MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ÁP DỤNG

Hai dạng Bất đẳng thức 0.7 và 0.8 đã đượcứng dụng trong việc nghiên cứu định tính và định lượng cho nghiệm của một sốlớp phương trình động lực trên thang thời gian.. Vì lẽ đó, việc nghiê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRẦN ĐÌNH PHỤNG

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG

THỜI GIAN VÀ ÁP DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRẦN ĐÌNH PHỤNG

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG

Lời cam đoan

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướngdẫn của PGS TS Đinh Thanh Đức và GS TSKH Vũ Kim Tuấn Tôi xin camđoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của tôi Các kết quả trong Luận án làtrung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bốtrước đó

Tác giả

Trần Đình Phụng

Vũ Kim Tuấn, người đã nhiệt tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu khoahọc và giúp tác giả học hỏi thêm được nhiều điều về nghiên cứu khoa học và cuộcsống mặc dù thời gian làm việc chung với tác giả không nhiều.

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu TrườngĐại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng Quý thầy cô giáogiảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giải tích khóa 1 đã tận tình giúp đỡ và tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Dư Vi Nhân Thầy đã giúp đỡ tácgiả tận tình trong quá trình nghiên cứu khoa học cũng như trong việc hoàn thànhLuận án

Cuối cùng, tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè,những người luôn sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận án

Chương 2 Bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian và áp dụng 222.1 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến 242.2 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến 382.3 Một số áp dụng 68

Chương 3 Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang

3.1 Bất đẳng thức loại Lyapunov trên thang thời gian 793.2 Tính dao động của phương trình thuần nhất 843.3 Tính dao động của phương trình không thuần nhất 92

Chương 4 Đồng nhất thức loại Picone trên thang thời gian và áp dụng110

4.1 Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone 1124.2 Bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy trên thang thời gian 1184.3 Định lý Ried cho một lớp hệ động lực cấp một 124

Danh mục các công trình của tác giả 133

σ : Toán tử nhảy tiến

ρ : Toán tử nhảy lùi

tuyệt đối trên mọi đoạn con đóng của I

Crd(I) : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực và rd-liên tục

trên I

C1rd(I) : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực, xác định trên

I sao cho các ∆−đạo hàm của chúng thuộc lớp Crd(I)

Lp∆(I), p ≥ 1 : Tập tất cả các hàm số ∆−đo được f xác định trên I

sao cho R

I |f (x)| p ∆x < ∞

Lp∆([a, b]T, τ ), p ≥ 1 : Tập tất cả các hàm số f ∆−đo được, xác định trên

[a, b]T sao cho Rb

a |f (x)| p τ (x)∆x < ∞, trong đó

τ ∈ W([a, b]T)

Lpa([a, b]T, τ ), p ≥ 1 : Tập tất cả các hàm số f ∈ AC([a, b]T) sao cho

f∆ ∈ Lp∆([a, b]T, τ ) và f có một không điểm tổng quát

trong đó A, B, C và D thuộc lớp hàmCrd(I0) với B > 0

và −A, −D ∈ R +, sao cho u không có không điểm tổngquát trong I0

x j =a j

= 0 với kj ∈ [0, λj− 1]N, j ∈ [1, n]N,

và R

Ω |∂∆xλf (x)λ | p τ (x)∆x < ∞, trong đó τ ∈ W(Ω)

Lpa([a, b], τ ), p ≥ 1 : Tập tất cả các hàm số f : [a, b] →R thuộc lớp

Cnrd([a, b]) sao cho f có không điểm tổng quát là a và

Rb

a |∂1∆xf (x)1 |pτ (x)∆x < ∞, trong đó τ ∈ W([a, b])

Mở đầu

Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện và đóng một vai trò quan trọng trong hầuhết các lĩnh vực của toán học thuần túy, toán ứng dụng mà còn có nhiều ứng dụngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống, chẳng hạn như khoa học tự nhiên,khoa học kĩ thuật và kinh tế Các bất đẳng thức hàm là một trong những cơ sởquan trọng để xây dựng giải tích nói chung và lĩnh vực phương trình vi phân, đạohàm riêng và tích phân nói riêng Trong lĩnh vực phương trình vi phân, tích phân

và đạo hàm riêng, các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là những công

cụ vô cùng hữu hiệu trong việc nghiên cứu các tính chất định tính và định lượngcho nghiệm của các lớp phương trình này Một số đại diện quan trọng của lớp cácbất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là các bất đẳng thức Opial, Wirtinger

và Hardy Dưới góc độ giải tích thuần túy, có thể thấy rằng bất đẳng thức Opial

là dạng nội suy của bất đẳng thức Poincaré một chiều với một số điều kiện biênnào đó, trong khi bất đẳng thức Wirtinger là dạng của bất đẳng thức Poincaré mộtchiều đối với các hàm tuần hoàn

Năm 1960, Opial [63] nhà toán học người Ba Lan đã đưa ra bất đẳng thức

Z b 0

|f (x)f0(x)|dx ≤ b

4

Z b 0

|f (x)f0(x)|dx ≤ b

2

Z b 0

|f0(x)|2dx, (0.2)

trong đó 2b là hằng số tốt nhất có thể, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (x) = cx,

với clà hằng số Ngay sau đó, nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm nghiêncứu, phát triển, mở rộng và tổng quát hóa các bất đẳng thức Opial (0.1) và (0.2)theo nhiều hướng khác nhau đồng thời cũng đã đưa ra các dạng rời rạc tương ứng.Năm 1968, Willett [98] lần đầu tiên đưa ra một mở rộng cho Bất đẳng thức

(0.2) theo hướng nâng bậc đạo hàm Sau đó, Boyd [24], Das [30], Pachpatte [64] đãtiếp tục phát triển kết quả theo hướng mở rộng này.

