Phân tích dầm cong thành mỏng tiết diện hở

Phân tích các chuyển vị, biến dạng, các thành phần ứng suất, nội lực, các phương trình cân bằng, phương trình vi phân… của thanh thành cong mỏng.. Sau đó áp dụng nguyên lý biến phân dạng

LỜI CẢM ƠN

Sau khoảng thời gian hai năm học tập nghiên cứu, dưới sự giảng dạy tận tình của quý thầy cô, em cảm thấy trưởng thành hơn về kiến thức khoa học chuyên môn trong lĩnh vực chuyên ngành Xây dựng dân dụng và Công nghiệp, giúp em hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Trường Đại Học Bách Khoa nói chung và Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng nó riêng, đặc biệt là thầy TS Chu Quốc Thắng – Giáo viên hướng dẫn đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình làm luận văn

Xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp , các ban bè thân hữu trong khóa học K15 đã quan tâm động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập nghiên cứu tại trường

Mặc dù rất cố gắng hoàn thành luận văn, nhưng do thời gian và kiến thức có hạn, chắc chắn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ này vẫn còn những thiếu sót nhất định Vì vậy, kính mong quý thầy cô đóng góp ý kiến giúp em khắc phục và

nâng cao kiến thức hơn nữa

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH DẦM CONG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ

1 Sự cần thiết và tính thực tiễn của đề tài

Hiện nay, kết cấu thành mỏng được sử dụng rất nhiều và rộng rãi không những trong xây dựng và công nghiệp mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như hàng không, ngành hàng hải, khoa học quân sự Do vậy việc tìm ra 1 mô hình lý thuyết thích hợp với sự làm thực tế của kết cấu dầm cong thành mỏng tiết diện hở và tự động hóa tính toán loại kết cấu này là rất cần thiết

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu cơ chế làm việc của dầm cong thành mỏng tiết diện hở và tự động hoá tính toán cho loại kết cấu này

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn này tập trung nghiên cứu xây dựng mô hình tính toán dầm cong thành mỏng tiết diện hở dựa trên các lý thuyết Timoshenko[1930], Vlasov [1961], Heins [1975], Saint-Venant và định luật 2 Newton để tính toán dầm cong thành mỏng với tiết diện hở bất kỳ Phân tích các chuyển vị, biến dạng, các thành phần ứng suất, nội lực, các phương trình cân bằng, phương trình vi phân… của thanh thành cong mỏng Sau đó áp dụng nguyên lý biến phân (dạng yếu) để giải các phương trình vi phân từ đó xây dựng ma trận độ cứng phần tử cho dầm thành mỏng, sau đó sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để lắp ghép các ma trận độ cứng phần tử thành ma trận độ cứng tổng thể để tính toán các chuyển vị nút của tiết diện thành mỏng Từ đó, tính toán các thành phần biến dạng, ứng suất, nội lực của phần tử

4 Kết quả đạt được

Qua quá trình nghiên cứu, luận văn đã đúc kết được những kết luận về cơ chế làm việc của dầm cong thành mỏng tiết diện hở và đã tự động hoá tính toán được loại kết cấu này cho một trường hợp tải

MỤC LỤC

CHƯƠNG I : TỔNG QUAN Trang 1

I GIỚI THIỆU CHUNG Trang 1

II MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN VĂN Trang 2 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN DẦM CONG THÀNH MỎNG

TIẾT DIỆN HỞ .Trang 4

I CÁC LÝ THUYẾT CƠ SỞ Trang 4

1 Các khái niệm Trang 4

2 Các giả thiết Trang 5

II QUAN HỆ BIẾN DẠNG – CHUYỂN VỊ Trang 6 III THIẾT LẬP CÔNG THỨC TÍNH BIẾN DẠNG DỌC TRỤC Trang 8

1 Các chuyển động do biến dạng Trang 8

2 Đạo hàm của chuyển vị dọc trục Trang 10

3 Liên hệ giữa ứng suất pháp, chuyển vị dọc trục với ngoại lực tác động Trang 11

4 Phân tích dòng cắt : Trang 22 CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PTHH TÍNH TOÁN CHO BÀI TOÁN DẦM THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ Trang 27

I GIỚI THIỆU Trang 27

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHỦ ĐẠO Trang 28 III XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ Trang 32

1 Nguyên lý biến phân Trang 32

2 Các hàm nội suy Trang 37

3 Thiết lập Ma trận độ cứng Phần tử cong thành mỏng tiết diện hở Trang 40

4 Thiết lập Ma trận độ cứng Kết cấu dầm cong thành mỏng tiết diện hở, từ xác định các thành phần chuyển vị và nội lực tại các nút Trang 45

5 Các đặc trưng hình học của mặt cắt tiết diện thành mỏng Trang 47

IV LẬP CHƯƠNG TRÌNH GIẢI CHUYỂN VỊ VÀ NỘI CHO DẦM CONG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ Trang 50

1 Giải thuật Trang 50

2 Các quy ước khi sử dụng chương trình Trang 51

3 Kiểm tra tính chính xác của chương trình Trang 51 CHƯƠNG 4: VÍ DỤ MINH HỌA Trang 52

I BÀI TOÁN 1: Trang 52

II BÀI TOÁN 2: Trang 61 CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ CÁC PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN Trang 82

I KẾT LUẬN Trang 82

II HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI Trang 83 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 84

