Gợi ý giải đề thi ĐH khối A năm 2009

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này cắt trục hoàng và trục tung tại hai điểm AB sao cho tam giác OAB cân.. Câu 2: Giải các phương trình:... I là trung điểm

GỢI Ý GIẢI ĐỀ TOÁN KHỐI A NĂM 2009

GV: Phạm Quốc Khánh Trường THPT Lê Quý Đôn - Thái Bình Câu 1:

Cho hàm số: 2

2 3

x y x







1 Khảo sát và vẽ đồ thị

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này cắt trục hoàng

và trục tung tại hai điểm AB sao cho tam giác OAB cân

HD:

1 Tự giải

2 Ta có ' 1 2

(2 3)

y

x

-=

+ Giả sử điểm M a b( ; ) là điểm nằm trên đồ thị hàm số 2

a b a

+

+ Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là d có phương trình:

2

a

+

* A= Çd 0x Vậy toạ độ A thoả mãn hệ:

2 2

0 0

a

y y

ïïî

2

(2 8 6;0)

Þ + + Þ OA= 2a2+8a+6

* B= Çd 0y Vậy toạ độ B thoả mãn hệ:

2

2 2

ì

2

2

0;

B

a

ç

2

2

(2 3)

OB

a

+

Vì tam giác OAB cân tại O nên OA=OB

2

2

(2 3) 1

2

a a

a

+

é

=-ê

Û

ê

=-ë

Với a=-1 ta có OA=OB=0 (loại)

Với a=-2 ta có OA=OB=2 (t/m)

Vậy a=-2

Câu 2: Giải các phương trình:

1 (1 2sinx).cosx 3

(1 2sinx)(1-sinx)

-= +

2 2 33 x- 2+3 6 5- x- =8 0

Giải:

1 Điều kiện:

2 6 1

2 2

6 sinx 1

2 2

ïï ¹ - + p ïï

ï

ï ¹ + p ïïïî

2 osx-sin2x= 3 3sinx-2 3sin

osx- 3sinx=sin2x+ 3 3(1 os2x)

cosx- 3sinx=sin2x+ 3 os2x

cos x+ os

2

c c

k Z

-Û

æ pö÷ æ pö÷

Û çç ÷÷= çç ÷÷

ë ë

2 ĐK: 6

5

x£

Đặt:

3 3

2

15 10 5

18 15 3

ìï - = ï

Vậy ta có hệ phương trình: 2 3 3 2 8

ïï

ïî

2

8 2

3

( 2)(15 26 20) 0(1)

a b

-ïï =

ï

Û í

ïî

Xét 15a2- 26a+20= có 0 D =' 132- 15.20=- 131 0<

2

15a 26a 20 0

Þ - + = vô nghiệm

Vậy

8 2

2 ( / ) 3

4 2

a

a b

t m b

a

ï

=-ïî

Vậy ta có: 6 5- x = Û -4 6 5x=16Û =-x 2

Vậy phương trình có nghiệm x=-2

Câu 3: Tính 2 3 2

0

( os 1) os

p

2 2

1 cos2x (1-sin x) cos

2

1 (1-2sin x+sin x) (sin ) (1 cos2x)

2

1

3 5 2 2 15 4

+

æ öp÷ p ç

= - + - ç ÷çè ø÷=

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D AB=AD=2a, CD=a Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 I là trung điểm AD Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích S.,ABCD theo a

I

A

B

D

C

S

H

Ta có

ïï

íï

ïïî

Ta có:

5 5 2

ìï =

ïï

íï

ïï =

ïî

2

cosIBC

16 3 5

25 5 60

SHI

ïï ïï ïï

ïï

ïïî

0 3 15 tan 60

5

a

2

ABCD

3

S ABCD ABCD

a

Câu 5:

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z dương thoả mãn x(x+y+z)=3yz, ta có:

(x+y) + +(x z) +3(x+y x)( +z y)( + £z) 5(y+z)

HD:

2

x x+ + =y z yz Û +xy+ +xz yz= yz

I

C D

(x y y)( z) 4yz

Đặt u x y

ì = +

ïï

íï = +

ïî

4

ïï

Þ íï = -ïî

Ta có: (x+y)3+ +(x z)3=u3+ = +v3 (u v u)( 2- uv v+ 2)