Để nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các phươngtrình đạo hàm riêng, Agarwal [1], Cheung [29], Yang [103], Pachpatte [66] đã mởrộng (0.1) và (0.2) cho hàm số nhiều biến

Một hướng mở rộng không tầm thường khác đó là xét các trường hợp khác nhauđối với các số mũ của hàm số và đạo hàm của nó Theo hướng này, có các côngtrình tiên phong của Hua [39] và Yang [102]

Năm 1972, Godunova và Levin [35] đã đưa ra các dạng mở rộng cho các Bấtđẳng thức (0.1) và (0.2) liên quan đến hàm lồi Các kết quả này đã được Peˇcari´c[68], Pachpatte [66], và Andri´c cùng các cộng sự [14] mở rộng cho hàm số nhiềubiến

Bất đẳng thức Opial dạng rời rạc đã được Lasota [49] đề xuất vào năm 1968

Cụ thể, Lasota [49] đã đưa ra các dạng rời rạc tương ứng với các Bất đẳng thức(0.1) và (0.2) như sau: Cho {xi} N

i=0 là một dãy số thực Nếu x0 = xN = 0, thì

và tính dao động của nghiệm, nghiên cứu các bài toán về giá trị riêng và nhiều vấn

đề khác Trong [11], Agarwal và Pang đã tổng hợp rất nhiều dạng mở rộng khácnhau của bất đẳng thức Opial và các áp dụng của chúng.

Gần đây, vào năm 2013, Nhân, Đức, và Tuấn [59] đã đưa ra một bất đẳng thứcloại Opial tổng quát như sau: Cho m, n là các số nguyên dương, p > 1, r, s > 0 saocho 1p+1r = 1s, fj : [a, b] →R, j = 1, , m là các hàm số thỏa mãnfj(n−1) tồn tại, liêntục tuyệt đối trên[a, b] và Rab|fj(n)(x)|pτn(x)δj(x)dx < ∞, trong đóτn(x) = (b−x)(n−1)!n−1 và

δj là các hàm dương và liên tục trên [a, b] Khi đó

 Z b a

τn(x)

Năm 1988, Hilger nhà toán học người Đức trong luận án tiến sĩ của mình đãđưa ra lý thuyết giải tích trên thang thời gian nhằm mục đích thống nhất giải tíchliên tục và giải tích rời rạc Sự ra đời của giải tích trên thang thời gian là một đòihỏi mang tính tất yếu bởi rất nhiều mô hình toán học trong thực tế luôn đòi hỏi

dữ liệu vừa có tính liên tục vừa có thể rời rạc Giải tích trên thang thời gian chophép chúng ta có thể nghiên cứu các phương trình trên một tập con đóng tùy ýcủa R, mà ta gọi là thang thời gian, thường được kí hiệu là T Các ví dụ điển hìnhnhất của thang thời gian T đó là R, Z và q¯Z = {qt, t ∈ Z} ∪ {0} trong đó q > 1 Từ

đó, chúng ta có thể nhận được các kết quả cho các phương trình vi phân, phươngtrình sai phân hay phương trình q−giải tích bằng cách chọn các thang thời gianthích hợp Các bất đẳng thức dạng tích phân và sai phân đóng vai trò quan trọngtrong việc nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của cácphương trình vi phân và phương trình sai phân Do đó việc thống nhất các dạng

bất đẳng thức này, tức là thiết lập các bất đẳng thức trên thang thời gian, là cầnthiết cho việc nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm củaphương trình động lực trên thang thời gian Từ đó nhiều nhà toán học đã quan tâmđến lý thuyết bất đẳng thức trên thang thời gian Việc nghiên cứu các bất đẳngthức loại Opial trên thang thời gian được Bohner và Kaymak¸calan [20], Agarwal,Bohner và Peterson [3] khởi xướng vào năm 2001: Nếu hàm số f : [0, b]T → R là

hàm ∆−khả vi sao cho f (0) = 0, thì

Z b 0

|[f (x) + fσ(x)]f∆(x)|∆x ≤ b

Z b 0

|f∆(x)|2∆x. (0.6)

Ngay sau đó, Bất đẳng thức (0.6) đã thu hút được sự nghiên cứu mở rộng của nhiềunhóm nghiên cứu khác nhau Có hai dạng mở rộng tự nhiên nhất cho Bất đẳngthức (0.6) đó là các bất đẳng thức loại Opial

Z b a

|f (x)|γ|f∆(x)|βϕ(x)∆x ≤ S 1

 Z b a

Từ những kết quả gần đây của Nhân, Đức, và Tuấn [59, 61] và nhiều nhà toánhọc khác trên thế giới cho trường hợp liên tục, rời rạc cùng với những ứng dụngkhác nhau của chúng trong lĩnh vực phương trình vi phân, sai phân, ta có thể thấyrằng sự ra đời của chúng có nhất định trong việc phát triển lý thuyết phương trình

vi phân và sai phân Sự phát triển mạnh mẽ của nhiều bất đẳng thức trên thang

thời gian trong thời gian gần đây đã góp phần vào việc phát triển lý thuyết phươngtrình động lực trên thang thời gian Hai dạng Bất đẳng thức (0.7) và (0.8) đã đượcứng dụng trong việc nghiên cứu định tính và định lượng cho nghiệm của một sốlớp phương trình động lực trên thang thời gian Tuy nhiên, cần phải có những bấtđẳng thức tổng quát hơn để phục vụ cho việc nghiên cứu các lớp phương trình tổngquát hơn Vì lẽ đó, việc nghiên cứu nhằm cải tiến và đề xuất các bất đẳng thứcmới trên thang thời gian luôn là vấn đề quan trọng và có tính cấp thiết trong lĩnhvực giải tích nói chung mà đặc biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết phương trìnhđộng lực nói riêng.

