42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015
1) I =
4
2 4
1
1 2cos x dx
0
sin
1 sin2x
dx
3) I =
2
3
1 sin 1 cos x x dx
3
4
1
5) I = 4 sin cos 2 3
0
2 x x cos 2 sin 4x xdx
2 4
2 3
sin 1 cos cos
dx x
7) I = 2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx x
8) I =
2 3
2 3
dx
9) I =
2
2
6
1 sin sin
2
10) I =
6
0
1 cos cos
4
dx
11) I = 2
0
dx
12) I =
2
3 4
dx
13) I = 6
0
tan
4 cos 2
x
dx x
14) I =
2
0
1 cos
2 3sin 1
x
15) I =
2
3 0
sin
x
dx
16) I =
2
6
1 sin cos
6
dx
17) I =
3
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
2
2 0
2
x
dx
Trang 2
0
19) I=
2 2013
x x
dx
2
x
0
sinx-sin sìn2x+
cos 2 7
x
22) I = 4 2
0 tan x tanx e dx x
1
1
ln
24) I =
8
3
ln 1
x dx
x
25) I =
1 0
2
2 9 3 2
x
26) I =
1
2 0
1 6 x 3x dx
27) I =
1
2 1
1
28) I =
0
dx
sin 3
4
sin
x x
x
0
tan
31) I =
1
3
4
2 tan cos
x
32) I = 2
0
2 cos 4x xdx
33)
3
2 2 1
ln 1
x x
x
2 3
1
ln 1 ln
e
x dx x
35) I =
2 0
1 1
x
x
e dx x
4
2 2 0
37) I =
4 1
3
2014
dx x
1 2
1
1 x e x x dx
x
39) I =
ln 6
x
e
dx
1
1 3
ln 3x x 2lnx dx
41) I =
2 0
2
x
x e
dx x
2 2
1
ln
dx
H D GIẢI:
Trang 31) I =
4
2 4
1
1 2cos x dx
2
2 cos
x
Đặt t = tanx => dt = 12
cos x dx Đổi cận => I =
1 2 1
1
1dt
t
Đặt t = 3tanu => dt = 3(1+tan 2 u)du Đổi cận => I = 3
9
0
sin
1 sin2x
dx
2
1 2
2
2
1 2
0
sin
1 s ìn2x 1 s ìn2x
1
1 s ìn2x sin cos 2 sin
4
cos
4
x x
4 0
4 4
dx
2
2 2
2 0 0
0
4 sin cos
4
I I
3) I =
2
3
1 sin 1 cos x x dx
Đặt t = 1 cos x => 2tdt = - sinxdx Đổi cận
Trang 4
3 3
2 2
2
2
3
t
t t
4) I =
3
4
1
3
4
4 4
dx
x
5) I = 4 sin cos 2 3
0
2 x x cos 2 sin 4x xdx
= 4 1 sin2x 4 4
2 2sìn2xcos2xdx 2sìn2xcos 2xdx I I
Tính: I 1 =4 1 sin2x
0
2 2sìn2xcos2xdx
Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx Đổi cận
1
I t dt t dt dt Đặt: 2 2
ln 2
t t
du dt
u t
2
2
2 1
1 2
t
t
2
0
2sìn2x.cos 2
4
0 0
Trang 5Vậy 1 2 2 1 1
2
I I I
6) I =
2 4
2 3
sin 1 cos
cos
dx x
0
0
4
3 0
3
7
3 1
12
x
7) I = 2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx x
2
2
x
x
2sin cos
x
x
e
2
1
tan
2
x
x
x
Tính: I 1 =
2 2 0
1
2 cos
2
x
e dx x
Đặt
2
1
2 tan
2
x
x
u e
du e dx
x
v x
2
2
0
1
x x
2
2
3
2 3
dx
2
dx
= I 1 +I 2
Trang 6Tính: I 1 =
2
3
2 3
sin
x dx x
Đặt
sin
u x
du dx
dv
x
hoctoancapba.com
I 1 = - xcot
2
3 3
x
2
2 3
3 3 3
Tính: I 2 =
2
3
3
1 sin
dx x
2 3
2
dx
2
3 3
1
cot
x
Vậy I = 4 2 3
3
9) I =
2
2
6
1 sin sin
2
2
2
6
3 sin cos
2
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
Đổi cận => I = -
3
0 3
2
2 t dt 2 t dt
I = 3
2
10) I =
6
0
1 cos cos
4
dx
