Một số đại diện quan trọngcủa lớp các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là bất đẳng thức Opial, Wirtinger và Hardy.Dưới góc độ giải tích thuần túy, có thể thấy rằng bất đẳng th
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Trang 2Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Quy Nhơn
Có thể tìm hiểu luận án tại:
-Thư viện Quốc gia Việt Nam-Trung tâm thông tin tư liệu Trường Đại học Quy Nhơn
Trang 3Lời cam đoan
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS TS ĐinhThanh Đức và GS TSKH Vũ Kim Tuấn Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Cáckết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công
bố trước đó
Tác giả
Trần Đình Phụng
Trang 4Lời cảm ơn
Luận án được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn nhiệt tình
và đầy tận tâm của PGS TS Đinh Thanh Đức và GS TSKH Vũ Kim Tuấn Trước tiên, tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Đinh Thanh Đức, người đã hướng dẫn tác giả từ những bước đi đầutiên trong nghiên cứu khoa học, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp đỡ tácgiả vượt qua khó khăn trong quá trình nghiên cứu khoa học mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chấtlẫn tinh thần cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành đến Thầy Vũ Kim Tuấn, người đã nhiệt tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiêncứu khoa học và giúp tác giả học hỏi thêm được nhiều điều về nghiên cứu khoa học và cuộc sống mặc dùthời gian làm việc chung với tác giả không nhiều
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng Quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giảitích khóa 1 đã luôn tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian họctập và nghiên cứu
Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Dư Vi Nhân Thầy đã giúp đỡ tác giả tận tình trongquá trình nghiên cứu khoa học cũng như trong việc hoàn thành Luận án
Cuối cùng, tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, những người luôn sátcánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận án
Trang 5MỤC LỤC
Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian 51.1 Các định nghĩa cơ bản 51.2 Phép toán vi phân 61.3 Phép toán tích phân 6
Chương 2 Bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian và áp dụng 72.1 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến 72.2 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến 102.3 Một số áp dụng 13
Chương 3 Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang thời gian 143.1 Bất đẳng thức loại Lyapunov trên thang thời gian 143.2 Tính dao động của phương trình thuần nhất 153.3 Tính dao động của phương trình không thuần nhất 17
Chương 4 Đồng nhất thức loại Picone trên thang thời gian và áp dụng 194.1 Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone 194.2 Bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy trên thang thời gian 214.3 Định lý Ried cho một lớp hệ động lực cấp một 22
Trang 6Mở đầu
Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện và đóng một vai trò quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực củatoán học thuần túy, toán ứng dụng mà còn có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộcsống, chẳng hạn như khoa học tự nhiên, khoa học kĩ thuật và kinh tế Các bất đẳng thức hàm là mộttrong những cơ sở quan trọng để xây dựng giải tích nói chung và lĩnh vực phương trình vi phân, đạo hàmriêng và tích phân nói riêng Trong lĩnh vực phương trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng, các bấtđẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là những công cụ vô cùng hữu hiệu trong việc nghiên cứu cáctính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các lớp phương trình này Một số đại diện quan trọngcủa lớp các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là bất đẳng thức Opial, Wirtinger và Hardy.Dưới góc độ giải tích thuần túy, có thể thấy rằng bất đẳng thức Opial là dạng nội suy của bất đẳng thứcPoincaré một chiều với một số điều kiện biên nào đó, trong khi bất đẳng thức Wirtinger là dạng của bấtđẳng thức Poincaré một chiều đối với các hàm tuần hoàn
Năm 1960, Opial [34] nhà toán học người Ba Lan đã đưa ra bất đẳng thức
ra các dạng rời rạc tương ứng với các Bất đẳng thức (0.1) và (0.2) như sau: Cho {xi}N
i=0 là một dãy sốthực Nếu x0 = xN = 0, thì
N −1X
i=0
|xi∆xi| ≤ 1
2
N + 12
N −1X
i=0
|∆xi|2, (0.3)trong đó ∆ là toán tử sai phân tiến và [·] là hàm phần nguyên Nếu x0 = 0 thì
N −1Xi=0
|xi∆xi| ≤ N − 1
2
N −1Xi=0
Trang 7Sau đó, các Bất đẳng thức (0.3) và (0.4) đã được mở rộng bởi Lee [27] và Pachpatte [36].
Các bất đẳng thức Opial cùng với các dạng mở rộng của chúng đã được chứng minh là mang tính ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học do không chỉ kế thừa ý tưởng từ bất đẳng thức Poincaré
mà còn do chính bản thân các biến thể Cụ thể, các bất đẳng thức loại Opial là công cụ hữu ích trongviệc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, xét tính bị chặn, tính ổn định và tính dao động củanghiệm, nghiên cứu các bài toán về giá trị riêng và nhiều vấn đề khác Trong [6], Agarwal và Pang đãtổng hợp rất nhiều dạng mở rộng khác nhau của bất đẳng thức Opial và các áp dụng của chúng
Gần đây, Nhân, Đức, và Tuấn [30] (2013) đã đưa ra một bất đẳng thức loại Opial tổng quát có dạng
Z b
a
τn(x)
mYj=1
Gj◦ fj
(n)
sϕ(x)dx
1
≤ N
mYj=1
(0.5)
Dạng rời rạc và mở rộng cho hàm nhiều biến của Bất đẳng thức (0.5) lần lượt được Nhân, Đức, Tuấn, và
Vũ [32], Đức, Nhân và Xuân [18] đưa ra sau đó
Năm 1988, nhà toán học Hilger người Đức trong luận án tiến sĩ của mình đã đưa ra lý thuyết giải tíchtrên thang thời gian nhằm mục đích thống nhất giải tích liên tục và giải tích rời rạc Sự ra đời của giải tíchtrên thang thời gian là một đòi hỏi mang tính tất yếu bởi rất nhiều mô hình toán học trong thực tế luônđòi hỏi dữ liệu vừa có tính liên tục vừa có thể rời rạc Giải tích trên thang thời gian cho phép chúng ta cóthể nghiên cứu các phương trình trên một tập con đóng tùy ý của R, mà ta gọi là thang thời gian, thườngđược kí hiệu là T Các ví dụ điển hình nhất của thang thời gian T đó là R, Z và ¯qZ = {qt, t ∈ Z} ∪ {0}trong đó q > 1 Do đó việc thiết lập các bất đẳng thức trên thang thời gian là cần thiết cho việc nghiêncứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của phương trình động lực trên thang thời gian Từ
đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm đến lý thuyết bất đẳng thức trên thang thời gian Việc nghiên cứucác bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian được Bohner và Kaymak¸calan [9], Agarwal, Bohner vàPeterson [2] khởi xướng vào năm 2001: Nếu hàm số f : [0, b]T→ R là hàm ∆−khả vi sao cho f(0) = 0, thì
Ngay sau đó, Bất đẳng thức (0.6) đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu khác nhau
Có hai dạng mở rộng tự nhiên nhất cho Bất đẳng thức (0.6) đó là các bất đẳng thức loại Opial
khi f (a) = 0 hoặc/và f (b) = 0, trong đó p > 1, β > 0, γ > 0, S1, S2 là các hằng số Hai dạng bất đẳngthức này được nghiên cứu trong các công trình [10, 24, 25, 29, 45, 46, 47, 48, 52, 54, 55, 61, 62] Sau đó,các dạng (0.7) và (0.8) đã được phát triển theo một số hướng như: nâng bậc ∆−đạo hàm (xem Wong vàcác cộng sự [58], Sirvastava và các cộng sự [54], Saker, Agarwal, và O’regan [50], Saker [48]), cho nhiềuhàm số (xem Karpuz và ¨Ozkan [25]), cho hàm số nhiều biến (xem Agarwal, O’regan và Saker [5])
Từ những bất đẳng thức gần đây của Nhân, Đức, và Tuấn [30, 32] và nhiều nhà toán học khác trênthế giới cho trường hợp liên tục, rời rạc cùng với những ứng dụng khác nhau của chúng trong lĩnh vực
Trang 8phương trình vi phân, sai phân, ta có thể thấy rằng sự ra đời của chúng có nhất định trong việc pháttriển lý thuyết phương trình vi phân và sai phân Sự phát triển mạnh mẽ của nhiều bất đẳng thức trênthang thời gian trong thời gian gần đây đã góp phần vào việc phát triển lý thuyết phương trình độnglực trên thang thời gian Vì lẽ đó, việc nghiên cứu nhằm cải tiến và đề xuất các bất đẳng thức mới trênthang thời gian luôn là vấn đề quan trọng và có tính cấp thiết trong lĩnh vực giải tích nói chung mà đặcbiệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết phương trình động lực nói riêng.
