Bài soạn DE THI + DAP AN HSG TOAN 8

Trờng THCS Đức Thắng

đề khảo sát học sinh giỏi lần 2

năm học 2010-2011 Môn Toán lớp 8 Thời gian: 120 phút Câu 1: (2đ)

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6

b, Cho x  Z chứng minh rằng x200 + x100 +1  x4 + x2 + 1

Câu 2: (1.5đ)

Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +Z = xyz và

x

1

+1y +

z

1

= 3 Tính giá trị của biểu thức P = 2 2 2

1 1 1

z y

x  

Câu 3: (2đ) Tìm x biết

a, 3 x 2< 5x -4

b,

57

43



x

+

54

46



x

=

48

52 51

49 



x

Câu 4: (2đ)

a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3

 9 với mọi n N*

b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = y x z z y x x z y











Câu 5: (2.5đ)

Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b

Vẽ các đờng phân giác BD, CE

a, Chứng minh rằng DE // BC

b, Tính DE từ đó suy ra

b a DE

1 1 1





Câu 6:

Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn x2 = y2 + 2y +13

-Hết -Họ tên Thí sinh:

-Trờng THCS Đức Thắng

Hớng dẫn chấm hsg toán 8

a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1

 A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)

b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x2 )+ (x4+x2+1)

=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +

(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)

dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1

 A x4 + x2 + 1

0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.5đ

Cau 2 :

(1.5đ)

Có (1 1 1) 2

z y

x  = 2 2 2

1 1 1

z y

x   + 2( 1 1 1 )

yz xz

xy 

( 3 ) 2= p + 2zxyz yx ; 3 = p+2 ( vì x +y+z=xyz)

suy ra P = 1

0.5đ 0.5đ 0.5đ

Câu 3:

(2đ) a, giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4

làm đúng đợc x> 3

b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung

(x+100)(

48

1 51

1 54

1 57

1





 ) = 0  S =  100

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

Câu 4:

(1.5đ) a, = n

3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)

=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)

Đặt B= n3+3n2+3n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3

=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)

Ta thấy n(n+1)(n+2) 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )

3(n+1) 3  B 3  A =3B =3.3K =9K 9

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c  x+y+z =

2

c b

a 

 x =

2

c b

a 



; y =

2

c b

a 

; z=

2

c b

a 

P =

c

c b a b

c b a a

c b a

2 2

2



















=

) 1

1 1

( 2

1

c

b c

a b

c b

a a

c a

b

















)) (

) ( ) ( 3 ( 2

1

b

c c

b c

a a

c b

a a

b













2

3 Min P =

2

3 ( Khi và chỉ khi a=b=c  x=y=z

0.5đ

0.25đ

0.25đ

0.5đ

Câu 5:

(2đ)

Câu 6: 1đ

a,  

1 2

B B 

a

b BC

BA DC

AD



 (1)

 

1 2

EB CB  (2)a

Từ (1) và (2) suy ra AD AE

DC EB  DE//BC

b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x

áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có DE AD

BC AC hay





; ax +bx =ab ; x = ab

a b = DE Suy ra 1 a b 1 1



  

x

2 1

x A

D E

0.25đ 0.25đ

0.25đ 0.25đ

0.5đ

0.5đ

0.25đ

0.25đ

-HS biến đổi đợc

x2 = y2 + 2y +13  x2 = (y + 1)2 + 12

 (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y  N* nên

(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai

số nguyên dơng chẵn

Mà 12 = 2.6  Chỉ xảy ra một trờng hợp

(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2  x = 4 và y = 1

0.5đ

Trên đây chỉ là gợi ý chấm Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa