Khảo sát ổn định thanh thẳng thành mỏng tiết diện hở theo phương pháp dải hữu hạn

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : NGUYỄN TRẦN THIỆN TÂM Phái : nam Ngày, tháng, năm sinh : 23-12-1976 Nơi sinh : An Giang Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp MSHV

NGUYỄN TRẦN THIỆN TÂM

KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ THEO PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ (PHẦN THUYẾT MINH)

- -

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : NGUYỄN TRẦN THIỆN TÂM Phái : nam Ngày, tháng, năm sinh : 23-12-1976 Nơi sinh : An Giang

Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp MSHV: XDDD13.026

I- TÊN ĐỀ TÀI: KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG THÀNH MỎNG

TIẾT DIỆN HỞ THEO PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phương pháp dải hữu hạn

- Nghiên cứu các phương pháp phân tích ổn định đàn hồi thanh thành mỏng

- Xây dựng phần mềm phân tích ổn định đàn hồi thanh thành mỏng bằng phương pháp dải hữu hạn

- Khảo sát ổn định đàn hồi của các kết cấu cụ thể thông qua những ví dụ tính toán

- So sánh các phương pháp chuỗi Fourier (cổ điển), phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn trong bài toán ổn định

- Khảo sát ảnh hưởng của việc tăng bề dày hoặc cấu tạo thêm các thành phần cấu tạo gia cường đối với ứng xử ổn định của thanh thành mỏng

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 07-12-2005

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS PHAN NGỌC CHÂU

CN BỘ MÔN

QL CHUYÊN NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua TRƯỞNG PHÒNG ĐT - SĐH TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH Ngày tháng năm

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS PHAN NGỌC CHÂU

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Lời cảm ơn

Chân thành cảm ơn Thầy Phan Ngọc Châu đã gợi mở đề tài và hướng dẫn tận tình cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Chân thành cảm ơn trường Đại học Bách Khoa

Tp HCM và các thầy cô đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian qua

Xin cảm ơn cha mẹ tôi, hai người thân thương nhất của tôi đã sinh thành và nuôi dưỡng tôi đến ngày hôm nay

Xin cảm ơn gia đình, người thân và các bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong công việc cũng như trong quá trình học tập nghiên cứu

Xin cảm ơn người luôn kề vai sát cánh và chia sẻ mọi khó khăn với tôi

Chân thành cảm ơn các tác giả của những tài liệu mà tôi đã tham khảo để thực hiện luận văn này

Nguyễn Trần Thiện Tâm

Mục lục

Chương 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Hình thành đề tài 1

1.2 Tổng quan về phương pháp dải hữu hạn 2

1.3 Lịch sử phát triển nghiên cứu ổn định thanh thành mỏng 4

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN 9

2.1 Giới thiệu 9

2.2 Hàm chuyển vị 13

2.2.1 Thành phần chuỗi hàm điều hòa 14

2.2.2 Thành phần hàm đa thức 17

2.3 Thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp dải hữu hạn 20

2.4 FSM với dải chịu uốn hình chữ nhật 24

2.5 FSM với dải ứng suất phẳng hình chữ nhật 31

2.6 FSM với dải LO2 chịu lực phức tạp 38

Chương 3 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI THANH THÀNH MỎNG 49

3.1 Giới thiệu 49

3.2 Lời giải cổ điển: phương pháp chuỗi Fourier cho tấm tựa đơn 50

3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn 61

3.4 Phương pháp dải hữu hạn 63

3.5 So sánh phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn 79

Chương 4 VÍ DỤ TÍNH TOÁN 81

4.1 Ví dụ 1 81

Tấm chữ nhật bốn cạnh tựa đơn, chịu nén thuần túy Khảo sát ổn định tấm theo ba phương pháp chuỗi Fourier, FEM và FSM Nhận xét, so sánh các phương pháp Phân tích lời giải FSM: số hạng chuỗi m, các mode, chiều dài a, hệ số tải trọng 4.2 Ví dụ 2 92 Tấm chữ nhật một cạnh ngàm, một cạnh tự do, chịu nén thuần túy Khảo

4.3 Ví dụ 3 96

Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu nén thuần túy Khảo sát ổn định theo hai phương pháp FEM và FSM Phân tích ba dạng mất ổn định cục bộ, vênh và tổng thể So sánh các mode Ứng suất và lực ổn định đàn hồi tới hạn 4.4 Ví dụ 4 107

Thanh thành mỏng tiết diện chữ Z, chịu uốn thuần túy Khảo sát ổn định theo hai phương pháp FEM và FSM Phân tích ba dạng mất ổn định cục bộ, vênh và tổng thể Ứng suất và moment ổn định đàn hồi tới hạn 4.5 Ví dụ 5 114

Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu uốn thuần túy Khảo sát ổn định theo hai phương pháp FEM và FSM 4.6 Ví dụ 6 117

Thanh thành mỏng tiết diện chữ I, chịu uốn thuần túy Khảo sát ổn định theo hai phương pháp FEM và FSM 4.7 Ví dụ 7 120

Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu nén thuần túy Khảo sát ảnh hưởng tăng cứng của gờ mép trên cánh tiết diện và các rãnh tăng cứng trên bụng tiết diện 4.8 Ví dụ 8 125

Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu nén thuần túy Khảo sát ổn định thanh khi bề dày thay đổi Chương 5 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN 131

5.1 Khả năng, phạm vi ứng dụng VNFS 131

5.2 Thuật toán 132

5.2.1 Khối nhập dữ liệu 132

5.2.2 Khối tính toán 133

5.2.3 Khối xuất kết quả 134

Chương 6 KẾT LUẬN VÀ PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN 135

6.1 Kết luận 135

6.2 Phương hướng phát triển 137

Tài liệu tham khảo 139

Ngày nay, kết cấu thanh thành mỏng được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành như ngành chế tạo máy bay, ngành cơ khí chế tạo máy, ngành công nghiệp đóng tàu, ngành cầu đường và ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp

Thanh thành mỏng là loại kết cấu thanh có đặc trưng là bề dày thanh rất bé so với chu tuyến của mặt cắt ngang, và chu tuyến mặt cắt ngang lại rất bé so với chiều dài thanh

Trong ngành xây dựng hiện nay, kết cấu thanh thành mỏng chiếm tỷ lệ rất lớn trong công trình vì ưu điểm dễ chế tạo, nhẹ nhàng, cường độ cao và kinh tế trong vận chuyển lắp đặt Trong thép xây dựng, có hai loại thép thành mỏng chủ yếu là thép cuốn nóng (hot-rolled steel) và thép dập nguội (cold-formed steel) Hai loại thép này rất dễ chế tạo với nhiều hình dạng khác nhau, đáp ứng tốt cho cả yêu cầu về kỹ thuật cũng như mỹ thuật

Kết cấu thanh thành mỏng thông thường là rất mảnh Điều này dẫn đến việc ứng suất mất ổn định đàn hồi nhỏ hơn nhiều so với ứng suất chảy dẻo của vật liệu Do đó, ứng xử mất ổn định thường là vượt trội hơn trong kết cấu thanh thành mỏng Nói cách khác, đối với thanh thành mỏng thì tải trọng cho phép được quyết định theo điều kiện ổn định hơn là điều kiện bài toán tĩnh Vì vậy, việc khảo sát cẩn thận mất ổn định đàn hồi là hết sức cần thiết phải đặt ra

Hiện nay, khi tính toán ổn định kết cấu thanh thành mỏng, các kỹ sư thường tính toán ổn định tổng thể (Euler) của kết cấu, sau đó kiểm tra điều kiện ổn định cục bộ của các bản cánh và bản bụng Cách làm này chủ yếu là tra bảng và thường tốn rất nhiều công sức, mà lại không thấy rõ được các dạng mất ổn định của kết cấu (cục bộ, vênh và tổng thể) Mặt khác, phương pháp này được áp dụng chung cho tất cả các loại thanh, điều này là không hợp lý vì kết cấu thanh thành mỏng có ứng xử rất khác so với các loại thanh thông thường

Kết cấu thanh thành mỏng thường có dạng hình học phức tạp trên mặt cắt ngang nhưng lại đơn giản theo hướng dọc, do đó một phương pháp rất hiệu quả có

Trong phạm vi luận văn này sẽ tập trung khảo sát ổn định của kết cấu thanh thành mỏng bằng phương pháp dải hữu hạn Cụ thể là xác định trực tiếp các hệ số tải trọng ổn định tới hạn, đồng thời xác định dạng mất ổn định tương ứng (cục bộ, vênh và tổng thể) Và bước đầu nghiên cứu một phương pháp nhanh chóng và hiệu quả để phân tích ổn định cho kết cấu thanh thành mỏng trong công tác thiết kế thực tiễn Ngoài ra, luận văn cũng tập trung khảo sát ổn định thanh thành mỏng với nhiều tiết diện khác nhau, chịu tải trọng khác nhau; Nghiên cứu khảo sát ảnh hưởng của việc gia cường tiết diện (bằng cách thay đổi bề dày tiết diện hoặc cấu tạo thêm các rãnh tăng cứng) đến ứng xử ổn định của kết cấu

Một số luận văn thạc sĩ có liên quan đến vấn đề này nhưng chưa nghiên cứu đến bài toán ổn định của thanh thành mỏng cũng được tác giả chú ý theo dõi nhằm hình thành một hướng đi tiếp nối các nghiên cứu đi trước Các nghiên cứu này được thể hiện qua các luận văn thạc sĩ đã được bảo vệ thành công tại trường

Đại học Bách Khoa Tp HCM của Trần Minh Phương (Khảo sát dầm thành

mỏng với mô hình độ vênh Prokié, 2004); Lê Văn Bình (Sử dụng dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, 2003); Phạm Sanh (Phân tích một số kết cấu cầu bằng phương pháp dải hữu hạn, 2003); Lê Hiền Anh (Nghiên cứu

phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng để khảo sát dao động của tấm có sườn,

2003)