CHƯƠNG I : TỔNG QUAN

I GIỚI THIỆU CHUNG

Hiện nay, kết cấu thành mỏng được sử dụng rất nhiều và rộng rãi không những trong xây dựng và công nghiệp mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như hàng không, ngành hàng hải, khoa học quân sự Do vậy việc tìm ra 1 mô hình lý thuyết thích hợp với sự làm thực tế của kết cấu dầm cong thành mỏng tiết diện hở và tự động hóa tính toán loại kết cấu này là rất cần thiết

Trên thế giới có nhiều lý thuyết về dầm thẳng thành mỏng hoặc dầm cong tiết diện rỗng nhưng bàn về việc tính toán dầm cong thành mỏng tiết diện hở chịu tập hợp các lực bất kỳ rất phức tạp thì có rất ít lý thuyết trên lĩnh vực cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu Lý thuyết nghiên cứu quan trọng để giải quyết bài toán thanh cong thành mỏng tiết diện hở là của Timoshenko {1930} và Vlasov [1961]

Năm Saint – Venant [1855] đã đưa ra công thức và giải bài toán xoắn thuần túy của dầm đàn hồi Tất cả các tiết diện của dầm truyền cùng một moment và vì vậy chúng được cho rằng chịu sự phân bố ứng suất và vênh giống nhau nghĩa là tốc độ xoắn là hằng số Điều này không đúng trong trường hợp xoắn không đều vì tốc độ xoắn thay đổi dọc theo chiều dài dầm Nếu lý thuyết Saint – Venant được áp dụng cho xoắn không thuần túy, tiết diện có thể chịu độ vênh khác nhau vì thế có thể nảy sinh ứng suất dọc trục Sự ảnh hưởng của ứng suất này lên các loại dầm là khác nhau và sự ảnh hưởng lên dầm thành mỏng tiết diện hở là quan trọng nhất Dầm thành mỏng tiết diện hở có độ cứng xoắn rất bé Do đó, điều quan trọng là sử dụng dầm chịu tải trọng ngang sao cho không gây ra xoắn nhiều Điều này được xác định bởi khoảng cách giữa đường tác dụng của lực so với tâm cắt của tiết diện, do đó việc xác định vị trí tâm cắt

của tiết diện là phần quan trọng khi phân tích dầm thành mỏng Khi dầm thành mỏng chịu xoắn, sự xoắn được xác định bởi hai cơ cấu : độ cứng chịu xoắn St Venant cổ điển được xác định bởi module chống cắt và thành phần sinh ra do việc cản trở sự vênh của tiết diện ngang liên quan với sự xoắn St Venant Nếu độ xoắn là hằng số trên toàn bộ dầm, sự vênh tiết diện là giống nhau và thanh phần thứ hai triệt tiêu Dạng xoắn này là xoắn thuần tuý Trong trường hợp độ xoắn thay đổi theo chiều dài gọi là xoắn không thuần tuý Xoắn không thuần tuý sinh ra ứng suất dọc trục trong dầm và phải được kể đến trong bài toán phân tích độ bền Lúc này quan điểm cơ bản của lý thuyết dầm thành mỏng là : bỏ đi giả thiết cổ điển mặt cắt ngang vẫn phẳng trước và sau khi biến dạng để thừa nhận sự vênh của tiết diện ra khỏi mặt phẳng ban đầu

Timoshenko phân tích sự oằn bên của dầm cong bán kính R nghĩa là khi dầm không được giằng đầy đủ theo phương bên, dầm có thể bị mất ổn định tổng thể dạng uốn-xoắn : ngoài độ võng theo phương thẳng đứng, dầm còn chuyển vị

ngang (uốn theo phương ngang) và xoay tiết diện (xoắn)

Lý thuyết xoắn đối với dầm thành mỏng mặt cắt hở được phát triển bởi Vlasov đã xem xét ảnh hưởng của biến dạng vênh không đều nhưng lại bỏ qua biến dạng cắt trên mặt cắt ngang

II MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN VĂN

Luận văn tập trung nghiên cứu phân tích bài toán dầm cong thành mỏng tiết diện hở Luận văn gồm các nội dung cụ thể sau:

- Trình bày các phương trình chuyển vị, biến dạng, nội lực, phương trình cân bằng, phương trình vi phân của dầm cong thành mỏng

- Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầm cong

- Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán chuyển vị, nội lực của thanh thành mỏng tiết diện chữ

C

- Khảo sát các ví dụ đồng thời so sánh kết quả với các nghiên cứu có trước và phần mềm nổi tiếng (Sap 2000) để kiểm tra tính chính xác và hiệu quả của mô hình và chương trình tính toán

- Nhận xét và kết luận các kết quả nghiên cứu, đề xuất hướng phát triển của đề tài

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN DẦM CONG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ.

