Một số phát triển và áp dụng của bất đẳng thức tích phân

7 1.3 Các tính chất của tích phân Riemann–Stieltjes.. Trong khi đó, các bài tập về bất đẳng thức với tích phân rất đa dạng và phongphú.. Luận văn này nhằm giới thiệu và phân tích một số

LOAN THANH ĐẠO

THÁI NGUYÊN 2016

Mục lục

1.1 Định nghĩa và sự tồn tại của tích phân Riemann–Stieltjes 2

1.2 Các lớp hàm khả tích Riemann–Stieltjes 7

1.3 Các tính chất của tích phân Riemann–Stieltjes 7

1.4 Các phương pháp tính tích phân Riemann–Stieltjes 8

1.5 Các định lý giá trị trung bình 10

1.6 Một vài ví dụ 10

2 Một số bất đẳng thức cơ bản 15 2.1 Bất đẳng thức Cauchy tổng quát và bất đẳng thức Young 15

2.2 Bất đẳng thức H¨older và bất đẳng thức Cauchy–Schwarz 17

2.3 Các bất đẳng thức Minkowski và Chebyshev 19

2.4 Các bất đẳng thức Jensen và Hermite–Hadamard 20

2.5 Các bất đẳng thức Gr¨uss và Ostrowski 23

3 Một số bài toán áp dụng và phát triển 28 3.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz 28

3.2 Áp dụng các bất đẳng thức H¨older, Minkowski và Chebyshev 39

3.3 Về các bất đẳng thức của Qi Feng 42

3.4 Bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard 48

3.5 Bất đẳng thức dạng Gr¨uss–Ostrowski 52

3.6 Một số bài toán khác 55

Lời mở đầu

Trong chương trình toán học phổ thông, những bài toán liên quan đến tích phânRiemann chỉ được quan tâm ở khía cạnh các tính chất, các phương pháp và kỹ thuật tínhtính phân Trong khi đó, các bài tập về bất đẳng thức với tích phân rất đa dạng và phongphú Luận văn này nhằm giới thiệu và phân tích một số bất đẳng thức cơ bản đối với tíchphân, từ đó áp dụng và phát triển cho một loạt bài toán khác Luận văn cũng giới thiệutích phân Riemann–Stieltjes là tích phân tổng quát hơn tích phân Riemann, áp dụng cholớp hàm khả tích rộng hơn lớp hàm khả tích Riemann, cùng một số tính chất

Nội dung của Luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1 trình bày về tíchphân Riemann-Stieltjes Chương 2 giới thiệu các bất đẳng thức tích phân cơ bản Chương

3 giới thiệu một số bài toán áp dụng và phát triển

Một phần của luận văn (Mục 3.3) đã được báo cáo tại Hội thảo khoa học "Các chuyên

đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi toán" tỉnh Lai Châu tháng 10 năm 2015 và đượcđăng trong Kỷ yếu của Hội thảo

Luận văn này là thành quả lao động nghiêm túc của bản thân tác giả, được hoànthành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Vũ Tiến Việt Tác giả rất biết ơn sự giúp đỡ nhiệttình, có hiệu quả của thày giáo hướng dẫn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến tập thể các thày cô của Khoa Toán - Tin,Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tác giả trong thời gian theohọc các chuyên đề và hoàn thành các công việc của một học viên cao học

Thái Nguyên, ngày 29 tháng 5 năm 2016

Tác giảLoan Thanh Đạo

Chương 1

Tích phân Riemann-Stieltjes

Chương này giới thiệu tích phân Riemann–Stieltjes1 là tích phân tổng quát hơn tíchphân Riemann đã học trong chương trình trung học phổ thông Về phương diện hình học,tích phân là bài toán tìm cách tính các lượng hình học: chiều dài, diện tích, thể tích Tưtưởng chính của định nghĩa tích phân là chia nhỏ (phân hoạch) rồi cộng lại Thực ra ýtưởng này đã có từ thời Archimedes (287-212 trước công nguyên), khi ông tính diện tíchparabola

