Tiểu luận Tích phân Lebesgue và qua giới hạn dưới dấu tích phân

Tiểu luận Tích phân Lebesgue và qua giới hạn dưới dấu tích phân

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

DANH SÁCH NHÓM 1 LỚP DT14STH01 1

MỞ ĐẦU 2

Chương 1: TÍCH PHÂN LEBESGUE 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Phạm vi nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

NỘI DUNG 5

1 Tư tưởng tích phân Lebesgue 5

2 Các định nghĩa tích phân 5

2.1 Định nghĩa 5

2.2 Định lí 7

3 Các tính chất sơ cấp 8

3.1 Tính chất (giả sử các tích phân có nghĩa ) 8

3.2 Tính chất (Khả tích ) 12

4 Bài tập 13

Chương 2: QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN 15

1 Lý do chọn đề tài: 15

2 Mục đích nghiên cứu 15

3 Phạm vi nghiên cứu 16

4 Phương pháp nghiên cứu 16

NỘI DUNG 17

1 Định lí Lêvi 17

2 Định lí về sự hội tụ đơn điệu 20

3 Định lí Lebesgue về sự hội tụ bị chặn 20

4 Một số phương pháp tính tích phân Lebesgue 22

4.1 Định lí 4.1 (định lí so sánh) 22

4.2 Bài toán tích phân 23

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

15 Phan Thanh Hậu (100%)

16 Nguyễn Thị Thu Hiền (100%)

MỞ ĐẦU

Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tíchphân và những ứng dụng hữu ích của nó Khi đó, phép lấy tích phân của những hàmliên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tíchphân Riemann Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cảcác điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là mộtcâu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của chúng tôi suốt thời phổ thông Khi bước vàođại học, chúng tôi đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phânLebesgue Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, chúng tôi không có điềukiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tíchphân này trong những trường hợp khác nhau

Tích phân Riemann trong R n được giảng dạy cho sinh viên năm thứ hai khoaToán, trường đại học Quảng Nam Tích phân này có nhiều hạn chế đáng kể khi tiếpcận với một số lĩnh vực cơ bản của Giải tích hiện đại.Vì vậy, mục đích chính của đềtài này là mở rộng tích phân Riemann tới tích phân Lebesgue của các hàm đo đượctrong không gian có độ đo

Vì vậy, chúng tôi đã quyết định chọn “Tích phân Lebesgue và qua giới hạn dưới

dấu tích phân” để làm đề tài tiểu luận của mình.

Bài tiểu luận gồm hai chương:

 Chương 1: Tích phân Lebesgue

 Chương 2: Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Chương 1: TÍCH PHÂN LEBESGUE

1 Lý do chọn đề tài

Ý tưởng chính của phép xây dựng tích phân Lebesgue là ta không nhóm nhữngđiểm gần nhau trên trục x mà lại nhóm những điểm tại đó giá trị của hàm số gần nhau.Điều này cho phép ta mở rộng ngay khái niệm tích phân ra một lớp hàm rất tổng quát.Ngoài ra tích phân Lebesgue được định nghĩa hoàn toàn như nhau đối với các khônggian có độ đo tùy ý, trong khi đó đầu tiên ta phải định nghĩa tích phân Riemann đốivới các hàm số một biến số, rồi sau đó mới mở rộng, với những sự thay đổi cần thiết

ra các hàm nhiều biến số Đối với các hàm xác định trên không gian có độ đo trừutượng thì tích phân Riemann hoàn toàn không có ý nghĩa Khái niệm tích phânRiemann được biết đến trong giáo trình giải tích và toán cao cấp chỉ được áp dụngcho những hàm liên tục hoặc không có quá nhiều điểm gián đoạn Riêng đối vớinhững hàm đo được thì chúng có thể gián đoạn khắp nơi trên miền xác định, do đóphép xây dựng tích phân Riemann là không thể áp dụng được Trong lúc đó, các yêucầu của những ngành khoa học kỹ thuật lại cần đến tích phân của những hàm không

bị chặn cũng như những hàm không liên tục tại một điểm nào đó Vì vậy cần có mộttích phân hoàn hảo, mềm dẻo hơn nhiều và tích phân Lebesgue là một hướng nhằmđáp ứng các yêu cầu đó

Do đó, chúng tôi luôn có mong muốn đi sâu hơn về vấn đề này để bổ sung và

hoàn thiện thêm kiến thức của mình qua “Chương 1: Tích phân Lebesgue”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả tích

(L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được Nghiên cứu sâu hơn các tính chất liênquan đến tính khả tích (L)

- Giải một số bài toán về tích phân Lebesgue Chẳng hạn: tính tích phân (L) bằng

cách sử dụng các hàm đơn giản, hàm tương đương, tính σ -cộng tính, tính chất của độ

đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ bị chặn

- Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân.

