Phép tính tích phân và ứng dụng

; Loại 2: Đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân chứa biểu thức dạng #Ífx Trong nhiều trường hợp chứ không phải tất cả các trường hợp ta có thé là phép đổi biến sau đây: t= YF.. Loại 4: Đ

Bài giảng số 12 PHEP TINH TICH PHAN VA

A PHƯƠNG PHÁP SƯ DỤNG BANG NGUYEN HAM ey

Để sử dụng được phương pháp này ngoài việc sử dụng thành thạo bảng £ nguyên hàm, còn phải năm vững các phép tính vi phân và biến đổi thành thạo các |

Thi du 1: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D-2009) ` vNN

Ị

Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2008)

4 Tinh tich phan: 1 = |:

g sin 2x + 2(1+sinx + cosx)

Giải

Tacól=- [—Enx—- 9x) „ -I 'pa(1+ sinx + cos)

V2 ạ1+sin2x + 2(sinx + cosx)+l v2 g (1+sinx +cosx)”

l

V2 1+sinx+cosx|p V2\14+V2 2 4

217

Thi dụ 3: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối A — 2006)

Nhận thấy d(cos”x + Asin’x) = (-2cosxsinx + 8sinxcosx)dx = 3sin2xdx

Vay l= (cos*x + 4sin” x) 2 d(cos’x + 4sin” x]

1 cos2x ˆx + 4sin? x|2|5 - 1 |

Thi du 4: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D — 2005)

TL

- Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết

- Cách trình bày đơn giản

= In(x+a)In(x +b) b_ ine tn(a +b)

B PHƯƠNG PHÁP ĐỎI BIẾN SO

Đôi biên số là một trong những phương pháp quan trọng nhật đề tính nguyên && hàm và tích phân Trong mục này chúng tôi trình bày các phương pháp đôi biên sô SS

f[u( (Jo x)dx =f[u(x) ]d(u(x)) v

Ta có:

_ pam xdx ¬ tan’ xdx ` an” xd (tanx) (1)

g C052X (I= tan? x }eos” X 96 | —tan? x

220

- 2 sin“ xX cos2x (do I-tan'x=l=——=—=——)

Ix +2e*-3 - Jae 3e% +2 mm 3e% +2

Đặt t = eŸ (khi x = In3, thit = 3; khi x = In5, thi t = 5)

le rát l l

Vay ay I= Ị | id tdt= lInt|l†-—|I 1-s|1 =ln2-— ;

Loại 2: Đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân chứa biểu thức dạng #Íf(x)

Trong nhiều trường hợp (chứ không phải tất cả các trường hợp) ta có thé là phép đổi biến sau đây:

t= YF)

Đây là một trong những phép biến đổi thông dụng hay gặp

Thi dual: (Dé thi tuyén sinh Dai học khối 4 — 2004)

2 Tính tích phan: I= | xdx

rl+x-l

Dat t= V¥x—1 (khix = 1, thit =0; khix =2, thit= 1)

ae

Giải Đặtt= VI+2lnx (khi x= I thìt=l, khi x= Ve thit= V2)

Datu= Vt (khit=1 => u=1:t=4 > u=2)

Tacou =t > dt =2udu Vậy từ (1) ta có:

— Khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dưới dạng Va? -x?

hoặc Vx? -a? néi chung ta sẽ gặp khó khăn nếu sử dụng phương pháp đổi biến nói trong loại 2 (đặt t = Vx? =a? hodc t= Va? —x? ) Véitich phân này người ta

+ Nếu biểu thức dưới đầu tích phân có dạng a’ —x? ta hay đặt x = asint

- Khi biểu thức đưới dấu tích phân có chứa biểu thức dưới dạng (a°+x’)* ta

hay đặt: x = tant hoặc x = cott

Thí dụ 1: (Trích trong đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2002)

0 2/ Mặc dâu hàm dưới dâu tích phân có chứa căn thức, nên nếu ta biên đối

giông trong loat 2: t = va“ —x* thi chic chan sẽ gặp rắc rôi (các bạn thử làm xem

và giải thích vì sao lại như vậy) Đây chính là thí dụ chứng tỏ rằng không phải cứ thấy Vf (x) là thực hiện phép đổi biến số t = f(x)

225

—

Âu

x Nho

x

ow

x

Loại 4: Đổi biến khi biểu thức dưới đấu tích phân có chứa hàm số lượng giác Các phép biến đổi thường dùng với tích phân này là đặt t = sinx, hoặc

t= cos x; t= tan x, hoặc t = cot x

Thi du 1 (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A- 2009)

Tinh tich phan: [= ÍÍcos» — 1}cos*xdx

_ Thứ dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2005)

oon

su ÄNGGÀ

=—= sey

x WS

`

x Nho

^

=

= Sag,

x

Loại 5: Một số phương pháp đổi biến đặc biệt để tính tích phân:

Trong mục này chúng tôi giới thiệu vài phép đổi biến đặc biệt (không thông dụng) để tính tích phân với mục đích để các bạn tham khảo thêm

Dang 1: Déi bién x = ~t

Phép đổi biến này dùng khi:

A [= Jinfxs view Jax= Jnbfss Jéx+ false Jax (1) ~

Chu ý: Hàm dưới dau tich phan f(x) =In{x +V14x? la ham lé trén [—1;1] `

Ị

228

Dạng 2: Phép thay biến x=a—t

Phép đổi biến này thường dùng để tính các tính phân có cận trên là a, hàm dưới dau tích phân chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này liên quan đến cận trên a (theo nghĩa chúng có mối liên hệ của các hàm lượng gác của các góc liên quan đặc biệt) Vì thê các tích phân này thường có cận trên là 2 ,21,7,

Voi cac tich phan nay, sau khi bién đổi x = a-t sẽ dẫn đến việc giải phương trình đơn giản mà ân số ở đây là tích phan I cần tính

Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội - 2004)

oon

su ÄNGGÀ

=—= sey

x WS

`

x Nho

^

=

= Sag,

x

C PHƯƠNG PHAP TiCH PHAN TUNG PHAN

Phương pháp tích phân từng phần cũng là một trong các phương pháp cơ bản

nhất để tính tích phân Cần nhắn mạnh rằng các bài toán sử dụng tích phân từng

phần để tính tích phân nhiều lần xuất hiện trong các đề thi tuyên sinh vào Đại học

và Cao đẳng trong những năm gần đây

Loại 1: Các dang | toán cơ bản của phép lấy tích phân từng phan

Cần nhắn mạnh rằng các dạng toán này chiếm trên 90% các bài toán sử dụng: phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân trong các để thi từ 2002 đến

2009 (và 100% trong các dé thi tuyển sinh môn Toán vào các trường Đại học khối

A,B, D trong những năm đó) Có 4 dạng toán chin

b

1 Voi tich phân dạng: [P (x)e KXgx hoặc Jr sin kxdx; j6) )coskxdx , 6

a

day p(x) la da thie thi dat u = P(x) ; dv = e**dx (hoặc dv= sinkxdx, }

2/ Với tích phân dạng P(x) )ink xdx (có thể áp dụng với một số trường hợp

thì đặt u = e*Y, dv=sin œdx (hoặc dv = cos 3dx)

hoặc u = sin ơx (hoặc u = cos Bx), dv = e*dx

Thi du 1: (Dé thi nguồn sinh Đại học khối B — 2009)

Theo công thức tích phân từng phân, ta có:

Thí dụ 2: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2008)

2 Tính tích phân: [ = ["*

Thí dụ 4: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2006)

Ị Tinh tich phan: 1 = « —2)e**dx

Nà

(4) có nghĩa là ta gặp hiện tượng “ 'xoay vòng” tức là sau một loạt phép toán —š `

ta quay lại đầu bài Do đó ta chưa giải quyết được bài toán và Khi áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần từ hai bước trở lên, nếu uy không cần thận sẽ gặp “hiện tượng xoay vòng” và cần phải tránh nó vàn Loại 2: Phương pháp tích phân từng phần với các dạng tích phân khác Đề sử §ŸŠ dụng có hiệu quả phương pháp tính tích phân từng phần khi tính tích phân, điều && quan trọng nhất làm sao chọn hàm u một cách thích hợp Phép chọn hàm u phải ` Sow = OO

đảm bảo được hai điều sau đây: `

2/ Thông thường khi sử dụng công thức tích phân từng phần dé tinh tích phân, ; =

ta déu phai trai qua nhiều bước Vì vay ham u can chon sao cho trong các bước tiếp \ Ss

~

theo sử dụng công thức tích phân, thì việc tính [vdu phai ngay cang don gian di SS

Thứ dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Giao thông — 2004)

2

Dễ thấy (xem loại 1, tích phân từng phan), ta có [xe*dx =e?+1.(2)

0 Thay (2) vào (1), và có [= 1

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Cao dang Sư phạm khỗi A — 2004)

== Ñ về

roost Fey NS

§2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TINH DIEN TICH HINH PHANG

- Diện tích hình phăng xác định bởi đường cong y=x) -

Cho hình păng giới hạn bởi các đường

- Vé hinh (nêu thay can thiệt và dễ vẽ Khi vẽ đường cong chỉ nên vẽ phác hình) = Sy,

- Tim giao điểm của các đường tạo nên hình phăng os

Loại 1: Các bài toán có thể vẽ phác được hình cần tính diện tích:

Với các bài toán thuộc loại này việc vẽ hình giúp cho việc nhận diện hình cần tính dễ dàng hơn nhiều Dĩ nhiên ta chỉ cần lưu tâm đến hình dáng của hình, nên việc vẽ hình chỉ cần là vẽ phác mà thôi!

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002)

Tìm diện tích giới hạn bởi các đường y = |x”— 4x + 3| và y = x+3

-y=x +3 đều rất dễ vẽ, vì thế ta có ngay hình vẽ sau:

Từ hình vẽ ta suy ra hoành dộ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình: xỶ

—4x+3=x13

(vì nó cắt nhau trên phần mà

x~ 4x+3>0)© x= 0 hoặc x= §

235

là nghiệm của phương trình:

Nà

Thi du 3: | ; ! ver

Tìm diện tích hình phẳng giới han bởi b

Ta suy ra có 3 giao điểm A, B, C

với hoành độ giao điêm lân lượt là:

và xử lí theo cách tính tích phân trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa

Dạng 1: Bỗ sung về tính tích phân dạng: Ị f(x)|dx v

a

Khi giải các loại bài tập này trước hết phải tiền hành xét dấu để phá đi các dấu

giá trị tuyệt doi (kiên thức hay dùng nhất là sử dụng định lí về dau cua tam thức bậc hai, nhị thức bật nhật và sử dụng đường tròn đơn vị đề xét dấu các hàm lượng giác) Thi du 1: (Dé thi tuyên sinh Đại học, Cao đăng khối D — 2003)

2 Tinh tich phan: I= [| x? —x dx

Từ bảng xét dau trén, tacé: I= f(x - x} dx + Í- _ x]dx =|

Dựa vào đường tròn đơn vị ta có ngay:

sint <0 khi ~<t<0 va sint > 0 khi 0<t< ST,

3m

fo Tir do: }= V2] - [ sintdt + [ sintdt =242

4

Đạng 2: Tìm diện tích hình phăng

Thi du: (Dé thi tuyén sinh Đại học khôi ⁄4 ~ 2007)

Tìm diện tích hình phang giới hạn bởi hai đường cong y = (e + l)x và

y=(+e9x

238

Giải Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:

(e+ l)x =(l +e?x ©x(eÌ-e)=0‹«©© x=0vàx= ]l

Từ đó diện tích S cân tìm được tính theo công thức:

S= {lie Jx=0*sh|e= Jxƒc =eÌlx.d)

Khi 0 <x <1 thi x > 0; con e* — e <0, nén tir (1) ta co:

oe

x

B TINH THE TICH VAT THE

- Giả sử vật thể sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

re (x)sy =0

va quay quanh trục Ox Khi đó thẻ tích V của vật thể ấy là:

x=a;x=b (a<b)

b V=m ỊP (x)dx

Bằng phép tính tương tự như trong thí dụ 3, loại l, phan C, 2

2 đường: y = X; y=2 “và y= Tim

ị : Dé thây các giao điêm A, B tương ứng

` yeah có hoành độ là x = 3 và x =9

9 > 3 9 ` Gọi Vị, Vạ, V3 tương ứng là thể tích

của các vật thể sinh bởi khi đem cungOA, AB va OB quay quanh Ox Khi đó ta có:

239

Sử dụng phương pháp bảng nguyên hàm, tính các tích phân sau:

Bài 1 (Đề thị tuyên sinh Cao đăng sư phạm Quảng Ngãi — 2006)

5( (x+1)ýx+l Bài 12:

2 Tinh tich phan: | = fx? In xdx

; T3 Tính tích phân: | = |-~-—,—— Dap so: ———

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x? + 4x + 5 va hai tiép

tuyến của (P) tại diém A (1; 2); B(4;5) năm trên (P)

Cho hinh phang tao bdi hai dudng y = 2x—x” và y = 0 Tim thé tich vật thé khi

đem hình phăng quay quanh trục Ox

Ss

~

Ss