1.2 Tổng quan về phương pháp dải hữu hạn

Phương pháp dải hữu hạn (Finite Strip Method – gọi tắt là FSM) được đề xuất đầu tiên bởi Y K Cheung (1968) và được đúc kết trong quyển sách cùng tên nổi tiếng của ông (Y K Cheung, 1976) Từ đó đến nay, rất nhiều nhà khoa học đã tiếp tục nghiên cứu phát triển làm cho phương pháp dải hữu hạn càng lúc càng hoàn thiện trở thành phương pháp cực kỳ hữu dụng để phân tích kết cấu

Phương pháp dải hữu hạn kết hợp ý tưởng giữa phương pháp giải tích của Vlassov và phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – gọi tắt là FEM) Phương pháp dải hữu hạn có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp cơ bản và lý thuyết của hai phương pháp này là giống hệt nhau

Điểm khác nhau duy nhất giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn là ở cách rời rạc hóa kết cấu Trong phương pháp dải hữu hạn, chỉ có một phần tử dải được sử dụng để rời rạc hóa kết cấu theo hướng dọc, chiều dài của dải bằng với chiều dài của kết cấu

Phương pháp phần tử hữu hạn thông thường sử dụng một hàm chuyển vị

đa thức để mô tả trường chuyển vị trên tất cả các chiều của kết cấu Trong khi đó phương pháp dải hữu hạn sử dụng hai hàm khác nhau kết hợp để mô tả chuyển vị theo hướng ngang và hước dọc của kết cấu Dạng tổng quát của hàm chuyển vị trong phương pháp dải hữu hạn là:

= ∑r ) trong đó, fm(x) là hàm mô tả chuyển vị theo hướng

ngang và Ym(y) là chuỗi hàm mô tả chuyển vị theo hướng dọc với điều kiện phải

thỏa mãn điều kiện biên ở hai đầu kết cấu

Sự thuận lợi và độ chính xác của phương pháp dải hữu hạn phụ thuộc vào sự lựa chọn sáng suốt hàm chuyển vị Dựa trên cách chọn hàm chuyển vị theo hướng ngang và hướng dọc, ba phương pháp cơ bản của FSM được phát triển:

Phương pháp dải hữu hạn giải tích – Analytical FSM (AFSM): sử dụng lời giải chính xác từ phương trình vi phân chủ đạo của tấm với giả thiết theo hướng dọc dao động của kết cấu theo dạng hình sin, không đưa ra dạng tường minh của hàm chuyển vị

Phương pháp dải hữu hạn nửa giải tích – Semi-analytical FSM (SFSM): sử dụng hàm đa thức để mô tả chuyển vị theo hướng ngang và chuỗi hàm lượng giác để mô tả chuyển vị theo hướng dọc

Phương pháp dải hữu hạn số – Numerical FSM (NFSM): sử dụng hàm đa thức để mô tả chuyển vị theo hướng ngang và chuỗi hàm B3-Spline để mô tả chuyển vị theo hướng dọc Trong phương pháp này, một số chuỗi hàm Spline đa thức bậc 3 được phân bố theo các khoảng cách bằng nhau theo hướng dọc để mô tả chuyển vị

Hiện nay phương pháp dải hữu hạn là một kỹ thuật mạnh mẽ và hiện đại để phân tích bài toán tĩnh, động, và ổn định Phương pháp dải hữu hạn được ứng

một nhịp hoặc nhiều nhịp), kết cấu cầu, mái, sàn, hồ, máng, tấm vỏ, nhà cao tầng, tường, hầm, đường ngầm, …

1.3 Lịch sử phát triển nghiên cứu ổn định thanh thành mỏng

Việc nghiên cứu ổn định của thanh thành mỏng đã được tiếp nối và phát triển liên tục từ thập niên 1940 đến nay Kết cấu thanh thành mỏng có ba dạng mất ổn định cơ bản là cục bộ, vênh và tổng thể Trong suốt lịch sử phát triển, các tác giả thường đặt trọng tâm vào nghiên cứu mất ổn định vênh của cấu kiện cột thép dập nguội, đây là dạng mất ổn định phức tạp và nguy hiểm

Bảng tóm tắt lịch sử phát triển nghiên cứu ổn định thanh thành mỏng Nghiên cứu chung về ổn định Ổn định vênh

Thập

niên

1940

1950

- Thiết lập ổn định đàn hồi tấm

- Bắt đầu các thực nghiệm

- Phương pháp bề rộng hiệu dụng

xác định cường độ tới hạn

- Nhận ra hiện tượng bất thường: hiện tượng vênh

- Dự báo hiện tượng bằng phương pháp giải tích là quá phức tạp Thập

niên

1960

- Phương pháp thiết kế trước (early)

- Đặc trưng vật liệu thép dập nguội

- Dự báo mất ổn định tổng thể

- Phương pháp giải tích gần đúng từ các nghiên cứu vật liệu nhôm

- Lý thuyết tấm oằn (folded plate) Thập

niên

1970

- Aûnh hưởng giữa mất ổn định cục

bộ và tổng thể

- Phương pháp thiết kế cho phần tử

có và không có cấu kiện tăng cứng

- Phương pháp phần tử hữu hạn

- Thực nghiệm, nhưng thường là mất ổn định vênh bị hạn chế

- Nhận ra tiêu chuẩn mất ổn định đàn hồi là không chính xác để dự báo mode phá hủy