Ở đây, ta sẽ chỉ nêu các định nghĩa và tính chất của các lớp hàm khả tích và phươngpháp tính tích phân Riemann–Stieltjes mà không nêu chứng minh (các chứng minh cóthể xem trong [4])

1.1.1 Phân hoạch và tổng Darboux

Giả sử [a, b] là một đoạn hữu hạn của đường thẳng thực R

1 G.F.B Riemann (1826-1886), nhà toán học người Đức; T.I Stieltjes (1856-1894), nhà toán học và thiên văn học người Hà Lan.

Ta viết đơn giản P = {x0, x1, , xn}.

Ký hiệu P là tập hợp tất cả các phân hoạch của [a, b]

Ta nói rằng phân hoạch P∗ là mịn hơn phân hoạch P nếu P∗ ⊃ P , tức là mỗi điểmcủa P là điểm của P∗ Trong trường hợp đó, ta viết P  P∗ hoặc P∗  P Cho trướchai phân hoạch P1 và P2 thì rõ ràng

Mi = sup{f (x) : xi−16 x 6 xi}; mi = inf{f (x) : xi−16 x 6 xi}

Chú ý rằng, với phân hoạch P bất kỳ, ta luôn luôn có

m[α(b) − α(a)] 6 L(P, f, α) 6 U (P, f, α) 6 M[α(b) − α(a)],trong đó M = sup{f (x) : a6 x 6 b}, m = inf{f (x) : a 6 x 6 b}

2 J G Darboux (1842-1917), nhà toán học người Pháp.

1.1.2 Tích phân Riemann–Stieltjes

Định nghĩa 1.1.2 Ta định nghĩa tích phân trên (dưới) của f đối với α trên [a, b] là sốhữu hạn cho bởi công thức sau

Z b a

f dα = inf{U (P, f, α) : P ∈ P},

Z b a

f dα = sup{L(P, f, α) : P ∈ P}

Ta luôn có

m[α(b) − α(a)] 6

Z b a

f dα 6

Z b a

f dα 6 M [α(b) − α(a)]

Định nghĩa 1.1.3 Ta nói rằng f là khả tích đối với α trên [a, b] nếu tích phân trên

và tích phân dưới của f bằng nhau Giá trị chung của chúng được gọi là tích phân R-S(Riemann–Stieltjes) của f đối với α trên [a, b] và ký hiệu là

Z b a

f dα hoặc

Z b a

f (x)dα(x)

Ta ký hiệu R(α) là tập hợp tất cả các hàm f khả tích đối với α trên [a, b] Nếuα(x) ≡ x thì ta viết R = R(α) và gọi mỗi f ∈ R là hàm R-khả tích (hay khả tíchtheo nghĩa Riemann trên [a, b]) Lúc đó tích phân tương ứng của f được gọi là tích phânRiemann

f dα 6

Z b a

1.1.3 Điều kiện cần và đủ của hàm khả tích Riemann–Stieltjes

Định lý 1.1.6 (Riemann, xem [4]) Cho f : [a, b] → R là hàm bị chặn và α là hàm khônggiảm trên đoạn [a, b] Khi đó, f ∈ R(α) trên [a, b] nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 tồn tại

P ∈ P sao cho

f dα

< ε

Chú ý 1.1.8 Khi xét tích phân Riemann thì ta bỏ chữ α trong các tổng Darboux vàtrong tích phân trên (dưới) Người ta đã biết rằng:

(1) Nếu f : [a, b] → R là hàm bị chặn thì ∀ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