Ta có: cosx cos (x +
4
) = cosx ( 1
2 cosx -
1
2 sinx) =
1
2 cos
2 x (1- tanx)
=> I =
6
2 0
2
cos 1 tan
dx
6
6 0 0
tan
tan 1
x x
Trang 711) I = 2
0
dx
=
Tính: I 1 = 2
2 0
sin 3
3 cos
x dx x
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận
I 1 = 3
1
2
dt
t
Đặt t = 3tanu => I 1 = = 3
6
Tính: I 2 = 2
2 0
cos 4
4 sin
x dx x
ln
Vậy I = 3
6
+ ln3
12) I =
2
3 4
dx
2
3 4
2 2 sin
4
dx x
4
=> dt = dx
Đổi cận => I =
3 4
3 2
1
sin
2 2
dt t
3
4
2
sin
2 2
3 4 2 2
2
2 2sin t
13) I = 6
0
tan
4 cos 2
x
dx x
Trang 8Ta có:
2 2
2
2
1 1 tan
=> I = -
2 6
2 0
x dx x
Đặt t = tanx => dt = ( tan2 x + 1) dt, đổi cận
I = -
1
1 3
3 2
0 0
1
dt
t t
14) I = 2
0
1 cos
2 3sin 1
x
cos
.cos
x
x
* Tính I 1 = 2
1 0
cos
x
x
; Đặt t 3sinx1 => t2 = 3sinx + 1
=> 2tdt = 3cosx dx
2
2 1
t
1
ln
I
* Tính 2
2
0
.cos
2
0
2
0
ln
I I I
15) I =
2
3 0
sin
x
dx
Trang 9: sin 3 cos 2sin( )
3
Do x x x nên I =
2 3 0
8 sin
3
x dx x
Đặt t = x +
3
dt =dx, sinx = sin ( t -
3
) = 1 3
2 t 2 t Đổi cận
I =
5
6
3 3
dt t
5
6 3
3
=
5
2 6 3
cot
16) I =
2
6
1 sin cos
6
dx
2
6
cos
2
3 sin cos
6
x
dx
2
6
6
dx
2
6
sin
sin
6
x x
dx
=
2
6
6
= ln 4
3
2
3 cot 1
sin
dx x
6
2
ln 3 cot 1
.ln 2
17) I =
3
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
Đặt t = lnx =>dt = 1
dx
x , đổi cận
Trang 10I = 1 3 1 2 2
1
2
t
2t t dt 2t t dt 4 t d t 4 t d t
*Cách khác:
Đặt t = 4 ln 2 x 4 ln 2 x t2 8 2 16 x t2 8 2 16 ln 4 x
4 64 16 2 4 16 ln4 4ln4 16 2 4
ln
2 4
x
,đổi
5 3
2
t
18) I =
2
2 0
2
x
dx
2
2 0
1 1
x
dx
1
Tính I 1 =
2
2
dx
Đặt x+1 = 3tant => dx = 3(1+ tan 2 t)dt, đổi cận
2 3
6
18
3 1 tan
t
t
Tính: I 2 =
2
0
1
x
dx
Đặt u = (x+1) 2 + 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận
12
2
Vậy I = 3 3ln 3
18
0
19) I=
2 2013
x x
dx
1
0
x
dx
Đặt t = (x+2)e x +2013
=> (x+2)e x = t – 2013, dt = [e x +(x + 2)e x ]dx = [(x + 3)e x ]dx, đổi cận
Trang 11I =
3 2013
3 2013
3 2013
2015
2013
2013ln
e
e e
t
t
2
x
2
1
x
Tính I 1 = 3
1
2 0
. x
x e dx
Đặt t = x 3 => dt = 3x 2 dx => I 1 =
1
0
e dt
Tinh I 2 =
1 4
01
x dx x
Đặt t = 4 x t4 x dx 4t dt3
1
1
8
4
Với
1
2
dt J
t
Đặt t = tanu => dt = (1 + tan 2 u)du => 4 2 4
0
1 tan
u
u
2
8
3
Vậy I = 9 3
3
e
0
sinx-sin sìn2x+
cos 2 7
x
2
sin cos sìn2x
x
Tính: I 1 = 2 sin
0
.sìn2x
x
2
sin 0
2 sin x e x d sinx
Đặt
sin
Trang 12Tính: I 2 = 2 2
2 0
sin cos
dx x
Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận
I 2 =
1
Vậy I = 5 ln 3
2
0
tan x tanx e dx x
= 4 4 4
2
1
cos
x
Tính: I 1 = 4
2 0
1 cos
x
e dx x
cos
x
x
u e
du e dx
x
