Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä döông Caâu II: ( 2 ñieåm)1. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’..[r]
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH,CĐ NĂM 2003 ( KHỐI A)
Câu I: ( 2 điểm) Cho hàm số y = mx2+x +3
x −1 (1) ( m là tham số )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương
Câu II: ( 2 điểm)
1 Giải phương trình : cot gx −1= cos 2 x
1+tgx+sin
2x −1
2sin 2 x
2 Giải hệ phương trình :
¿
x −1
x=y −
1
y
2 y =x3
+1
¿{
¿
Câu III: (3điểm)
1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]
2 Trong kgian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) , (a > 0, b > 0)
Gọi M là trung điểm cạnh CC’
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b
b) Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau
Câu IV: (2 điểm)
1 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của (x13+√x5
)n , biết rằng C n +4 n +1 −C n+3 n =7(n+3) ( n là số nguyên dương , x > 0, C n k là tổ hợp chập k của n phần tử)
2 Tính tích phân : I = ∫
√ 5
2√3 dx
x√x2+4
Câu V: (1 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z 1
CMR : √x2
+ 1
x2+√y2
+ 1
y2+√z2
+1
z2≥√82
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu I: ( 2 điểm) Cho hàm số y = mx2+x +3
x −1 (1) ( m là tham số )
2) Pt hoành độ giao điểm của (1) và Ox : mx2+x +3
x −1 = 0
¿
mx2
x ≠ 1
¿{
¿
(*)
YCBT Pt (*) co1 hai nghiệm phân biệt x1, x2 1 và 0 < x1 < x2 Tức là :
¿
m≠ 0
Δ=1− 4 m2>0
m>0
m>0
m+1+m≠ 0
⇔
¿m≠ 0
−1
2<m<
1
2
m<0
1>0
m≠ −1
2
2<m<0
¿{ { {{
¿
Câu II: ( 2 điểm)
1) ĐK :
¿
tgx ≠ −1 sin 2 x ≠ 0
⇔
¿x ≠ − π
4+kπ
x ≠ k π
2 (k ∈ Z )
¿{
¿ Với đk trên ta có : cot gx −1= cos 2 x
1+tgx+sin
2
x −1
2sin 2 x
cos x − sin x
cos x (cos2x −sin2x)
cos x +sin x +sin x (sin x − cos x)
cos x − sin x sin x =cos x (cos x −sin x )− sin x (cos x −sin x )⇔(cos x −sin x)[sin x cos x −sin2
x −1]=0
Trang 3
cos x − sin x=0
¿
2 sin2x −sin x cos x +cos2x=0
¿
⇔
¿
√2 cos(x + π
4)=0
¿
2 tg2x − tgx+1=0(VN)
¿
4+kπ ,(k ∈ Z )
¿
¿
¿
¿
2)
¿
x −1
x=y −
1
y(1)
2 y =x3+1(2)
¿{
¿
ĐK : x 0, y 0
(1) x2 – y = 1x −1
y xy(x – y) + x – y = 0 (x – y)(xy + 1) = 0
x= y
¿
xy=−1
¿
⇔
¿
x= y
¿
x
¿
¿
¿
¿
¿
¿
+) Thay x = y vào (2) : x3 – 2x + 1 = 0 (x – 1)(x2 + x – 1) = 0
x=1
¿
x = − 1±√5
2
¿
⇒
¿
y=1
¿
y= −1 ±√5
2
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Do đó hệ có 3 nghiệm : (1 ; 1), (−1+√5
−1+√5
2 );(−1 −√5
−1 −√5
+) Thay y = −1
x vào (2) : −2
x=x
3 +1 x4 + x + 2 = 0 (2’) Xét hàm số : f(x) = x4 + x + 2
Trang 4f’(x) = 4x3 + 1
f’(x) = 0 x = −31
√4 Bảng xét dấu :
f(x) = x4 + x + 2 2− 31
√4 > 0
pt (2’) vô nghiệm
KL:Vậy hệ có 3 nghiệm
Câu III: (3điểm)
1)
Dựng BH A’C (a) (H A’C)
¿
BD⊥ AC
}
¿
BD (AA’C) BD A’C (b)
từ (a), (b) suy ra : A’C (BDH) DH A’C
Do đó góc nhị diện [B, A’C, D] là góc BHD
Gọi a là cạnh của hình lập phương
Kih đó : BC = a, A’B = a √2 , BD = a √2
A’BC tại B có A’C = √A ' B2+BC2=√2 a2+a2=a√3
1
BH2=
1
A ' B2+
1
BC2=
1
2 a2+
1
a2=
3
2a2 BH2 = 2 a2
3 tương tự : DH2 = 2 a2
3
Aùp dụng định lý Cosin cho BHD : CosBHD = HB
2 +HD2− BD2
2 HB HD =
2 HB2−BD2
2 HB2 =
4 a2
3 −2 a
2
4 a2
3
=−2 a2
4 a2 =−
1 2
Vậy GócBHD = 1200
Do đó góc phẳng nhị diện [B, A’C, D] là 1200
2) A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) , (a > 0, b > 0)
−31
√4
2− 31
√4
H
D’
Trang 5a) Vì AM⃗❑
=AC⃗❑ +AC '⃗❑
2 AC⃗❑ +AA '⃗❑
2 AB⃗❑ +2 AD⃗❑ +AA '❑⃗
2 Nên M (a ;a ; b
2) , BD⃗❑
=(-a; a; 0), BM❑⃗
= (0 ;a ; b
2)
¿
¿0
¿a
❑
¿b
¿0
¿} ,
¿b
¿0❑❑
❑
¿− a
¿− a
¿} ;
¿−a
¿−a ❑❑
❑
¿0
¿a
¿}
¿
[BA '
⃗
❑
, BD
⃗
❑
]
¿
= ( -ab; -ab; -a2)
[BA '⃗❑, BD⃗❑ ].BM⃗❑ =− a2b− a2b
2 =−
3 a2b
2 Vậy VBDA’M = 1
6| [BA '❑⃗, BD⃗❑ ] BM⃗❑ |=1
6.