I CÁC LÝ THUYẾT CƠ SỞ

1 Các khái niệm :

Ta có các định nghĩa về mặt ngang tiết diện thanh thành mỏng như sau :

- Mặt cách đều hai mặt bên gọi là mặt trung gian

- Giao tuyến của mặt trung gian với mặt cắt ngang gọi là đường trung gian

- Hình dáng của đường trung gian tạo thành chu tuyến của mặt cắt ngang

- Tọa độ quạt của 1 điểm : Giả sử có đường trung gian của mặt cắt ngang như hình bên Chọn 1 điểm O trên đường này góc tọa độ và 1 điểm A bất kỳ trong mặt phẳng của mặt cắt ngang làm cực Gọi s là tọa độ của 1 điểm C nào đó trên đường trung gian xét phân tố CB với chiều dài ds

+ Hai lần diện tích phân tố ABC có trị số :

dω=rds

Với rlà khoảng cách từ điểm A với đường

tiếp tuyến với đường trung gian đi qua C

+ Tích phân =∫ =∫S

S

rds d

0

ω

ω gọi là độ quạt của điểm C

+ Trị số của ω chính là 2 lần diện tích tam giác cong AOC

+ Dấu của tọa độ quạt được xem là dương khi tia AC quay quanh A theo

+ Tọa độ quạt phụ thuộc vào vị trí của cực P và gốc O

+ Biểu đồ quạt là đồ thị biễu diễn trị số của tọa độ quạt của từng điểm trên trục trung gian ứng với một cực A và một gốc O nào đó (Ứng với mỗi điểm trên đường trung gian ta lấy một tung độ có chiều dài bằng trị số của quạt)

2 Các giả thiết :

Lý thuyết dầm mỏng với một mặt cắt tiết diện hở tùy ý dựa trên giả thiết Vlasov

- Mặt cắt ngang tiết diện cứng tuyệt đối trong mặt phẳng của nó

- Biến dạng cắt trên đường trung gian có thể bỏ qua

- Chu tuyến mặt cắt ngang không bị biến dạng trong suốt quá trình biến dạng

Và các giả thuyết để tính thanh cong bán kính R:

- Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng : Mặt cắt ngang của thanh vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh trong suốt quá trình biến dạng

- Giả thuyết về các thớ dọc : Các thớ dọc song song trục thanh cong) không ép hay đẩy nhau trong quá trình biến dạng

II QUAN HỆ BIẾN DẠNG – CHUYỂN VỊ

Hình 2.1: Hệ trục tọa độ quy ước cho dầm cong thành mỏng tiết diện hở

Ứng suất pháp của mặt cắt tiết diện có hướng dọc theo trục x : σx tại 1

điểm trên mặt cắt tiết diện Với giả thiết bề dày của tiết diện vô cùng nhỏ so với

kích thước của dầm đưa đến ứng suất pháp theo trục x giống nhau tại mọi điểm

trên mặt tiết diện dầm

Chuyển vị dọc trục ứng với ứng suất pháp được tính như sau:

y x x

Với giả thiết gần đúng rằng ứng suất và chuyển vị vuông góc với thành dầm không đáng kể :

γ : Chuyển vị cắt do ứng suất cắt τsn

Ứng dọc theo đường trung gian mặt cắt tiết diện s : σsvô cùng nhỏ so với ứng suất dọc trục dầm σx nên có thể bỏ qua khi xét ứng suất và biến dạng dầm

Vì tiết diện mặt cắt thành mỏng hở rất linh động, do đó có thể giả thiết rằng tác động của γxs vào biến dạng cuối rất nhỏ Các tác động uốn, xoắn và vênh gây ra do chuyển vị dọc trục góp phần vào biến dạng cuối của dầm Vì vậy ảnh hưởng của γxs lên biến dạng cuối cùng có thể bỏ qua Giả thiết này chỉ đúng cho dầm có mặt cắt tiết diện hở và được miêu tả bằng công như sau :

0

≅

∂

∂ +

∂

∂

=

x s

u xs

η

Với ηlà biến dạng theo phương s

Trong tiết diện thành mỏng, ứng suất cắt có thể được xem biến thiên tuyến tính qua bề dày thành Ứng suất cắt tổng cộng gồm hai phần: phần ứng suất cắt

( )τxs Τ hình thành do xoắn thuần túy trên suốt chiều dài dầm với tất cả các mặt cắt ngang vênh tự do và phần phân bố đều liên quan đến dòng cắt q( hằng số trên bề dày thành tiết diện t)

( )

t

q xs

xs = τ Τ +

III THIẾT LẬP CÔNG THỨC TÍNH BIẾN DẠNG DỌC TRỤC

Công thức tính biến dạng dọc trục εx được thiết lập dựa trên việc xét sự chuyển động của 1 điểm trên dầm Khi dầm cong thành mỏng bị xoắn mặt cắt ngang của dầm bị vênh, ta giả thiết rằng biến dạng của thanh là bé và như vậy trong quá trình biến dạng đường trung gian của mặt cắt ngang vẫn giữ hình dáng ban đầu , từ đó suy ra các đặc trưng hình học của mỗi mặt cắt ngang không thay đổi Theo lý thuyết xoắn của Saint-Venant, với giả thiết rằng trong suốt quá trình xoắn mặt phẳng tiết diện giữ nguyên không thay đổi vị trí là không còn phù hợp

1 Các chuyển động do biến dạng

Theo các giả thiết trên, mọi mặt cắt tiết diện của dầm giữ nguyên hình dạng trong suốt quá trình biến dạng Các biến dạng của mặt cắt ngang tiết diện là sự kết hợp giữa chuyển vị thẳng và xoay trong mặt phẳng của nó Điểm mà mặt cắt tiết diện xoay quanh được gọi là tâm xoay Tại điểm này giả thiết rằng trục xoay không thay đổi vị trí trong suốt quá trình xoay

Quan sát sự thay đổi vị trí của hai điểm A,B trên mặt cắt tiết diện Giả thiết rằng đầu tiên hai điểm A,B chuyển vị thẳng và sau đó điểm B xoay quanh điểm A 1 góc là φ Các chuyển vị được miêu tả như hình 2.3