Z b a

f (x)dx − L(P, f ) < ε , U (P, f ) −

Z b a

f (x)dx < ε

với mọi phân hoạch P thoả mãn |P | < δ

(2) Nếu f : [a, b] → R khả tích Riemann, (Pn) là dãy phân hoạch với lim

n→∞|Pn| = 0 thì

lim

n→∞L(Pn, f ) =

Z b a

(4) f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi tồn tại số I hữu hạn có tính chất sau:với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

|I − σ(P, f, C)| < ε , ∀C hoặc |I − σ(P, f, T )| < ε , ∀T

với mọi phân hoạch P có |P | < δ Trong trường hợp đó

I =

Z b a

f (x)dx = lim

n→∞σ(Pn, f, Tn),trong đó Cn, Tn là các tập bất kỳ chọn theo Pn

Ví dụ 1.1.9 Cho hàm f : [0, 1] → R được xác định như sau

f (x)dx = 0

Lời giải Với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho 1

n < ε2, ∀n > n0 Chọn phânhoạch P của đoạn [0, 1] như sau

4n 0, ∀i = 2, 3, , k, , m, , p, , q Khi đó

U (f, P ) − L(f, P ) = U (f, P ) < 1

n0+ 1 + 2n0

ε4n0 <

Mệnh đề 1.2.1 (xem [4]) Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và α là hàm không giảm trên[a, b] thì f ∈ R(α) trên [a, b].

Mệnh đề 1.2.2 (xem [4]) Nếu f đơn điệu trên [a, b] còn α liên tục và không giảm trên[a, b] thì f ∈ R(α)

Mệnh đề 1.2.3 (xem [4]) Nếu hàm f bị chặn trên [a, b], f có nhiều nhất một số hữuhạn các điểm gián đoạn (liên tục từng khúc) trên [a, b] và hàm α không giảm, liên tục tạimỗi điểm gián đoạn của f thì f ∈ R(α)

Mệnh đề 1.2.4 (xem [4]) Giả sử f ∈ R(α) trên [a, b], m6 f (x) 6 M với mọi x ∈ [a, b]

và g là hàm liên tục trên [m, M ] Khi đó h = g ◦ f ∈ R(α) trên [a, b]

Mệnh đề 1.3.1 (xem [4])

(i) Tập hợp R(α) là không gian tuyến tính (trên trường số thực) và tích phân R-S

là phiếm hàm tuyến tính, tức là nếu f, g ∈ R(α) và c, d là các hằng số thực thì

cf + dg ∈ R(α) và

Z b a

(cf + dg)dα = c

Z b a

f dα + d

Z b a

gdα

(ii) Rõ ràng

Z b a

dα = α(b) − α(a)

(iii) Tích phân R-S bảo toàn thứ tự, tức là nếu f (x)6 g(x) với mọi x ∈ [a, b] thì

Z b a

f dα 6

Z b a

gdα

(iv) Nếu f ∈ R(α) trên [a, b] và nếu a < c < b thì f ∈ R(α) trên [a, c] và [c, b] và

Z c a

f dα +

Z b c

f dα =

Z b a

f dα

(v) Nếu f ∈ R(α) trên [a, b] và nếu |f (x)|6 M trên [a, b] thì

Z b a

f dα

6M [α(b) − α(a)]

(vi) Nếu f ∈ R(α1) và f ∈ R(α2) thì f ∈ R(α1 + α2) và

Z b a

f d(α1+ α2) =

Z b a

f dα1 +

Z b a

f dα2

(vii) Nếu f ∈ R(α) và c là hằng số dương thì f ∈ R(cα) và

Z b a

f d(cα) = c

Z b a

Z b a

f dα

Z x 0

f0(t)dt

6

Z x 0

|f0(t)|dt = g(x)

Do đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwars ta có

Z 1 0

|f (x)f0(x)|dx =

Z 1 0

|f (x)||f0(x)|dx 6

Z 1 0

1 0

= 1

2[g(1)]

2

= 12

Z 1 0

|f0(x)|dx

2

6 12

Z 1 0

12dx

Z 1 0

[f0(x)]2dx = 1

2

Z 1 0

[f0(x)]2dx

Cách 2 Xét các hàm số sau

F (x) =

Z x 0

|f (t)f0(t)|dt , G(x) = x

2

Z x 0

[f0(t)]2dt , ∀x ∈ [0, 1]

|f (x)f0(x)| 6√x.