Tiếp nối những kết quả gần đây, chúng tôi tiếp tục phát triển và mở rộng cácBất đẳng thức loại Opial (0.7) và (0.8) cho hàm một biến và hàm nhiều biến trên

cơ sở sử dụng phương pháp và ý tưởng được đề xuất bởi Nhân, Đức và Tuấn trong[59, 61] cùng với lý thuyết giải tích trên thang thời gian Hơn nữa, chúng tôi còn

áp dụng các kết quả mới để thiết lập một số bất đẳng thức loại Lyapunov mới,hữu ích trong việc nghiên cứu sự phân bố các không điểm tổng quát của nghiệmcủa một số lớp phương trình động lực Tuy nhiên, việc xây dựng những kết quảmới này là không hề dễ dàng mà chúng đòi hỏi những kĩ thuật cao, tính toán phứctạp nhằm khắc phục những điểm khác biệt giữa liên tục và rời rạc cũng như thốngnhất chúng

Cùng với bất đẳng thức Opial, một công cụ quan trọng khác trong nghiên cứu

lý thuyết phương trình vi phân, tích phân, và đạo hàm riêng đó là đồng nhất thứcPicone, được chính nhà toán học Picone người Ý đề xuất năm 1910 trong [69] nhưsau:



v

u v

`2[u] = (P0(t)u0)0+ Q0(t)u, L2[v] = (P1(t)v0)0+ Q1(t)v.

Đồng nhất thức Picone không chỉ là một công cụ rất mạnh khi nghiên cứu tính daođộng nghiệm của các phương trình vi phân, nghiên cứu các bài toán giá trị riêng

trong phương trình vi phân mà còn được dùng để thiết lập các bất đẳng thức tíchphân liên quan tới các hàm số và đạo hàm của nó chẳng hạn như các bất đẳng thứcloại Wirtinger và loại Hardy.

Kể từ khi ra đời, đồng nhất thức Picone đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiêncứu, mở rộng theo nhiều hướng khác nhau chẳng hạn như: Ahmad [12] mở rộng chocác hệ tuyến tính, M¨uller-Pfeiffer [58] mở rộng cho các phương trình vi phân không

tự liên hợp, Tyagi và Raghavenda [97] mở rộng cho các phương trình vi phân ẩn,Allegretto [13] mở rộng cho các phương trình elliptic suy biến, Zhang và Sun [106]

mở rộng cho các phương trình tuyến tính trên thang thời gian, Jaroˇs và Kusano[42] mở rộng cho các phương trình nửa tuyến tính, Tiryaki [96] mở rộng cho cácphương trình elliptic phi tuyến

Năm 1999, Jaroˇs và Kusano [42] đã mở rộng đồng nhất thức Picone (0.9) chocác toán tử vi phân nửa tuyến tính cấp hai `α[u] = (P0Gα+1(u0))0 + Q0Gα+1(u)

Lα[v] = (P1Gα+1(u0))0+ Q1Gα+1(u) trong đó α > 0 và Gp(t) = |t|p−1sign(t) với p > 1

và áp dụng nó để nghiên cứu lý thuyết Sturm cho các phương trình thuần nhất

`α[u] = 0 và không thuần nhất `α[u] = f Các phiên bản rời rạc và thang thời giancủa đồng nhất thức Picone lần lượt được ˇRehák [74], Agarwal, Bohner và ˇRehák[4] đưa ra sau đó

Năm 2011, Jaroˇs [40] đã đưa ra đồng nhất thức loại Picone cho toán tử Lα[v]

từ đó thiết lập một bất đẳng thức loại Wirtinger mở rộng các kết quả của Diaz vàMetcalf [31], Lee và các cộng sự [51] cũng như của Swanson [94]

Gần đây, Jaroˇs [41] (2013) và Tiryaki [95] (2015) đã thu được các đồng nhấtthức và bất đẳng thức loại Picone cho hệ phương trình vi phân phi tuyến

dạng liên tục và dạng rời rạc đã được đề cập ở trên hay không? Nỗ lực đầu tiên đểtrả lời câu hỏi này thuộc về Agarwal cùng các cộng sự [7] Họ đã thiết lập bất đẳngthức loại Wirtinger bằng cách xét bất phương trình ∆−vi phân

(P u∆)∆+ Quσ+ λRuσ ≤ 0 trên I∩ [a, ¯ ρ(b)),

trong đó λ là một tham số thực, P, Q và R là các hàm số rd-liên tục trên I với

P > 0, và I là một tập con thích hợp của T

Gần đây nhất, vào năm 2015, Saker, Mahmoud và Peterson [87] đã cố gắng mởrộng đồng nhất thức loại Picone và bất đẳng thức loại Wirtinger được thiết lập bởiJaroˇs [40] cho các hàm số xác định trên thang thời gian Tuy nhiên, Công trình [87]của họ có một vài thiếu sót, các kết quả trong [87, Theorem 2.1] không chính xác

Do đó, chúng tôi nhận thấy rằng việc xây dựng các đồng nhất thức và bất đẳngthức loại Picone mới trên thang thời gian là thực sự cần thiết, có tính thời sự và có

ý nghĩa khoa học Trong luận án này, chúng tôi vừa hiệu chỉnh các kết quả trongCông trình [87] vừa mở rộng chúng bằng cách thiết lập một số đồng nhất thức vàbất đẳng thức loại Picone mới cho hệ động lực phi tuyến

Mục đích chính của Luận án là xây dựng một số bất đẳng thức tích phân chotoán tử đạo hàm trên thang thời gian như bất đẳng thức loại Opial, bất đẳng thứcloại Wirtinger, bất đẳng thức loại Hardy và các áp dụng của chúng trong lĩnh vựcphương trình và hệ phương trình động lực trên thang thời gian

Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, gồm có 4 chương:

• Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian

• Chương 2: Bất đẳng thức Opial trên thang thời gian và áp dụng

• Chương 3: Tính dao động của một số phương trình động lực trênthang thời gian

• Chương 4: Đồng nhất thức Picone trên thang thời gian và áp dụng

Luận án được viết dựa trên các công trình [60, 62, 71, 72, 73] Các kết quả củaLuận án đã được báo cáo tại:

• Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định;

• Hội nghị “Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần I”, Trường Đại học QuyNhơn, Bình Định, 12-14/08/2015;

• Seminar Trung tâm Toán ứng dụng và Khoa học, Trường Đại học West gia, Carrollton, GA 30118, USA, 3/2016;

Geor-• Hội nghị “Toán ứng dụng và Tin học”, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội,

Bình Định, tháng 05 năm 2017

Tác giả

Trần Đình Phụng

và Peterson, [27, 28] của Cabada và Vivero.