Hình 2.3 : Biến dạng hình học

- Chuyển vị thẳng và xoay

của mặt cắt tiết diện

Công thức xác định chuyển vị của điểm B đối và chuyển vị của điểm A :

( )φν

νb = − b z −a z và w b =w+(b y −a y)φ (2.5)

Aùp dụng công thức (2.5) để tính toán chuyển vị của 1 điểm C bất kỳ nằm

trên chu tiết của mặt cắt ngang tiết diện Với giả thiết rằng điểm A chuyển vị thẳng và điểm C chuyển vị xoay quanh A Chuyển vị của điểm C được minh họa trong hình 2.4

Hình 2.4 : Sơ đồ biến dạng của1 điểm bất kỳ nằm

trên chu tuyến của tiết diện dầm

Aùp dụng phương trình (2.5) cho chuyển vị tại điểm C ta có :

( )φν

νc = − z−a z và w c =w+(y−a y)φ (2.6) Ngoài ra, từ hình 3.4 ta có công thức tính chuyển vị của điểm C theo pháp

tuyến và phương tiếp tuyến như sau :

αα

ν

ξ = cos +wsin + [ − z−a z cos + y−a y sin ] (2.8)

αα

ν

η= − sin +wcos + [ z−a z sin + y−a y cos ] (2.9) Rút gọn 2 phương trình (2.8) và (2.9) ta được :

φαα

ν

ξ = cos +wsin +r n và η=−νsinα+w ccosα+rφ (2.10)

2 Đạo hàm của chuyển vị dọc trục

Từ phương trình (2.3) ta có :

s

u x x

∂

∂

Kết hợp phương trình (2.10) và phương trình (2.11), đạo hàm từng phần

phương trình chuyển vị theo phương pháp tuyến ta được :

x

r x

w x

∂ +

∂

∂ +

∂ +

dz x

w ds

dy x s

Với : ν =ν( )x , w=w( )x , φ =φ( )x

Ta có biến dạng theo trục x là hàm của x và s :

( )x s u

Lấy tích phân phương trình (2.14) theo phương s ta được :

( )x g x

z x

w y x

Trong đó : g( )x là hàm số chưa biết của biến số x

Biến dạng dọc trục của 1 điểm tại vị trí s = 0 (gốc của tọa độ quạt trên

đường trung gian mặt cắt ngang dầm) có thể diễn tả như sau :

x

z x

w y

x s

x x u s

x

Trong đó : u cl( )x là biến dạng của đường tâm mặt cắt ngang dầm

Giả thiết rằng trục dầm không bị biến dạng theo phương x : ( )x = 0

u cl , trong phương trình (2.17) diện tích quạt ωs=0= 0 Từ phương trình

(2.17) và (2.18) rút ra g( )x = 0 Do đó, công thức tính biến dạng dọc trục dầm

của điểm C trên đường trung gian mặt cắt ngang tiết diện được viết như sau :

{x

z x

w y x

4 2 1

Trong đó : z

x

w y

−ω φ : Biến dạng dọc trục do xoắn

Từ phương trình (2.1), công thức tính chuyển vị dọc trục có thể được triển khai như sau :

u R y x

x x

u x

u

y y

w y x

R y

νε

4 2 1 4 4 4 4

4 4 4 4

1

2

2 2

2 2

2

/ 1 /

1 /

w R y

z x

R y

2

/ 1 /

w R y

z x

R y

u cl , ta có công thức tính chuyển vị đồng trục theo phương pháp tuyến của mặt cắt tiết diện

Phương trình chuyển vị (2.22) bỏ qua không kể đến chuyển vị cộng thêm phát sinh do sự kiện các thớ trên của dầm bị dãn ra và các thớ dưới bị thu ngắn theo phương bán kính R dưới tác dụng của các lực theo phương pháp tuyến của tiết diện Chuyển vị cộng thêm này còn gọi là chuyển vị đồng trục theo phương bán kính Khái niệm này được minh họa như hình 2.5 Thớ C1 – C2 nằm ở vị trí cách trục dầm khoảng cách là y, biến dạng đều nhận vị C1’ – C2’ Aûnh hưởng của sự uốn cong làm hình thành 1 chuyển vị cộng thêm vào chuyển vị dọc trục gọi chuyển vị đều theo phương bán kính :

θνθ

θθ

νε

R

y R y

− +

R y

z R

R R y

y

z z

ur

φφ

φν

1 /

Hình 2.5 : Minh họa chuyển vị đều

đều của thớ dầm theo phương bán kính

Kết hợp phương trình (2.23), (2.26) và (2.22), ta được phương trình chuyển

vị theo phương x :

y R

R y

z R

R R y

y x

u

z z

cl x

φφ

φν

1/

1

w R y

z x

R y

y

2

2 2

2 2

2

/ 1 /

1 /

a R x

u

z z

cl x

φν

νφ

νε

2 2

2

/ 1 /

w R y

Tại hình 2.4, điểm A là tâm xoay của mặt cắt tiết diện Dưới tác động của 1 hợp lực bất kỳ làm tâm xoay A dịch chuyển đến vị trí mới A’ Độ võng của trục dầm là :

x

w k

Bảng Giá trị Cos của góc giữa các trục của hệ trục AxAyAzA và A’x’Ay’Az’A

( )x k ( )x k ( )z x k

k

A A

A

( )y k ( )y k ( )z y k

k

A A

A

( )x z k ( )y z k ( )z k

k

A A

A

Thay thế giá trị cos vào các phương trình trên ta được :