Tiếp nối những kết quả gần đây, chúng tôi tiếp tục phát triển và mở rộng các Bất đẳng thức loạiOpial (0.7) và (0.8) cho hàm một biến và hàm nhiều biến trên cơ sở sử dụng phương pháp và ý tưởngđược đề xuất bởi Nhân, Đức và Tuấn trong [30, 32] cùng với lý thuyết giải tích trên thang thời gian Hơnnữa, chúng tôi còn áp dụng các kết quả mới để thiết lập một số bất đẳng thức loại Lyapunov mới, hữuích trong việc nghiên cứu sự phân bố các không điểm tổng quát của nghiệm của một số lớp phương trìnhđộng lực Tuy nhiên, việc xây dựng những kết quả mới này là không hề dễ dàng mà chúng đòi hỏi những
kĩ thuật cao, tính toán phức tạp nhằm khắc phục những điểm khác biệt giữa liên tục và rời rạc
Cùng với bất đẳng thức Opial, một công cụ quan trọng khác trong nghiên cứu lý thuyết phương trình
vi phân, tích phân, và đạo hàm riêng đó là đồng nhất thức Picone, được chính nhà toán học người ÝPicone đề xuất năm 1910 trong [40] như sau:
ddt
02+u
v(v`2[u] − uL2[v]).
(0.9)
Từ đó, Picone đã sử dụng nó để chứng minh các Định lý so sánh Sturm cho các toán tử vi phân
`2[u] = (P0(t)u0)0+ Q0(t)u, L2[v] = (P1(t)v0)0+ Q1(t)v
Đồng nhất thức Picone không chỉ là một công cụ rất mạnh khi nghiên cứu tính dao động nghiệm củacác phương trình vi phân, nghiên cứu các bài toán giá trị riêng trong phương trình vi phân mà còn đượcdùng để thiết lập các bất đẳng thức tích phân liên quan tới các hàm số và đạo hàm của nó chẳng hạnnhư các bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy
Kể từ khi ra đời, đồng nhất thức Picone đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu, mở rộng theonhiều hướng khác nhau Năm 1999, Jaroˇs và Kusano [23] đã mở rộng đồng nhất thức Picone (0.9) chocác toán tử vi phân nửa tuyến tính cấp hai `α[u] = (P0Gα+1(u0))0+ Q0Gα+1(u) Lα[v] = (P1Gα+1(u0))0+
Q1Gα+1(u), trong đó α > 0 và Gp(t) = |t|p−1sign(t) với p > 1 và áp dụng nó để nghiên cứu lý thuyếtSturm cho các phương trình thuần nhất `α[u] = 0 và không thuần nhất `α[u] = f Các phiên bản rời rạc
và thang thời gian của đồng nhất thức Picone lần lượt được ˇRehák [43], Agarwal, Bohner và ˇRehák [3]đưa ra sau đó
Năm 2011, Jaroˇs [21] đã đưa ra đồng nhất thức loại Picone cho toán tử Lα[v] từ đó thiết lập một bấtđẳng thức loại Wirtinger
Gần đây, Jaroˇs [22] (2013) và Tiryaki [56] (2015) đã thu được các đồng nhất thức và bất đẳng thứcloại Picone cho hệ phương trình vi phân phi tuyến
Trang 9Từ đó, áp dụng chúng để nhận được một số bất đẳng thức loại Wirtinger Tuy nhiên các kết quả này vẫncòn một số hạn chế cần phải khắc phục.