1.1 Các định nghĩa cơ bản

Định nghĩa 1.1 ([22]) Thang thời gian (time scale) T là một tập con không rỗng,đóng của R Như vậy, các tập R, Z, N, q¯Z := {qk : k ∈ Z} ∪ {0} với q > 1, hZ := {hk : k ∈Z} với h > 0, tập Cantor là các thang thời gian Các tập Q,R\Q,C, (0, 1)

không phải là các thang thời gian Tôpô trên thang thời gian T là tôpô cảm sinh

từ tôpô chuẩn trên tập các số thực R.

Định nghĩa 1.2 ([22, Definition 1.1]) Cho T là một thang thời gian tùy ý Toán

tử nhảy tiến (forward jump operator) σ :T→T được định nghĩa như sau:

σ(t) := inf{s ∈T: s > t} với mọi t ∈T.

Toán tử nhảy lùi (backward jump operator) ρ :T→T được định nghĩa như sau:

ρ(t) := sup{s ∈T: s < t} với mọi t ∈T.

Hàm hạt (graininess function) µ :T→R+0 được định nghĩa như sau:

µ(t) := σ(t) − t với mọi t ∈T.

Trong định nghĩa này ta đặt inf ∅ := supT (tức là σ(t) = t nếu t là điểm lớn nhấtcủa T) và sup ∅ := infT (tức là ρ(t) = t nếu t là điểm nhỏ nhất của T), trong đó ∅

là tập rỗng

Định nghĩa 1.3 ([22, Definition 1.1]) Cho T là một thang thời gian và t ∈T.

• Nếu σ(t) > t thì t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered)

• Nếu ρ(t) < t thì t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered)

• Nếu t vừa là điểm cô lập phải vừa là điểm cô lập trái thì t được gọi là điểm

cô lập (isolated)

• Nếu t < supT và σ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật phải (right-dense)

• Nếu t > infT và ρ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật trái (left-dense)

• Nếu t vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái thì t được gọi làđiểm trù mật (dense)

Sau đây là ví dụ minh họa một số định nghĩa cơ bản trên thang thời gian

Ví dụ 1.1 ([22]) Xét các thang thời gian T=R, T=Z và T= ¯ q Z

(i) Khi T=R, với mọi t ∈R ta có σ(t) = inf{s ∈R: s > t} = t. Tương tự,ρ(t) = t

Vì thế mọi điểm trong R đều là điểm trù mật Khi đó, hàm hạt µ(t) = 0,

∀t ∈T.

(ii) Khi T = Z, với mọi t ∈ Z ta có σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = t + 1. Tương tự,

ρ(t) = t − 1 Vì thế mọi điểm trong R đều là điểm cô lập Khi đó, hàm hạt

µ(t) = 1, ∀t ∈ T.

(iii) Khi T = ¯ q Z = {qk : k ∈Z} ∪ {0}, trong đó q > 1, với mọi t = qm ∈T ta có

Định nghĩa 1.5 ([22]) Cho T là một thang thời gian tùy ý,a, b ∈ T sao choa < b

Ta định nghĩa đoạn [a, b]T trong T như sau:

Hàmf được gọi là ∆−khả vi (hay ngắn gọn là khả vi) trên Tκ nếuf∆(t) tồn tạivới mọi t ∈Tκ. Hàm số f∆:Tκ→R được gọi là ∆−đạo hàm (hay ngắn gọn là đạohàm) của hàm số f trên Tκ

Ví dụ 1.2 ([22]) Cho f :T→R là hàm ∆−khả vi

(i) Nếu T=R thì f∆ = f0, với f0 là đạo hàm theo nghĩa thông thường

(ii) Nếu T=Z thì f∆ = ∆f là toán tử sai phân tiến thông thường

(iii) Còn nếu T= ¯ q Z thìf∆(t) = f (qt)−f (t)(q−1)t với mọit ∈T\{0}vàf∆(0) = lim

dễ dàng chứng minh được f∆(t) = t + σ(t) với mọi t ∈T.

Với mọi hàm số f : T→ R Ta kí hiệu fσ = f ◦ σ. Sau đây là một số mối quan

hệ đơn giản liên quan đến ∆−đạo hàm

Định lý 1.1 ([22, Theorem 1.16]) Cho hàm số f :T→R và t ∈ Tκ

(i) Nếu f ∆−khả vi tại t thì f liên tục tại t

(ii) Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f ∆−khả vi tại t và hơn nữa

f∆(t) = f

σ (t) − f (t) µ(t) .

(iii) Nếu t là điểm trù mật phải thì f ∆−khả vi tại t khi và chỉ khi tồn tại giới hạnhữu hạn lim

t→s

f (t)−f (s) t−s và khi đó

Tiếp theo, chúng ta có thể tìm ∆−đạo hàm của tổng, tích và thương của cáchàm số ∆−khả vi dựa vào định lý sau đây.

Định lý 1.2 ([22, Theorem 1.20]) Cho f, g :T → R là các hàm số ∆−khả vi tại

∆

(t) = f

∆ (t)g(t) − f (t)g∆(t) g(t)g σ (t) .