3 a2b
2 =
a2b
4 ( đvtt) b)Pt (A’BD) : x a+y
a+
z
b=1 bx + by + az – ab = 0 Có PVT : → n1 = ( b; b; a)
Pt (MBD) qua B(a; 0; 0) có VTPT :
A’
Trang 6¿a
¿a ❑❑
❑
¿0
¿b /2
¿} ,
¿0
¿b/2 ❑❑
❑
¿− a
¿0
¿} ,
¿− a
¿0 ❑❑
❑
¿a
¿a
¿}
¿
n
→
2=[BD❑⃗ , BM⃗❑ ]
¿
Để (A’BD) (MBD) thì → n
1 n →2=0
ab2
2 +
ab2
2 − a
3
=0⇔b2
− a2=0⇔ a=b
¿
a=− b(loai)
¿
¿
¿
¿
¿
a = b a b=1
Vậy khi a b=1 thì (A’BD) (MBD)
Câu IV: (2 điểm)
1) Ta có : C n +4 n +1 −C n+3 n =7(n+3) (n+4)!
(n+1)!3 ! −
(n+3)!
n! 3! =7 (n+3)
(n + 2)(n +3)(n + 4) – (n + 1)(n + 2)(n + 3) = 7 3 !(n +3)
(n + 2)(n + 4) – (n +1)(n + 2) = 7.3 ! (vì n +¿Z
❑
¿ )
3n = 36 n =12
Mà : (x13+√x5)n=(x +x
1
5)12=∑
k=0
12
C12k x − 3 k(x
5
2)12− k=∑
k=0
12
C12k x
60− 11k
2
Để có số hạng chứa x8 , ta chọn k sao cho : 30 – 11k2 = 8 k = 4
Vậy hệ số của số hạng chứa x8 cần tìm : C124=12 !
4 !8 ! = 495 2) Tính tích phân : I = ∫
√ 5
2√3 dx
x√x2+4 Đặt t = √x2+4 t2 = x2 + 4
dt = 2 x
2√x2
+4 dx dx = tdtx Khi x = √5 t = 3
Trang 7x = 2√3 t = 4
Suy ra : I =
∫
3
4
tdt
(t2− 4)t=∫
3
4 dt
t2− 4=∫
3
4 dt (t −2)(t+2)=
1
4∫
3
4
(t − 21 −
1
t+2)dt=1
4(ln|t −2|− ln|t+2|)¿3
4
=1
4 ln|t − 2 t+2|¿34=1
4 ln
5 3
Câu V: (1 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z 1
CMR : √x2
+ 1
x2+√y2
+ 1
y2+√z2
+1
z2≥√82
Cauchy cho 3 số dương x, y, z : 0 < x.y.z (x+ y +z3 )3≤ 1
27 ⇒ 1
xyz ≥27 Aùp dụng BĐT Cauchy cho 82 số dương gồm : số 81x2 và 81 con số 1
x2 :
81 x2+ 1
x2+ + 1
x2≥ 82 82
√81x160⇔81 x2
+81 1
x2≥ 82.82
√81x160⇔ 81(x2+ 1
x2)≥ 82 82
√81x160
⇔ x2 + 1
x2≥82
81❑
82
√81x160⇒√x +1
x2≥√82
9 41
√x340
Do đó :
xyz¿40
¿
¿
27
¿
√x2+ 1
x2+√y2+ 1
y2+√z2+ 1
z2≥√82
9 .(41
x40+41√ 3
y40+41√ 3
z40)≥√82
9 3
123
√¿
Dấu ‘=’ xảy ra
¿
81 x2= 1
x2
81 y2
= 1
y2
81 z2=1
z2
⇔ x4
=y4
=z4
= 1
81⇔ x = y=z=1
3
¿{ {
¿