w x

k

A

2 2

( )φννν

∂

∂ +

2 1

R x R x

w x

∂

∂ +

R x R x

w x

w x

k

A

z

ννφ

Vì tích của các chuyển vị u , w v, ,φ với nhau và với đạo hàm của chúng rất bé, có thể bỏ qua nên các phương trình (2.33); (2.34) và (2.35) có thể viết thành :

w k

R x

Xét phương trình chuyển vị (2.28) và hai phương trình (2.37) và (2.38), độ cong ban đầu của dầm ảnh hưởng đến quá trình lấy đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của chuyển vị theo phương bán kính Tuy nhiên, trong phương trình (2.36) thì ảnh hưởng của độ cong ban đầu không đưa vào nguyên nhân gây thay đổi trục xoắn Sau khi hiệu chỉnh phương trình chuyển vị dọc trục được viết lại như sau :

w R y

z R

a R x R y

y R

a R x

u

z z

cl x

φφ

ννφ

ν

/ 1 /

1

( − )⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ 2 ⎟⎟⎠⎞

2 2

2 1 /

w R x R y

u

z

cl ν φ : Chuyển vị gây ra do lực dọc trục

ν : Chuyển vị gây ra do momen uốn MZ

2 1 /

w R x R y

φ

3 Liên hệ giữa ứng suất pháp, chuyển vị dọc trục với ngoại lực tác động :

Ứng suất dọc trục trong dầm xác định từ biến dạng dọc trục Dầm làm bằng vật liệu đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng quan hệ ứng suất biến dạng xác định bởi định luật Hooke Công thức tính ứng suất dọc trục x như sau :

a R x

u

x

φν

νφ

νσ

( − )⎜⎜⎝⎛∂∂ − ⎟⎟⎠⎞−( − )⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ ⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤

/ 1 /

w R x R y R

x

w R y

z cl

R y

y R

a R x

dA R

a R x

u E P

/ 1

2 2

2

2ν ν φφ

dA R y x

w R x

dA R y

z R

x

w

/ 1

1 /

2 2

2 2

Đặt : =∫ −

A z

R y

y Q

/ 1

A y

R y

z Q

/ 1

A

dA R y

S

/ 1

ω

Biểu thức (2.43) trở thành :

Az z

z cl

R

a R x

A R

a R x

u E

w R x

Q R x

w

2 2

2 2

A y

R Q dA R y

yz R

zdA dA

R y

y

/ 1

1 /

− +

A z

R Q dA R y

y R ydA dA

R y

y

/ 1

1 /

2

− +

yz y

EJ R

a R x

u EA

z cl

x

φν

νφ

2 2

x

w R x S E R x

w R

Momen uốn đối với trục y :

Thay phương trình (2.41) vào phương trình (2.50), ta có :

z cl

R y

yz R

a R x

zdA R

a R x

u E M

/ 1

2 2

2

2ν ν φφ

∂

∂ +

dA R y

z x

w R x

dA R y

z R x

w

/ 1

1 /

2 2

2 2

y A z cl

R

a R x

Q R

a R x

u E

M =− ⎢⎣⎡−⎜⎝⎛∂∂ − − ⎟⎠⎞ +⎜⎜⎝⎛∂∂ 2 + 2 + 2 ⎟⎟⎠⎞

2 '

φν

νφ

∂

∂+

J R x

w

ω

φφ

2

2 2

2 2

Lấy vị trí gốc hệ tọa độ tại trọng tâm cg của mặt cắt tiết diện thì momen tĩnh của mặt cắt tiết diện Q A'y = 0 Phương trình (2.53) trở thành :

yz z

R

a R x E

∂

∂+

J R x

w

ω

φφ

2

2 2

2 2

z cl

R y

y R

a R x

ydA R

a R x

u E M

/ 1

2 2

2 2

2ν ν φφ

∂

∂ +

dA R y

y x

w R x

dA R y

yz R

x

w

/ 1

1 /

2 2

2 2

Phương trình (2.56) trở thành :

z z z

A z cl

R

a R x

Q R

a R x

u E

M =− ⎢⎣⎡−⎜⎝⎛∂∂ − − ⎟⎠⎞ +⎜⎜⎝⎛∂∂ 2 + 2 + 2 ⎟⎟⎠⎞

2 '

φν

νφ

∂

∂+

J R x

w

ω

φφ

2

2 2

2 2

Lấy vị trí gốc hệ tọa độ tại trọng tâm cg của mặt cắt tiết diện thì momen tĩnh của mặt cắt tiết diện Q A'z = 0 Phương trình (2.58) trở thành :

z z

R

a R x E

∂

∂+

J R x

w

ω

φφ

2

2 2

2 2

2 2

1 1

x

w R x R S J RA REA

M EA

P R

a R

x

u

z z

x z

∂

∂

2

2 2

2 2

2 2

J J

J J J J J

J J E

J M J M R

a R

y yz z y yz

z y

yz y y z z

φφ

2 2

2 2

x

w R x J

J J

J J J J J

J J E

J M J M R

x

w

yz z y

y z z yz yz

z y

yz z z

−

−

− +

−

=

R y

z J

J J

J M J M R y

y J

J J

J M J M A R

M A P

yz z y

yz z z y yz

z y

yz y y z z x x

/ 1 /

∂

∂

2 2

2 1

x

w R x

y J

J J

J J J J A

S RA

J

yz z y

y yz z y z

/ 1

2

ω ω

ω ω

ω

R y R

y

z J

J J

J J J J

yz z y

y z z yz

/ 1 / 1

Số hạng cuối trong phương trình (2.63) thể hiện phần ứng suất dọc trục gây

ra bởi momen xoắn Bimoment của dầm cong được xác định như sau :