Định lý 1.3 (Công thức Leibniz [22, Exercise 1.22]) Nếu fj∆ tồn tại với mọi

Định nghĩa 1.7 ([22, Definition 1.27]) Cho hàm số f :T→R ∆−khả vi trên Tκ.Nếu hàm số f∆ ∆−khả vi trên (Tκ)κ =Tκ2 thì ta nói hàm số f có ∆−đạo hàm cấphai, ta viết f∆2 = (f∆)∆.

Ta định nghĩa ∆−đạo hàm cấp n của hàm số f theo cách tương tự, tức là

Định nghĩa 1.8 ([22, Definition 1.58]) Một hàm số f : T → R được gọi là hàm

rd-liên tục (right-dense continuous) nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong

T và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong T

Tập tất cả các hàm số f :T→R rd-liên tục được kí hiệu là Crd(T,R) (hay Crd,

Crd(T)) Tập tất cả các hàm số f : T→R ∆−khả vi cấp n và có ∆−đạo hàm cấpn

rd-liên tục được ký hiệu là Cnrd(T,R) (hay Cnrd, Cnrd(T)) với n ≥ 1

Hàm σ là rd-liên tục Hàm số f :R→R là rd-liên tục nếu và chỉ nếu f liên tục.Bất kỳ hàm số nào xác định trên Z cũng là hàm rd-liên tục

Sau đây là một số kết quả liên quan đến hàm rd-liên tục và hàm liên tục.Định lý 1.4 ([22, Theorem 1.60]) Cho hàm số f :T→R.

(i) Nếu f liên tục thì f rd-liên tục

(ii) Nếu f rd-liên tục thì fσ cũng vậy

1.3 Phép tính tích phân

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về tích phânLebesgue trên thang thời gian Lý thuyết tích phân Riemann và tích phân Lebesgue

trên thang thời gian đã được xây dựng bởi Bohner và Guseinov [23, Chapter 5] vàonăm 2003 Trên cơ sở đó, gần đây, Cabada và Vivero [28] đã tiếp tục nghiên cứu

và phát triển lý thuyết tích phân Lebesgue trên thang thời gian Cụ thể, họ đãnghiên cứu mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue trên thang thời gian và tích phânLebesgue cổ điển và đã đưa ra phương pháp tính chính xác giá trị của tích phânLebesgue trên thang thời gian thông qua giá trị của tích phân Lebesgue

Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp xây dựng ∆−tích phân Lebesguecủa Bohner và Guseinov trong [23, Chapter 5]

Kí hiệu F1 là họ tất cả các nửa khoảng [˜ a, ˜ b)T với ˜ a, ˜ b ∈ T và a ≤ ˜ ˜ b Để thuậntiện, ta quy ước [˜ a, ˜ a) = ∅ Cho m : F1 → [0, ∞] là một hàm tập được định nghĩanhư sau:

m1([˜ a, ˜ b)) := ˜ b − ˜ a.

Dễ thấy hàm tập m1 là một độ đo có tính cộng tính đếm được trên F1

Độ đo m1 được khuếch đến một độ đo ngoàim∗1 trên họ tất cả các tập con P(T)

của T như sau:



.

Khi đó m∗1 là một độ đo ngoài và m∗1(E) = m1(E) với mọi E ∈ F1

Định nghĩa 1.9 Một tập A ⊂T được gọi là ∆−đo được nếu đẳng thức

m∗1(E) = m∗1(E ∩ A) + m∗1(E ∩ (T\ A))

xảy ra với mọi tập con E của T

Định lý 1.6 Họ

M(m∗1) = {A ⊂T: A là tập ∆ −đo được},

là một σ−đại số Hàm µ∆ = m∗1/M(m∗1) (hạn chế của m∗1 trên M(m∗1)) là một độ

đo cộng tính đếm được trên M(m∗1)

Độ đo µ∆ được gọi là ∆−độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.10 Cho A ⊂ T Một tính chất P (t) được gọi là là thỏa mãn với

∆−hầu hết mọi t ∈ A, hay được thỏa mãn ∆−hầu khắp nơi (∆−h.k.n) trên A, nếu

có một tập B ⊂ A sao cho µ∆(B) = 0 và P (t) được thỏa mãn với mọi t ∈ A \ B.Định lý 1.7 Nếu t0 ∈T\ {maxT}, thì {t0} là tập ∆−đo được Lebesgue và

µ∆({t0}) = µ(t0).

Nếu a, b ∈T và a ≤ b, thì

µ∆([a, b)T) = b − a và µ∆((a, b)T) = b − σ(a).

Nếu a, b ∈T\ {maxT} và a ≤ b, thì

µ∆((a, b]T) = σ(b) − σ(a) và µ∆([a, b]T) = σ(b) − a.

Sau đây là mối liên hệ giữa độ đo µ∆ và độ đo Lebesgue µL

Định lý 1.8 Một tập E ⊂ T là ∆−đo được khi và chỉ khi E là đo được Lebesgue.Hơn nữa, nếu maxT∈ E / , thì

µ∆(E) = X

i∈I E (σ(ti) − ti) + µL(E),

trong đó IE = {i ∈ I : ti ∈ E} và {ti}i∈I, I ⊂ N, là tập tất cả các điểm cô lập phải

của T

Xét không gian đo được (T, M(m∗1)) với ∆−độ đo Lebesgue µ∆ Từ những kháiniệm, tính chất về độ đo và tích phân Lesbegue đã được xây dựng trong các côngtrình [46, 76, 93], chúng ta có thể xây dựng những định nghĩa và tính chất tương

tự cho không gian đo được (T, M(m∗1)) với ∆−độ đo Lebesgue µ∆ như sau

Định nghĩa 1.11 Một hàm sốf :T→R≡ [−∞, +∞] được gọi là ∆−đo được nếuvới mọi α ∈ R, tập

f−1([−∞, α)) = {t ∈T: f (t) < α}

là ∆−đo được

Định nghĩa 1.12 Một hàm số S : T → R được gọi là đơn giản nếu nó chỉ nhận

hữu hạn giá trị khác nhau α1, , αn

Ở đây, ta quy ước 0.∞ = 0.

