Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của C đến tiếp tuyến bằng 3 2.. Theo chương trình chuẩn... Chú ý:Họ
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC
Trường THPT Ba Đình Lần 1- Năm học 2010-2011
Môn: Toán, khối A-B
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I(2 điểm): Cho hàm số
3
6
x
x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến bằng 3 2
Câu II(2 điểm): 1 Giải phương trình : 2(1 + 2sinx)cos(
3
2x ) = 1
2 Giải hệ phương trình :
2 15 2
) (
10 1
2 2 2 2
y x
y x y
y xy
y x
Câu III(1 điểm): Tìm giới hạn L = 3 3 2
2
) 2 1 ln(
lim 2
x e
x
x
Câu IV(1 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có
SA = SB = SC = 2a ;AB = a 3 ; AC = 3a (a > 0).Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.
Câu V(1 điểm): Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc A , B , C thoả mãn:
2
C tan 2
B tan 2
A tan 4
1 2
B tan 2
A tan 1
2
C tan 2
A tan 2
C tan 1
2
B tan 2
C tan 2
B tan
1
2
A tan
PHẦN RIÊNG : Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa(1 điểm):
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) và đường tròn (C) lần lượt có phương trình:
3x + my + 6 = 0; 2 2 2 4 11 0
x .Gọi I là tâm của đường tròn (C), tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A,B phân biệt Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Câu VIIa(2 điểm):
1.Giải phương trình: log4( 5x 2 ) log7( 3 2 5x 2 )
2.Tính 2011
2011
4 2011
3 2011
2 2011
1
2011 2C 3C 4C 2011C C
B.Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb(1 điểm):Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình chứa
các cạnh AB,AC,BC lần lượt là:3x + 4y - 6 = 0;4x +3y - 1 = 0;y = 0.Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu VIIb(2 điểm):
1.Giải phương trình: 3 9x ( 3x 13 ) 3x 4 x 0
2.Tính 2011
2011
3 2011
2 2011
1 2011
0
1
4
1 3
1 2
1
C C
C C
C
.HẾT
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Lần 1- Năm học 2010-2011
Môn: Toán, khối A-B
Trang 2Thời gian làm bài: 180 phút
a.Tập xác định : D = R \{-3}
b Sự biến thiên
xlim 3 ;
lim 1
y
y
) 3 (
9 2 '
x
Bảng biến thiên
x -3
'
1
1
0.25
c.Đồ thị
1
-3 0 6
-2
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(-3;1) là tâm đối
xứng
0.25
Giả sử M(x0;y0) (C); x0 3 Phương trình tiếp tuyến tại M là:
3
6 )
( ) 3 (
9
0
0 0 2
x
x x x x
x
0
2
0.25 Giao điểm hai tiệm cận I(-3;1) là tâm đối xứng của đồ thị.Theo bài
Trang 3ra khoảng cách từ I đến (d) bằng 3 2 nên :
0
0 2 0 2 0
) 3 ( 81
18 12 )
3 ( 27
x
x x
x
2 3
) 3 ( 81
) 3 ( 18
2 0
0
x
4 0
2
0 3 ) 81 ( 3 ) (
6
0 3
3 9
) 3 ( 0 9 ) 3 (
0
0 0
2 0 2
2
x x
x x
0.25
Phương trình đã cho tương đương với:
1 ) 2 sin 2
3 2
cos 2
1 )(
sin 2 1
(
1 2 sin sin 3 2 2 cos sin 2 2 sin 3 2
0.25
0 2 sin sin 3 2 2 cos sin 2 cos sin 3 2 1 2
0 2 sin sin 3 2 2 cos sin 2 cos sin 3 2 sin
0 ) 2 sin 3 2 cos cos 3 (sin
0.25
sinx0 xk
.sinx 3 cosx cos 2x 3 sin 2x 0
) 3 2 cos(
) 6 cos(
2 sin 2
3 2 cos 2
1 cos 2
3 sin 2
0.25
2 ) 3 2 (
2 k
x
3
2 18
k
x (k )
2 k
3
2 18
k
x (k )
0.25
2 15 2
) (
10 1
2 2 2 2
y x
y x y
y xy
y x
y x
y x y
y y
x y x
15 ) 1 ( 2 ) (
10 ) ( 1
2 2
2
( I )
0.25
15 1 2 ) (
10 1
2 2 2
y x y
x
y x y x
y
x
; 1
2
hệ trở thành:
15 2
10
2 a b
b a
+
15 2
20 2
2
b
b a
0 35 2 10
2 b b b a
5 5
b a
7 17
b a
0.25
Trang 4Với
5 5
b a
thì
5 5 1
y x y
x
5 5 1
2
y x
y x
5
0 24 5
2
y x
x x
2 3
y
14 8
y x
0.25
7 17
b a
thì
7 17 1 2
y x y
x
7 17 1
2
y x
y x
7
0 120 17
2
y x
x x
hệ vô nghiệm
2 3
y x
;
14 8
y x
0.25
2
) 2 1 ln(
lim 2
x e
x
x
2
3 2 2
3
2 2
0 1 1 2 1
) 2 1 ln(
lim 2
x
x x
e
x x
x x
0.25
Tính:
2
) 2 1 ln(
lim ) 2 1 ln(
2 0
2 2
x x
x
x x
3
1 lim
1
3 0 2
3 0
2 2
e x
x
x
x
0.25
3
2 1 2 1 ) 2 1 (
2 lim
) 1 2 1 ) 2 1 ( (
2 lim
1 2 1 lim
0
2
2 0
2
0
x x
x x
x
x x
x
x
x x
0.25
6 3
2 3
2
L
2 1
) 2 1 ln(
lim
