Phân tích ổn định thành mỏng khung không gian bằng PP PTHH

+ Phân tích ổn định tuyến tính: phương trình của bài toán ổn định tuyến tính nhận được bằng cách sử dụng phương pháp ứng suất ban đầu xem như dầm... Một đặc điểm quan trọng của phân tíc

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Luận Văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Mã số ngành : 23 04 10

TP HỒ CHÍ MINH – THÁNG 04 NĂM 2005

Trang 2

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

- oOo -

Người Hướng Dẫn Khoa Học

PGS Phan Ngọc Châu

Người Chấm Nhận Xét 1

Người Chấm Nhận Xét 2

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

Có thể tìm luận văn tại Thư viện Trường Đại Học Bách Khoa,

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

Trang 3

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : HỨA QUANG HUY Phái : Nam

Ngày tháng năm sinh : 24 - 12 – 1977 Nơi sinh : Đà Nẵng

Chuyên ngành : Xây Dựng DD & CN Mã số : 23.04.10

I TÊN ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THÀNH MỎNG KHUNG

KHÔNG GIAN BẰNG PP – PTHH

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

• Nghiên cứu lý thuyết ổn định thanh thành mỏng

• Phân tích ổn định thành mỏng khung không gian bằng PP-PTHH

• Nghiên cứu phương pháp giải bài toán tuyến tính (liên kết nửa cứng)

• Nghiên cứu phương pháp giải bài toán phi tuyến (liên kết nửa cứng)

• Dựa theo lý thuyết, lập chương trình ứng dụng phân tích ổn định thành

mỏng khung không gian bằng phương pháp tuyến tính và phi tuyến

• So sánh kết quả, nhận xét và đánh giá khả năng chịu lực của thành mỏng

khung không gian ( có xét đến ảnh hưởng của liên kết nửa cứng) và hướng phát triển của đề tài

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 01 – 07 – 2004

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 31 – 03 – 2005

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS PHAN NGỌC CHÂU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.PHAN NGỌC CHÂU

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được hội đồng chuyên ngành thông qua

TP HCM Ngày … tháng … năm 2005 PHÒNG ĐÀO TẠO – SĐH KHOA QUẢN LÝ NGÀNH

ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA

-oOo -

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Với mong muốn và niềm say mê được tìm tòi học hỏi sâu hơn trong lĩnh vực xây dựng, tôi thực sự biết ơn Quí thầy cô đã truyền đạt cho tôi những kiến thức sâu rộng và thực tế trong suốt thời gian học sau Đại học tại trường Đại học Bách Khoa TP.HCM Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập thật tốt và hiệu quả Xin gởi lời cảm

ơn đến tất cả Quí thầy cô đã dạy tôi tại lớp Cao học Xây Dựng Dân Dụng Và Công Nghiệp _ Khoá 13 Đặc biệt là thầy Phan Ngọc Châu, thầy là người đã định hướng cho tôi chọn đề tài tốt nghiệp, tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này cũng như truyền thụ cho tôi những kinh nghiệm và kiến thức quí báu

Tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến bạn bè, những người đã nhiệt tình trao đổi và đóng góp ý kiến giúp tôi tháo gỡ những vướng mắc khó khăn trong khi thực hiện đề tài

Với ban lãnh đạo cùng đồng nghiệp Công ty Tư Vấn Kiến Trúc Và Xây Dựng _ ACCCo, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi có thời gian học tập khi đang công tác tại Công ty

Gia đình và người thân thật sự là nguồn động viên và giúp đỡ lớn về vật chất và tinh thần giúp tôi đi đến đích cuối cùng của chặng đường học tập vừa qua

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn đến tất cả các giáo sư, tác giả của các tài liệu mà tôi đã tham khảo để thực hiện đề tài này

Xin chân thành cảm ơn

Trang 5

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Trong tình hình xây dựng ở nước ta hiện nay, với tốc độ đầu tư dữ dội trong ngành công nghiệp cùng với sự hình thành tập trung các khu công nghiệp, đã thu hút rất nhiều dự án lớn Các khung thép thành mỏng nhà xưởng công nghiệp đang được ưa chuộng sử dụng vì thỏa mãn các yêu cầu kỹ thuật về khả năng chịu lực và độ ổn định của kết cấu cũng như các yêu cầu kinh tế, mỹ thuật và khả năng sử dụng cao hơn Một khung kèo thép tổ hợp có thể vượt nhịp 40 – 50m hiện nay trong các nhà xưởng công nghiệp có dáng vẻ thanh mảnh, hiện đại đồng thời tận dụng không gian sử dụng nhiều hơn vì có chiều cao thông thủy lớn hơn so với khung hỗn hợp cột bê tông cốt thép vì kèo thép cổ điển trước đây Sự xuất hiện của khung kèo thép tổ hợp như vậy làm cho các dự án có tính khả thi hơn Bên cạnh đó, các kết cấu sử dụng thanh thành mỏng thép dập nguội trở nên rất thông dụng Tuy nhiên, đứng trước nhu cầu sử dụng ngày càng nhiều kết cấu thành mỏng như vậy, chúng ta lại rất lúng túng trong công tác thiết kế, kiểm định các công trình dùng kết cấu loại này Ngay cả trong tiêu chuẩn thiết kế xây dựng Việt Nam chưa có tiêu chuẩn dành cho kết cấu thành mỏng Nên nếu dùng tiêu chuẩn để kiểm tra thiết kế, kết cấu thành mỏng không bao giờ thỏa các chỉ tiêu kỹ thuật, tức là không đánh giá chính xác khả năng chịu lực và độ ổn định của công trình sử dụng kết cấu thành mỏng

Vì vậy, mục tiêu của đề tài này là nghiên cứu phân tích ổn định của kết cấu thành mỏng khung không gian Các nội dung chủ yếu bao gồm : Nghiên cứu lý thuyết ổn định thanh thành mỏng, các phương trình ổn định của dầm và cột thành mỏng Áp dụng PP - PTHH để phân tích ổn định thành mỏng khung không gian bằng 2 phương pháp : tuyến tính và phi tuyến hình học Ngoài ra còn xét đến ảnh hưởng của liên kết nửa cứng cũng như sự không hoàn hảo ban đầu của các nút liên kết Qua đó xác định được khả năng làm việc của kiên kết, ổn định tổng thể của kết cấu đồng thời chỉ ra rằng khả năng chịu lực của các nút liên kết của kết cấu thành mỏng khung không gian rất nhạy với các nút mềm

Trang 6

MỤC LỤC

Chương 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu chung 1

1.2 Phạm vi nghiên cứu và giới hạn 3

Chương 2: LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH THANH THÀNH MỎNG 5

2.1 Ý nghĩa của việc nghiên cứu ổn định 5

2.2 Ổn định của một hệ đàn hồi 6

2.2.1 Khái niệm chung 6

2.2.2 Bài toán Euler(1974)-Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén 9

2.2.3 Giới hạn áp dụng của công thức Euler 10

2.3 Các phương trình ổn định của dầm thành mỏng 11

2.3.1 Cân bằng với ứng suất ban đầu 14

2.3.2 Thế năng với ứng suất ban đầu 17

2.3.3 Các phương trình ổn định tuyến tính hoá 22

2.4 Cột thành mỏng 23

2.4.1 Lực dọc trục trung tâm 24

2.4.2 Kết hợp lực dọc và moment đầu thanh 30

2.4.3 Lực dọc không đúng tâm 33

Chương 3: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THÀNH MỎNG KHUNG KHÔNG GIAN BẰNG PP PTHH 35

3.1 Giới thiệu phi tuyến hình học kết cấu thành mỏng 35

3.2 Các công thức phần tử hữu hạn 36

3.2.1 Phần tử dầm - cột thành mỏng 36

3.2.2 Ma trận độ cứng tuyến tính và hình học 39

3.2.3 Ma trận độ cứng tiếp tuyến 40

3.3 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu thành mỏng 42

3.3.1 Tổng quan 42

3.3.2 Cập nhật công thức Lagrangian và quan hệ độ cứng cát tuyến 42

3.4 Liên kết nửa cứng trong khung không gian 44

3.4.1 Tổng quan 44

Trang 7

3.4.2 Ma trận độ cứng của thành mỏng khung không gian 45

3.5 Phân tích ổn định thành mỏng khung không gian 47

3.5.1 Các qui ước và công thức lập trình 47

3.5.1.1 Các bậc tự do phần tử và qui ước dấu 47

3.5.1.2 Ma trận độ cứng tuyến tính và hình học và các ma trận chuyển47 3.5.2 Phân tích ổn định tuyến tính 52

3.5.3 Phân tích ổn định phi tuyến bằng phương pháp gia tải 56

3.5.3.1 Phương pháp gia tải thuần túy 56

3.5.3.2 Phát biểu bài toán phân tích lặp gia tăng 58

3.5.4 Sơ đồ giải thuật chương trình phân tích ổn định 60

Chương 4: VÍ DỤ MINH HOẠ 63

4.1 Bài toán 1 63

4.2 Bài toán 2 66

Chương 5: KẾT LUẬNÏ 71

5.1 Nhận xét và kết luận 71

5.2 Kiến nghị và hướng phát triển đề tài 72

Trang 8

Chương 1: TỔNG QUAN GVHD: PGS PHAN NGỌC CHÂU

1.1 GIỚI THIỆU CHUNG:

Sự phát triển ngày càng mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật đã giúp cho

ngành xây dựng có những bước tiến dài thông qua những nghiên cứu mới mẽ có

tính ứng dụng thực tế Nhờ vậy mà các toà nhà chọc trời , các kết cấu vượt nhịp

lớn như: các công trình cầu cáp treo dự ứng lực, khung nhà các công trình đặc biệt

vượt nhịp lớn, mái vỏ có cáp treo dự ứng lực, … đã được phân tích để xác định khả

năng chịu lực của kết cấu gần với thực tế hơn Các công trình hiện đại không

những cầàn sự ổn định về mặt chịu lực của kết cấu mà còn đòi hỏi rất cao về mặt

thẩm mỹ và kinh tế Kết cấu thành mỏng là một trong những kết cấu hiện đại tạo

được dáng dấp thanh mảnh công trình, kinh tế hơn do tiết kiệm vật liệu nhưng

cũng đảm bảo độ bền vững cho công trình Hiện nay kết cấu thành mỏng được sử

dụng rộng rãi trong ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp cũng như trong các

lĩnh vực khác như: ngành chế tạo máy bay hàng không( chế tạo khung vỏ thân

máy bay), hàng hải (vỏ tàu thuỷ), khung thân ôtô, công nghệ hoá chất (các thiết

bị đựng hoá chất )

Thực ra, lý thuyết cổ điển về thanh thành mỏng đã có từ rất lâu

Timoshero là người đầu tiên đưa lý thuyết tính toán về thanh thành mỏng và sau

đó Vlasov hoàn chỉnh và phát triển cả về lý thuyết độ bền, ổn định và dao động

đàn hồi của thanh thành mỏng Tuy nhiên do tính phức tạp nên cho đến hiện nay

các lý thuyết tính toán thanh thành mỏng vẫn được tiếp tục nghiên cứu và không

ngừng phát triển Trong hầu hết các quy phạm và tiêu chuẩn thiết kế hiện nay

không có các hướng dẫn cụ thể về thiết kế các cấu kiện thanh thành mỏng Do

thanh thành mỏng rất nhạy về xoắn, mối quan hệ giữa chuyển vị xoắn và biến

dạng cong vênh sẽ sinh ra ứng suất dọc trục, thành phần ứng suất này có thể rất

lớn đặc biệt đối với thanh thành mỏng tiết diện hở Do đó khi thiết kế cấu kiện

thanh thành mỏng ngoài những thành phần nội lực thông thường chúng ta cần chú

ý đến một thành phần nội lực quan trọng nữa đó là bimoment

Trong tính toán kết cấu công trình, bên cạnh tính toán độ bền, độ cứng thì

tính toán ổn định là bài toán được quan tâm nhiều nhất vì công trình có thể sẽ bị

phá hoại khi mất ổn định Hơn nữa đối với vật liệu có cường độ cao như hiện nay,

kết cấu thành mỏng rất dễ mất ổn định trong khi vật liệu vẫn chưa đạt đến cường

độ đàn hồi giới hạn Vì vậy tính toán ổn định thanh thành mỏng là cần thiết trong

việc nghiên cứu thanh thành mỏng Có 2 dạng phân tích được sử dụng để tính ổn

định thanh thành mỏng đó là: phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến tính

+ Phân tích ổn định tuyến tính: phương trình của bài toán ổn định tuyến

tính nhận được bằng cách sử dụng phương pháp ứng suất ban đầu xem như dầm

Trang 9

qua biến dạng Như vậy, kết quả bài toán chỉ đúng cho bài toán biến dạng bé, khi

khả năng làm việc của kết cấu thông qua quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị là

tuyến tính

+ Phân tích ổn định phi tuyến : giúp chúng ta ước lượng thực hơn khả

năng làm việc của kết cấu Trong thiết kế kết cấu thành mỏng nên dùng phân

tích phi tuyến dể nghiên cứu khả năng làm việc của kết cấu dưới điều kiện tải

trọng khác thường Một yếu tố khác đòi hỏi sự cần thiết phân tích phi tuyến la do

sự phát triển của vật liệu cường độ cao trong lĩnh vực kỹ thuật không gian, kỹ

thuật cơ khí và xây dựng các toà nhà cao tầng khi mà trọng lượng của kết cấu

được quan tâm nhiều hơn Ứng dụng các vật liệu này làm cho kết cấu nhẹ hơn

nhưng gây ra độ phi tuyến nhất định trong phản ứng của kết cấu Do đó khi thiết

kế chúng ta phải đảm bảo kết cấu không bị hư hỏng bởi các ảnh hưởng phi tuyến

dưới điều kiện tải trọng tối đa

Bài toán phi tuyến này sinh từ hai nguồn: tính phi tuyến vật liệu và

tính phi tuyến hình học Tính phi tuyến vật liệu phát sinh do sự thay đổi trong

phản ứng vật lý của vật liệu đối với ứng suất Vấn đề tính toán chủ yếu trong bài

toán phân tích phi tuyến vật liệu là phải viết lại các phương trình cân bằng cho

kết cấu sử dụng đặc trưng vật liệu phụ thuộc vào biến dạng, nhưng biến dạng

này lại không biết trước Nguồn thứ hai bao gồm tính phi tuyến hình học, cũng

được cho là hiệu ứng thứ cấp, ảnh hưởng được tạo ra bởi các biến dạng kết hợp

với sự thay đổi độ cứng của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng Một đặc điểm

quan trọng của phân tích phi tuyến hình học là phải viết lại phương trình cân bằng

của kết cấu cho hình học đã biến dạng mà biến dạng không được biết trước Chỉ

khi nào biến dạng của kết cấu quá nhỏ đến nỗi các phương trình cân bằng được

viết lại cho kết cấu hình học biến dạng gần giống phương trình kết cấu hình học

ban đầu Trong trường hợp này phân tích phi tuyến được quy về phân tích phi

tuyến thông thường

Thực chất của phân tích phi tuyến là tuyến tính hoá từng bước gia tải

đủ nhỏ Biến dạng trong từng bước tải là nhỏ trong khi chuyển vị tổng cộng có

thể lớn Vì vậy độ biến thiên của ma trận cứng phần tử là nhỏ trong từng bước tải

là nhỏ có thể bỏ qua và xem là hằng số trong một bước tải Các bài toán đòi hỏi

mô hình chuyển vị lớn này có thể được giải dễ dàng bằng cách xét từng bước tải

gia tăng nhỏ và tính toán chuyển vị, với việc sử dụng hình học và đặc trưng vật

liệu mới sau mỗi bước tải gia tăng Ma trận độ cứng phần tử cũng được tính lại

sau mỗi bước tải Phương pháp này gọi là công thức cập nhật Lagrangian và rất

chính xác nhưng mất nhiều thời gian tính Vì vậy các phương trình xấp xỉ được đề

nghị sử dụng đề tiết kiệm thời gian tính mà vẫn không mất sự chính xác

Nhờ vào các lý thuyết toán học hiện đại như hình học giải tích, đại số

vectơ, lý thuyết trường, … , nhất là khái niệm về đạo hàm, vi phân, tích phân, kết

hợp với nhiều nghiên cứu của vật lý học về lý thuyết cũng như thực nghiệm như:

Trang 10

lý thuyết đàn hồi, cơ học môi trường liên tục, vật liệu học, lý thuyết thế năng

biến dạng đàn hồi, … , nhiều phương pháp phân tích kết cấu đã ra đời và được

ứng dụng hiệu quả trong thực tế Trong đó, phương pháp phần tử hữu hạn

(PP-PTHH) đã được phát triển và ứng dụng để thiết lập và giải các phương trình

tuyến tính PP-PTHH dựa vào nguyên lý thế năng biến dạng và điều kiện dừng

của hàm năng lượng trong từng miền con Cộng với sự phát triển của máy tính

điện tử và kỹ thuật số PP-PTHH đã phát triển rộng rãi trong hầu hết các ngành

kỹ thuật như hiện nay Các bài toán trong ngành kỹ thuật đều có thể được giải

quyết bằng PP-PTHH Lập luận của phương pháp này rất đơn giản là khi cần

phân tích một hệ kết cấu phức tạp, chúng ta rời rạc hoá hệ thống thành những

phần nhỏ gọi là các phần tử, nối kết với nhau tại các nút, trong mỗi phần tử, giá

trị trường cần được phân tích được xác định nhờ các hàm nội suy theo các giá trị

tại nút, các giá trị của trường tại các nút được xác định nhờ vào việc xây dựng và

giải hệ phương trình đại số tuyến tính theo các điều kiện tải trọng và điều kiện

ràng buộc trên biên của miền Đối với cơ học kết cấu, hệ kết cấu là hệ dầm, dàn,

khung, tấm vỏ chịu tải trọng là trọng lực và các nhân tố khác như gió, động đất

(lực quán tính) Yếu tố cần phân tích để xác định là trường chuyển vị, trường ứng

suất và biến dạng trong kết cấu Từ các kết quả phân tích, chúng ta đưa vào các

điều kiện về cường độ, ổn định, về biến dạng và chuyển vị để quyết định các

thiết kế cuối cùng

Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều bài toán kết cấu trong thực tế chưa được giải

quyết triệt để và đúng đắn vì nhiều lý do, do hạn chế của các giả thiết ký thuyết,

do sai lệch hoặc khó khăn trong việc xây dựng mô hình kết cấu, mô hình phân tử

hoặc kích thước bài toán quá lớn làm tiêu tốn nhiều bộ nhớ làm cho việc phân

tích không đạt hiệu quả Mục tiêu của đề tài này là dùng phương pháp phân tử

hữư hạn để phân tích ổn định của thanh thành mỏng khung không gian

1.2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ GIỚI HẠN:

Khung không gian bị phá huỷ chủ yếu là do chuyển vị lớn, đàn hồi dẻo,

mất ổn định tổng thể và nút liên kết bị hư hỏng Khi phân tích và nghiên cứu kết

cấu khung không gian người ta cho rằng: Những nút của kết cấu không gian làm

việc như khớp thuần tuý hoặc tuyệt đối cứng mặc dù sự thật là các nút liên kết

của hầu hết khung không gian là nửa cứng và biến dạng của các nút ảnh hưởng

rất lớn đến khả năng làm việc của toàn bộ kết cấu khung

Điều quan trọng là liên kết ngàm được xem như liên kết nửa cứng được thừa

nhận Tính mềm dẻo của kết cấu liên kết khớp (chốt, bulông) được nghiên cứu

suốt hai thập kỷ đầu của thế kỷ XX Sau đó, các nghiên cứu tiếp theo được thực

hiện vào những năm sau đó nhằm tính toán và đo lường mối quan hệ giữa momen

Trang 11

và góc xoay (M-θ) tại nút liên kết của dầm vào cột làm nền tảng, cơ sở cho việc

thiết kế liên kết nửa cứng Nhiều kiểm tra thực nghiệm được tiếp tục cho đến

ngày nay để đo lường cũng như đưa ra những kết luận chính xác hơn về mối quan

hệ momen – góc xoay (M-θ) cho liên kết bulông, đinh tán và hàn

Đối với kết cấu được cấu tạo bởi dầm thành mỏng ba chiều (3D), tập hợp

lực được truyền đi bao gồm lực dọc (N), lực cắt (Q), mômen uốn, mômen xoắn và

bimoment Nói chung, tất cả các dạng liên kết đều thể hiện khả năng làm việc

phi tuyến, nhờ đó độ cứng của liên kết giảm khi tăng tải trọng Khi một liên kết

được dở tải trong trường hợp phi tuyến, đường cong ảnh hưởng ứng với phần dỡ

tải song song với độ dốc ban đầu của phần đường cong tuyến tính Đối với từng

dạng liên kết, mô hình thực nghiệm thu nhỏ mô phỏng khả năng làm việc thực tế

của liên kết Tuy nhiên nghiên cứu liên kết nút nửa cứng không phải là mục tiêu

của đề tài này mà mục tiêu của đề tài này thiết lập ma trận độ cứng phần tử của

thanh thành mỏng dùng cho liên kết nửa cứng rồi phân tích ổn định tuyến tính và

phi tuyến của thanh thành mỏng khung không gian bằng PP-PTHH

Trang 12

Chương 2: LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH GVHD: PGS PHAN NGỌC CHÂU

Chương 2: LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH THANH

THÀNH MỎNG

2.1 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH [3][15]

Khi thiết kế công trình, nếu chỉ kiểm tra điều kiện bền và điều kiện cứng

không thôi thì chưa đủ để phán đoán khả năng làm việc của một công trình Trong

nhiều trường hợp, đặc biệt là đối với công trình chịu nén hoặc nén uốn, tuy tải

trọng chưa đạt đến giá trị phá hoại và đôi khi còn nhỏ hơn giá trị cho phép về điều

kiện bền và điều kiện cứng nhưng công trình vẫn có thể bị mất khả năng bảo toàn

dạng cân bằng ban đầu ở trạng thái biến dạng của nó mà chuyển sang dạng cân

bằng khác Dạng cân bằng mới này sẽ gây ra trong hệ những ứng suất phụ và làm

cho công trình bị phá hoại Ta gọi hiện tượng này là hiện tượng công trình bị mất ổn

định

Vào cuối thế kỷ thứ XIX và đầu thế kỷ thứ XX đã xảy ra một số tai nạn mà

nguyên nhân là do các công trình không đảm bảo điều kiện ổn định; chẳng hạn như

công trình cầu qua sông Képđa ở Nga (1875), cầu Menkhienxtêin ở Thụy Sĩ (1891),

cầu Cơbêch qua sông Xanh-Lôrăng ở Canađa (1907), bể chứa khí ở Hămbua

(1907)

Hiện nay, yêu cầu phát triển kinh tế đòi hỏi phải xây dựng những công trình

lớn, trong đa số các công trình đó người ta thường dùng những thanh chịu nén có

chiều dài lớn Do đó, việc nghiên cứu sự ổn định của các công trình là cần thiết và

có ý nghĩa thực tế

Bài toán ổn định của các hệ đàn hồi đã được L.Ơle nghiên cứu đầu tiên vào

năm 1744, nhưng cho đến cuối thế kỷ thứ XIX vấn đề này mới bắt đầu được phát

triển mạnh mẽ nhờ những cống hiến tuyệt vời của các nhà khoa học như: Giáo sư F

S Iaxinski, Viện sĩ A N Đinnhích, Viện sĩ V G Galoóckin … Cho đến nay, đã có

nhiều công trình nghiên cứu về lĩnh vực này và đã giải quyết tốt được những yêu

cầu cơ bản của thực tế sản xuất Tuy vậy, cũng còn nhiều vấn đề tồn tại chưa được

giải quyết đến cùng và còn tiếp tục lôi cuốn sự quan tâm của các nhà nghiên cứu;

chẳng hạn như: nghiên cứu sự ổn định của những hệ làm việc ngoài giới hạn đàn

hồi, nghiên cứu sự ổn định của công trình dưới tác động của tải trọng động (ổn định

động)…

Trang 13

2.2 ỔN ĐỊNH CỦA MỘT HỆ ĐÀN HỒI

2.2.1 KHÁI NIỆM CHUNG [3][15]

Ổn định là tính chất của công trình giữ nguyên được vị trí ban đầu của nó và

giữ nguyên được dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng tương ứng với

các tải trọng tác dụng

Tính chất ổn định của công trình thường không phải là không có giới hạn khi

tăng các lực tác dụng lên công trình Khi tính chất trên mất đi thì công trình không

có khả năng chịu đựng tải trọng Lúc này công trình được gọi là không ổn định Như

vậy, vị trí của công trình có khả năng ổn định hoặc không ổn định, đồng thời dạng

cân bằng của công trình ở trạng thái biến dạng cũng có khả năng ổn định hoặc

không ổn định

Vị trí của công trình hay dạng cân bằng của công trình ở trạng thái biến dạng

được gọi là ổn định nếu như sau khi gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ khỏi vị

trí ban đầu hoặc khỏi dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân nào đó rồi bỏ

nguyên nhân đó đi thì công trình sẽ có khuynh hướng quay trở về trạng thái ban

đầu Tùy theo nguyên nhân gây ra trong công trình các biến dạng đàn hồi hay đàn

dẻo, công trình sẽ quay trở về trạng thái ban đầu hoàn toàn hay không hoàn toàn

Vị trí của công trình hay dạng cân bằng của công trình ở trạng thái biến dạng

được gọi là không ổn định nếu như sau khi gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ

khỏi vị trí ban đầu hoặc khỏi dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân nào đó

rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì công trình không quay trở về trạng thái ban đầu Lúc

này, độ lệch của công trình không có khuynh huớng giảm dần mà có thể phát triển

tiếp tục cho đến khi công trình có vị trí mới hoặc có dạng cân bằng mới

Bước quá độ của công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn

định gọi là mất ổn định Giới hạn đầu của bước quá độ đó gọi là trạng thái tới hạn

của công trình Tải trọng tương ứng với trạng thái tới hạn đó gọi là tải trọng tới hạn

Từ khái niệm về ổn định ta cũng phân biệt hai trường hợp mất ổn định như

sau: mất ổn định về vị trí và mất ổn định về dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng

Hiện tượng mất ổn định về vị trí xảy ra khi toàn bộ công trình được xem là

tuyệt đối cứng không giữ nguyên vị trí ban đầu mà bắt buộc phải chuyển sang vị trí

khác Đó là trường hợp mất ổn định lật hoặc trượt của các công trình tường chắn,

mố cầu, trụ cầu, tháp nước v.v… Trong những trường hợp này các ngoại lực tác

dụng trên công trình không thể cân bằng ở vị trí ban đầu của công trình mà chỉ có

thể cân bằng ở vị trí mới Trong cơ học, vị trí của các vật thể tuyệt đối cứng có thể

là ổn định, không ổn định hoặc phiếm định

Một thí dụ đơn giản về hiện tượng ổn định và mất ổn định về vị trí có thể

minh họa bằng cách xét cân bằng của quả cầu trên các mặt lõm, lồi và phẳng

Trang 14

Nếu cho quả cầu một chuyển dịch nhỏ (gọi là nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị

trí lân cận rồi bỏ nhiễu đi thì:

- Trên mặt lõm, quả cầu quay về vị trí ban đầu: sự cân bằng ở vị trí ban

đầu là ổn định Khi hòn bi lệch khỏi vị trí cân bằng ổn định, thế năng của

nó tăng lên do đó vị trí hòn bi ở đáy mặt cầu lõm tương ứng với thế năng

của hòn bi là cực tiểu

- Trên mặt lồi, quả cầu chuyển động ra xa hơn vị trí ban đầu: sự cân bằng

ở vị trí ban đầu là không ổn định Khi hòn bi bị kéo lệch khỏi vị trí này,

thế năng của nó giảm xuống; do đó vị trí cân bằng không ổn định của

hòn bi xảy ra tương ứng với thế năng của hòn bi là cực đại

- Trên mặt phẳng, quả cầu giữ nguyên vị trí mới: sự cân bằng ở vị trí ban

đầu là phiếm định Trong trường hợp này thế năng của hòn bi là không

đổi

Hiện tượng mất ổn định về dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng xảy ra

khi biến dạng ban đầu của vật thể biến dạng, tương ứng với tải trọng nhỏ ban đầu

bắt buộc phải chuyển sang dạng biến dạng mới khác trước về tính chất nếu tải

trọng đạt đến một giá trị nào đó hoặc xảy ra khi biến dạng của vật thể phát triển

nhanh mà không xuất hiện dạng biến dạng mới khác trước về tính chất nếu tải

trọng đạt đến một giá trị nào đó

Trang 15

Hiện tượng tương tự cũng có thể xảy ra đối với sự cân bằng về trạng thái

biến dạng của hệ đàn hồi Chẳng hạn với thanh chịu nén trên hình2.2 Trong điều

kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hoàn toàn đúng tâm…) thì thanh sẽ giữ

hình dạng thẳng, chỉ co ngắn do chịu nén đúng tâm Nếu cho điểm đặt của lực P

một chuyển vị bé δ do một lực ngang nào đó gây ra, sau đó bỏ lực này đi thì sẽ xảy

ra các trường hợp biến dạng như sau:

Nếu P < P th thì thanh sẽ phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng Sự cân bằng

của trạng thái biến dạng thẳng ban đầu được gọi là ổn định

Nếu P > P th thì chuyển vị δ sẽ tăng và thanh sẽ bị cong thêm Sự cân bằng của

trạng thái thẳng là không ổn định

Ưùng với P = P th thì thanh vẫn giữ nguyên chuyển vị δ và trạng thái biến dạng

cong Sự cân bằng của trạng thái thẳng là phiếm định

Một ví dụ khác về mất ổn định đàn hồi Dầm cong xon dài chuyển từ trạng

thái uốn phẳng sang trạng thái trạng thái chịu uốn và xoắn khi bị mất ổn định

Hình 2.3 Trạng thái mất ổn định sẽ chuyển dầm chuyển sang trạng thái chịu

uốn và xoắn thay vì chỉ chịu uốn phẳng

Khi bị mất ổn định, biến dạng của hệ tăng lên rất nhanh, dẫn đến hệ có thể bị

phá hoại Vì vậy khi tính toán phải quan tâm đến điều kiện ổn định được đảm bảo,

nghĩa là phải tính toán sao cho tải trọng tác dụng nhỏ hơn tải tới hạn

ôđ

th

k

P

P ≤ (kôđ – hệ số an toàn về ổn định, kôđ > 1) [3] [15] (2.1)

Như vậy, muốn giải quyết bài toán ổn định, phải xác định được tải trọng tới

hạn Pth [3] [15]

P > Pth

Trang 16

2.2.2 BÀI TOÁN EULER (1774) – XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN CỦA THANH

CHỊU NÉN [3][15]

Bài toán cơ bản nhất của lý thuyết đàn hồi – bài toán xác định lực tới hạn của

thanh chịu nén đúng tâm , liên kết khớp hai đầu (hình 2.4)

Tải trọng tới hạn được xác định [3] [15] :

2

2 2

l

EJ n

P th π x

Khi lực P tăng dần từ không đến giá trị nhất định nào đó, chỉ cần P đạt giá trị

nhỏ nhất trong (2.2) Ở đây n là nguyên dương nên trị số lực tới hạn bé nhất khi

n=1 Vậy trường hợp thanh hai đầu khớp liên kết khớp có lực tới hạn bằng [3] [15]

2 2

l

EJ

P th π x

Phương trình đường đàn hồi có dạng hình sin với n là số nửa bước sóng hình

sin của đường đàn hồi (hình biến dạng của thanh là một nửa bước sóng)

l

n C z

Với những thanh hai đầu liên kết khác, ta cũng xác định được lực tới hạn

tương tự như trong [3] [15] Những kết quả tìm được cho thấy công thức tính lực

Euler của các loại thanh có liên kết khác nhau có thể viết dưới dạng công thức

chung sau đây [3] [15] :

( )2 .min 2

l

EJ

P th

μπ

Trang 17

Trong đó μ là hệ số phụ thuộc vào liên kết hai đầu thanh (hình 2.5)

Hình 2.5 Dạng mất ổn định và hệ số μ

Khi P đạt giá trị tới hạn, thanh vẫn thẳng nên vẫn chịu nén thuần túy Ứng

suất tới hạn của thanh :

( )2 .

min 2

F l

EJ F

Nếu σth của thanh càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao, ngược lại

nếu σth của thanh càng bé thì thanh càng dễ mất ổn định σth phụ thuộc vào môđun

đàn hồi E của vật liệu và phụ thuộc vào λ λ phụ thuộc vào đặc trưng hình học của

mặt cắt và điều kiện liên kết hai đầu thanh Trị số λ càng lớn, thanh càng dễ mất

ổn định; đó là những thanh mảnh Vì thế λ được gọi là độ mảnh của thanh [3] [15]

2.2.3 GIỚI HẠN ÁP DỤNG CỦA CÔNG THỨC EULER

Ứng suất tới hạn σth là một hàm số hypebon đối với λ (hình 2.6)

Trang 18

Khi tính công thức Euler, ta dựa trên cơ sở vật liệu làm việc trong giai đoạn

đàn hồi Vì vậy chúng chỉ đúng khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỉ lệ [3]

λ0 hoàn toàn phụ thuộc vào vật liệu Ví dụ, với thép số N0 3, E= 2.1x10-7

N/cm2 thì λ0 ≈ 100 ; với gỗ thông : λ0 = 75 ; với gang : λ0 = 80

Những thanh có λ > λ0 được gọi là thanh có độ mảnh lớn Những thanh có λ <

λ0 được gọi là thanh có độ mảnh vừa và bé Với các thanh có độ mảnh vừa và bé

thì không thể dùng các công thức Euler để tính ổn định được

2.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỔN ĐỊNH CỦA DẦM THÀNH MỎNG

Trái ngược với dầm tiết diện đặc chắc, dầm thanh thành mỏng rất mềm khi

chịu xoắn, và độ cứng xoắn phụ thuộc vào đáng kể vào tính chất vênh của tiết

diện Độ cứng chịu xoắn thanh thành mỏng tiết diện hở rất quan trọng đối với sự ổn

định của loại dầm này Điều này dẫn đến khả năng mất ổn định uốn-xoắn kết hợp

với một tải trọng nhỏ hơn tải trọng uốn dọc Euler cổ điển Sự mất ổn định ngang

của dầm thành mỏng cũng phụ thuộc vào tính chất vênh tiết diện dầm Trong phần

này, trình bày một số các phương trình ổn định tuyến tính tổng quát cho dầm thành

Hyperbola Euler

Trang 19

mỏng tiết diện hở Và phần kế tiếp áp dụng lý thuyết này đối với sự mất ổn định

của cột thành mỏng

Ý tưởng cơ bản của phân tích ổn định tuyến tính hóa được hiển thị trên hình

2.7 Hình 2.7a biểu diễn một cột thẳng chiều dài l Trong hình 2.7b, cột bị nén bởi

một lực P Lực này đã làm cột ngắn đi một đoạn w Đến một tải trọng nào đó, tải

trọng tới hạn, một trạng thái cân bằng thay thế gồm cả chuyển vị ngang u(z) như

biểu diễn trên hình 2.7c Sự chuyển tiếp từ một trạng thái nén không đáng kể đến

trạng thái nén dọc tại tải trọng tới hạn Pc được gọi là sự rẽ nhánh Một rẽ nhánh là

một sự chuyển tiếp từ một mode biến dạng – ở đây là co ngắn dọc trục không có

uốn – đến một mode biến dạng khác – uốn u(x) tại một chuyển vị dọc trục gần như

không đổi Các chuyển vị liên quan đến sự mất ổn định rẽ nhánh của cột được minh

họa trong hình 2.8 Chuyển vị trước khi mất ổn định oằn (prebuckling) w ≠ 0, u ≡ 0

được biểu diễn bằng đoạn AB, B là điểm rẽ nhánh, chuyển vị sau khi mất ổn định

(postbuckling) u ≠ 0, w ≈ const là đoạn BC

Hình 2.8 Đường chuyển vị với điểm rẽ nhánh tại B

Trang 20

Tại điểm rẽ nhánh, chiều dài của cột là l – w Tuy nhiên, từ một quan điểm

thực tế, chuyển vị dọc trục có thể được bỏ qua trong bài toán này, và sự phân tích

rẽ nhánh có thể dựa trực tiếp trên sơ đồ hình học không biến dạng Kiểu phân tích

như vậy gọi là phân tích tuyến tính hóa ổn định Điều này dẫn đến bài toán trị riêng

tuyến tính đối với tải trọng tới hạn Pc

Trong hình 2.8, ứng xử sau khi mất ổn định được biểu thị bằng độ uốn u ở tải

trọng tới hạn Pc Thông thường thì biến dạng sau khi mất ổn định cũng có thể ứng

với tải trọng tăng hay giảm, tùy thuộc vào bài toán Ba loại ứng xử sau khi mất ổn

định điển hình được minh họa trong hình 2.9 : một tấm phẳng, một dầm, và một

panencong Các đường cong liên tục đủ hiển thị ứng xử một kết cấu hoàn chỉnh,

trong khi các đường cong đứt khúc biểu diễn một đường cân bằng điển hình cho kết

cấu với một phần nhỏ chưa hoàn chỉnh Đối với tấm phẳng, tải trọng sau khi mất ổn

định của kết cấu lý tưởng tăng, và vì vậy tấm phẳng có khả năng chịu tải thêm vuợt

qua tải trọng tới hạn Đối với hầu hết các bài toán ổn định dầm, sự tăng hay giảm

tải trọng sau khi mất ổn định quá nhỏ nên Pc được xem là khả năng chịu tải của

dầm hoàn chỉnh Trong thực tế, phần chưa hoàn chỉnh làm các chuyển vị tăng ở tải

nhỏ hơn Pc, nên vì vậy thường sử dụng tải thiết kế được lấy từ giới hạn biến dạng

Kết cấu vỏ và panen cong cho thấy tải trọng sau khi mất ổn định giảm Các tấm và

panen không hoàn chỉnh không bao giờ đạt đến khả năng chịu tải lý thuyết tương

ứng với kết cấu lý tưởng Phần giảm khả năng chịu tải ổn định có thể rất đáng kể,

và vì vậy tính toán thực tế phải bao gồm phần ảnh hưởng của phần chưa hoàn

chỉnh

Trong phần này, các phương trình ổn định tuyến tính hóa cho dầm thành mỏng

được lấy từ thủ tục ứng suất ban đầu, Krenk (1989) Trong lý thuyết này, tải trọng

trước khi xảy ra mất ổn định được giả thiết sinh ra ứng suất trước trong dầm mà

không có sự thay đổi hình học ban đầu Vì vậy biến dạng khi mất ổn định của dầm

sẽ cho ứng suất đàn hồi như bình thường, nhưng thêm vào đó biến dạng cũng xoay

Hình 2.9 Ứng xử sau khi mất ổn định đàn hồi của tấm, dầm và các panen cong.

Trang 21

chiều của ứng suất đang xét trước khi mất ổn định Góc xoay này sẽ sinh ra các số

hạng phụ, có thể đơn giản thêm vào trong các phương trình cân bằng [5] Thế năng

có thể tổng quát hóa cho bài toán ứng suất ban đầu bằng cách thêm các số hạng

phụ Vlasov (1961) đã sử dụng thủ tục trực tiếp nhận ra tất cả các số hạng phụ từ

hình học biến dạng của dầm [13] Ở đây, các số hạng phụ được đưa vào các phương

trình ứng suất và những phương trình này sau đó được tích phân để cho các số hạng

thêm vào trong năng lượng dầm và các phương trình cân bằng

2.3.1 CÂN BẰNG VỚI ỨNG SUẤT BAN ĐẦU

Công thức ứng suất ban đầu sau đây thuận lợi nhất được lấy từ dạng tổng quát

ba chiều Xét khối lập phương đơn vị như hình 2.10 Trong hình thể không biến

dạng, các mặt khối lập phương được mô tả bằng ba vectơ đơn vị ej = (e1, e2, e3)

cũng được dùng như là các vectơ cơ sở đối với hệ tọa độ xj = (x1, x2, x3)

Trong trạng thái không biến dạng, các thành phần ứng suất là 0

Phương trình cân bằng được lấy bằng cách thêm lực khác mỗi ba cặp mặt đối

diện nhau của khối lập phương Ở dạng vectơ là [5] [14]:

x

0 0

j

=+

∂

p jk

j

=+

Đây là tập hợp các phương trình cân bằng nổi tiếng của lý thuyết biến dạng vi

phân

Trang 22

Bây giờ vật thể bị biến dạng, khối lập phương đơn vị bị biến đổi thành hình

hộp với các mặt được cho bởi e*j =(e1*,e2*,e3*) Mô tả biến dạng bằng vectơ chuyển vị

u = ujej Vị trí sau khi chuyển vị là :

kfor

Tác dụng của gradient chuyển vị là một phần biến dạng khối lập phương, một

phần xoay khối Trong phân tích ổn định, góc xoay là phần quan trọng

Xem ứng suất trong trạng thái biến dạng là tổng ứng suất ban đầu 0

ij

σ và một thành phần mới σij Trong ví dụ cột trong hình 2.7, trạng thái ứng suất ban đầu 0

ij

σlà lực nén dọc trục phân bố đều, trong khi σij là ứng suất uốn phân bố với mode

mất ổn định Tổng ứng suất sau khi biến dạng là σij0 +σij Trong trạng thái biến

dạng, ứng suất được phân chuyển dọc theo vectơ biến dạng cơ sở *

k

e Vì vậy vectơ ứng suất tác dụng trên bề mặt biến dạng là :

)( jk jk k

tot

Lưu ý là ứng suất có quan hệ với vectơ di chuyển hình thể Định nghĩa này

của vectơ thành phần được gọi là ứng suất Piola-Kirchhoff Các thành phần ứng

suất Piola-Kirchhoff có thể được biểu diễn đối xứng

Ví dụ về các thành phần ứng suất Piola-Kirchhoff :

τ1

τ2

σ

Trang 23

Ý nghĩa của các thành phần ứng suất Piola-Kirchhoff được minh họa trong

hình 2.11, biểu diễn một mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng Nếu tiết diện

không biến dạng trong mặt phẳng của nó, và pháp tuyến vẫn vuông góc với tiết

diện trong khi biến dạng, thì các vectơ cơ sở *

k

e là trực giao Về bản chất, các thành phần ứng suất Piola-Kirchhoff vẫn là các thành phần ứng suất thông thường nhưng

được biểu diễn trong hệ toạ độ di chuyển theo tiết diện dầm Trong lý thuyết dầm

chỉ có các thành phần : σ = σ33, τ1 = σ31, τ2 = σ32 được sử dụng trực tiếp

Lực thể tích trong trạng thái biến dạng cũng được viết là tổng của lực thể tích

ban đầu p i0e i và phần góp mới p i e i Các vectơ này được phân chuyển theo vectơ cơ

sở e i

tot

e p p

j

=+

++

∂

i i i k jk

0

j

=+

∂

∂+

=

∂

i i i i k

i jk jk j i ki jjk

x

u x

δσ

Tác dụng của delta Kronecker là thay thế chỉ số k bằng i Vì vậy các phương

trình thành phần có được :

x

0 0

0

j

=++

∂

∂++

∂

i i k

i jk jk j jik

x

u

x σ σσ

Trong đó chỉ có i là chỉ số tự do Phép tổng tính trên chỉ số lặp j và k

Bây giờ sử dụng trạng thái ứng suất ban đầu 0

ij

σ cân bằng với tải trọng ban đầu 0

j

p như diễn tả trong (2.13) Bằng cách trừ (2.13) từ (2.24), phương trình cân

bằng cho ứng suất mới được giảm thành :

∂

∂+

∂

i k

i jk jk j

Trang 24

Trong các ứng dụng hiện tại, ứng suất mất ổn định σij được giả thiết nhỏ so

với ứng suất ban đầu 0

∂

i k

i jk j

Phương trình tuyến tính sau dựa trên phương trình cân bằng tuyến tính hóa

Sự giải thích đơn giản về số hạng ứng suất ban đầu là xem chúng như một

phần tham gia *

x

u x

Phần đóng góp này tỉ lệ với chuyển vị, và vì vậy xuất hiện như một tập hợp

các gối tựa đàn hồi có thể có độ cứng dương hay âm phụ thuộc vào dấu của ứng

suất ban đầu

2.3.2 THẾ NĂNG VỚI ỨNG SUẤT BAN ĐẦU

Phương trình tuyến tính đàn hồi của dần thành mỏng được lấy từ nguyên lý thế

năng dừng Bước đầu tiên của thủ tục này là lấy ra một dạng khai triển của thế

năng bao gồm tác động của ứng suất ban đầu

Thế năng mở rộng được lấy từ phương trình cân bằng (2.26) Các phương trình

này được nhân với một trường chuyển vị ảo δui(x) và tích phân toàn bộ thể tích

x

u x

Quan hệ này là phát biểu nguyên lý công ảo

Hai số hạng đầu tiên được tích phân bằng cách sử dụng chuỗi phân kỳ Đối

với số hạng đầu tiên, tiến hành bằng cách dùng quy tắc tích đạo hàm

j i j

ij i ij i

x

u x

∂

=

i j j

i ij

x

u x

Trang 25

Công thức này được thay vào số hạng đầu của (2.28), và số hạng thứ hai được

lập lại bằng cách tương tự Sử dụng chuỗi phân kỳ cho ta dạng sau đây của phương

dV p u x

u x

u

j k

i jk ij

S i

k

i jk j

i ij

Số hạng đầu tiên của tích phân thể tích đại diện cho công ảo nội, trong khi số

hạng thứ hai là phần từ ứng suất ban đầu

Tích phân mặt đại diện cho công ảo thực hiện kéo mặt, bao gồm cả ứng suất

ban đầu Ở đây chúng ta triệt tiêu số hạng này để thuận tiện bằng cách cho là tải

trọng chỉ có lực thể tích phân bố pi(x) Điều này cho dạng đơn giản sau đây của

phương trình công ảo, bao gồm cả ứng suất ban đầu [5] :

k

i jk j

i ij

x

u x

δσ

Lưu ý dạng đối xứng của phần tham gia ứng suất ban đầu và tổng lấy trên các

chỉ số i, j và k

Phía bên trái của (2.33) có thể được xét như là biến bậc nhất δV của thế năng

mở rộng, được định nghĩa bằng :

=

k

i jk j

i

dV p u x

u x

u U

2

1)()

i

dV x

u x

u

2

1)u

cho thế năng Các số hạng là bậc hai trong gradient chuyển vị giống như năng

lượng biến dạng Tuy nhiên, phần tham gia ứng suất ban đầu V*(u) không xác định

dương Thật sự, trong bài toán ổn định, nó ứng xử như một độ cứng âm

Phương trình ổn định cho thanh thành mỏng được lấy bằng cách tính toán phần

tham gia năng lượng mới (2.35) dưới dạng chuyển vị tổng quát hóa ζ, εα, và ϕ, và

tìm ra biến số bậc nhất δV*( ζ, εα, ϕ) Phần tham gia năng lượng mới V*( ζ, εα, ϕ)

được dùng có liên quan đến lời giải số của Rayleigh-Ritz hoặc thể loại phần tử hữu

hạn, trong khi biến số bậc nhất cho các số hạng ổn định thêm vào trong phương

Trang 26

cho phép chỉ có ứng suất dọc trục 0

trên 1 và 2 cộng với số hạng cô lập với chỉ số 3 Chỉ số Hy Lạp được sử dụng cho

tổng lấy theo 1, 2

α α

σσ

σ

x

u x

0 33 3

0

2

12

∂

∂+

β β α β

σ

x

u x

3 3

3 0

3 3

02

1

Trong cả hai dấu ngoặc, số hạng cuối nhỏ hơn số hạng đầu vì có hệ số ∂u3/∂x3

= ε Trong phạm vi chính xác của lý thuyết hiện thời, hàm bị tích có thể xấp xỉ bởi

α

β β α β

σσ

x

u x

u

k

i jk j

3 3

0 0

2

12

Lưu ý rằng việc làm này đã làm giảm số lượng số hạng, và chuyển vị dọc trục

u3 = w cũng biến mất

Để thuận tiện trong các thao tác sau, các chuyển vị ngang được viết như sau :

)2,1(),(khi

khi

βα

αβ

Mặc dù về nguyên tắc, chỉ số lặp β trong (2.37) bao hàm một phép tổng, dạng

đặc biệt của eαβ chỉ là một số hạng

Thay chuyển vị (2.38) vào tích phân (2.35) cho ta :

x e V

ξτ

ϕξ

σϕ

ξ

βα γ

γ βγ β α

δ δ βδ β γ

γ βγ β α

' '

0

' '

0

*

2

1)

x dA

e

dA a

x a x

dA a

x e dA

V

L

A A

−

−+

−

=

0 '

0

0 '

' 0

' '

*

''2121

),

(

α α α α

βα β

α α α α

γ γ βγ β β

β α

τϕϕ

τϕξ

σϕ

ϕ

σξ

ϕσ

ξξϕ

Ba trong số năm tích phân diện tích có thể được biểu diễn trực tiếp dưới dạng

các lực tổng quát hóa trong bài toán ứng suất ban đầu :

∫

Trang 27

Lưu ý là moment uốn liên quan đến tâm đàn hồi cα

Tích phân diện tích sau cùng có thể được lập lại bằng cách sử dụng phương

trình cân bằng :

00

0

=+

∂

α α

dA a

0

2

1

Trong phần trình bày này bỏ qua các số hạng diện tích Và vì vậy tích phân

cuối cùng trong công thức (2.41) đơn giản là một tích phân diện tích của

α

α a p

x − Đây là ‘chiều cao’ của lực ngang bên ngoài đặt vào Ký hiệu fα = (f1,

f2) là điểm đặt hợp lực 0

α

q Tích phân lúc này là :

A x a p dA q

α a q

α

q , độ cứng xoay tăng nếu như lực được đặt ‘dưới’ tâm cắt, và giảm nếu

như lực đặt ‘trên’ tâm cắt

Tích phân diện tích cuối cùng còn lại trong (2.41) là :

Trang 28

Trong trường hợp tổng quát, ứng suất pháp tuyến σ0 có thể biến thiên trên tiết

diện, dẫn đến một biểu diễn phức tạp trong tích phân S0, chứ không phải đơn giản

là S0 = σ0Ia Thực tế, σ0 có thể bao gồm cả ứng suất dư, trong trường hợp mà tích

phân được tính toán theo phương pháp số

Cuối cùng, phần tham gia vào năng lượng biến dạng từ ứng suất ban đầu

V*(ξα,ϕ) có thể được viết rõ ràng bằng cách giải (2.42) – (2.44), (2.47) và (2.49) :

e Q

e N c a M S

N V

+

−

−+

+

=

2 0 0

0 0

2

1'

'''

'2

1''2

1)

,

(

*

ϕϕ

ξ

ϕξϕ

ϕξ

ξϕ

ξ

α α α β

βα α

β αβ α

α α β

β

Tất cả các số hạng trong (2.50) là bậc hai ở các chuyển vị, và điểm khác nhau

chính là vai trò của thông số độ cứng đàn hồi do lực ban đầu, moment và tải trọng

quyết định Tuy nhiên, như đã đề cập, tích phân trong (2.50) không xác định dương,

và ứng suất ban đầu có thể tăng hay giảm độ cứng của dầm, phụ thuộc vào dấu và

sự phân bố không gian

Dạng của các phần tham gia khác nhau trong (2.50) dễ thấy hơn khi viết đầy

a f

Q N

c a M

Q N

c a M

S N

−+

+

−

−+

=

2 0 2 2 2 2

0 1 1 1

2 0 1 2 0 1 1 0 1

1 0 2 1 0 2 2 0 2

0 2 2 0 1 1 0

2

12

1

'''

''2

1''2

1''21

),(

*

ϕϕ

ϕξϕξ

ϕϕξ

ξξ

ξϕ

Điều đáng chú ý là tích phân có thể được viết ở dạng ma trận đối xứng tương

tự như năng lượng đàn hồi [5]

−

=

ϕϕξ

ξϕ

ϕξξϕ

ϕ

ξ

α α α

α

'''

0

,',','2

1),

1 1 0 1 0

0 2 0

2 2 0 2 0

2 1

q a f S

Q N

c a M N

Q N

c a M N

F

(2.52)

Dạng này thuận tiện cho việc sử dụng tính toán độ cứng hình học tương ứng

cho tập giả thiết các hàm dạng Các số hạng trên đường chéo biểu diễn độ đàn hồi

tổng quát hóa, trong khi các số hạng ngoài đường chéo biểu diễn sự kết hợp của

1 1 0

Trang 29

2.3.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỔN ĐỊNH TUYẾN TÍNH HÓA

Các phương trình vi phân quyết định bài toán ổn định của dầm thành mỏng

bây giờ có thể đưa ra bằng cách xét biến số thứ nhất của thế năng mở rộng Chỉ cần

xét các số hạng mới từ δV*(ξα, ϕ)

a f e

Q

e Q e

N c a M

e N c a M S

+

−

−+

−

−++

=

ϕδϕδϕ

ξ

ϕδξδϕ

ξ

δξϕδϕ

ϕδξ

ξϕ

ξ

δ

α α α β

βα α

β βα α β

αβ α

α α

β αβ α

α α β

β α

0 0

0

0 0

2

1'

''

'

'''

''

'21)

),(

trong đó *

α

q là lực tải trọng ngang tương đương mới, và *

m là tải moment xoắn tương đương mới sinh ra do ứng suất ban đầu Sau khi sử dụng phương trình cân

q và moment xoắn *

m , và chúng độc lập với thành phần chuyển vị dọc trục

ζ Do đó phương trình chuyển vị dọc trục giữ nguyên không đổi không là phần của

bài toán ổn định tuyến tính hóa

Khi thay tải tương đương *

2

=+

ϕ

ϕξ

ξ

α α β

αβ β

αβ

β α αβ α β

αβ

dz

dm q m

dz

d e M

dz

d e

dz

d c a e dz

d N dz

d dz

d EI

dz

d

(2.57)

m vào phương trình cân bằng xoắn có được phương trình sau

dz

db dz

d e m dz

d e M dz

d e c a N

dz

d

q a f dz

d S GK dz

d dz

−+

β αβ α

β αβ α α

α α α ω

ξξ

ξ

ϕϕ

ϕ

0 2

2 0 0

0 0

Đây là dạng tổng quát của phương trình ổn định tuyến tính hóa cho thanh

thành mỏng Trong nhiều ứng dụng, áp dụng các cách đơn giản hóa, ví dụ như bỏ

qua ngoại lực trong suốt quá trình mất ổn định, các loại đối xứng, v.v Trong

Trang 30

trường hợp đặc biệt, phân biệt các trường hợp có hệ số là hằng số hay không phải

hệ số hằng rất quan trọng Đối với trường hợp không phải hệ số hằng, hầu như

không có lời giải nhất định cho bài toán, nên phải nhờ vào phương pháp số, khai

triển cả từ công thức năng lượng hay trực tiếp từ phương trình cân bằng (2.58) Để

thuận tiện sử dụng phương trình cân bằng, hệ thống (2.57) – (2.58) được viết lại

đầy đủ hai phương trình cho uốn và một phương trình cho xoắn :

0 2 0

2

2 2 1 0 2

12 1

11

c a N

EI EI

′+

=

′

−

″+

+

′

−+

ϕξ

ξξ

(2.59)

0 1 0

1

1 1 2 0 2

22 1

21

c a N

EI EI

′+

=

′

−

″+

ϕξ

ξξ

m M

M

c a N c

a N

q a f S

GK EI

′+

=

′+

′

′+

−

″

′′

2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2

2 1 1 0 1 2 2 0

0 0

ξξ

ϕϕ

ω

(2.61)

Đối với hệ số không phải là hằng số, tính đối xứng của hệ không rõ ràng bằng

công thức năng lượng (2.51) và (2.52)

Phần kế tiếp sẽ đề cập đến tính ổn định của cột dựa trên dạng đặc biệt hóa

của phương trình cân bằng (2.59) – (2.61) tương ứng tải đầu cột Trong các trường

hợp hệ số hằng, các lời giải giải tích có thể có được cho các điều kiện biên đơn

giản

2.4 CỘT THÀNH MỎNG

Thanh chịu tải chủ yếu là nén dọc trục thường được gọi là cột Ở đây, trong

phần trình bày này sử dụng từ cột để chỉ thanh chỉ chịu lực pháp tuyến và có thể có

một moment uốn ở các tiết diện đầu thanh Vì vậy không có tải trọng phân bố dọc

theo thanh, và lực cắt bằng 0, tương ứng với moment uốn là hằng số Trong trường

hợp này, các phương ổn định tổng quát trong phần trình bày trên được đơn giản hóa

và có hệ số hằng Điều này rất quan trọng khi tìm lời giải giải tích [5] Vì vậy,

trong phần trình bày này chỉ giới hạn bài toán ổn định đối với cột chịu tải đầu thanh

và hơn nữa chỉ xét các điều kiện biên đơn giản để có lời giải giải tích minh họa các

loại mất ổn định kết hợp khác nhau và nhận dạng các thông số quan trọng để xác

định tải mất ổn định tới hạn

Đối với cột có lực pháp tuyến là hằng số N0 và các moment uốn hằng 0

1

M , 0

Trang 31

1 0 2 2 2 0 0

=

′′

−

−+

ϕ

ω

M c a N

M c a N S

GK

Các phương trình vi phân này là thuần túy với hệ số hằng và vì vậy có lời giải

dạng số mũ Để thỏa các điều kiện biên đơn giản thích hợp, ở đây giả thiết lời giải

Bằng cách biến đổi thích hợp có thể sử dụng lời giải này cho các điều kiện gối

tựa khác như biểu diễn trên hình 2.13 Lời giải cho cột thứ ba trong hình 2.13 bằng

cách thay sin(λz) bằng 1 – cos(λz)

