Theå tích vaät theå Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñieåm caùc ñieåm a vaø b.. Sx là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳn[r]
Trang 1III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1 Diện tích hình phẳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
a
S f x dx
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
a
S f x g x dx
Chú ý:
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b ( ) b ( )
f x dx f x dx
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
f x dx f x dx f x dx f x dx
= c ( ) d ( ) b ( )
f x dx f x dx f x dx
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d.
( ) ( )
d c
S g y h y dy
2 Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các
điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
a
V S x dx
Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trang 2(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
2( )
b a
V f x dx
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
c
V g y dy
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x 24x6,y0,x 2,x4 b) y lnx,y 0,x 1,x e
c) y 1 lnx,y 0,x 1,x e d)
x
2
x
x
e) y ln ,x y 0, x 1, x e f)
e
y x y 3, 0,x 2, x1
4
1
2 1
x
x
1
10
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
x
x
c) y e y x, 2,x1 d) y x x y, 2 0, y0
e) y2 ,x y x2 22x1, y2 f) y x 24x5, y 2x4,y4x11
27
x
x
y2 ,x y x2 24x4, y8
i) y2 2 , 2x x2y 1 0, y0 k) y x26x5, y x24x3, y3x15
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
x
ysinx2 cos ,x y3, x0, x
c) y5x2, y0,y 3 x x, 0 d) y2x22 ,x y x 23x6, x0,x4 e) y x y , 0, y 4 x f) y x 22x2,y x 24x5,y1
g) y x y, 2 x y, 0 h) y 1 ,2x y e x, x 1
e
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y 4 x y x2, 22x b) y x 24x3 , y x 3
2 1
x
x
Trang 3e) y x y , 2 x2 f) y x 22 ,x y x24x
x
x
2
x
i) y x 22 ,x y x 2 k) y x 22,y 4 x
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x x 2, y2 b) y2 x 5 0, x y 3 0
c) y22y x 0, x y 0 d) y2 2x1, y x 1
e) y2 2 ,x y x y , 0,y3 f) y(x1) ,2 xsiny
g) y2 6 ,x x2y2 16 h) y2 (4x) ,3 y2 4x
i) x y 3 1 0, x y 1 0 k) x2y2 8, y2 2x
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x e y ;x 0;x 1; x2 b) y x ln ;2x y0; x1; x e
c) y e y e x; x; x1 d) y5x2; y0;x0; y 3 x
e) y(x1) ;5 y e x x; 1 f) y ln ,x y 0, x 1, x e
e
g) ysinxcos ,2x y0,x0, x h) y x sin ;x y x x ; 0; x 2
i) y x sin ;2x y ;x 0; x k) sin2 sin 1, 0, 0,
2
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) ( ) : 12 , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3
2
C y x
x
b) ( ) : 2 2 1, 0, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
2
x
c) ( ) :C y x 32x24x3,y0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2 d) ( ) :C y x 33x2, x 1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2
e) ( ) :C y x 22x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
4
3
y x x y x x
2
e) y x 31, y0, x 1, x1 f) y x y 2, x
y x y x x x (x2)2y29, y0
l) y x 24x6,y x22x6 m) yln ,x y0,x2
Trang 4Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy:
y
c) y e x x, 0,y e d) y x y 2, 1, y2
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy
a) y(x2) ,2 y4 b) y x y 2, 4 ,x y2 4
1
x
2
y x x y e) y x ln ,x y0,x1, x e f) y x x 2( 0), y 3x 10,y1
4
9
2
2
y
l) x y 2 0, y2, x0 m) y2x y3, 0,x1
Trang 5IV ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài 1. Tính các tích phân sau:
0
2 x dx
x
8 4
21 2
1
x x dx
2 2
1
1 2
x
3
(x 2 x 2 )dx
02 5 2
dx
x x
0( 1)
xdx
x
dx
0
4
x
x
01
xdx x
0( 1)
xdx
x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
11 x 1dx
0
1
1
1
x x dx
2
0
2 1
x
1
2
5 4
dx x
x
0
4
xdx
1
1
0
1x x dx
0
3
1
3
0
1
x x dx
0
1
x x dx
0
1
x
2 3
0 ( 1)
x
dx
x x
0
1
Bài 3. Tính các tích phân sau:
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
0
sin 2 sin
1 3cos
x
/2
0
sin 2 cos
1 cos
x x dx
x
0
sin 2 cos 4sin
0
sin sin 2 sin3x x x dx
0
cos xdx
0
cos2 (sinx x cos )x dx
/4
tan cos 1 cos
0
sin
1 cos
x
0
tan
0
sin 2 cos x dx1
x
0
sin
1 3cosx dx
x
Trang 6o) /2 2004 2004 2004 p) q)
0
sin
0
4sin
1 cosx dx
x
0
1 2sin
1 sin 2 x dx
x
0
cos3
sin x dx1
x
0
sin sin 2 cos cos
2
xdx
x
0
sin sin 2 cos
Bài 4. Tính các tích phân sau:
0
ln( 5)
2
ln(x x dx
1
2 0
(x2)e dx x
0
(e x cos )cosx x dx
ln3 x 2 x 3
dx
e e
1
ln
e
1
1 ln
x
0
(x 1)e dx x
01 x
dx e
0( 2)
x
x e dx
x
0
(4x 2x1)e dx x
1
ln(1 x dx)
x
0
sin 5
x
1
ln
e
x dx x
0
ln(1 )
1
3 2 ln
1 2 ln
e
x dx
x
x x
1
ln ln 3
1
ln
ln 1
x x
Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x 33x1, y0,x0, x 1 b) 4 , 0, 2, 1
2
x
y x x y y e y x, 2, x1
x
2 2 , 2 4
y x x y x x
1
x
x
2
1
x
1
x
1
y y tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ
x
o) y x 33x23x1, tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
p) 1 3 3 , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x =
4
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:
a) y x y, 0,x3;Ox b) y x ln ,x y0,x1, x e Ox ; c) y xe y x, 0, x1;Ox d) y 4 x y x2, 22;Ox
e)y2 4 x x, 0;Oy f) x ye x y, 0, y1;Oy