biệt này là tham số vênh, được ký hiệu là

I ω Điều này tương tự như việc moment quán tính quanh trục đi qua tâm đàn hồi là nhỏ nhất Tọa độ sectơ ωa được xác định đối với tâm cắt và thoả mãn điều kiện bằng không (2.29) được gọi là toạ độ sectơ chính

Trong nhiều trường hợp toạ độ sectơ đơn giản ω b có thể đạt được

bởi sự lựa chọn tốt một trục xoay sơ bộ b α như minh hoạ trong phần sau

2.2.4 Phân tích tiết diện ngang

Một thủ tục phân tích tiết diện điển hình được thực hiện theo các bước sau đây :

• Chọn một hệ toạ độ thuận lợi xα và một cực sơ bộ B

• Tính toán diện tích tiết diện

• Tìm vị trí của tâm đàn hồi bằng các moment tĩnh

• Tính các moment quán tính Iαβ đối với trục đi qua tâm đàn hồi C

• Tìm toạ độ sectơ ban đầu ωb và tính toán moment Sb

ω và

Ib

αω

• Tìm vị trí tâm cắt aα theo (2.66), (2.67)

• Tìm hằng số xoắn Iω theo (2.68)

0

(2.69)

Với tiết diện tổ hợp từ các bản phẳng có bề dày không đổi t, các

hàm f(s) và g(s) là tuyến tính, tích phân trên từng đoạn tiết diện

được tính theo công thức đơn giản sau đây :

0

22

lt ds t s g s f

l

+++

Hình 2.17

Khảo sát tiết diện thành mỏng chữ [ như trên hình 2.17 Bề dày t

rất nhỏ so với a Diện tích tiết diện là :

at

A 4=

Khoảng cách từ bản bụng đến tâm đàn hồi là :

a A

at a

2 1 1