2.4.1 LỰC DỌC TRỤC TRUNG TÂM

Một trường hợp đặc biệt là tải cột trung tâm, tức là một cột chịu tải bởi một

lực pháp tuyến N0 tác dụng qua tâm đàn hồi của tiết diện Trong trường hợp này,

00

2

0

1 = M =

M , và không có độ uốn cong nào trước khi mất ổn định Lực pháp tuyến

N0 tương ứng với một ứng suất phân bố đều trên toàn tiết diện với cường độ

Trang 32

trong đó Ia là moment quán tính độc cực đối với tâm cắt A = (a1, a2) :

A

a x a x a dA

Dạng này của S0 được lấy trực tiếp từ hình học biến dạng của tiết diện có hai

trục đối xứng Đối với tiết diện nói chung rất quan trọng lưu ý rằng số hạng S0 liên

quan đến một góc xoay quanh tâm cắt A, và do đó moment quán tính độc cực trong

(2.70) là Ia được định nghĩa đối với tâm cắt Có một mối liên hệ đơn giản giữa

moment quán tính độc cực đối với điểm A và moment quán tính độc cực đối với

tâm đàn hồi Ic, được định nghĩa bởi :

A

Ic đơn giản chỉ là tổng moment quán tính Iαβ được sử dụng trong bài toán uốn

Mối liên hệ giữa Ia và Ic sau đây lấy từ tích phân xác định :

dA a x a x

A A A

α α α α α

α α α

α α α α α α α α

α α α α

−

−+

−

=

−+

−

−+

I

c a

a2 = 2 =

,

Quan hệ (2.74) có dạng :

Bán kính quán tính ra là thước đo trực tiếp cho ‘khoảng cách hiệu quả’ của

ứng suất pháp tuyến ban đầu từ tâm cắt Tiết diện với khoảng cách giữa tâm cắt và

tâm đàn hồi lớn thì có thể dễ mất ổn định kết hợp

Mất ổn định cột rất dễ gặp khi liên quan đến tải trọng nén, và do đó thuận

tiện khi đưa ra khái niệm lực nén pháp tuyến :

trong đó S0 đã được thay từ (2.70) Dễ thấy rằng nếu tâm cắt không trùng với tâm

đàn hồi, tức là nếu aα ≠ cα thì các phương trình cho uốn và xoắn được kết đôi lại

mặc dù tải trọng được đặt tại tâm đàn hồi

Để có sự biểu diễn trực tiếp của sự kết hợp rất thuận tiện khi trình bày bài

toán sử dụng hệ tọa độ hướng chính và moment quán tính chính I1 và I2 Đưa vào

công thức với hướng chính, các phương trình (2.78) – (2.80) trở thành :

Trang 33

(EI1ξ1′′)″ +Pξ1′′+P(a2 −c2)ϕ′′=0 (2.81)

(EI2ξ2′′)″ +Pξ2′′−P(a1−c1)ϕ′′=0 (2.82)

(EIωϕ′′)″ +(Pra2−GK)ϕ′′+P(a2 −c2)ξ1′′−P(a1−c1)ξ2′′=0 (2.83)

Khi điều kiện gối tựa cho phép các chuyển vị ξα(z), ϕ(z) có dạng (2.73) và

(2.74), được thay vào (2.89) – (2.91) dẫn đến bài toán trị riêng đối xứng như sau :

0

2 1

2 2 1

1 2

2

1 1 2

2

2 2 2

1

2

C A A

P r EI

GK P c a P c a

P c a P

EI

P c a P

EI

a

λλ

ω

(2.84)

Đối với một ‘bước sóng’ đã biết được xác định dưới dạng tham số λ, đây là

bài toán giá trị riêng đối xứng từ đó xác định tải trọng tới hạn Tính đối xứng là kết

quả của dạng đối xứng tổng quát của thế năng tương ứng, đã trình bày trong phần

2.3.2 và công thức ma trận đối xứng (2.52) của sự tham gia ổn định cho thế năng

tổng quát hóa

Nếu tâm cắt và tâm đàn hồi trùng nhau, tức là aα = cα, trị riêng tách ra dạng

đường chéo, và ba trị riêng là :

1 2

l

n EI

2 2

l

n EI

=+

r

P

a a

2

2 2

2

1

P1 và P2 lần lượt là tải Euler cho uốn trong mặt phẳng x1 và x2 Pϕ là tải tới hạn

cho mất ổn định xoắn tách rời Bài toán trị riêng kết hợp (2.84) có thể được trình

bày ở dạng cô đọng bằng cách đưa vào tải trọng tới hạn tách rời (2.85) – (2.87) :

0

2 1

1 2

2

1 1 2

2 2 1

C A A

P P r P c a P c a

P c a P

P

P c a P

P

a ϕ

Bằng cách sử dụng bài toán trị riêng chứng minh được kết hợp luôn dẫn đến

một giá trị tải trọng tới hạn nhỏ nhất, tức là Pc < min(P1, P2, Pϕ), Vlasov (1961) [13]

Tải trọng tới hạn Pc là nghiệm của định thức ma trận trong (2.88) Định thức

Trang 34

Đây là phương trình bậc ba đối với tải trọng tới hạn Pc Nghiệm của phương

trình này có thể được nhận ra tương đối với P1, P2 và Pϕ bằng cách suy luận như sau

Hình 2.14 Đường bậc ba f(P) và tải trọng Euler P1 và P2

Hệ số cho P3 là âm, và vì vậy f(P) < 0 đối với P đủ lớn Điều này được hiển thị

trong hình 13 Cách đánh số các trục là bất kỳ và vì vậy và do đó có thể giả thiết P1

< P2 Tính ngay f(P) cho các giá trị :

0)

0( =r2P P1P2 >

f

Do đó hàm bậc ba f(P) có dạng giống như hình 2.14 Dễ thấy f(P) có ba

nghiệm, và P1 và P2 nằm giữa các nghiệm này

Pϕ có ba vị trí có thể Nếu Pϕ nằm giữa P1 và P2 thì rã ràng từ hình 2.14 :

ϕ ϕ

ϕ

P P khi P

P P c a P P P c a

P

f

2

1 2

2 2 2 2 2 1

2 1 1

0

0)

(

Điều này cho thấy Pϕ nằm giữa nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của f(P) trong

hình 2.14, và do đó quan hệ (2.91) vẫn đúng dù cho Pϕ ở vị trí nào Trong thực

hành, tải trọng tới hạn nhỏ nhất được quan tâm nhiều nhất, mất ổn định kết hợp gây

ra do vị trí khác nhau của tâm cắt và tâm đàn hồi trong tiết diện dễ thấy làm giảm

độ lớn của tải trọng tới hạn nhỏ nhất

Điểm xoay địa phương

Tải trọng mất ổn định tới hạn Euler P1 và P2 lần lượt ứng với uốn thuần túy

trong mặt phẳng x1 và x2, trong khi Pϕ ứng với xoắn riêng rẽ quanh trục đi qua tâm

cắt Các mode mất ổn định kết hợp miêu tả bởi (2.65) và (2.66) ứng với một góc

xoay tiết diện quanh một điểm trong mặt phẳng tiết diện – gọi là điểm xoay tiết

Trang 35

giống nhau cho tất cả các tiết diện dọc theo thanh Điểm xoay B = (b1, b2) được xác

định như điểm không có dịch chuyển từ các điều kiện :

),

1 = a −

ϕ

ξ12

2 = a +

Đối với lời giải được cho ở dạng (2.65) – (2.66), tỷ số ξα/ϕ phụ thuộc vào toạ

độ dọc trục z và lấy được từ bài toán trị riêng (2.88) :

P P

P c a C

P P

P c a C

2ϕ

Muốn có được tập hợp các công thức tiện lợi sử dụng, xét mối liên hệ của tâm

xoay B với tâm đàn hồi C Thay (2.97) – (2.98) vào (2.95) – (2.96) :

2

1 1 1 1

1 P P

c a c b

1 P P

c a c b

−

=

Công thức này là hiệu của a1 và c1 được khuếch đại bằng một hệ số lớn hơn

một đơn vị, và vì vậy tâm xoay địa phương ở mode mất ổn định uốn – xoắn kết hợp

đầu tiên nằm xa tâm đàn hồi hơn so với tâm cắt Hơn thế nữa, nếu tiết diện có một

trục đối xứng thì tâm xoay địa phương sẽ nằm trên trục đối xứng

Tiết diện có một trục đối xứng

Nhiều tiết diện thực tế quan tâm có một trục đối xứng Hình 2.15 cho thấy vài

ví dụ điển hình trục x1 chọn là trục đối xứng Sự lựa chọn này thu được các kết quả

như sau Tâm đàn hồi và tâm cắt nằm trên trục đối xứng, và vì vậy c2 = 0 và a2 = 0

Trên các tiết diện trong hình 2.14, tâm cắt nằm phía bên trái tâm đàn hồi, và do đó

hệ quả từ (2.99) là trong mất ổn định uốn-xoắn kết hợp, tâm xoay nằm phía bên trái

tâm cắt A

Trang 36

Hình 2.15 Các tiết diện thành mỏng có trục x1 là trục đối xứng

Khi trục x1 là trục đối xứng, uốn trong mặt phẳng x1 tách rời với xoắn, và từ

(2.88) thì tải trọng tới hạn tương ứng là P = P1 Bài toán uốn – xoắn kết hợp là hệ

quả của (2.88) bằng cách xóa đi hàng đầu và cột đầu :

1 1

1 1 2

C

A P P r P c a

P c a P P

a ϕ

(2.101) Định thức của hệ phương trình này là :

c I

I r

±+

1

Trong thực tế đây là nghiệm với dấu trừ được quan tâm nhất Khi tâm cắt

trùng với tâm đàn hồi thì ρ = 1, và kết quả rút gọn thành P = (P2, Pϕ)