- Phương pháp bề rộng hiệu dụng

- Phương pháp dải hữu hạn

- Phương pháp thiết kế thực hành

- Thực nghiệm với mất ổn định vênh không hạn chế

- Khám phá sự duy trì sau ổn định Thập

niên

1990

đến

nay

- Tương tác và điều kiện biên khác

nhau của kết cấu

- Lý thuyết dầm suy rộng

- Kiểm tra ảnh hưởng giữa mất ổn định vênh với các mode khác

- Đường cong mất ổn định

- Phương pháp thiết kế thực hành

- Tổng kết tiêu chuẩn thiết kế

đến nay các nghiên cứu hiện đại vẫn có chung mục tiêu như công trình của Chilver: lời giải ổn định đàn hồi và tải trọng tới hạn

Lời giải ổn định đàn hồi của tấm dựa trên lý thuyết của Timoshenko and Gere (1936) mà sau đó đã được Lundquist and Stowell (1943) mở rộng bằng việc cung cấp phương pháp thực hành để tính ổn định đàn hồi của tấm liên kết Phương pháp bề rộng hiệu dụng dựa theo Von Kármán (1932) và được chỉnh sửa thực nghiệm bởi Winter (1947) Đáng chú ý là Chilver và Harvey đã chỉ ra đúng đắn tương tác của các phần tử trong việc xác định ứng suất mất ổn định cục bộ Đối với tiết diện chữ C có gờ mép, Chilver chỉ ra rằng việc cấu tạo gờ mép nên đảm bảo đủ cứng để có thể tránh được mất ổn định vênh, nhưng không xác định được tiêu chuẩn cho vấn đề này

™ Thập niên 1960

Tại Mỹ, nghiên cứu về cột thép dập nguội trong những năm 1960 chủ yếu là lờ đi mất ổn định vênh mà chỉ tập trung vào đặc trưng vật liệu (Karren 1965, Uribe and Winter 1969), và mất ổn định tổng thể của cột (Chajes 1966, Pekưz 1969) Phương pháp thực nghiệm được Karren sử dụng là nén kiểm tra thử mẫu liên kết đối lưng, về sau phương pháp này cũng được Cornell sử dụng để nghiên cứu Cũng trong thời gian này, tại Canada có nghiên cứu kiểm tra tối ưu hóa hình dạng của cột thép dập nguội và các cạnh tăng cứng (Divakaran 1964, Venkataramaiah 1971)

Nghiên cứu về nhôm trong thập niên 1960 nghiên cứu tỉ mỉ về tiết diện chữ C có gờ mép và vành bằng thực nghiệm (Dwight 1963) và bằng giải tích (Sharp 1966) Sharp giới thiệu một lý thuyết nhận biết trước (early) mất ổn định vênh Bằng việc đơn giản hóa liên kết xoay tại vị trí tiếp giáp giữa bản cánh và bản bụng, ứng suất mất ổn định vênh của tiết diện chữ C có gờ mép được tính toán xấp xỉ Thực nghiệm của Dwight được dùng để kiểm tra

Phương pháp tấm oằn (folded plate method) được phát triển bởi

mất ổn định xoắn của tiết diện hở dưới cả tác dụng của lực dọc và momen uốn Cũng trong thời gian này, một phương pháp độ cứng chính xác được phát triển tại Anh bởi Wittrick (1968) nhằm mục đích nghiên cứu ổn định của tấm panel có tăng cứng chịu nén Mặc dù chỉ xét tấm panel có tăng cứng và không kiểm tra cấu kiện mặt cắt ngang hở, các dạng mất ổn định vênh cũng đã đuợc phát hiện

™ Thập niên 1970

Trong những năm 1970, trên khắp thế giới, việc nghiên được tập trung vào sự ảnh hưởng giữa các mode mất ổn định cục bộ và tổng thể (ví dụ, tổng thể – uốn, xoắn, uốn – xoắn) (DeWolf 1974, Klưppel and Bilstien 1976, Rhodes and Harvey 1977, Pekưz 1977, Loughlan 1979) Tại Mỹ có các nghiên cứu đối với phần tử không tăng cứng (Kalyanaraman 1977) và đối với phần tử có cạnh tăng cứng trung gian (Desmon 1977) Tại Đức, cạnh tăng cứng cô lập được nghiên cứu bằng thực nghiệm và giải tích bằng cách thay thế vị trí tiếp giáp giữa bản cánh và bản bụng bằng một liên kết tựa đơn (Kloppel and Unger 1970)

Công trình nghiên cứu của Desmon (1977) là cơ sở cho tiêu chuẩn AISI hiện đại (1996) cho phần tử có cạnh tăng cứng Desmon cung cấp một phương

pháp giải theo kinh nghiệm đơn giản bằng một hệ số k của một phần tử có cạnh

tăng cứng, thành phần ổn định cạnh tăng cứng được mô tả là ổn định vênh Các nghiên cứu thực nghiệm của Desmon được Karren theo đuổi và từ đó thực hiện thực nghiệm với hai cấu kiện liên kết đối lưng, trong thực nghiệm này, chiều dày bản bụng là gấp đôi bản cánh

