chuyen de KSHS 12 phan 3

Tìm

CHUYÊN ĐỀ KSHS http://violet.vn/lhhanh

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 1

PHẦN 3: GTLN - GTNN HÀM SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1 định nghĩa: giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , xác định trên tập 𝐷(𝐷 ⊂ ℝ)

 số 𝑀 gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , trên tập 𝐷 nếu 𝑓 𝑥 < 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 và tồn tại

𝑥𝑜 ∈ 𝐷: 𝑓 𝑥𝑜 = 𝑀 kí hiệu là: 𝑀 = max𝐷𝑓(𝑥)

 số 𝑚 gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , trên tập 𝐷 nếu 𝑓 𝑥 > 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 và tồn tại

𝑥𝑜 ∈ 𝐷: 𝑓 𝑥𝑜 = 𝑚 kí hiệu là: 𝑚 = min𝐷𝑓(𝑥)

2 phương pháp giải:

 Dạng 1: tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 trên đoạn 𝑎; 𝑏

 Tìm tập xác định 𝐷

 Tính 𝑓′ 𝑥 , Tìm các giá trị 𝑥𝑖 ∈ 𝑎; 𝑏 mà tại đó 𝑓′ 𝑥𝑖 = 0 hoặc 𝑓′ 𝑥𝑖 không xác định

 Tính 𝑓 𝑎 ; 𝑓 𝑏 ; 𝑓(𝑥𝑖)

 Kết luận: 𝐺𝑇𝐿𝑁 = max𝐷 𝑓 𝑎 ; 𝑓 𝑏 ; 𝑓(𝑥𝑖) ; 𝐺𝑇𝑁𝑁 = min𝐷 𝑓 𝑎 ; 𝑓 𝑏 ; 𝑓(𝑥𝑖)

 Dạng 2: tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 trên mô ̣t khoảng; nửa khoảng; trên TXĐ

 Tìm tập xác định

 Tính 𝑓′ 𝑥 , Tìm các giá trị 𝑥𝑖 ∈ 𝑎; 𝑏 mà tại đó 𝑓′ 𝑥𝑖 = 0 hoặc 𝑓′ 𝑥𝑖 không xác định

 Lâ ̣p bảng biến thiên Xét dấu 𝑓′ 𝑥 trên tập 𝐷 và tính các 𝑓(𝑥𝑖)

 Nếu 𝐷 = 𝑎; 𝑏 : tìm lim𝑥→𝑎+𝑓 𝑎 ; lim𝑥→𝑏−𝑓 𝑏

 Nếu 𝐷 = 𝑎; 𝑏) : tìm 𝑓 𝑎 ; lim𝑥→𝑏−𝑓 𝑥

 Nếu 𝐷 = −∞; +∞ : tìm lim𝑥→±∞𝑓 𝑥

 Căn cứ vào chiều biến thiên của 𝑦 = 𝑓 𝑥 , ta kết luâ ̣n 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của 𝑦 = 𝑓 𝑥 trên 𝐷 Chú ý: giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , có 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 trên 𝐷 ((𝑓𝑥) liên tu ̣c trên 𝐷.)

 Phương trình 𝑓 𝑥 = 𝑚, có nghiệm trên 𝐷 khi và chỉ khi: min𝐷𝑓(𝑥) ≤ 𝑚 ≤ max𝐷𝑓(𝑥)

 Bất phương trình 𝑓 𝑥 ≥ 𝑚, có nghiệm 𝑥 ∈ 𝐷 khi và chỉ khi: max𝐷𝑓 𝑥 ≥ 𝑚

 Bất phương trình 𝑓 𝑥 ≤ 𝑚, có nghiệm 𝑥 ∈ 𝐷 khi và chỉ khi: min𝐷𝑓(𝑥) ≤ 𝑚

3 Ví dụ minh họa: Tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của hàm số:

 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2− 9𝑥 + 5 trên đoạn −2; 2

 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥 trên nữa khoảng (0; 2 Giải:

 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2− 9𝑥 + 5 trên đoạn −2; 2

 Tập xác định 𝐷 = ℝ

 Ta có: 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 6𝑥 − 9 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = −1

𝑥 = 3

 Tính: 𝑓 −2 = 3; 𝑓 −1 = 10; 𝑓 2 = −17; 𝑓 3 = −22

 Kết luận: max −2;2 𝑓(𝑥) = 10 khi 𝑥 = −1; min −2;2 𝑓(𝑥) = −22 khi 𝑥 = 3

 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥 trên nữa khoảng (0; 2

 Tập xác định 𝐷 = ℝ\{0}

 Ta có: 𝑓′ 𝑥 = 1 − 1

𝑥 2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = −1(𝑙)

𝑥 = 1 (𝑛) và 𝑓′ 0 không xác định

 Bảng biến thiên: ta có 𝑓 1 = 2; 𝑓 2 =52; lim𝑥→0+𝑓 𝑥 = +∞

CHUYÊN ĐỀ KSHS http://violet.vn/lhhanh

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 2

 Kết luận: max (0;2 𝑓(𝑥) =5

2 khi 𝑥 = 2; min (0;2 𝑓(𝑥) = 2 khi 𝑥 = 1

II BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1 Tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của hàm số:

a 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 3𝑥 + 2 trên −2; 3

b 𝑦 = 𝑥3+ 5𝑥 − 4 trên −3; 3

c 𝑦 = 𝑥4+ 8𝑥2− 10 trên 0; 1

d 𝑦 =2𝑥−1

𝑥+1 trên 0; 4

e 𝑦 =2𝑥2+5𝑥+4

𝑥+2 trên 0; 1

f 𝑦 = −𝑥 + 1 − 4

𝑥+2 trên −1; 2

g 𝑦 = 5 − 4𝑥 trên −1; 1

h 𝑦 = 25 − 𝑥2 trên −4; 4

i 𝑦 = 2 sin 𝑥 + sin 2𝑥 trên 0;3𝜋

2

j 𝑦 = 1

sin 𝑥 trên 𝜋

3;5𝜋

6

2 Tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của hàm số:

a 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥 trên (0; +∞)

b 𝑦 = 𝑥 + 2 + 1

𝑥−1 trên (1; +∞)

c 𝑦 = 𝑥+2 2

𝑥 trên (0; +∞)

d 𝑦 = 𝑥 + 𝑥2+ 1 trên (−∞; +∞)

e 𝑦 = 𝑥

𝑥+2 trên (−2; 4

f 𝑦 = 𝑥 + 2 + 1

𝑥−1 trên (−1; +∞)

g 𝑦 = 1

cos 𝑥trên 𝜋

2;3𝜋

2

h 𝑦 = 1

sin 𝑥 trên 0; 𝜋

3 Tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của hàm số:

a 𝑦 = 2 sin2𝑥 + 2 sin 𝑥 − 1

b 𝑦 = 2 sin2𝑥 − sin 2𝑥 + 7

c 𝑦 = cos3𝑥 − 6 cos2𝑥 + 9 cos 𝑥 + 5

d 𝑦 = sin3𝑥 − cos 2𝑥 + sin 𝑥 + 2

e 𝑦 = 8 sin 𝑥−3

sin 2 𝑥−sin 𝑥+1

f 𝑦 = sin 𝑥+2

sin 2 𝑥+sin 𝑥+3

g 𝑦 = cos 𝑥+1

cos 2 𝑥+cos 𝑥+1

h 𝑦 = sin2𝑥 + cos 𝑥 + 2

i 𝑦 =2 sin 𝑥+cos 𝑥+3

2 cos 𝑥−sin 𝑥+4

4 Cho hàm số: 𝑦 =𝑥8𝑥−32 −𝑥+1

a Tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁 và 𝐺𝑇𝑁𝑁 của hàm số

b Tìm 𝑚, để phương trình 8𝑥−3

𝑥 2 −𝑥+1= 𝑚 có nghiệm

5 Định 𝑚, để phương trình 𝑥3− 3𝑥 + 𝑚 = 0 có nghiệm 𝑥 ∈ 0; 3

6 Cho phương trình: sin4𝑥 + sin 𝑥 + 1 4 = 𝑚

a Giải phương trình khi 𝑚 =1

8

b Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚, thì phương trình có nghiệm

7 Cho phương trình: 𝑥4− 6𝑥3+ 𝑚𝑥2 − 12𝑥 + 4 = 0

a Giải phương trình khi 𝑚 = 13

b Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚, thì phương trình có nghiệm

8 Biện luâ ̣n theo 𝑚, số nghiê ̣m của phương trình: 𝑥 + 3 = 𝑚 𝑥2+ 1

𝑥 𝑦’

𝑦 +∞

−

5/2

2

0