Định nghĩa 1.14 Cho E ⊂ T là một tập ∆−đo được và f : T → [0, +∞) là mộthàm ∆−đo được Ta gọi ∆− tích phân Lebesgue của f trên tập E đối với độ đo µ∆

Định nghĩa 1.15 Cho E ⊂ T là một tập ∆−đo được và f : T → R là một hàm

∆−đo được Ta nói rằng f là ∆−khả tích Lebesgue nếu ít nhất một trong hai tíchphân

Trong trường hợp này, ta định nghĩa ∆−tích phân Lebesgue của hàmf trên tập E

đối với độ đo µ∆ là số

f (t)∆t =

Z b a

f (t)dt,

trong đó tích phân vế phải là tích phân Lebesgue

(ii) Nếu mọi điểm trong [a, b]T đều là điểm cô lập thì

Z b a

0 nếua = b,

−Pρ(a) t=b µ(t)f (t) nếua > b.

(iii) Khi T =Z,

Z b a

0 nếu a = b,

−Pa−1 t=b f (t) nếu a > b.

Định lý 1.9 ([23, Theorem 1.29]) Với mọi hàm số f : T→R và t ∈ Tκ ta có

Z σ(t) t

f (ξ)∆ξ = µ(t)f (t). (1.3)

Sau đây là một số tính chất sơ cấp của ∆−tích phân Lebesgue

Định lý 1.10 Cho f và g là các hàm ∆−khả tích Lebesgue nhận giá trị thực trêntập ∆−đo được E ⊂T và λ là một số thực Khi đó

(i) NếuF là tập ∆−đo được vàE ∩F = ∅, thìRE∪F f (s)∆s =REf (s)∆s+RF f (s)∆s,

miễn là vế trái hoặc vế phải của đẳng thức này có nghĩa;

(ii) λf, f + g và |f | là các hàm ∆− khả tích Lebesgue trên E;

(iii) |R

E f (s)∆s| ≤R

E |f (s)|∆s;(iv) REλf (s)∆s = λREf (s)∆s;

(v) RE(f (s) + g(s))∆s =REf (s)∆s +REg(s)∆s;

(vi) Nếu f = g ∆−hầu khắp nơi trên E thì REf (s)∆s = REg(s)∆s Nói riêng, nếu

f = 0 ∆−hầu khắp nơi trên E thì R

E f (s)∆s = 0;(vii) Nếu f ≤ g trên E thì

Nói riêng nếu f ≥ 0 trên E thì REf (s)∆s ≥ 0;

Các kết quả dưới đây của Cabada và Vivero [28] cho ta một phương pháp tính

∆−tích phân Lebesgue của một hàm ∆−khả tích Lebesgue f trên một tập ∆−đođược E ⊂T.

Định lý 1.11 Cho E ⊂T\ {maxT} là một tập ∆−đo được Nếu f :T→R là một

trong đó IE = {i ∈ I : t i ∈ E} và {t i }i∈I, I ⊂ N, là tập tất cả các điểm cô lập phải

trong đó Ir,t= I[r,t)∩T được xác định tương tự như tập IE

Tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất đặc trưng của các

đa thức tổng quát (generalized polynomials) hay còn gọi là các đơn thức Taylor(Taylor monomials) Các đa thức này xuất hiện trong khai triển Taylor của cáchàm số trên thang thời gian

Định nghĩa 1.16 ([22]) Các đa thức tổng quát là các hàm số gn, hn : T×T→R

với n ∈ N0 được định nghĩa như sau:

h0(t, s) = g0(t, s) = 1 với mọi t, s ∈T.

hn(t, s) =

Z t s

hn−1(ξ, s)∆ξ, gn(t, s) =

Z t s

gn−1(σ(ξ), s)∆ξ với mọi t, s ∈ T

và n ≥ 1.

Dễ thấy g1(t, s) = h1(t, s) = t − s, hn(s, s) = 0 với mọi n ≥ 1 và t, s ∈T Việc tìm

các đa thức g n và h n với n > 1 trên thang thời gian tùy ý là không dễ dàng Nhưngtrên một thang thời gian cụ thể ta có thể tìm được các đa thức này

Ví dụ 1.5 ([22]) Trên các thang thời gian R, Z và q¯Z với q > 1 ta dễ dàng tìmđược đa thức hn như sau:

(i) Khi T=R, hn(t, s) = (t−s)n! n với mọi t, s ∈R;

(ii) Khi T=Z, hn(t, s) = (t−s)n!(n) với mọi t, s ∈Z, trong đó t(0)= 1, t(n)=

(iii) Khi T = ¯ q Z với q > 1, hn(t, s) =

Sau đây là một số tính chất cơ bản của các đa thức tổng quát

Định lý 1.13 ([22]) Cho n ∈ N và s, t ∈T.

(i) Nếu t ≥ s thì hn(t, s) ≥ 0 Còn nếu t ≤ s thì (−1)nhn(t, s) ≥ 0

(ii) Với mỗi s cố định sao cho s < t, hn(t, s) là hàm tăng theo biến t

(iii) gn(t, s) = 0 với mọi s ∈ [ρn−1(t), t]T.

Sau đây là công thức khai triển Taylor trên thang thời gian

Định lý 1.14 (Công thức Taylor [37, Theorem 12]) Cho m, n là các số nguyêndương, m < n và f ∈ Cnrd(T,R). Khi đó

hn−m−1(t, σ(ξ))f∆n(ξ)∆ξ (1.5)

với mọi s, t ∈T.