Tại Thụy Điển, Thomasson (1978) tiến hành thực nghiệm trên tiết diện chữ C có gờ mép và bản bụng mảnh Để nâng cao ứng suất mất ổn định cục bộ, các rãnh nhỏ tăng cứng trên bản bụng được cấu tạo xếp gập lại Điều này loại trừ được vấn đề mất ổn định cục bộ nhưng tạo ra vấn đề cục bộ – xoắn, ví dụ mất ổn định vênh Thomasson xem mode cục bộ – xoắn này là không mong muốn và đặt thanh giằng đóng kín từ gờ mép này đến gờ mép kia của tiết diện, để đảm bảo là mất ổn định vênh không xuất hiện, và do đó lại làm mất ổn định cục bộ bậc cao xuất hiện

™ Thập niên 1980

Tại Mỹ có các nghiên cứu về ứng suất không hoàn hảo và ứng suất dư (Dat 1980, Weng 1987), tương tác mất ổn định cục bộ (Mulligan 1983), hiệu ứng beam-column (Loh 1985), thiết lập phép tính gần đúng cho phương pháp bề rộng

Trong thập kỷ 1980, một vài nhà khoa học bắt đầu tập trung vào nghiên cứu mất ổn định vênh, nhất là tại đại học Sydney Nghiên cứu ứng xử mất ổn định vênh của cấu kiện thép dập nguội có rãnh (Hancock 1985, Lau 1988) Hancock đã mở rộng và phát triển phương pháp dải hữu hạn của Cheung (1976) như là một công cụ để khảo sát mất ổn định của thanh thành mỏng Lau đã mở rộng phương pháp dải hữu hạn spline (Cheung and Fan 1983) cho phép tính toán điều kiện biên ngàm ở đầu, điều này được kiểm chứng bằng thực nghiệm phá hủy mất ổn định vênh (Lau and Hancock 1990), và được biến thành phương pháp thực hành (Lau and Hancock 1987) để dự báo ứng suất mất ổn định vênh

Tại Nhật, một vài tác giả công bố các bài báo về việc dự báo mất ổn định vênh của thanh thành mỏng với mặt cắt ngang hình đa giác (Hikosaka, Takami và Maruyama, 1987, Takahashi 1988)

Tại Mỹ, Sridharan (1982) đã phát triển phương pháp dải hữu hạn để nghiên cứu ứng xử sau ổn định trong dạng mất ổn định vênh và giải thích sự gia tăng rất nhanh của ứng suất màng tại đầu mút của gờ mép tăng cứng sau khi bị mất ổn định vênh Điều này chỉ ra rằng sự duy trì sau ổn định trong mất ổn định vênh có thể không lớn bằng trong mất ổn định cục bộ kể từ điểm chảy dẻo xuất hiện sớm nhất trong phạm vi sau ổn định

™ Thập niên 1990 đến nay

Tại châu Âu, các thực nghiệm trên cấu kiện cột thành mỏng được tiếp tục (Moldovan 1994) Tiêu chuẩn Eurocode (1996) cung cấp một phương pháp để dự báo mất ổn định vênh của tiết diện

Tại Mỹ, các nghiên cứu thêm về hiệu ứng tải trọng lệch tâm và bản bụng

bị khoét lỗ được thực hiện (Miller and Pekưz 1992) Nghiên cứu tại Canada đã kiểm tra cột tiết diện chữ Z và cung cấp thêm các thực nghiệm chứng tỏ vấn đề phá hủy vênh trong tiêu chuẩn AISI (Polyzois and Sudharampal 1990, Purnadi

1990, Polyzois and Charvarnichborikarn 1993)

Đại học Sydney đã nghiên cứu tiếp tục về mất ổn định vênh (Kwon and Hancock 1992, Hancock 1994) Kwon đã tiến hành thực nghiệm trên tiết diện chữ C có gờ mép, có và không có rãnh Thực nghiệm với mất ổn định vênh không

bị hạn chế đã chỉ ra rằng ảnh hưởng của mất ổn định vênh với các dạng mất ổn định khác là yếu Mất ổn định vênh đã được thực nghiệm quan sát là có khả năng dự trữ sau ổn định thấp hơn so với mất ổn định cục bộ Hancock đề nghị một đường cong ổn định cho việc dự báo cường độ tới hạn mất ổn định vênh (Hancock 1994) Rasmussen and Hancock (1991) chỉ ra các điểm khác biệt quan trọng trong ứng xử sau ổn định của liên kết ngàm Young (1997) dùng thực nghiệm chứng minh rằng cột liên kết ngàm không chịu các vấn đề ảnh hưởng tương tác như liên kết khớp Young cũng nhận xét là ảnh hưởng của mất ổn định vênh đối với các dạng mất ổn định khác là yếu

Trong thập niên 1990, lý thuyết dầm suy rộng (Schardt 1989) bắt đầu trở nên là một công cụ hữu dụng trong nghiên cứu mất ổn định vênh của cột (Schardt 1994) Sử dụng lý thuyết dầm suy rộng, Davies and Jiang (1996) đưa ra nhận xét là mất ổn định vênh có ảnh hưởng yếu đến các dạng mất ổn định khác Lý thuyết dầm suy rộng hiện nay chỉ có thể áp dụng trong giai đoạn đàn hồi

Sử dụng phương pháp dải hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn, Schafer (1997) chứng minh rằng mất ổn định vênh có tính chất không hoàn hảo lớn hơn so với mất ổn định cục bộ Schafer cũng thấy rằng phá hủy của mất ổn định vênh có cường độ sau ổn định thấp hơn so với mất ổn định cục bộ

Các phương pháp thực hành mới được nghiên cứu để dự báo mất ổn định vênh được kết hợp từ phương pháp dải hữu hạn và phương pháp cổ điển của Sharp (1966) Tiêu chuẩn “Australian Standard for Steel Storage Racking” (1993) và tiêu chuẩn Australian/New Zealand Standard for Cold-Formed Steel Structures (1996) đã được phát triển cung cấp các tiêu chuẩn thiết kế ở dạng tường minh cho mất ổn định vênh của kết cấu chịu nén

Tại Việt Nam, các nghiên cứu về ổn định thanh thành mỏng cũng như về phương pháp dải hữu hạn còn ít và đang ở giai đoạn bước đầu phát triển Với luận văn này, tác giả nghiên cứu phương pháp tính, xây dựng chương trình tự động hóa tính toán và khảo sát các dạng tiết diện thanh thành mỏng thường gặp, mong muốn mảng đề tài này tiếp tục được phát triển và ứng dụng vào thực tiễn thiết kế trở thành một phương pháp mạnh mẽ, nhanh chóng và hiệu quả

Phương pháp dải hữu hạn (Finite Strip Method – gọi tắt là FSM) được đề xuất đầu tiên bởi Y K Cheung (1968), và càng lúc càng hoàn thiện trở thành một kỹ thuật phân tích kết cấu hữu dụng (Puckett et al., 1987; Wiseman et al., 1987) Đã có các tác phẩm bao hàm toàn diện về phương pháp dải hữu hạn và các ứng dụng của nó (Cheung and Tham, 1998 và Loo and Cusens, 1978), cũng như có nhiều bài báo nghiên cứu sâu về lĩnh vực này (Cheung, 1981; và nhiều bài báo khác)

Phương pháp dải hữu hạn là một công cụ hữu dụng để phân tích kết cấu có sơ đồ hình học thông thường và điều kiện biên đơn giản Về bản chất, phương pháp dải hữu hạn làm giảm số chiều của bài toán, từ bài toán 2D trở thành bài toán 1D Trong một vài trường hợp, việc tính toán có thể giảm đi đến 10 lần hay hơn nữa nếu so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – gọi tắt là FEM) (Cheung and Tham, 1998)

Ban đầu, phương pháp dải hữu hạn được dùng để phân tích bài toán tấm chữ nhật (tương tự như lời giải Levy; Timoshenko and Woinowsky Krieger, 1971) Về sau, phương pháp dải hữu hạn được phát triển để giải bài toán tấm cong (Cheung, 1969), bài toán tấm không đối xứng (tứ giác), bài toán tấm có nếp gấp, và bài toán dầm hộp Bằng việc thiết lập bài toán trị riêng, phương pháp dải hữu hạn có thể được áp dụng để giải bài toán dao động và ổn định tương đối dễ dàng Phương pháp lớp hữu hạn (Finite Layer Method – gọi tắt là FLM) và phương pháp lăng trụ hữu hạn (Finite Prism Method – gọi tắt là FPM) cũng được Cheung và Tham giới thiệu (Cheung and Tham, 1998) Các phương pháp này làm giảm số chiều của bài toán, từ 3D trở thành 2D và 1D tương ứng bằng việc chọn xấp xỉ hàm chuyển vị Hơn nữa, kết cấu composite, ví dụ như kết cấu sandwich panels được phủ thép dập nguội bên ngoài cũng được tính toán hiệu quả bằng việc kết hợp phương pháp dải hữu hạn với phương pháp lớp hữu hạn hoặc phương pháp lăng trụ hữu hạn (Cheung et al., 1982; Chong, 1986; Chong et al., 1982; Tham et al., 1982)

kỳ (Cheung et al., 1982; Chong and Chen, 1986; Li et al., 1986; Tham et al., 1986; Yang and Chong, 1982, 1984) Thêm vào đó, các điều kiện biên phức tạp cũng được xem xét giải quyết Nói chung, phương pháp dải hữu hạn sử dụng hàm spline thì phức tạp hơn sử dụng chuỗi hàm lượng giác, tuy nhiên, nếu so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn thì nó vẫn yêu cầu dữ liệu đầu vào ít hơn cũng như đòi hỏi tài nguyên máy tính ít hơn

Phương pháp dải hữu hạn có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp cơ bản và lý thuyết của hai phương pháp này là giống hệt nhau Các hàm dạng được sử dụng để xác định trường chuyển vị dưới dạng véctơ chuyển vị nút Biến dạng được xác định từ véctơ chuyển vị nút, bắt nguồn từ biến dạng là một hàm của trường chuyển vị Với biến dạng đã biết và một quan hệ chủ đạo đã biết, ví dụ quan hệ ứng suất – biến dạng, tìm ra được các hệ số độ cứng cho véctơ chuyển vị nút