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Chúng ta có thể xây dựng được các đồng nhất thức loại Piconecho các hàm số xác định trên thang thời gian để từ đó thiết lập các bất đẳng thức loại Wirtinger, mà cáckết quả này thống nhất các kết quả dạng liên tục và dạng rời rạc đã được đề cập ở trên hay không? Nỗlực đầu tiên để trả lời câu hỏi này thuộc về Agarwal cùng các cộng sự [4] Họ đã thiết lập bất đẳng thứcloại Wirtinger bằng cách nghiên cứu một lớp bất phương trình ∆−vi phân tuyến tính cấp hai
Gần đây nhất, vào năm 2015, Saker, Mahmoud và Peterson [51] đã cố gắng mở rộng đồng nhất thứcloại Picone và bất đẳng thức loại Wirtinger được thiết lập bởi Jaroˇs [21] cho các hàm số xác định trênthang thời gian Tuy nhiên, Công trình [51] của họ có một vài thiếu sót, các kết quả trong [51, Theorem2.1] không chính xác
Do đó, chúng tôi nhận thấy rằng việc xây dựng các đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone mớitrên thang thời gian là thực sự cần thiết, có tính thời sự và có ý nghĩa khoa học Trong luận án này,chúng tôi vừa hiệu chỉnh các kết quả trong Công trình [51] vừa mở rộng chúng bằng cách thiết lập một
số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone mới cho hệ động lực phi tuyến
Mục đích chính của Luận án là xây dựng một số bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm trênthang thời gian như bất đẳng thức loại Opial, bất đẳng thức loại Wirtinger, bất đẳng thức loại Hardy vàcác áp dụng của chúng
Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, gồm có 4 chương:
• Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian
• Chương 2: Bất đẳng thức Opial trên thang thời gian và áp dụng
• Chương 3: Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang thời gian
• Chương 4: Đồng nhất thức Picone trên thang thời gian và áp dụng
Bình Định, tháng 05 năm 2017
Tác giả
Trần Đình Phụng
Trang 10Chương 1
Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về thang thời gian, phép tích vi phân
và tích phân trên thang thời gian Hầu hết các kết quả trong chương này được chúng tôi trích dẫn từ cáccông trình [11, 12] của Bohner và Peterson, [14, 15] của Cabada và Vivero
1.1 Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.1 ([11]) Thang thời gian (time scale) T là một tập con không rỗng, đóng của R Nhưvậy, các tập R, Z, N, ¯qZ:= {qk: k ∈ Z} ∪ {0} với q > 1, hZ := {hk : k ∈ Z} với h > 0, tập Cantor là cácthang thời gian Các tập Q, R \ Q, C, (0, 1) không phải là các thang thời gian Tôpô trên thang thời gian
T là tôpô cảm sinh từ tôpô chuẩn trên tập các số thực R
Định nghĩa 1.2 ([11]) Cho T là một thang thời gian tùy ý Toán tử nhảy tiến (forward jump operator)
σ : T → T được định nghĩa như sau:
σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} với mọi t ∈ T
Toán tử nhảy lùi (backward jump operator) ρ : T → T được định nghĩa như sau:
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} với mọi t ∈ T
Hàm hạt (graininess function) µ : T → R+0 được định nghĩa như sau:
µ(t) := σ(t) − t với mọi t ∈ T
Trong định nghĩa này ta đặt inf ∅ := sup T (tức là σ(t) = t nếu t là điểm lớn nhất của T) và sup ∅ := inf T(tức là ρ(t) = t nếu t là điểm nhỏ nhất của T), trong đó ∅ là tập rỗng
Định nghĩa 1.3 ([11]) Cho T là một thang thời gian, t ∈ T
• Nếu σ(t) > t thì t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered)
• Nếu ρ(t) < t thì t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered)
• Nếu t vừa là điểm cô lập phải vừa là điểm cô lập trái thì t được gọi là điểm cô lập (isolated)
Trang 11• Nếu t < sup T và σ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật phải (right-dense).