3
2
x L
x
IV
S
M
Trang 5
C H
A
I
HC
0.25
Suy ra tam giác ABC vuông tại A và H là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt phẳng
trung trực của cạnh SC cắt SH tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp.Tam giác ABC vuông tại A nên :
3 2
2 2
a AB AC
2
1
a BC
0.25
Gọi M là trung điểm của SC , khi đó hai tam giác vuông SMI và
a
a a SH
SC SC SH
SC SM SI
SI SH
SM
2 2
2
1
V
2
A
2
B
2
C
nên
x > 0, y > 0, z > 0,và
2
tan 2 tan 1
2
tan 2 tan 2
tan ) 2 2
cot(
2
A cot
C B
C B
C B C
B
2
tan 2
C tan 2
tan 2
B tan 2
tan 2
A
do đó xy + yz + zx = 1.Khi đó :
0.25
xy
z zx
y yz
x S
1 1
1 2
B tan 2
A tan 1
2
C tan 2
A tan 2
C tan 1
2
B tan 2
C tan 2
B tan 1
2
A tan
1 4 1
Dấu bằng xảy ra khi
4 1
1
4 1
1
(do
Trang 6xy + yz + zx = 1)
Hay xy x yz yz x zx x yz
( 4
1
(do x > 0)
0.25
( 4 1
zx z xy xy z yz z xy
( 4 1
z y
x )
1 1 1 ( 4
1
xyz
zx yz xy
4
1
Dấu bằng xảy ra khi
3 1
z y x zx
y z
x y
yz xy
xy zx
x y zx
zx
y z
zx yz
y z
x y
Vậy :
2
C tan 2
B tan 2
A tan 4
1 2
B tan 2
A tan 1
2
C tan 2
A tan 2
C tan 1
2
B tan 2
C tan 2
B tan 1
2
A tan
khi
2
A
2
B tan
3
3 2
C
giác đều
0.25
0 11 4 2
2 2
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) bán kính R = 4
Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
0.25
Nên với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm A,B phân
biệt
sin 2
1IA IB
8 sin 8 ( Do sin 1).Vậy diện tích tam giác IAB lớn
0.25
2
2
IAB vuông cân tại I)
9
6 2 3 2
m
m
0.25
2
10 3 9 4
10 6 18 0
9 36
0.25
Trang 7Vậy m 9 23 10 là giá trị cần tìm.
VII
a
2 ) 5 (
t t t
1 ) 7
2 (
2 ) 7
1 (
Ta nhận thấy t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).Thật vậy
các hàm số mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 là hàm số nghịch biến
nên :
0.25
7
1 (
3 t
và ) 2 72
7
2 (
7
2 (
2 ) 7
1 (
Vậy t > 1 không là nghiệm của (1)
0.25
Tương tự t < 1 cũng không là nghiệm của (1)
Với t = 1 thì log4( 5x 2 ) 1 5x 2 4 5x 2 x log52
0.25
1
n k
k
n nC
2010
1
2011 2011C
2010
2
2011 2011
2010
3
2011 2011
2010
2011
2011 2011
2010
2 2010
1 2010
0
C
Xét khai triển : f(x) ( 1 x) 2010
0.25
2010 2010 2010 2
2 2010
1 2010
0 2010
) 1
Thay x = -1 ta có :
2010
2 2010
1 2010
0
2010 C C C
C
2011
4 2011
3 2011
2 2011
1
Trang 8VIb A là giao điểm của AB và AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
) 3
; 2 ( 3 2 0 1 3 4
0 6 4 3
A y x y
x
y x
B là giao điểm của AB và BC nên toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
) 0
; 2 ( 0 2 0
0 6 4 3
B y x y
y x
0.25
4
1 (
C
Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc A là:
16 9
1 3 4 16
9
6 4 3
x
) 1 ( 0 1
0 5
y x
y
4
1 )(
1 2
vậy (1) là phương trình đường phân giác trong của góc A
Tương tự ta có x+3y-2=0 là phương trình đường phân giác trong
của góc B.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì toạ độ I
2 2 0
2 3 0 1
y x y
x y x
0.25
Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì
2
1 ( ) 2
1 (x 2 y 2
0.25
VII
b
t
x t
t
4 3
Với
3
1
3
1
3x x
0,25
4
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*).Thật
vậy hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 là hàm số đồng biến ,hàm số y =
4-x là hàm số nghịch biến nên :
Với x > 1 thì 3 x 3 và 4 - x < 3 nên x > 1 không là nghiệm của
phương trình (*)
0.25
Tương tự x < 1 cũng không là nghiệm của (*).Vậy nghiệm của
phương trình là: x = - 1;x = 1
0.25
Trang 92 1.0
n
k
C
1
(nk;k,nN* )
1 1 1
1 1
n k C n k
n
C
2012
0 2011 2012
1
C
2012
1
2011 2012
1 2
1
C
2012
2 2011 2012
1 3
1
C
2012
2011
2011 2012
1 2012
1
C
2012
2012
3 2012
2 2012
1
C
0.25 Xét khai triển :f(x) ( 1 x) 2012
Khi x = 1 ta có :
2012 2012
3 2012
2 2012
1 2012
0 2012
2 C C C C C
0.25
1 2 2012 2012 2012
3 2012
2 2012
1
2012
1 2012
S
.HẾT
Chú ý:Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