Z b 0

|f (x)|2dx ≤ b

2

π 2

Z b 0

0 |f (x)f0(x)|dx Một điểm thú vị nữa của bất đẳng thức Opial là việc thay đổi thứ

tự lấy đạo hàm và phép toán lũy thừa dưới dấu tích phân Bất đẳng thức Opial đãđược sử dụng rộng rãi và đóng một vai trò quan trọng trong giải tích Cụ thể bất

đẳng thức Opial và các biến thể của nó đã trở thành một công cụ hữu ích trongviệc đi tìm các tính chất định tính cho nghiệm của các phương trình vi tích phân

và sai phân Hơn thế nữa việc sử dụng các bất đẳng thức Opial còn dẫn tới các bấtđẳng thức quan trọng khác, chẳng hạn bất thức loại Lyapunov về điều kiện cầncho sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tựa tuyến tính

Trong thời gian gần đây, có nhiều sự tham gia nghiên cứu, thiết lập các bấtđẳng thức loại Opial trên thang thời gian nhằm thống nhất các kết quả đã có trongtrường hợp liên tục và rời rạc Một số dạng bất đẳng thức loại Opial trên thangthời gian được thiết lập gần đây nhất đó là

Z b a

|f (x)|γ|f∆(x)|βϕ(x)∆x ≤ S1

 Z b a

|f∆(x)|pτ (x)∆x

γ+βp

, (2.3)

khif (a) = 0 hoặc/và f (b) = 0, trong đó p > 1, β > 0, γ > 0, S1, S2 là các hằng số Từ

đó, chúng tôi tiếp tục thiết lập các bất đẳng thức loại Opial mới tổng quát hơn vàcải thiện các kết quả đã có trên thang thời gian trên cơ sở thống nhất các kết quảdạng liên tục của Nhân, Đức, và Tuấn [59] và dạng rời rạc của Nhân, Đức, Tuấn, và

Vũ [61] Cụ thể, chúng tôi quan tâm đến việc mở rộng bất đẳng thức loại Opial trênthang thời gian theo hai hướng tổng quát sau: (1) chú ý rằng biểu thức (f + fσ)f∆

trong Bất đẳng thức (0.6) có thể viết dưới dạng (f2)∆ Do đó, một cách tự nhiên

và tổng quát khi thay lần lượt các biểu thức|f |γ|f∆|β trong Bất đẳng thức (2.2) vàbiểu thức |f + fσ|γ|f∆|β trong (2.3) bởi các biểu thức |(G ◦ f )∆|β và |(G0◦ f )f∆|β,trong đóG thuộc một lớp các hàm số thích hợp Sự tổng quát này mang lại không

ít khó khăn bởi lẽ việc thiết lập một công thức tường minh cho (G ◦ f )∆ trên mộtthang thời gian tùy ý là rất khó Sử dụng phương pháp và ý tưởng được đề xuấtbởi Nhân, Đức và Tuấn trong [59, 61], các quy tắc ∆−đạo hàm của hàm hợp [22,Theorem 1.87, Theorem 1.90] cùng với bất đẳng thức H¨older trên thang thời gian[22, Theorem 6.13] chúng tôi đã đạt được một số kết quả đáng chú ý, mở ra mộthướng tiếp cận mới trong việc mở rộng và phát triển các bất đẳng thức trên thangthời gian; (2) trên thang thời gian, khái niệm không điểm của hàm số được thaythế bằng khái niệm không điểm tổng quát Do đó, để các kết quả được áp dụng

rộng rãi hơn, chúng tôi thiết lập các bất đẳng thức loại Opial trong trường hợp cácđiểm đầu mút là các không điểm tổng quát.

Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức Opial cho hàm mộtbiến và hàm nhiều biến trên thang thời gian Trước hết, để xây dựng các bất đẳngthức Opial cho hàm một biến, chúng tôi sẽ thiết lập các bất đẳng thức tích phân

có trọng cho các∆−đạo hàm tác động trên tích và hợp của các hàm số Tiếp theo,chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức tích phân có trọng cho các đạo hàm tác độngtrên hợp của các hàm số trên thang thời gian nhiều chiều Từ đó, áp dụng để thiếtlập các bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến Bên cạnh đó chúng tôi cònđưa ra một số áp dụng của các kết quả mới như thiết lập một số bất đẳng thứcloại Lyapunov liên quan đến một số lớp phương trình ∆−đạo hàm riêng trên thangthời gian cũng như nhận được một chặn trên của nghiệm của một lớp phương trìnhđộng lực liên quan đến ∆−tích phân và ∆−đạo hàm riêng Các kết quả mới củachương này được trích từ các công trình [62, 71, 72]

2.1 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến

Trong phần này chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức loại Opial cho hàmmột biến xác định trên thang thời gian Để thiết lập các kết quả chính, ngoài việc

sử dụng các kiến thức cơ bản về thang thời gian được trình bày ở Chương 1 chúngtôi còn sử một số kết quả quan trọng liên quan đến hàm liên tục tuyệt đối trênthang thời gian, khái niệm không điểm tổng quát, bất đẳng thức H¨older, ∆−đạohàm của hàm số hợp và một số kết quả quan trọng khác trong giải tích trên thangthời gian

Định nghĩa 2.1 ([27, Definition 3.2]) Một hàm số f : [a, b]T →R được gọi là liên

tục tuyệt đối trên[a, b]T nếu với mọi  > 0 cho trước đều có δ > 0để cho với mọi hệnửa khoảng {[ak, bk)T}nk=1 với ak, bk ∈ [a, b]T rời nhau:

đối trên mọi đoạn con đóng của [a, b]T.