0 0 tan x e x tan x e dx e x I I I e
Tính: I 2 = 4 4 4
0 0
1
Vậy I = 1
1
1
ln
= 1
ln
e
dx
Đặt t = lnx => x = e t , dt = 1
dx
x ,đổi
cận => I
1
Tính: J =
1
0
1
t t
e
dt
Đặt u = e t t due t 1dt, đổi cận
1
1
ln 1
e
du
u
Vậy I = 1 + ln(e + 1)
Trang 1324) I =
8
3
ln
1
x dx
x
Đặt
ln
1
dx
du
x dx
dv
x
3
1
x
Tính: J =
8
3
1
x dx x
Đặt t = x 1 t2 x 1, 2tdt dx , x = t 2 – 1, đổi cận
3
2
2
.2
1
t
t
3 3
t
Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
25) I =
1 0
2
2 9 3 2
x
2
x
x
1
0
2
x
Đặt
2
2
2
t
26) I =
1
2 0
1 6 x 3x dx
2
0
dx Đặt 3 x 1 2sint 3dx2costdt
Khi x = 0 3
sin
Khi x = 1 => sin t = 0 => t = 0
2
2
Trang 143
sin 2
2
3 3
27) I =
1
2 1
1
1
2
dx x
1
1
1
2
1
1
2
x
x
Vậy I = 1
28) I =
0
dx
2 2
1
1 1
x
x x
1
2
0
1
x
x
1
0
1
; tan
x
Vậy 10 2 1 3
4
sin 3
4
sin
x x
x
2 2
cot cot 1 2
4
sin
x x
x
2
1
sin
x
0
3
1
dt u du I t e dt
Trang 15
3
1 1
1
30) I = 4 2
0
tan
2
4
2
1
tan cos
cos
x
4 4
x
Vậy I =
2 1
ln 2
31) I =
1
3
4
2 tan cos
x
1
2
2 tan cos
x
4 1
3
3
4
;
x
t
e
2 2
2
3 2
4
2
tan cos
cos
x
x
M N M N
Vậy I =
16
Trang 16
32) I = 2
0
2 cos4x xdx
2 ln 2
2
1
4
x
u
2
.2 sin 4 ln 2 2 sin 4 2 sin 4
Đặt
2 , 2 ln 2
sin 4 1 cos 4 4
2 2
0 0
.2 cos 4 ln 2 2 cos 4
2
2
2 1 ln 2
2
2
2 1 ln 2
16 ln 2
I
33)
3
2 2 1
ln 1
x x
x
2
1 ln
1
x x
v
3 1
1
.ln
dx
3 3
2 1
1
ln
x
x
2 3
3 2
1
1
d x
x x
9ln 3 ln 5 9ln 3 5ln 5
34) I =
2 3
1
ln 1 ln
e
x dx x
Đặt t = lnx => dt = 1
dx
x , đổi cận
Trang 17
1
2 0
1
3
I t dt 2
2
2
1
t
t
1 2
2 0
0
t
t
Tính J =
1 1
1
dt
Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan 2 u)du, đổi cận
2 4
2 0
u
u
Vậy 2 ln 2 2
6
35) I =
2 0
1 1
x
x
e dx x
2
1 2
Tính
1
2 0
1
x
x e
x
2
1 1 1
dx
x x
0 0
1
x
x
x
Vậy I = 1
4
2 2 0
2 2
2
2
2 2
0 0
2
9 ln 2
x
x
v
x
Trang 18* Cách khác: t = x 2 + 9
=> I =
25 9
37) I =
4 1
3
2014
dx x
2014
3
1 1
2
dx
cận => I 1 6
1 1
1 1
3 3
1
2
dx I
Vậy I = I 6 8056 8062
38) I =
1
2
1
1 x e x x dx
x
1
x
1
2
x
x
J e dx
1
1
2
1
x
1
5
2
1
2
x x
x
x
2
e
39) I =
ln 6
x
e
dx
Đặt t = 3e x t2 3 e x, 2tdt e dx x ,đổi cận
2 2
2
80
63
1
1
3
ln 3x x 2lnx dx
Do: ln( x 4 + x 2 ) -2lnx = ln [ x 2 ( 3x 2 +1 )] – lnx 2
Trang 19= ln( 3x 2 + 1 ), nên I =
1
2 1
3
ln 3x 1 dx
Đặt: 2
2
6
xdx
x
1 2
1 3 3
.ln 3 1
x
x
1
3
x
Với K =
1
2 1
3
1
dx
x
Đặt 3xtant 3dx 1 tan2t dt
2 3
2 6
t
t
Vậy 12ln 2 3ln 3 12 3
9
41) I =
2 0
2
x
x e
dx x
Đặt
2
2
2
1 2
2
x
x
e dx
dv
v x
x
2
0 0
2
x
x
x e
Với
1
0
x
J x e dx
Đặt u x x du dx x
1
0
Vậy I = 3 e
e
2 2
1
ln
e x x x x
dx
x
Trang 201 1
e
e
1
e
Vậy I =
2
1
e I
e e