Điểm khác nhau duy nhất giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn là ở cách rời rạc hóa kết cấu Trong phương pháp dải hữu hạn, chỉ có một phần tử dải được sử dụng để rời rạc hóa kết cấu theo hướng dọc, chiều dài của dải bằng với chiều dài của kết cấu Cách thức rời rạc hóa này đặc biệt hữu hiệu trong trường hợp kết cấu có kích thước hình học theo chiều dọc đơn giản nhưng có thể có mặt cắt ngang bất kỳ

Phần tử hữu hạn Dải hữu hạn

Hình 2.1 Rời rạc hóa phần tử hữu hạn và dải hữu hạn

Sự thuận lợi và độ chính xác của phương pháp dải hữu hạn phụ thuộc vào sự lựa chọn sáng suốt hàm dạng mô tả cho trường chuyển vị theo chiều dọc kết

1 Dải 2D – Ứng suất phẳng 3 Dải 2D – tấm chịu lực phức tạp

∂

∂

v

v x

2 Dải 2D – uốn 4 Dải 3D – khối đặc

trong mặt phẳng là x, y và trục z hướng theo bề dày tấm

Hình 2.2 Dải chữ nhật

Trong trường hợp tổng quát, xét bài toán vừa có thành phần ứng suất phẳng, vừa có thành phần uốn, tại mỗi nút sẽ có bốn thành phần chuyển vị

Tương tự như lời giải Levy (Timoshenko and Woinowsky Krieger, 1971),

xét dải mẫu như Hình 2.3., theo Cheung and Tham, 1998, dạng tổng quát của

hàm chuyển vị w như sau:

trong đó, fm(x) là hàm đa thức mô tả chuyển vị theo hướng ngang, Ym(y) là

chuỗi hàm điều hòa mô tả chuyển vị theo hướng dọc và phải thỏa mãn điều kiện

biên ở hai đầu kết cấu

2.2.1 Thành phần chuỗi hàm điều hòa

Chuỗi hàm điều hòa Ym(y) được chọn từ phương trình vi phân chủ đạo của

bài dao động dầm:

trong đó, a là chiều dài dải (hay kết cấu) và μ là thông số liên quan đến

tần số, vật liệu, và đặc trưng hình học

Lời giải tổng quát của phương trình vi phân (2.2) là:

( ) 1sin 2cos 3sinh 4cosh

a) Đối với kết cấu tựa đơn ở cả hai đầu, tức là cả bốn nút đều tựa đơn (Hình

2.4a):

Chuyển vị và momen bằng 0: Y(0) = Y’’(0) =0; Y(a) = Y’’(a) = 0

Từ hai biểu thức trên, thu được hàm dạng:

( ) sin m m

Y y

a y

μ

trong đó, μm = m π

b) Đối với kết cấu hai đầu ngàm (Hình 2.4b):

Chuyển vị và góc xoay bằng 0: Y(0) = Y’(0) = 0; Y(a) = Y’(a) = 0

( ) sin m sinh m cos m cosh

sin sinh cos cosh

m

μ = + π

m = 1, 2, 3, …, r

c) Đối với một đầu tựa đơn, một đầu ngàm (Hình 2.4c):

Y(0) = Y’’(0) = 0; Y(a) = Y’(a) = 0

4 m 1 4

m

μ = + π

m = 1, 2, 3, …, r

d) Đối với kết cấu hai đầu tự do (Hình 2.4d):

Momen và lực cắt bằng 0: Y’’(0) = Y’’’(0) = 0; Y’’(a) = Y’’’(a) = 0

sin sinh cos cosh

m

μ = − π

m = 3, 4, 5, …, r

e) Đối với kết cấu một đầu ngàm, một đầu tự do (Hình 2.4e):

Y(0) = Y’(0) = 0; Y’’(a) = Y’’’(a) = 0

( ) sin m sinh m cos m cosh

2 m 1 2

m

μ = − π

m = 1, 2, 3, …, r

f) Đối với kết cấu một đầu tựa đơn, một đầu tự do (Hình 2.4f):

Y(0) = Y’’(0) = 0; Y’’(a) = Y’’’(a) = 0

( )

Y y = y ; μ1 = 1

m n

Y Y dy =

Tính chất trực giao của các hàm Ym làm cho cấu trúc của các ma trận kết

cấu có dạng băng hẹp, do đó làm giảm đi khối lượng và thời gian tính toán rất

nhiều

Như trên đã thấy, các hàm Ym đã được chọn sao cho thỏa mãn điều kiện

biên ở hai đầu kết cấu, do đó khi thực hiện giải bài toán, ta không cần phải áp đặt

điều kiện biên ở hai đầu kết cấu nữa

2.2.2 Thành phần hàm đa thức

Tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn, thành phần hàm đa thức là

véctơ các hàm dạng đa thức liên kết với các thông số chuyển vị nút để mô tả

trường chuyển vị trên mặt cắt ngang của kết cấu Hàm chuyển vị w được biểu

{ } δk m là véctơ thông số chuyển vị nút (chuyển vị và góc xoay) tại nút thứ

k ứng với số hạng chuỗi thứ m

[ ] Ck là véctơ hàm các hàm dạng tương ứng liên kết với { } δk m

Ví dụ xét một dải có hai nút 1 và 2, ta có:

=

a) Dải có 2 nút với thông số nút là các chuyển vị: (Hình 2.5a)

Hàm fm(x) được lấy tuyến tính theo x và xem như tại các nút chỉ có các

b) Dải có 2 nút với thông số nút là các chuyển vị và đạo hàm cấp 1: (Hình 2.5b)

Trong trường hợp này các chuyển vị nút bao gồm wim và θim = wim, ta có:

1

1

m m

2 2

m m m

m m

w

w

θ θ

Biểu thức fm(x) trên tương đương với bài toán phần tử dầm 1D trong

phương pháp phần tử hữu hạn

c) Dải có 2 nút với thông số chuyển vị, đạo hàm cấp 1 và cấp 2: (Hình 2.5c)

e) Dải có 3 nút với thông số nút là các chuyển vị và đạo hàm cấp 1: (Hình 2.5e)

2.3.1 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng

Phương pháp thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp dải hữu

hạn cũng tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn là dựa trên các nguyên lý

năng lượng Cụ thể ở đây là sử dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng được

phát biểu như sau: “Trong tất cả các trường chuyển vị khả dĩ động thì trường

chuyển vị thực sẽ làm cho thế năng toàn phần đạt giá trị dừng”

Biểu thức nguyên lý thế năng toàn phần dừng:

{ }

{ } { } { }

1

2

0

δ δ δ

Từ (2.12) ta có dạng chung của hàm chuyển vị như sau:

Theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng (các phương

trình Cauchy), biến dạng có thể tính được bằng phép lấy đạo hàm thích hợp của

trong đó, [ ] ∂ là đạo hàm riêng thích hợp tùy thuộc từng bài toán, [B] là

ma trận tính biến dạng

trong đó [D] là ma trận tính chất

2.3.5 Cực tiểu hóa thế năng toàn phần

{ } { } 2

T

hay:

{ } [ ] [ ][ ] { } 2

T T

với i và j là chỉ số đường nút thứ i và thứ j

2.3.7 Véctơ tải trọng

Véctơ tải trọng {F}:

{ } F = ∫ [ ] N T{ q x y ( ) , }

ở dạng khai triển:

{ }

{ } { } { }

[ ] [ ] [ ]

( )

{ }

1 1

,

T

T r

r

N F

[ ] [ ] [ ]

( )

1 1

,

m m

Để tính ma trận độ cứng và véctơ tải trọng, cần phải thực hiện rất nhiều

phép tính tích phân Về nguyên tắc, tất cả các tích phân này có thể tính bằng

phương pháp giải tích Thực tế, ta có thể tính bằng các phương pháp số, chẳng

hạn như tích phân cầu phương Gauss hoặc các phương pháp tích phân số khác

2.3.8 Phương trình hệ thống

{ } { } { }

2.4 FSM với dải chịu uốn hình chữ nhật

Phân tích chi tiết dải chữ nhật có hai đường nút chịu uốn

Trong trường hợp này, tại mỗi nút có hai thành phần chuyển vị là độ võng

và góc xoay

i

Hình 2.6 Véctơ chuyển vị nút, đường đàn hồi

[N] là ma trận các hàm dạng và { δ } là véctơ chuyển vị nút

Hay viết ở dạng tường minh:

m m

Trong bài toán uốn dựa trên lý thuyết tấm biến dạng bé, biến dạng là độ

cong chịu uốn, và có thể tính được dễ dàng bằng cách lấy đạo hàm cấp 2 của hàm

chuyển vị

{ }

[ ] [ ] [ ]

{ } [ ] { } [ ] { }

2

2 2

2 2

'' 2

x x

N w

Trong trường hợp này các thành phần momen (ứng suất suy rộng) liên hệ

với các thành phần biến dạng qua biểu thức:

0 0

x y

12 12 1 ( − ν νx y) 12 1 ( − νxνy)

Ex, Ey, νx, νy, G là các hằng số đàn hồi; t là bề dày của dải

Trong trường hợp vật liệu đẳng hướng:

m n

a

I = ∫ Y Y dy ; ''

3 0

m n

a

I = ∫ Y Y dy ; '' ''

4 0

m n

a

I = ∫ Y Y dy ; ' '

5 0

m n

a

I = ∫ Y Y dy Lưu ý vì tính chất hàm trực giao nên:

T m

2 1

2.5 FSM với dải ứng suất phẳng hình chữ nhật

Xét bài toán ứng suất phẳng, vật thể đàn hồi chịu tải trọng tác động nằm

trong mặt phẳng tấm

Trong trường hợp này, tại mỗi nút có hai thành phần chuyển vị là u và v

Hình 2.7 Véctơ chuyển vị nút

Chuyển vị theo phương ngang u và theo phương dọc v liên hệ với nhau

theo lý thuyết tấm biến dạng bé:

1

' 1

u

m r v

a) Cả hai đầu tựa đơn

Điều kiện tại y=0 và y=a:

b) Cả hai đầu ngàm

Điều kiện tại y=0 và y=a:

1

1 1

sin sin

u

m r v

( ) [ ] { }

1 1