∂

∂ Γ

= 22 1 22

x

w R x E

−

=

R y

y J

J J

J M J M A R

M A P

yz z y

yz y y z z x x

/ 1

W R y

z J

J J

J M J M

yz z y

yz z z y

/ 1

∂

∂

2

2 2

2 1

x

w R x

φ là 1 ẩn số Vì vậy để tìm được giá trị của số hạng này phải cần thêm 1 phương trình vi phân Phương trình vi phân đó chính là phương trình vi phân momen xoắn theo Vlasov (1961) :

∂

∂ Γ

∂

∂

= +

x

w R x

E x

w R x GJ T T

J = : hằng số xoắn của tiết diện

Với : S : chu tuyến của mặt cắt ngang tiết diện

t: bề dày thành mỏng mặt cẵt ngang tiết diện

4 Phân tích dòng cắt :

Phân tích dòng cắt và ứng suất cắt dùng để phân tích ảnh hưởng của vênh và ảnh hưởng của độ cong ban đầu đến hằng số vênh của dầm cong thành mỏng tiết diện hở

Hình 2.7 : Các lực tác động lên 1 phần tử của dầm cong

thành mỏng tiết diện hở Phương trình cân bằng lực theo phương tiếp tuyến với trục dầm

2

2

∆

−

y y

y

y y

xs xs

y xs y

y

x x x

x q x s s

q q s

t x x

s t s t x x s

t

θτ

τ

θτ

σσσ

x t x y R

t t

x

y y y

xs y

xs y

1

∂

∂ +

∂

∂

s

q x

t R y s

q t x

x x s

q t x

x y

x y

Lấy đạo hàm phương trình (2.70) ta tìm được phương trình tính dòng cắt q:

t R y q

/ 1

Trong đó : q là giá trị dòng cắt tại s =0 và dA=t.ds Chọn gốc tọa độ

s tại cạnh tự do, giá trị dòng cắt q= 0 Thay phương trình (2.63) vào (2.71), kết hợp với điều kiện cân bằng được trình bày cụ thể trong chương 3 :

R

V x

yz y z z z A yz z y

yz z y y

Q J J J

J V J V Q J J J

J V J V

J J J R Q J Q J

+

yz z y

y yz z y A A

J J J

J J J J Q A

S Q RA

3 2

1 ˆ

ˆ

x

w R x S

Q J J J

J J J J

A y A yz z y

y z z

ω ω

/ 1

y Q

z

/ 1 ˆ

z Q

/ 1

Kết hợp các phương trình (3.4), (3.67) và (3.72) thì ứng suất dòng cắt tiết diện có thể biểu diễn như sau :

( ) ( ) ( − ) +

− +

yz y z z z A yz z y

yz z y y T

xs

J J J t

J V J V Q J J J t

J V J

2 2

+

yz z y

y yz z y A A

J J J

J J J J Q A

S Q RA

J t

2

ω ω

ω ω

3 2

1

x

w R x S Q J

(2.74)Với giả thiết rằng thành phần ứng suất cắt ( )τxs T không phụ thuộc vào tọa độ s Dùng nguyên tắc phân tích xoắn cho tiết diện hình chữ nhật mỏng ta thiết lập được công thức tính như sau :

( )

S t T

xs 2

3 ΤΤ

=

Trong đó : t: bề dày thành của tiết diện; S : chiều đường trung gian

Phương trình ứng suất cắt (2.74) chỉ ra rằng ứng suất cắt gồm ba thành phần : Thành phần ứng suất cắt do xoắn thuần túy (torsion) gây ra, thành phần ứng suất cắt do lực cắt (shear forces) V y và V z gây ra, thành phần ứng suất cắt do tác động của vênh (warping effects) Tương tự dòng cắt cũng gồm 3 thành phần :

we t sf ects warpingeff torsion

s shearforce q q q q q q

yz y z z z A yz z y

yz z y y

J J J

J V J V Q J J J

J V J V

T y

A z z A yz t

J J J R Q J Q J

y yz z y A A

z yz

z y

y A y z A yz

J J J

J J J J Q A

S Q RA

J E J

J J R

Q J Q J

2 2

ω ω

ω ω

Moment xoắn do vênh Τωtrong phương trình trên được xác định như sau:

∫

= Τ

s

we rds q

∂

∂ Γ

−

= 33 1 33

x

w R x E

x

w R x

E J J J R

Q J Q J q

yz z y

y A y z A yz we

y yz z y A A

z

Q J J J

J J J J Q A

S Q RA

J

2

ω ω

ω ω

3 2

1 ˆ

ˆ

x

w R x S

Q J J J

J J J J

A y A yz z y

y z z

ω ω

R y

y J

J J

J J J J R y A

S

/1/

z y

y z z yz

dA R y

dA R y R

y

z J

J J

J J J J

/ 1 /

1 /

2

ωω

ω

J J J R R y

y J

R y

z J

Q

yz z

w R x E

x

w R x

Tích phân từng phần phương trình (2.86) và đơn giản ta được :

Q x

w R x E

yz z

dA R y J

J J R

R y

y J

R y

z J

/1

/1/

−

−

−

= Γ

∫

yz z

A M C

A A c

dA J

J J R

R y

y J

R y

z J

Q

dA R y Q

2

2 2

/ 1 /

1 1

/ 1

ωω

ωωω

ω

ω

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH TOÁN CHO BÀI TOÁN DẦM CONG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ

I GIỚI THIỆU

Trong chương này ta khảo sát một dầm cong thành mỏng với tiết diện hở bằng phương pháp Phần Tử Hữu Hạn sử dụng phần tử dầm 2 điểm nút để thiết lập ma trận độ cứng phần tử

Biến dạng phần tử được miêu tả bởi phương trình vi phân chủ đạo tương ứng và 1 tập hợp các điều kiện biên Các phương trình vi phân chủ đạo của dầm cong thành mỏng tiết diện hở được thiết lập dựa trên việc áp dụng định luật 2 Newton và các phương trình liên hệ giữa lực và biến dạng được thiết lập ở chương 3 Để giải các phương trình ta sử dụng phương pháp biến phân (dạng yếu) Kết quả của các phương trình này là biểu thức liên hệ giữa lực và chuyển

vị tại nút của phần tử dầm cong Một cách chung liên hệ được diễn tả như sau:

{ }14 1 { }14 1 14

14

]

x e x e

] [ Κe x : Ma trận độ cứng phần tử { }14x1

e

q : Vectơ chuyển vị nút phần tử

{ }14 x1

e

P : Vectơ tải phần tử

Thực hiện ghép nối 2 phần tử rồi từ đó khái quát cho n phần tử với nhau.Cuối cùng , ta được công thức liên hệ Ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể:

{ }7 ( 1 ) 1 { }7 ( 1 ) 1 )

1 ( 7 ) 1 ( 7

] [ Κ n+ x n+ q n+ x = P n+ x

Trong đó :

) 1 ( 7 ) 1 ( 7

] [ Κ n+ x n+ : Ma trận độ tổng thể { }q 7(n+1)x1: Vectơ chuyển vị nút tổng thể

{ }P 7 (n+1 )x1: Vectơ tải tổng thể

Giải hệ phương trình đại số trên, Kết quả là tìm được các chuyển vị của các nút Từ đó tiếp tục tìm được ứng suất và chuyển vị của tất cả các phần tử

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHỦ ĐẠO

Các phương trình vi phân chủ đạo của dầm cong thành mỏng tiết diện hở được thiết lập dựa trên việc xét sự cân bằng lực của 1 phần tử dầm cong nhỏ Nội lực và ngoại lực tác động lên dầm được trình bày như hình 3.1 Trong đó, p z

và p y là lực phân bố tác động lên phần tử dầm cong lần lượt theo phương trục x,

y và mt là momen xoắn phân bố tác động lên phần tử dầm cong

Phương trình cân bằng tổng các lực tác dụng theo phương x:

2

cos 2

sin 2

sin 2

y y

Vì ∆θ nhỏ nên :

( ) 1

Ngoài ra, góc ∆θ có thể biểu diễn dưới dạng hàm của độ dài cung ∆xnhư sau:

R x

∆ +

Ρx y y x P x

R

x V R

cos 2

sin 2

R

p x

V

x y

y =− −Ρ

∂

∂

(3.7)

Phương trình cân bằng tổng các lực tác dụng theo phương z:

−

2

sin 2

cos 2

sin 2

y y

Thế (4.2) và (4.3) vào phương trình (4.10), bỏ qua các số hạng bậc cao vô cùng bé, khi ∆x→ 0 phương trình (4.10) trở thành:

z y

V R

−

∆Μ + Μ + Μ

R V

V y y z

sin 2

sin 2

ΜΤ

Kết hợp các phương trình cân bằng và phương trình trình liên hệ giữa lực và chuyển vị cong trong chương 3, Ta rút ra được các phương trình vi phân chủ đạo cho dầm cong tiết diện hở

Thay phương trình (4.13) vào (4.5), ta được :

1 1

3

3 3

3 3

3 3

3 2

∂

∂ +

x

w R x R

E x

w R x S E x R

a x

v R x

x y

Từ phương trình (2.49), (2.59), (4.18) và phương trình

R

J S

ω

ω = + , ta được phương trình vi phân chủ đạo thứ hai cho dầm cong thành mỏng tiết diện hở như sau

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z yz

z

x

w R x

J x R x

w J

x R

a x

v R x

v

4

4 4

4 2

2 4

4 2

2 2 2

2 2 4

∂

∂+

w R

EJ R

a R

v x

v R

EJ R

a R

v x

u R

z z

z

2

2 2 2

2 2

2 2

0 1

1

2

2 2

2 2 2

2 2

∂

∂+

EJ x

w R x R

Thay phương trình (2.54) và (2.67) vào (4.20), ta được phương trình vi phân chủ đạo thứ ba cho dầm cong thành mỏng tiết diện hở như sau :

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

y y

yz

x

w R x

J x R x

w J

x R

a x

v R x

v

4

2 4

4 2

2 4

4 2

2 2 2

2 2 4

0 1

1

4

2 4

4 2

2 2

∂

∂Γ+

∂

∂

z p x

w R x R

E x

w R x R

∂

∂Γ

∂

∂

4

2 4

4 2

2 2

x

w R x

E x

w R x

2 2

2 2

2 2

2

=+

∂

∂+

yz

x

w R x

J R x

w J

R

a R

v x

v R

E

ω

φφ

III XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ

1 Nguyên lý biến phân :

Hình 3.2 : Một phần tử dầm cong(e), tọa độ nút đầu và nút cuối là xe, xe+1

Gọi W1 là hàm liên tục bất kỳ (hàm thử hay hàm trọng số) Nhân phương trình (3.17) với hàm trọng số (hàm thử) W1 và tích phân tích trên miền [xe,xe+1] dẫn đến phương trình dạng yếu của phương trình vi phân chủ đạo thứ nhất như sau :