Z x 0

[f0(t)]2dt

1/2

.|f0(x)|

6 12

Z x 0

[f0(t)]2dt + x

2[f

0

(x)]2.Vậy F0(x) 6 G0(x) hay F0(x) − G0(x) 6 0, suy ra F (1) − G(1) 6 F (0) − G(0) = 0, nhưthế F (1)6 G(1) là điều phải chứng minh

Bài toán 3.1.2 Cho f (x) là hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, 2] và f (1) = 0 Chứngminh rằng

Z 2 0

[f0(x)]2dx > 3

2

hZ 2 0

f (x)dxi2.Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ta có

hZ 1 0

xf0(x)dxi2 6

Z 1 0

x2dx

Z 1 0

[f0(x)]2dx = 1

3

Z 1 0

(2 − x)2dx

Z 2 1

[f0(x)]2dx = 1

3

Z 2 1

[f0(x)]2dx

Suy ra

hZ 1 0

xf0(x)dxi

2

+h

Z 2 1

(2 − x)f0(x)dxi

2

6 13

Z 2 0

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với chú ý f (1) = 0 ta được

Z 1 0

xf0(x)dx = xf (x)

1

0−

Z 1 0

f (x)dx = −

Z 1 0

f (x)dx,

Z 2 1

(2 − x)f0(x)dx = (2 − x)f (x)

2 1

+

Z 2 1

f (x)dx =

Z 2 1

(2 − x)f0(x)dxi2 =h

Z 1 0

f (x)dxi2+h

Z 2 1

f (x)dxi2 (3.2)

> 12

hZ 1 0

f (x)dx +

Z 2 1

f (x)dxi

2

= 12

hZ 2 0

f (x)dxi

2

(3.3)Kết hợp (3.1) và (3.2) ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh

Bài toán 3.1.3 Cho hàm f : [0, 1] → R khả vi liên tục sao cho

Z 12

0

f (x)dx = 0 Chứngminh rằng

Z 1 0

[f0(x)]2dx > 12h

Z 1 0

f (x)dxi

2

.Lời giải Xét hàm số

1 0

−

Z 1 0

f0(x)g(x)dx = −

Z 1 0

f (x)dx = −a

Z 1 0

f (x)dx

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được

hZ 1 0

f0(x)g(x)dxi2 6

Z 1 0

[f0(x)]2dx

Z 1 0

[g(x)]2dx

Như thế

a2h

Z 1 0

f (x)dxi

2

6 a2

Z 1 0

hZ 1 0

f (x)dxi

2

6

Z 1 0

[f0(x)]2dxhx

3

3

1 2

1

1

i.Vậy ta được kết quả

[f0(x)]2dx hay

Z 1 0

[f0(x)]2dx > 12h

Z 1 0

f (x)dx = 0.Chứng minh rằng

Z 3 0

[f0(x)]2dx >

hZ 3 0

f (x)dx

i2

1 ... data-page="21">

Từ suy bất đẳng thức cần phải chứng minh.

Bất đẳng thức 2.3.2 (Bất đẳng thức Minkowski cho tích phân Riemann–Stieltjes (xem[1])) Giả sử hàm f g khả tích R-S hàm khơng giảm...

Khi ta có bất đẳng thức tương ứng với (2.13) theo chiều ngược lại

Bất đẳng thức 2.4.5 (Bất đẳng thức Jensen tích phân (xem [1], [9])) Giả

sử f : [α, β] → [a, b] hàm khả tích, cịn... class="page_container" data-page="22">

Từ suy bất đẳng thức cần phải chứng minh.

Bất đẳng thức 2.3.3 (Bất đẳng thức Chebyshev7 cho tích phân Riemann-Stieltjes (xem[1])) Giả sử