Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số 1.. Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2π của phương trình : cos.. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằ
Trang 1ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI A NĂM 2002 Câu I: ( 2,5 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1) (m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm k để phương trình : -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1)
Câu II: ( 1,5 điểm)
Cho phương trình : x 2 x 1 2 m 1 0
3
2
1 Giải phương trình (2) khi m = 2
2 Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3]
Câu III: (2 điểm)
1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình : cos
sin
sin cos
x 2 2 1
x x
x
+
+ +
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x 2 − x + 3, y = x + 3
Câu IV: (2 điểm)
1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
2 Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :
= +
− +
=
−+
−
∆
0 4 z2 y2 x
0 4 z y2
x
+
=
+
=
+
=
∆
t2 1 z
t 2 y
t 1 x
2:
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2
b) Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất
Câu V: (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là
0 3 y
x − − = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
2 Cho khai triển nhị thức :
n 3 x n 1 n 3 x 2 1 x 1 n 3
x 1 n 2 1 x 1 n 2 1 x 0 n 3
x 2
1
x
2 C 2
2 C 2
2 C 2
C 2
2
+
+ +
+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
( n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó 1
n
3
n 5 C
C = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x
ĐÁP ÁN :
Trang 2Câu I: ( 2 điểm)
2
≠
>
24
m 4
15
m
Câu II: ( 2 điểm)
1 Giải phương trình : cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ⇔ -2sin2x.sinx – 2sin2x = 0
⇔ 2sin2x.cosx + sin2x = 0 ⇔ sin2x ( 2cosx + 1) = 0 ⇔ ( )
cos
sin
Z
k 2k 3
2 x
k x 2
1 x
0
x
∈
π +π
±=
π
=
⇔
−=
=
2 Giải phương trình : 2 x − 1 + x2 – 3x + 1 = 0 ⇔
−
=
=
2 2 x
1 x
1
1 z 2
1 y 1
1 x d 1
3 z 1
2 y 2
2 x
−
−
−
=
−
+
=
−
1 d1 có VTCP a→1 = ( 2 ; − 1 ; 1 )
Gọi (P) là mp qua A và (P) ⊥ (d)
−
=
→
)
;
; ( 2 1 1
a : VTCP có
qua
1
A
(P) : 2x – y + z – 3 = 0
Gọi H = d1 ∩ (P) thì H(0; -1; 2) ; A’ đxứng với A qua d khi H là trung điểm của AA’ nên A’(-1; -4; 1)
2 (∆) qua A , vuông góc d1 và cắt d2
+ (∆) đi qua A, vuông góc với d1⇒∆⊂ (P)
+ Gọi K = ∆ ∩ d2⇒ K = (P) ∩ d2
+ (∆)
5
3z 3
2y 1
1x
K
qua
A
−
−
∆⇒
:) (
Câu IV: (2 điểm)
1 Tính tích phân : I = 1 x 2 e dx
0
x
4
e
5 − 2
2 Hệ
=
−
+
− +
=
−
a x y
y 1 x 1 e
ĐK :
−>
−>
1 y
1 x
(2) ⇒ y = a + x thế vào (1) ta được : ex – ea + x = ln(1 + x) – ln( 1 + a + x)
⇔ ex(1 – ea) – ln(1 + x) + ln( 1 + a + x) = 0 (3)
Xét f(x) = ex(1 – ea) – ln(1 + x) + ln( 1 + a + x) với x > -1
f’(x) = ex(1 – ea) ;
+ +
+ +
−
x a 1
1 x
1
1
∀ x > 1 và a > 0
Trang 3Theo BBT ⇒ Đồ thị hàm số f(x) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất x > -1
⇒ (3) luôn có nghiệm duy nhất x > -1 (⇒ y = a + x > -1)
Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất ∀ a > 0
Câu V.a:
1 M ∈ d ⇒ M(t ; t + 3)
(C) có tâm I(1 ; 1) và bkính R = 1
Đường tròn tâm M có bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C)
⇔ IM = R’ + R ⇔ (t – 1)2 + (t + 2)2 = 9 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ tt ==1−2⇒⇒MM(1;(4−)2;1)
2 *Cách 1 : Xét 2 trường hợp :
TH1 : 4 học sinh cần chọn làm nhiệm vụ chỉ thuộc một lớp , có : C C 4 6
4
4
5 + = cách TH2 : 4 học sinh cần chọn làm nhiệm vụ chỉ thuộc hai lớp
+ 4 học sinh chọn từ A và B có : C C C 4 120
4
4 5
4
+ 4 học sinh chọn từ A và C có : C C 4 65
5
4
8 − = cách + 4 học sinh chọn từ B và C có : C C 4 34
4
4
7 − = cách
⇒ Có : 120 + 65 + 34 = 219 cách
Vậy có tất cả : 6 + 219 = 225 cách
*Cách 2 :
f(x)
f’(x) +∞
-∞
_