• Nếu t > inf T và ρ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật trái (left-dense)
• Nếu t vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái thì t được gọi là điểm trù mật
Định nghĩa 1.4 ([11]) Cho T là một thang thời gian tùy ý Ta định nghĩa tập Tκ như sau:
Hàm f được gọi là ∆−khả vi (hay ngắn gọn là khả vi) trên Tκ nếu f∆(t) tồn tại với mọi t ∈ Tκ Hàm
số f∆: Tκ→ R được gọi là ∆−đạo hàm (hay đạo hàm) của hàm số f trên Tκ
Định nghĩa 1.7 ([11]) Cho hàm số f : T → R ∆−khả vi trên Tκ Nếu hàm số f∆ ∆−khả vi trên(Tκ)κ= Tκ2 thì ta nói hàm số f có ∆−đạo hàm cấp hai, ta viết f∆2 = (f∆)∆
Ta định nghĩa ∆−đạo hàm cấp n của hàm số f theo cách tương tự, tức là
Trang 122.1 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến
Định lý 2.1 Cho τj ∈ W([a, c]T), fj ∈ Lpa([a, c]T, τj) với mọi j ∈ [1, n]N và υ := [(Qn
j=1
fj)∆(x)|pυ(x)∆x ≤
nY
j=1
Fξj(c) −
nY
fj)∆(x)|pυ(x)∆x ≤ˆ
nYj=1
ˆ
Fη j(c) −
nYj=1
Trang 13Gj ◦ fj)∆(x)|pν(x)∆x ≤
nYj=1(Gj◦ Fξj)(c) −
nYj=1
Gj◦ fj)∆(x)|pν(x)∆x ≤ˆ
nYj=1(Gj◦ ˆFηj)(c) −
nYj=1(Gj◦ ˆFηj)(b) (2.24)
−α q
nY
j=1(Gj◦ ˆFηj)(c) −
nY
j=1(Gj◦ ˆFηj)(b)
β p
(2.26)
Hệ quả 2.5 Cho τ, ϕ ∈ W([a, c]T) và f ∈ Lpa([a, c]T, τ ) sao cho L =h σ(a)c ϕq(x)(τξp)∆(x)∆xi
1 q
hữu hạn.Khi đó,
Z c
σ(a)
(|f |p)∆(x) ϕ(x)∆x ≤ LhFξp(c) − Fξp(σ(a))i
1 p
h ˆFp
η(c) − ˆFηp(b)
i1 p
, (2.28)trong đó vế phải được giả sử tồn tại và hữu hạn
Trang 14Hệ quả 2.6 Cho m ∈ N, ϕ, τj ∈ W([a, c]T) với j ∈ [1, n]N Nếu fj ∈ Lpa([a, c]T, τj) sao cho fj(a) = 0 vớimọi j ∈ [1, n]N và N =
Rx
a τ
−q p
j (t)∆t
m∆
∆x
#1 q
< ∞, thì
Z c
a
nYj=1
fjm
∆(x)
... lập
số đồng thức bất đẳng thức loại Picone cho hệ động lực phi tuyến
Mục đích Luận án xây dựng số bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm trênthang thời gian bất đẳng thức loại... 1
Một số kiến thức giải tích thang thời gian< /h3>
Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức thang thời gian, phép tích vi phân
và tích phân thang thời gian Hầu hết... tích thang thời gian
• Chương 2: Bất đẳng thức Opial thang thời gian áp dụng
• Chương 3: Tính dao động số phương trình động lực thang thời gian
• Chương 4: Đồng thức Picone thang