Áp dụng BDT Bunhiacopsky ta có: ( )2 2 2

(1 1)( )

Vậy : (u+v u)( 2- uv v+ 2)£ 2(u2 +v2) (éu v- )2+uvù

( )

2 2

£ ë - + ûëê - + úû

Ta có: 2yz£ (y+z)2 (Bất đẳng thức Côsi)

( )2

(u+v u)( - uv v+ )£ 4 y+z (y+z)

£ 2(y+z)3

Vậy (x+y)3+ +(x z)3=2(y+z)3

( )3 2

3(x+y x)( +z y)( + =z) 3.4 (yz y+ £z) 3.(y+z) (y+ =z) 3 y+z

Vậy (x+y)3+ +(x z)3+3(x+y x)( +z y)( + £z) 5(y+z)3

Phần tự chọn:

Câu 6A

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2)

là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x+y-5=0 Viết phương trình đường thẳng AB

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): x2 +y2+ -z2 2x- 4y- 6z- 11 0= Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó

Vì EÎ D:x+ -y 5 0= Þ E a( ;5- a) Gọi F là điểm đối xứng của E qua I ta có:

(12 ; 1)

F I E

F I E

íï = = -ïî

Vậy ta có: ( 11;6 )

( 6;3 )

-ïïí

-ïïî

uuur uur

Ta có: FM ^FI Û FM FIuuur uur. =0

( 11)( 6) ( 6)( 3) 0

( 6)(2 14) 0

6

7

a

a

é =

ê

Û

ê =

ë

Với a=6 ta có: FMuuur= -( 5,0)Þ AB y: - 5 0=

Với a=7 ta có: FMuuur= -( 4, 1)- Þ AB x: - -1 4(y- 5)= Û -0 x 4y+ =19 0

2 Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=5

Và khoảng cách từ tâm I đến (P) là: d= 2.1 2.2 3 4 3

-= <

Vậy (P) cắt (S) theo thiết diện là hình tròn có tâm H là hình chiếu của I trên (P) và bán kính r= R2- d2 = 25 9- =4

Gọi ∆ là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

3 0

:

ì + - = ï

-2x+2=2y-4

-x+1=2z-6

Tâm

(3;0;2)

H

Þ

Câu 7a Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 +2z+ = Tính giá trị10 0 biểu thức A= z12+ z2 2

Ta có D =- 9

Vậy phương trình có nghiệm là:

1 1

( 1) ( 3 ) 10

1 3

20

ìï

Câu 6b

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ 0xy, cho đường tròn (C):

x +y + x+ y+ = và đường thẳng :D x+my- 2m+ = , với m là số 3 0 thực Gọi I là tâm đường tròn (C) Tìm m để đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt AB sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ 0xyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 và hai

- Xác định toạ độ điểm

M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến (P) bàng nhau

HD:

1

I

B A

Đường tròn (C) có tâm I(-2;-2) bán kính

2

Gọi H là hình chiếu của I trên AB Khi đó ta có

1

2

IAB

1

IAB axS =1

R 2

2

Þ

[ ; ] 1

d I

2

2

1

0

15

m

m

m

+

é = ê

ê = ê

2 M Î D Þ1 M( 1- +t t; ; 9 6 )- + t

[ ;( )] 11 20

3

t

2

2

(2;1; 2)

vtcpuD

-ïï

-ïïî

uuur uur

2

uuur uur

= -( 14 8 ;20 14 ; 4+ t - t - +t)

2

2

(8 14) (20 14 ) (4 )

;

3

d M

u

D

D

uuur uur uur

= 2612 792 612

3

Theo bài ra ta có: 11 20 261 2 792 612

=

140t 352t 212 0

1 (0;1; 3)

53 18 53 3

; ;

35 35 35 35

-ê ê

ë Câu 7b: Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

log ( ) 1 log ( )

3x xy y 81

- +

ïí

ïî ĐK: ; 0

0

x y

xy

ì ¹

ïï

íï >

ïî

2 2

2

2 4 2 2 4

x

ìï + =

ï

Û íï

ïî

ê

=-ïî