Chuyên đề nguyên hàm tích phân

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Bài 1: Tìm nguyên hàm:

1

x

dx

e 



Đặt: te x 1 dte dx x

Bài 2: Tìm nguyên hàm:

4

1 1

x dx x







1

x





4 3 2

Bài 3: Tìm nguyên hàm: 4 3

x x dx



Ta có:

3 4

4

x

I  x x dx xdx C

Bài 4: Tìm nguyên hàm:

3

d

x x

x  x



t x xt  dx t dt

• Vậy

3 5 4 3 2

2 3

1

9 8 7 6 5 4

6

C

sin (sinx xcos x dx)



Ta có:

4



Bài 6 Tính nguyên hàm

dx



Bài 7 Tính nguyên hàm

dx

x  x



Ta có:

2

dx I





Đặt

2

1

Bài 8 Tính nguyên hàm 4

dx



Ta có:

I

 

2

I



3

ln



Bài 9: Tìm nguyên hàm

3d

x

x

e

e







Ta có:

3d

x

x

e

e





2

x

x x

e e







Bài 10: Tìm nguyên hàm

2

d 1

x

x

e

e







Đặt x 1 x

e   t e dxdt

d

t

t



Bài 11: Tìm nguyên hàm

3

3 4 d

x

x





4

t x  x t  x dx t dt

Vậy

Bài 12: Tìm nguyên hàm

5 3 2

2 d 1

x









Đặt 2

2

1

1

x

x



Vậy:

d

Bài 13: Tìm nguyên hàm

2 3

1 d

x







Đặt xsintdxcostdx

2

2 3

t

t t



Bài 14: Tìm nguyên hàm

2

ln d

x

x



2

2x

x







dv 12 v 1

Vậy:

2

d



Bài 15: Tìm nguyên hàm

2

2

x dx







2

cos



Đặt

2 2

1

xcosx











Bài 16: Tìm nguyên hàm

4

x

x







t

Bài 17: Tìm nguyên hàm 2

I x x x

2

1 3

dx

x x







Vậy:

d

x





d

x x





Bài 18: Tìm nguyên hàm

sin

d

x







cos

dt

t

Bài 19:Tìm nguyên hàm 6

tan

dx I

x



Ta có: I= 6 (tan )2



6 2

dt

t t





 Với ttanx

4 2 2

dt

t t t





1 dt



1

dt

dt



6 4 2

2

1

dt

t dt t dt t dt

t



7 5 3

arctan

t C

  

Bài 20:Tìm nguyên hàm 5

sin

I  xdx

sin xdx sin sinx xdx  (1 cos x) sinxdx

Đặt ucosxdu sinxdx

Bài 21:Tìm nguyên hàm 3

sin

dx I

x



• Ta có : 3 sin4 sin2 2

dx

• Đổi biến số , đặt ucosxdu sinxdx

• Khi đó :

2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1

du

1 1 1ln 1

u C



Bài 22:Tìm nguyên hàm 2 2

ln

I x xdx

• Đặt

2

2

3

lnx du

v













Vậy

3

2 1

2

x

I  ln x I (1)

• Tính 2

1

I x lnxdx

Đặt 2 3

3

dx du

v















Suy ra:

2 1

1

I  lnx x dx lnx (2)

Thế (2) vào (1) ta được

Bài 23:Tìm nguyên hàm I  1 sin xdx

Ta có:

2

Sau đó xét âm dương để tính nguyên hàm

Bài 24:Tìm nguyên hàm

sin

dx I

x



• Ta có :



• Đặt ucosxdu  sinxdx

• Khi đó : 2 1ln 1





Bài 25:Tìm nguyên hàm 1





• Ta có :

2 2

1 tan

2

2 1 tan

1

x



u du   dx

Bài 26:Tìm nguyên hàm cos

7 cos 2

x

x







Ta có:

2

1

(sin )

8 2sin

x







Đặt sinx2 sintd sinx( )2 costdt

Vậy:

2

2 cos

8 8sin

t

t





t

Bài 27:Tìm nguyên hàm 10 2

dx I

x x







Ta có:

9

10 2 10 10 2

I

tx  dx x dx

dt I

t t







2 2 2

t t







1 1 1 2



1 | 1| 1

t



I  x  x e dx

Ta có:

2

2

2

I    d e x

2

x

d e x

2

2

x

e dx

2

x

Bài 29: Tính tích phân: 0

3

2 2 1

x

dx



1x  t t  1 x tdtxdx

• Đổi cận x  0 t 1

x 3 t 2

• Vậy: 2 2

1 ( 1)

t

t





t



Bài 30: Tính tích phân: 0 2

8 16x dx



• Đặt x4 sintdx4 costdt

• Đổi cận x  0 t 0

8

4

x  t 

2



Bài 31: Tính tích phân:

2

2 6

1

2





Đặt cos 3.sin sin 3.cos

cos

2

0

4

3 (1 cos 2 )

4

sin t

Bài 32: Tính tích phân:

2 6 0

cos 2

x

x





Ta có:

6

0

1 sin 2

cos 2

x

x







6 2 0

dx







/6

0

x

x x







Bài 33: Tính tích phân:

3

3 0

cos

x x

x







Ta có:

3

0

x







Bài 34: Tính tích phân:

3

2 2

1 1

dx I







x tdx  t dt

• Đổi cận

1

4

3

3





  

• Nên

2



ln(sin ) ln

Bài 35: Tính tích phân:

1 4 2 6 0

1 1

x







Ta có:

2

(*) Tính tích phân

1

1 2 0

1 1

x





cos

t

Đổi cận x  0 t 0

1

4

Suy ra:

1





(*) Tính tích phân

1

2 6 0

1 1

x





Đặt 3 2

3

ux du x dx

Cận không đổi, Suy ra:

1

0

u







tương tự như I1 ta tính được 2

12

I  

Vậy 1 2 2 5

12

I I  I  

Bài 36: Tính tích phân:

1

1 2 ln

1 2 ln

e

x









x

1 2 ln x 2 t

Đổi cận x  1 t 1

x e t 2

Vậy:

2

t

Bài 37: Tính tích phân:

5 2

0

sin

x









Đặt

2

5

2

0sin

cos

cos

t









Do tích phân không phụ thuộc vào biến: 2

4

Bài 38: Tính tích phân:

1

3 3 3

0 (1 ) 1

dx





t x dt x dx

Ta có:

• x0 t 1

• x  1 t 2

3 3 4

Bài 39: Tính tích phân:

3

2 1

3 ln

x

x







 (Trích đề khối B - 2009)

3 1

x



1

x x





Bài 40: Tính tích phân:

4 6 0

tan cos 2

x

x



 (Trích đề khối A - 2008)

Ta có:

4 6

2 0

1 tan

I

x







 Đặt ttanx thì:

1

3 4

2

0

1

t dt

I

t







1 3

2 2

0

1

t





1 3

3 0

t t



.ln



Bài 41: Tính tích phân:

6 0

sin

2 cos 2

x dx x





• Đặt ucosx

• Ta có:

1 2

ln

Bài 42: Tính tích phân:

3

2 0

4 ln 4

x

x





Đặt 2

t x thì ta được:

1

0

1

2

0

1

2 2 1

2 1

0 0



1

0



1 0

Bài 43: Tính tích phân :2 2  2

4









Ta có:

2

2 4

2

x









4 4

sin 2

2 2

4

sin 2

2 cot 2 ln | sin |





Bài 44: Tính tích phân :

6

2 0

.sin cos





Ta có:

2 6





6 2

0 xcos xdcosx



 

0

1

cos



3

3

6 6

0 0

cos

xdx

3

2

6 6

0 0

6 0

sin

x



Bài 45: Tính tích phân :

0

3 sin2x











Ta có:

0

3 sin 2

x









2



2

2

t





Bài 46: Tính tích phân:

1

2

11 1

dx







• Xét I1

Đặt x  t dx dt thì: 1 1

2 0

dt I





• Do tích phân không phụ thuộc biến nên:

I

Bài 47: Tính tích phân:

2 3 4

cos sin

x







Ta có:

2

3

4

sin sin

x

x







2

2 4







2 2

4 4





1

|

Bài 48: Tính tích phân:

1 2 2

2 0

x

x e

x







Ta có:

2 1

2 0

x

x





2

0

x

0

|



1

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT!