Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, C thuộc trục hoành.. Viết ptrình tham số của đthẳng ∆ nằm trong mpP, biết ∆ đi qua A và
Trang 1ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI A NĂM 2005
Câu I: ( 2 điểm) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = mx + x1 (*) ( m là tham số )
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 41
2 Tìmm để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 2
1
Câu II: ( 2 điểm)
1 Giải bất phương trình : x 1 x 1 x 4
2 Giải phương trình : cos23x.cos2x – cos2x = 0
Câu III: (3điểm)
1.Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x – y = 0 và d2: 2x + y –1 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, C thuộc trục hoành
2 Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : x 11y23 z1 3
và mp(P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 a) Tìm toạ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đthẳng d và mp(P) Viết ptrình tham số của đthẳng ∆ nằm trong mp(P), biết ∆
đi qua A và vuông góc với d
Câu IV: (2 điểm) 1 Tính tích phân : I = dx
x 3 1
x x
2
2 0
cos
sin sin
2 Tìm số nguyên dương n sao cho : C 2 2 C 3 2 C 4 2 C 2 n 1 2 C n 1 2005
1 n n 4
1 n 3 3
1 n 2 2
1 n
1 1
( k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử )
Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 4
z
1 y
1 x
1
1 z 2 y x
1 z
y x
1 z
y
x
1
ĐÁP ÁN
Trang 2Câu I: ( 2 điểm) 2 MXĐ : D = R\ 0 ; y’ = m – 12
x ; y’ = 0 mx2 = 1 (a)
Y có cực trị (a) có 2 nghiệm phân biệt m > 0
Khi đó : (a) có 2 nghiệm x =
m
1
Vì y là hàm số hữu tỉ có hệ số góc của tiệm cận xiên dương nên hoành
độ điểm cực đại nhỏ hơn hoành độ điểm cực tiểu (hoặc dựa vào bảng biến thiên) Do đó A ( 1 , 2 m)
điểm cực tiểu của (Cm)
Tiệm cận xiên của (Cm) là d : mx – y = 0
2
1 1
2 2
m
m m
m2 – 2m + 1 = 0 m = 1 (thỏa đk)
Câu II: ( 2 điểm)
1 Bpt 5x 1 x 1 2x 4
2 )4 2)(
( 2 )4 2)(
( 2 2
1
2
x x x x x x
x
x
2 10
10 0 2 0
10
2
x x x x
x
x
2
2 cos 1 2 cos 2
6 cos 1
cos6x.cos2x – 1 = 2 (4cos32x – 3cos2x) cos2x – 1 = 0 4cos42x – 3cos22x – 1 = 0
cos22x = 1 hay cos22x = -1/4 ( vô nghiệm) sin2x = 0 x = k /2, k Z
Cách 2: Pt cos6x.cos2x – 1 = 2
cos6x.cos2x =1 hay cos6x.cos2x = -1
cos2x =1 hay cos2x = -1 sin2x = 0 x = k /2, k Z
Cách 3: Pt cos6x.cos2x – 1 = 2 cos8x + cos4x = 2 cos8x = cos4x = 1 cos4x = 1 x = k /2, k Z
Câu III: (3điểm) 1 A d1 A(m;m); C d2 C( n; 1 – 2n )
Vì B, D Ox và ABCD là hình vuông nên :
A và C đối xứng với nhau qua Ox
1 1 1
m n m n m
A(1;1), C( 1; -1) Gọi (C ) là đường tròn đường kính AC
Pt đtròn (C ) : (x – 1 )2 + y2 = 1 ; B và D là giao điểm của (C ) và Ox nên tọa độ của B,D là nghiệm của hệ
0 2 0 0
1 )
1
y x x y
y
x
Suy ra B(0;0), D(2;0) hay D(0;0), B(2;0)
Vậy : A(1;1), B(0;0), C( 1; -1), D(2;0)
Hay A(1;1), B(2;0), C( 1; -1), D(0;0)
3
2 3 1
R t t
z
t y
t x
I d I (1 – t ; - 3 + 2t; 3 + t)
4
2 3
1 2 4
1 4
9 2 6 2 3 2 2
t
t t
t t
t
I(3; -7; 1) hay I(-3; 5; 7)
b) Thế ptrình d vào ptrình (P) ta được t = 1 Thế t =1 vào pt d ta được x = 0; y = -1; z = 4
A(0; -1; 4)
Vectơ chỉ phương của d:
a = (-1; 2; 1) Vectơ pháp tuyến của (P) :
n= (2 ; 1; -2) Suy ra vectơ chỉ phương của ∆ : [
a ,
n] = (-5 ; 0 ; -5) hay (1 ; 0 ; 1) Mặt khác ∆ đi qua A nên phương trình tham số của ∆ là : , ( ' )
' 4 1 '
R t t z
y t x
Câu IV: (2 điểm) 1 Tính tích phân : I = dx
x
x x
2
0 1 3cos
sin 2
sin
Đặt t = 1 3 cosx t2 = 1 + 3cosx 2tdt = - 3sinxdx
Trang 3X = 0 t = 2 ; x = / 2 t = 1
I =
27
34 3
2 9
2 ) 1 2 ( 9
2 ) 3
2 (
1 3
1 2 cos
3 1
sin ) 1 cos
2
1
3 2
1 2 1
2
2 2
0
t dx x
x x
1 2 1 2 3
1 2 3 2
1 2 2 1
1 2
0 1
C
1 2 2 3
1 2 2 2
1 2
1 1
Chọn x = 2 ta được pt : 2n + 1 = 2005 n = 1002
Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 11 1 4
z y
1 2
1 2
1 2
1
x
Cách 1 : Ta có : (a – b )2 0, a,b > 0 ( hiển nhiên)
4
1
1
b a b
a
x
1 2
1 4
1 2
1
16
1 1 1 1 1 16
1
a z y x z
y x
16
1 2
1
b z y x z
y
) ( 2 1 1 16
1 2
1
c z y x z
y
(a) + (b) + (c) suy ra :
1 4 4 4 16
1 2
1 2
1 2
1
z y
d c b
x
1 1 1 1 16
1 1
x
1 2 1 16
1 2
1
x
2 1 1 16
1 2 1
16
1
z y x
x
1 1 1 1 16
1 4
1 1
4
x
1 1 1 1 16
1 4
1 1
4
x
1 1 1 1 16
1 4
1 1
4
16
1
z y x