- Giải các bài toán liên quan đến điều kiện khả tích của các hàm đo được.

3 Phạm vi nghiên cứu

Tích phân Lebesgue: Các tính chất, các dạng toán liên quan đến tích phânLebesgue

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài.

- Hệ thống những kiến thức cần thiết, cơ sở để tiếp cận nội dung chính của đề tài.

- Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

NỘI DUNG

1 Tư tưởng tích phân Lebesgue

 Khái niệm tích phân Riemann được biết đến trong giáo trình giải tích và toáncao cấp chỉ được áp dụng cho những hàm liên tục hoặc có không quá nhiều điểm giánđoạn Riêng đối với những hàm đo được thì chúng có thể gián đoạn khắp nơi trênmiền xác định, do đó phép xây dựng tích phân Riemann là không thể áp dụng được

Vì vậy cần có một tích phân mới hoàn hảo, mềm dẻo hơn nhiều, đó chính là tích phânLebesgue

 Tư tưởng của tích phân Lebesgue là nhóm những điểm trên trục Ox thành 1 tậpsao cho giá trị hàm của chúng gần bằng nhau Điều này cho phép chúng ta mở rộngngay khái niệm tích phân ra một lớp hàm rất tổng quát Lebesgue đã chứng minhđược rằng nếu một hàm khả tích Riemann trên một hình hộp đóng và bị chặn ∆ ⊆ R n

thì hàm đó cũng khả tích theo nghĩa Lebesgue và tích phân Lebesgue trùng với tíchphân Riemann Đây là cơ sở cho phép chúng ta tính được tích phân Lebesgue thôngqua tích phân Riemann

2 Các định nghĩa tích phân

2.1 Định nghĩa

Cho f là một hàm đo được xác định trên A ∈ F và độ đo µ

(1) Nếu f là hàm đơn giản không âm, nghĩa là f =∑

n=1

n

c i X A i với các tập A i đođược, đôi một rời nhau, A=∪ i=1 n A i, khi đó tích phân của hàm f đối với độ đo µ trên tập

f n dμμ ¿

fdμμ được gọi là tích phân

Lebesgue và được ký hiệu (L) ∫

Lúc đó tồn tại K > 0 sao cho 0 ≤ f ≤ K trên A

Theo định lí về cấu trúc hàm đo được tồn tại dãy đơn giản không âm, đơn điệutăng và hội tụ về f

i f là hàm đơn giản không âm trên A ∪B Lúc đó:

Trường hợp ∫

A

f +¿∫

B

f ¿ có nghĩa cũng chứng minh tương tự

(2)Nếu A và B rời nhau thì ∫

Do f ≤ g, ta có thể giả sử f n ≤ g n với mọi n ∈ N (chỉ cần chọn f n , g n theo chứng minh định

lí về cấu trúc của hàm đo được)

(2) f khả tích trên A khi và chỉ khi |f| khả tích trên A

(3) Nếu |f|≤ g hầu khắp nơi trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A

(4) Nếu f , g khả tích trên A thì f ± g cũng khả tích trên A Nếu fkhả tích trên A, g bịchặn trên A thì f g cũng khả tích trên A

¿ nên f khả tích trên A khi và chỉ khi |f|khả tích trên A.

(3) Vì |f|≤ g hầu khắp nơi trên A nên

< +∞ (vì ε> 0) đpcm

Bài tập 2 Cho f là một hàm khả tích trên A Chứng minh f hữu hạn hầu khắp nơitrên A

Cho M → +∞ suy ra μ(B) ≤ 0 Do đó μ(B) = 0.

Vậy f hữu hạn hầu khắp nơi

Bài tập 3 Cho f ≥ 0 trên A và ∫

Chương 2: QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN

1 Lý do chọn đề tài:

Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân là phần quan trọng nhất của tích phânLebesgue và nó cũng là một trong những ưu điểm nổi bật của tích phân Lebesgue sovới tích phân Riemann

Khi nghiên cứu tích phân, người ta luôn quan tâm tới vấn đề qua giới hạn dưới dấutích phân, nghĩa là tìm điều kiện để có đẳng thức:

thông thường phải yêu cầu dãy hàm f n hội tụ đều trên miền lấy tích phân và nói chung

là một điều kiện khá chặt chẽ, rất khó thực hiện được, nên đây là một trong những hạnchế của tích phân Riemann Tuy nhiên đối với tích phân Lebesgue đẳng thức trên cóthể xảy ra với một số điều kiện rộng hơn, các điều kiện này thường gặp trong nhiềuvấn đề khác nhau của toán học Và đối với tích phân Lebesgue, điều kiện để chuyểngiới hạn qua dấu tích phân là nhẹ nhàng và dễ thực hiện hơn

Vì muốn nắm rõ vấn đề này nên chúng tôi tìm hiểu qua “ Chương 2: Qua giới hạn

dưới dấu tích phân” đối với tích phân Lebesgue.