Sự kết hợp giữa uốn và xoắn trong phương x2 cho tải trọng tới hạn nhỏ hơn

min(P2, Pϕ) khi a1 ≠ c1, trong khi tải trọng tới hạn đối với uốn trong hướng x1 là P1

Khi tăng chiều dài l của cột, tải trọng tới hạn P1 và P2 giảm xuống đến 0, trong khi

Pϕ tiến đến giá trị xác định 2

a

r

K Khi P1/P2 thì uốn trong phương x1 sẽ là mode mất ổn định tới hạn đối với chiều dài cột đủ lớn Xét một cột với tiết diện đối xứng qua

trục x1 khi I1 < I2 Đối với cột ngắn, tải trọng uốn – xoắn kết hợp được cho bởi

(2.105) có thể nhỏ hơn tải trọng uốn P1 Điều này có nghĩa là tồn tại một chiều dài

tới hạn l0 xảy ra sự chuyển tiếp giữa mất ổn định uốn xoắn kết hợp và mất ổn định

do uốn trong mặt phẳng x1 Điểm chuyển tiếp được xác định bằng cách thay giá trị

P = P1 vào phương trình (2.103) đối với tải mất ổn định uốn xoắn kết hợp Điều

kiện này có thể được viết là :

2 2 2

1 r P r P

P a − c

=

Trang 37

và thay P1, P2 và Pϕ từ (2.85) – (2.87) cho ta công thức sau cho chiều dài tới hạn l0

I r I r I GK

E

1 2 1 2 2 2

1

2 2

Khi kí hiệu a là kích thước tiết diện điển hình và t là chiều dày thành điển

hình, hệ quả phân tích từ phân tích đặc trưng hình học cho K ≈ at3, I1 ≈ I2 ≈ a3t, và Iω

≈ a5t [5] Vì vậy công thức (2.107) xác định chiều dài tới hạn bằng một biểu thức có

f G

E a

t l

chuyển tiếp được biểu diễn thông qua tham số vô hướng l0t/a2

2.4.2 KẾT HỢP LỰC DỌC VÀ MOMENT ĐẦU THANH

Bài toán phần trước có thể được tổng quát hóa cho thanh có tải trọng dọc trục

và moment uốn hằng số đặt ở đầu thanh Một thanh dầm–cột với tải trọng có lực

pháp tuyến dọc trục hằng số và moment uốn hằng số 0

cân bằng Sự khác nhau chủ yếu từ trường hợp lực dọc trục trung tâm là bây giờ xét

ứng suất ban đầu σ0(xα) không còn là hằng số trên toàn tiết diện nữa

Trạng thái ứng suất ban đầu là một trong sự phân bố ứng suất dọc trục đồng

nhất σ0(xα) trên toàn tiết diện của thanh Khi không có mặt ứng suất vênh, sự phân

bố ứng suất là tuyến tính và được cho bởi hai số hạng đầu tiên trong công thức ứng

I

γ γ γ γ β β αβ

α0 1

0

=r a2N0 +2βαMα0

(2.110) Tham số ra là bán kính quán tính đối với tâm cắt A = (a1, a2), được định nghĩa

trong (2.71) Tham số mới βα được định nghĩa :

Lưu ý là hệ số thứ nhất của tích phân gồm có tọa độ cβ của tâm đàn hồi, trong

khi hai hệ số sau cùng bao gồm tọa độ aγ của tâm cắt Hệ số ½ được đưa ra cho

vector (β1, β2) một ý nghĩa vật lý trực tiếp sẽ được giải thích rõ trong phần 2.3.3

Trang 38

Vector (β1, β2) không phụ thuộc gốc của hệ tọa độ đang dùng Một dạng thay

thế khác có thể có được bằng cách cộng thêm hoặc trừ đi tọa độ cγ trong hai số

hạng sau cùng của tích phân Chúng ta có :

Tích phân hai hệ số đầu tiên của số hạng cuối cho ta moment quán tính Iβγ

theo định nghĩa trong [7] Vì vậy dạng thay thế của vector βα là :

( β β)( γ γ )( γ γ ) ( α α)

αβ α

Vector βα + aα - cα được định nghĩa bằng moment bậc ba đối với tâm đàn hồi

cα Khi các trục song song với trục chính – ví dụ như các trục đối xứng – các thành

phần của vector βα được cho bởi công thức :

( 1 1) ( )( ) ( 1 1)

1 1

2

1

c a dA c x c x c x

2

1

c a dA c x c x c x

12 1

11ξ′′″ + EI ξ′′ ″ −N ξ′′− N a −c −M ϕ′′=

1 1 1 0 2 0 2

22 1

2 0 1 1 1 0 1 0 2 2 2 0

0 2 2 0 1 1 0 2

=

′′

−

−+

ϕββ

ϕ

ω

M c a N M

c a N

M M

N r GK

Các phương trình này bao gồm các phương trình trước (2.81) – (2.83) như một

trường hợp đặc biệt khi P = - N0 và Mα0 =0 Các số hạng kết hợp 0 ( 0)

N a c

2βαMα Độ cứng St Venant có thể tăng hay giảm, phụ thuộc vào hướng

và dấu của moment uốn

Đoạn còn lại của phần này giải quyết uốn trong mặt phẳng đối xứng Các câu

hỏi về lực không đồng tâm đặt trên một thanh cột tiết diện thành mỏng bất kỳ được

đề cập trong phần kế tiếp

Uốn trong mặt đối xứng

Bây giờ chúng ta xét đến các thanh cột có tiết diện đối xứng và giả thiết rằng

trục x1 được chọn là trục đối xứng như trong hình 2.15 Tải trọng gồm có lực dọc

trục N0 và một moment 0

1

M trong mặt phẳng đối xứng, trong khi M20 =0 Với sự đối xứng và các điều kiện tải trọng này, phương trình ổn định (2.116) đối với ξ (z) được

Trang 39

tách ra từ hai phương trình còn lại đối với tịnh tiến ngang ξ2(z) và góc xoay ϕ(z)

Phương trình ổn định tách rời đối với ξ1(z) là phương trình uốn cột thông thường và

không giải hơn nữa ở đây Tuy nhiên, có một mối quan hệ gián tiếp cho bài toán

mất ổn định ngang, bởi vì uốn trong mặt phẳng x1 có thể dẫn đến hình dạng biến

dạng trước khi mất ổn định Bài toán này đã được xét bởi Vacharajitiphan &

Trahair (1975), người đã thực hiện phân tích ổn định trên phần thanh tròn, đã trình

bày hình dáng biến dạng ở tải trọng mất ổn định Trong phân tích sau đây, hình

dáng trước khi mất ổn định được bỏ qua Bài toán ổn định được quan tâm với uốn

và xoắn kết hợp ngoài mặt phẳng đối xứng Bài toán này bị chi phối bởi hai phương

2

2 0 1 1 1 0

0 1 1 0 2

=

′′

−

−+

−

′′

++

ω

M c a N

M N

r GK

0

2

2 0 1 1 0 2

0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0

2

C

A M N

P r M N c a

M N c a N

Cả hai số hạng trong căn bậc hai là dương, và vì vậy (2.123) sẽ luôn cho

moment tới hạn dương và âm, 0

Một kết quả đơn giản đặc biệt có được là β1 = 0, ví dụ đối với tiết diện có hai

trục đối xứng Trong trường hợp này, moment tới hạn là :

ϕ

P P r

Vì vậy độ lớn của moment tới hạn được xác định bằng giá trị trung bình hình

học của P2 và Pϕ Nếu bất cứ một trong các giá trị này nhỏ thì moment tới hạn cũng

nhỏ Khi P2 và Pϕ được đưa ra từ (2.86) và (2.87), chúng ta có 0

1

M khi n = 1

Trang 40

2

0 1 2 1

P r P

M C

A a

trong đó tham số k được giới thiệu từ công thức : k2 = GK/(EIω) [5] Đối với một tiết

diện thanh cho trước, khi tăng chiều dài thanh kéo theo sự tham gia vênh vào độ

cứng trở nên hạn chế hiệu ứng đầu thanh, do đó giảm tải trọng tới hạn (2.126),

trong khi điểm xoay di chuyển xa tâm cắt với chiều dài thanh tăng

2.4.3 LỰC DỌC KHÔNG ĐÚNG TÂM

Trong phần này, chúng ta thay đổi quan điểm một chút và xét moment uốn

như là được tạo ra bằng một lực dọc trục không đồng tâm Xét một lực nén dọc trục

với độ lớn là P đặt tại điểm dα = (d1, d2) Điều này tương ứng với :

22

2 1 1 1 2 2

2 2 2 0 1 1 1 1 2

−+

ϕβ

βϕ

ω

P d a P d a

P c d M

c d r

GK

Đây là tập các phương trình vi phân thuần nhất với hệ số hằng Đối với điều

kiện biên tương ứng như dạng (2.65) – (2.66), lời giải trong một hệ tọa độ với I12 =

0 được xác định bằng phương trình ma trận :

0

20

0

2 1

2 2

1 1 2

2

1 1 2

2 2 1

C A A

P c d r

P r P d a P d a

P d a P

P

P d a P

22

2 2

2 2 2 2 1

2 1 1

2 2 2 1

1 1 2 2

2 1

−+

−

P P P d a P P P d a

P c d c

d r

P r P P P

(2.133)

Trong trường hợp tổng quát, tải trọng tới hạn được tìm bằng cách giải phương

trình bậc ba này đối với P ứng với tham số riêng biệt của bài toán Tuy nhiên, vài

kết quả tổng quát có thể được lấy khi phân tích phương trình kỹ hơn

Nếu tải trọng dọc trục được đặt tại tâm cắt dα = aα Trong trường hợp này,

xoắn quanh trục đi qua tâm cắt sẽ không thay đổi vị trí của lực pháp tuyến, và do

đó mất ổn định uốn và xoắn tách rời nhau Tải trọng tới hạn tương ứng là :

Định dạng
Số trang	157
Dung lượng	0,98 MB