3 2

2 1

1 1

x

w R x S E x R

a x

v R x

u EA

∂

∂

dx J x

w R x R

x

w R x S E R

a R

v x

u EA x

2 2

∂

∂

+ Q x W Q x W dx J x

w R x R

E

e e

cl

J x

w R x R

E x

w R x S E R

a R

v x

u EA Q

∂

∂ +

2 2

2 1

1

1

2 2 2 2 2

2 2

2 2

1 1

∂

∂ +

cl

J x

w R x R

E x

w R x S E R

a R

v x

u EA

Viết phương trình (3.25) và (3.26) dưới dạng lực ta có :

e x

z x

=

e x

z x

R

Tương tự, Nhân phương trình (3.19) với hàm trọng số W2 và tích phân tích trên miền [xe,xe+1] dẫn đến phương trình dạng yếu của phương trình vi phân chủ đạo thứ hai như sau :

∂ +

∂

∂ +

4 2

2 4

4 2

2 2 2

2 2 4

4 2

1 1

z

x

w R x

J x R x

w J

x R

a x

v R x

v E

w R

EJ R

a R

v x

v R

EJ R

a R

v x

u R

z z

z

2

2 2 2

2 2

2 2

0 1

1

2

2 2

2 2 2

2 2

∂

∂ +

∂

∂

dx p x

w R x R

EJ x

w R x R

∂

∂ +

2 2

2 2

2 2

2 2

z

x

w R x

J R x

w J

R

a R

v x

v E x

W

ω

φφ

∂

∂ +

w R

EJ R

a R

v x

v R

EJ R

a R

v x

u R

EA

2

2 2 2

2 2

2 2 2

∂

∂ +

∂

∂

dx p x

w R x R

EJ x

w R x R

ES

y z

2

2 2

2 2 2

2 2

ω

5 1 2 4

2 3

x W Q x

W Q

x W

e

e x

1

2 1

e

x

W x

W x

W x

z

x

w R x

J x R x

w J

x R

a x

v R x

v E Q

∂

∂ +

∂

∂ +

3 3

3 2

2 3

3 3

1 1

1

(3.30)

e

x z yz

z

x

w R x

J R x

w J

R

a R

v x

v E Q

∂

∂ +

2 2

2 2

2 2

2 4

1

3

3 3

3 2

3 2

2 3

3 5

1 1

∂

∂ +

∂

∂ +

z

x

w R x

J x R x

w J

x R

a x

v R

v x

v E

2 2

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ ∂ −+

Viết phương trình các phương trình trên dưới dạng lực ta có :

1

5 4

+

= Μ

Tương tự, Nhân phương trình (3.21) với hàm trọng số W3 và tích phân tích trên miền [xe,xe+1] dẫn đến phương trình dạng yếu của phương trình vi phân chủ đạo thứ ba như sau :

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

z x

x

J x

w R x

J x R x

w J

x R

a x

v R x

v E W

e

e

ω

φφ

φ

4

4 4

4 2

2 4

4 2

2 2 2

2 2 4

4 3

1 1

1

1

0 1

1

4

4 4

4 2

2 2

∂

∂ Γ +

∂

∂

dx p x

w R x R

E x

w R x R

∂

∂ +

2 2

2 2

2 2

2 2

yz

x

w R x

J R x

w J

R

a R

v x

v E x

W

ω

φφ

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂ Γ

dx p W x

w R x R

GJ x

W x

w R x

3 2

2 2

ω

9 1 3 8

3 7

x W Q x

W Q

x W

e

e x

1

3 1

e

x

W x

W x

W x

∂

∂ +

∂

∂ +

J x R x

w J

x R

a x

v R x

v E

3

3 3

3 3

3 2

2 3

3 7

1 1

1

e

x x

w R x R

E x

w R x R

∂

∂ Γ +

∂

∂

3

3 3

∂

∂ +

J R x

w J

R

a R

v x

v E

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 8

1

e

x x

w R x R

∂

∂ Γ

2

2 2

2φ 1

∂ +

∂

∂ +

J x R x

w J

x R

a x

v R x

v E

3

3 3

3 3

3 2

2 3

3 9

1 1

1

e

x x

w R x R

E x

w R x R

∂

∂ Γ +

∂

∂

3

3 3

∂

∂ +

J R x

w J

R

a R

v x

v E

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 10

1

1

2

2 2

∂

∂ Γ

e

x x

w R x R

Viết phương trình các phương trình trên dưới dạng lực ta có :

1

9 8

x y

x

R

W Q

∂

∂ Γ

∂

∂

4 4

4 2

2 2

2 4

1 1

1

x

w R x

E x

w R x GJ W

2 2

2 2

2 2

∂

∂ +

∂

∂

dx m J x

w R x

J R x

w J

R

a R

v x

v R

E

t y y

yz z

ω

φφ

φ

(3.41) Bằng cách tính tích phân từng phần (hay công thức Green) (3.41) nhận được

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂ Γ

2 2

4 2

GJ x

W x

w R x

E x

∂

∂ +

x

w R x

J R x

w J

R

a R

v x

v R

E

4 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 4

1

ω

φφ

φ

13 1 4 12

4 11

x W Q x

W Q