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về định lý Lêvi

- Định lý về sự hội tụ đơn điệu

- Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn

- Phương pháp tính tích phân Lebesgue

- Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân

3 Phạm vi nghiên cứu

- Qua giới hạn dưới hạn dưới dấu tích phân: các tính chất, các định lý, các dạng

toán liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tập hợp, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài.

- Hệ thống những kiến thức cần thiết, cơ sở để tiếp cận nội dung chính của đề tài.

- Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

2 Định lí về sự hội tụ đơn điệu

Nếu f n ↗ f và f1 khả tích trên A thì lim

Ta giới hạn việc chứng minh cho trường hợp k = 1 và ∆=[a , b]. Xét một phân

hoạch của [a , b] thành 2n phần bởi những điểm x k=a + k

(2) Nếu A1⊆ A2⊆ A3⊆ và f ≥ 0 trên A thì I=lim

n → ∞∫

A n fdμμ

Chú ý: Khi tính tích phân Lebesgue ta thường phân tích một nửa khoảng hoặc

một khoảng thành các đoạn con lồng nhau hoặc rời nhau tùy theo dữ kiện của hàm f

như sau:

¿ = ¿n=1¿∞¿,¿ đôi một rời nhau,…

Ví dụ mẫu: Tính tích phân I=( L) ∫

Cách 2:

Ta có [0 ,+∞]= ¿n=1¿∞[n−1 , n] với ([n−1 , n]¿ đôi một rời nhau

Bài tập 7 Kí hiệu [x] chỉ phần nguyên của x tức là số nguyên sao cho [x]≤ x<[x]+ 1.

Tính các tích phân Lebesgue sau:

1 1−1

e

= e e−1 .

[n−1 ;n)∪{n }

1 (n−1)! dμx

¿ (L) ∫

[n−1 ,n]

1 (n−1)! dμx ¿ (R) ∫

[n−1 ,n ]

1 (n−1)! dμx

= ∫

n−1

n

1 (n−1)! dμx = 1

a f ( x )={sinx nếu x cosx nếu x ∈ Q, ∈ I

b g( x )={sinx nếu cosx∈ Q ,sin2x nếu cosx ∈ I

KẾT LUẬN

Tích phân là một lĩnh vực toán học rất rộng và chứa đựng nhiều điều mới lạ màchúng ta chưa khám phá hết Trong đó, tích phân Lebesgue có nhiều vấn đề hay và lýthú Thế nhưng khả năng có hạn nên chúng tôi chỉ đi sâu vào các nội dung: tích phânLebesgue trong R n là tích phân mở rộng của tích phân Riemann Bài tiểu luận này cơbản trình bày một cách tổng quát về tích phân Lebesgue về các hàm đo được trongkhông gian có độ đo Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân là phần quan trọngnhất của đề tài và cũng là một tính chất khá quan trọng trong giải tích và lý thuyết xácxuất Và cơ bản đề tài đã trình bày lại các định nghĩa, định lý cùng các bài tập mà việcgiải chúng chủ yếu dựa vào các định lý vừa nêu Qua quá trình nghiên cứu đã giúpchúng tôi củng cố lại kiến thức đã học và hiểu thêm được nhiều vấn đề mới mà trướcđây chưa tiếp thu được Mặc dù chúng tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng những gì gópnhặt được chỉ là một phần nhỏ trong lượng kiến thức khổng lồ của lĩnh vực này

Do hiểu biết và kiến thức còn hạn chế nên bài tiểu luận này còn gặp phải một sốthiếu sót, vì vậy chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô đểbài tiểu luận được hoàn chỉnh hơn Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầyTrần Văn Sự đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình làm bài tiểu luận này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

Hà Nội, năm 1978

[2] Lương Hà, Lý thuyết độ đo và tích phân, NXB ĐH Huế, năm 2013

[3] Nguyễn Xuân Liêm, Độ đo và tích phân, NXB GD Hà Nội

[4] Ths NCS Trần Văn Sự, Bài giảng độ đo và tích phân, năm 2017