Bổ đề 2.1 ([27, Theorem 4.1]) Một hàm số f thuộc vào lớp hàm AC([a, b]T) khi vàchỉ khi f ∆−khả vi ∆−hầu khắp nơi trên [a, b)T, Rab|f (t)|∆t < ∞ và

f (x) = f (a) +

Z x a

f∆(t)∆t, x ∈ [a, b]T (2.4)và

f (x) = f (b) −

Z b x

f∆(t)∆t, x ∈ [a, b]T. (2.5)

Bổ đề 2.2 (Công thức tích phân từng phần [6]) Nếu f, g ∈ AC([a, b]T) thì f.g ∈ AC([a, b]T) và

Z b a

f∆(x)gσ(x)∆x +

Z b a

f (x)g∆(x)∆x = f (b)g(b) − f (a)g(a). (2.6)

Định nghĩa 2.2 Cho hàm số τ : [a, b]T → R Hàm τ được gọi là một hàm trọngtrên [a, b]T nếu τ là hàm dương và rd-liên tục trên [a, b]T Kí hiệu W([a, b]T) là tậptất cả các hàm trọng trên [a, b]T

Định nghĩa 2.3 ([22]) Cho hàm số f :T→ R Ta nói f có một không điểm tổngquát (generalized zero) là c ∈ T nếu f (c) = 0 hoặc f (c)fσ(c) < 0

Chop ≥ 1vàτ ∈ W([a, b]T), kí hiệuLp∆([a, b]T, τ ) là tập tất cả các hàm sốf ∆−đođược, xác định trên [a, b]T sao cho Rb

a |f (x)| p τ (x)∆x < ∞ Kí hiệuLpa([a, b]T, τ ) là tậptất cả các hàm số f ∈ AC([a, b]T)sao cho f∆ ∈ Lp∆([a, b]T, τ ) và f có một không điểmtổng quát là a Trong chương này, chúng tôi giả sử p > 1 và q > 1 là cặp số mũ liênhợp với nhau, tức là 1p +1q = 1

Bổ đề 2.3 (Bất đẳng thức H¨older [22, Theorem 6.13]) Giả sử τ ∈ W([a, b]T),

f ∈ Lp∆([a, b]T, τ ), và g ∈ Lq∆([a, b]T, τ ) Khi đó, f g ∈ L1∆([a, b]T, τ ) và

Z b

a

|f (x)g(x)|τ (x)∆x ≤

Z b a

|f (x)|pτ (x)∆x

!1p

Z b a

|g(x)|qτ (x)∆x

!1q

. (2.7)

Định nghĩa 2.4 Choa, b, c ∈T sao choσ(a) < c < b,τ ∈ W([a, c]T),f ∈ Lpa([a, c]T, τ )

và ξ ∈ [0, 1) Ta định nghĩa các hàm số χξ, τξ và Fξ xác định trên [a, c]T như sau:

• χξ(x) = 1 nếu x ∈ [σ(a), c]T và χξ(a) = 1 − ξ.

ξ (x)τ

1 q

ξ (x), x ∈ [σ(a), c]T. (2.8)Tương tự, với f ∈ Lpb([c, σ(b)]T, τ ) tồn tại η ∈ [0, 1) sao cho

(1 − η)f (b) + ηfσ(b) = 0.

Hơn nữa, nếu τ ∈ W([c, σ(b)]T) thì

|f (x)| ≤ ˆ F

1 p

η (x)ˆ τ

1 q

χξ(t)f∆(t)∆t, x ∈ [σ(a), c]T. (2.10)

Áp dụng bất đẳng thức H¨older (2.7) vào (2.10) ta được (2.8) Bất đẳng thức (2.9)được chứng minh theo cách tương tự

Dưới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một lớp các hàm số cần thiết trong việc thiếtlập các bất đẳng thức cho hợp của các hàm số trên thang thời gian.

Với 0 < R ≤ ∞, ta kí hiệu GR1 là lớp các hàm số G ∈ C1(−R, R) thỏa mãn cácđiều kiện sau:G(0) = 0, |G0(x)| ≤ G0(|x|)với mọix ∈ (−R, R), và nếux ≤ yαz1−α, α ∈ [0, 1], 0 < x, y, z < R, thìG0(x) ≤ [G0(y)]α[G0(z)]1−α,tức làG0 là hàm lồi hình học trên

(i) G0 không âm và tăng trên (0, R);

(ii) G tăng trên (0, R) và |G(x)| ≤ G(|x|) với mọi x ∈ (−R, R);

(iii) G là hàm lồi hình học trên (0, R)

Bổ đề 2.6 (Quy tắc ∆−đạo hàm của hàm hợp [22, Theorem 1.90]) Cho G ∈ GR1

và f :T→ (−R, R) là hàm ∆−khả vi Khi đó, G ◦ f là hàm ∆−khả vi và

(G ◦ f )∆(x) = f∆(x)

Z 1 0

G0(sfσ(x) + (1 − s)f (x))ds, x ∈Tκ. (2.11)

Từ bổ đề trên ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau

Bổ đề 2.7 Cho G ∈ GR1 và f : T→ (−R, R) là hàm ∆−khả vi Nếu f không âm vàtăng trên T, thì

... lập số đồng thức v? ?bất đẳng thức loại Picone cho hệ động lực phi tuyến

Mục đích Luận án xây dựng số bất đẳng thức tích phân chotốn tử đạo hàm thang thời gian bất đẳng thức loại Opial, bất. .. dựng bất đẳngthức Opial cho hàm biến, chúng tơi thiết lập bất đẳng thức tích phân

có trọng cho các∆−đạo hàm tác động tích hợp hàm số Tiếp theo,chúng xây dựng bất đẳng thức tích. .. tích phân có trọng cho đạo hàm tác độngtrên hợp hàm số thang thời gian nhiều chiều Từ đó, áp dụng để thiếtlập bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến Bên cạnh chúng tơi cịnđưa số áp dụng